+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
|
|
- Aneta Kolářová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní tření, kd je velikost třecí síl úměrná rchlosti : r F t r r dr B v B dt 0 m v F F t Potom je nutno přidat tuto sílu k pružné síle oscilátoru. V našem jednorozměrném případě tak vznikne rovnice : d d m k B dt dt Jednoduchými úpravami a použitím standardního označení derivací dostaneme : B k & + & + 0 m m Označme v této rovnici, stejně jako u netlumených kmitů : k m vlastní úhlová frekvence Název vlastní u úhlové frekvence označuje její příslušnost k netlumené sestavě pružina hmotný bod, bez působení brzdicích třecích sil. S touto vlastní frekvencí b ted kmital náš hmotný bod jako netlumený lineární harmonický oscilátor. Dále zavedeme v pohbové rovnici novou konstantu b, která vjadří intenzitu účinku brzdicích sil (je úměrná brzdnému zrchlení : B m b konstanta útlumu A dostaneme tak konečný, nejjednodušší tvar pohbové rovnice : & + b & + 0 pohbová rovnice tlumených kmitů
2 Je to lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficient. Připomeňme, že každá taková rovnice má partikulární řešení (integrál : C e Přitom C je libovolná (integrační konstanta a α je kořenem tzv. charakteristické rovnice, která vznikne dosazením tohoto řešení do diferenciální rovnice. Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu je pak lineární kombinací n nezávislých partikulárních řešení : C e + C e + C e Tolik k obecné teorii. Dosaďme nní výše uvedený partikulární integrál do naší diferenciální rovnice a po vkrácení exponencielních výrazů dostaneme charakteristickou rovnici : α + b α + 0 Tato rovnice je kvadratická, můžeme ted hned napsat její standardní řešení : α, b ± b Existují tak dvě partikulární řešení a obecné řešení bude mít tvar : C e + C e O konkrétním tvaru tohoto matematického výrazu pak rozhodne velikost konstant b a : případ malého tlumení ( b < Za této podmínk vznikne pod odmocninou záporný výraz a oba kořen charakteristické rovnice jsou proto komplexní čísla : α, b ± i. b Tento výraz ještě zjednodušíme označením : b úhlová frekvence tlumených kmitů (Důvod tohoto názvu poznáme z dalších řádků. Pak ted bude : α ±, b i. A obecné řešení zapíšeme : C e ( b+ i..t ( b i..t b.t i..t i..t C e + e ( C e + C e +
3 Vidíme, že toto řešení je také komplexní, má tvar součinu reálného členu a komplexního výrazu v závorce, který ovšem již umíme identifikovat je to komplexní vjádření občejných, netlumených harmonických kmitů s úhlovou frekvencí. Pro vhodnocení skutečných výchlek převedeme raději toto komplexní vjádření na občejnou obecnou sinusovku (stačí vhodně zvolit integrační konstant - viz minulá kapitola Netlumené kmit, strana 9, první reálný člen samozřejmě ponecháme. Vztah pro skutečnou výchlku tlumených kmitů bude mít potom tvar : A e sin( t +ϕ o tlumené kmit I kdž získaný vztah obsahuje funkci sinus, dokonce se standardním tvarem fáze, nemůžeme ho označit jako harmonické kmit, protože před sinem není konstantní amplituda, ale klesající exponenciela, která sinusovku určitým způsobem deformuje. Jestliže b ovšem tlumení neblo příliš vsoké což b se projevilo tak, že hmotný bod b vkonal větší počet výkvů na obě stran, než b se jeho maximální výchlka silně přiblížila k nulové rovnovážné poloze (viz následující obrázek pak bchom takové kmit mohli interpretovat jako kvaziharmonické (přibližně harmonické, které sice mají stálou úhlovou frekvenci, ale proměnnou amplitudu, klesající s časem podle vztahu : A Ae amplituda tlumených kmitů A A e - b t - b t A e sin ( t + φ o t T 3
4 Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů blo nutno pomocí okrajových podmínek úloh konkrétně vpočítat konstant A a φ v obecné rovnici kmitů (jsou to ted dvě integrační konstant, jako v každém řešení diferenciální rovnice druhého řádu. Nejjednodušší je definovat počáteční podmínk pohbu : nechť například vchýlíme hmotný bod (tj. natáhneme pružinu do nějaké počáteční klidové poloh (například jednotkové a pak ho vpustíme s počáteční nulovou rchlostí - velikosti výchlk a rchlosti hmotného bodu v počátečním (nulovém čase ted budou : (0 o konst. v(0 vo konst. 0 [m] [ m / s ] Nní napíšeme obecnou rovnici pro výchlku : Ae sin( t +ϕo A její derivací určíme vztah pro rchlost : d v A ( b e sin ( t + ϕo + A e cos ( t + dt Do těchto rovnic pak dosadíme stanovenou počáteční výchlku a počáteční rchlost : b.0 o Ae sin(.0 + ϕo Asinϕo b.0 b.0 vo 0 A( b e sin (.0 + ϕo + Ae cos ( b A sin ϕo + A cos ϕ ϕ o.0 + ϕo Dostaneme tak dvě rovnice pro dvě neznámé integrační konstant. Pro jejich řešení platí : A sinϕo tg ϕ o b Goniometrické funkce ovšem neumožňují jednoduché explicitní vjádření integračních konstant, řešme proto jen případ velmi malého tlumení ( b <<, kd můžeme přibližně psát : tg ϕ o >> o π ϕ A Konkrétní vztah pro výchlku pak bude mít jednoduchý tvar : e sin ( t + π Nebo-li : e cos t Ab blo zaručeno velmi malé tlumení pohbu, bl pro znázornění této funkce na předchozím obrázku použit poměr : b 40 :. Z výše uvedeného vztahu pro : b < je dobře vidět, že úhlová frekvence tlumených kmitů je menší než vlastní úhlová frekvence (kterou b měl oscilátor, kdb nebl tlumen. Doba kmitu je ted větší jinak řečeno - tlumené kmitání je pomalejší než netlumené : T π π π b T 4
5 Běžně používané označení perioda pro T zde není příliš vhodné, protože tlumený pohb vlastně - matematick přesně vzato - není periodický průběh funkce se přece kvůli klesající amplitudě nikd neopakuje. Pozn. : Tlumené kmit jsou ted také pseudoperiodickým pohbem : nulové bod za sebou sice následují po době rovné polovině dob kmitu T, stejně taková je i doba mezi dvěma po sobě následujícími krajními výchlkami, ale například pohb oscilátoru z nulové poloh do krajní výchlk trvá kratší než dobu než pohb z této krajní výchlk zpět do nulové poloh. Brzdicí síla ted kmit harmonického oscilátoru zpomalí a postupně zmenšuje jejich amplitudu. Velikost konstant útlumu b má proto zásadní vliv na vzniklý pohb hmotného bodu. Protože doba kmitu T je periodou funkce sinus, můžeme jednoduše vpočítat poměr dvou po sobě následujících maximálních výchlek na jednu stranu - ted výchlek v časech t a t + T : ( t ( t A e sin( t + ϕo + b.t e + T b.( t T + A e sin( ( t + T + ϕo Tento (bezrozměrný poměr se označuje jako útlum λ a vidíme, že je stejný pro libovolná dvě stejnolehlá maxima - pro daný tlumený oscilátor je ted charakteristickou, konstantní veličinou (stejně jako konstanta útlumu b : ( t + b.t λ e útlum ( t + T Jeho přirozený logaritmus se nazývá logaritmický dekrement δ tlumených kmitů : δ ln λ b T π b logaritmický dekrement Se znalostí těchto veličin je pak možno u daného oscilátoru jednoduše stanovit konstantu útlumu, potřebnou pro vřešení pohbové rovnice (přímé experimentální určení této konstant z její definice totiž jistě není jednoduchou záležitostí - musíme mít prostředk pro měření jak brzdné síl, tak rchlosti tělesa i jeho hmotnosti : Postačí pouze oscilátor rozkmitat a ze změřené period kmitů a z poměru stejnolehlých maxim ihned přímo vpočítáme konstantu útlumu : b δ ln λ T T 5
6 Jelikož amplituda určuje celkovou mechanickou energii kmitů, je zřejmé, že u tlumených kmitů dochází k postupnému poklesu této energie, v limitě až na nulovou hodnotu, kd kmit vmizí. Úbtek celkové energie je způsoben prací brzdicí síl a tato práce se u třecích sil bez užitku mění na tepelnou energii. Protože viskózní třecí síla, úměrná rchlosti, neovlivní mechanickou energii hmotného bodu (při výpočtu potenciální energie se uvažuje nekonečně pomalý pohb, kd je tato síla nulová, a při výpočtu energie kinetické hraje roli pouze rchlost, můžeme pro stanovení energie tlumených kmitů vužít vztah, odvozený v minulé kapitole pro volně kmitající hmotný bod : p + k m A Do této rovnice pak pouze dosadíme parametr tlumených kmitů jejich úhlovou frekvenci a amplitudu : b.t m A m ( A e m A e Vznikne tak použitelný vztah pro celkovou mechanickou energii tlumeného oscilátoru : b.t m A e energie tlumeného oscilátoru Je dobře vidět, že celková energie tlumeného oscilátoru je exponenciálně klesající funkcí času, limitně se blížící nulové hodnotě, stejně jako výchlka tlumených kmitů. Přitom úbtek celkové energie tlumeného oscilátoru za jednotku času můžeme lehce vpočítat jako časovou derivaci této funkce : d d t d d t b.t b. t ( m A e m A e ( b b Během jedné period kmitů ted dojde ke ztrátě energie o (kladné velikosti : d d t T b T b π 4π b Namísto této veličin se ale úbtek energie tlumených kmitů většinou charakterizuje relativní veličinou kvalita oscilátoru (qualit factor Q, která se definuje jako π násobek podílu střední hodnot celkové energie oscilátoru (v jedné periodě kmitů a ztrát této energie během jedné period kmitů : Q π stř kvalita oscilátoru 6
7 Po dosazení z předchozí rovnice dostaneme : Q π stř π stř 4π b b stř Velký praktický význam, zejména v elektronice, má případ velmi malého tlumení, kd konstanta tlumení je daleko menší než vlastní frekvence oscilátoru : b << velmi malé tlumení V tomto případě během jedné period se amplituda kmitů a ted i energie zmenší jen nepatrně a proto střední hodnota energie během této period je přibližně rovna okamžité energii (v kterémkoliv místě period : stř A stejně tak frekvence nucených kmitů je přibližně rovna vlastní frekvenci oscilátoru : b Potom ovšem bude : Q b b stř b A pro kvalitu oscilátoru ted dostáváme velmi jednoduchý vztah, který obsahuje pouze základní koeficient z pohbové rovnice : Q b kvalita oscilátoru (při velmi malém tlumení Je zřejmé, že kvalita oscilátoru je potom velmi vsoká : Q b >> A je také dobře vidět rozumný smsl této veličin : oscilátor s vsokou kvalitou Q - musí mít (při dané frekvenci malou konstantu tlumení b - jeho amplituda ted bude s časem klesat jen velmi pomalu a proto takový oscilátor vdrží kmitat velmi dlouhou dobu, než se utlumí. 7
8 případ silného tlumení ( b > Nní je pod odmocninou kladný výraz a kořen charakteristické rovnice jsou ted reálné a oba dva jsou zřejmě záporné: α, b ± b < 0 A obecné řešení je potom také reálným výrazem : α.t α.t C e + C e silné tlumení Tato funkce jako superpozice (součet dvou záporných exponenciel je monotónně klesající a asmptotick se blíží nulové hodnotě (viz obr.. Vchýlíme-li ted silně tlumený oscilátor, vrací se zvolna zpět do rovnovážné poloh, aniž b překmitnul do opačné výchlk. Takový pohb se nazývá aperiodický. b b > t Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstant, nní to jsou konstant C a C, pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení (tj. jednotková počáteční výchlka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rchlost, které dosadíme do obecné rovnice pro výchlku a do z ní vpočítaného vztahu pro rchlost : α.t α.t C e + C e d α.t v C dt α e + C α e Tak dostaneme : α.0.0 o C e α + C e C + C α.0.0 vo 0 C e α α + C α e C α + C α 8
9 Řešení těchto dvou rovnic je : C α α α C α α α Dostáváme tak konkrétní vztah pro výchlku, do kterého pak dosadíme zvolenou konstantu útlumu a vlastní úhlovou frekvenci (jsou obsažené v konstantách C a C, viz výše : α α α α. t e + e α α α Pro výpočet křivk v uvedeném grafu bl použit poměr b : 0 : 8. Pro zajímavost můžeme ještě zhodnotit extrémní (limitní případ velmi silného tlumení, kd b konstanta útlumu bla nesrovnatelně větší než úhlová frekvence (b >> - a kd b ted platilo : α b + b α b b b 0 Pak b integrační konstant měl velikost : C α ( b α α 0 ( b C α 0 α α 0 ( b 0 A výchlka hmotného bodu b praktick zůstávala na počáteční hodnotě : α α. t 0.t b.t e α e + e + 0 e α α α α Velmi silné brzdicí síl b ted nedovolil návrat hmotného bodu do nulové poloh (v konečném čase. 3 mezní případ tlumení ( b Za těchto podmínek existuje jediný kořen charakteristické rovnice : α, b A dostaneme ted jediné partikulární řešení : C e Druhé nezávislé partikulární řešení pak muselo být nalezeno zcela jiným matematickým postupem - uvedeme zde pouze výsledek : C t e Lineární kombinací těchto výrazů pak opět vtvoříme obecné řešení diferenciální rovnice pro případ mezního tlumení : C e + C t e ( C + C t e mezní tlumení 9
10 Výchlka nemění znaménko, pohb je opět aperiodický, funkce však klesá k nule nejrchlejším možným způsobem, jde o tzv. mezní aperiodický pohb (viz obr.. Je to případ nejdokonalejšího tlumení kmitavého pohbu. Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstant C a C, pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení, tj. jednotková počáteční výchlka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rchlost, které dosadíme do obecné rovnice pro výchlku a do z ní vpočítaného vztahu pro rchlost : ( C + C t e d b. t v ( C + C t ( b e + C e ( C b ( C + C t e dt Tak dostaneme opět dvě rovnice, pro počáteční výchlku : b.0 o ( C + C 0 e C A pro počáteční rchlost : b.0 vo 0 C b( C + C 0 e C ( bc Řešení těchto dvou rovnic je : C b C b C Konkrétní vztah pro výchlku, znázorněnou na obrázku, je ted : ( + b e Z obrázku vidíme, že zmenšení konstant tlumení z původní již relativně dosti malé hodnot b 0 / 8 na hodnotu právě rovnou vlastní úhlové frekvenci, tj. b, skutečně vede k výrazně rchlejšímu poklesu výchlk. Další zmenšení brzdicích sil b pak již způsobilo překmit výchlk na druhou stranu - a ted b došlo ke vzniku kmitavého pohbu podle bodu (konec kapitol K. Rusňák, verze 0/005, rev. 04/006, 0/008 vzorová řešení pohbové rovnice pro všechn tři případ kmitů, určení integračních konstant, nové graf, výpočet celkové energie oscilátoru, zavedení útlumu, log. dekrementu a kvalit oscilátoru 0
K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014
K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS
EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3
Více3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru
3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceČÁST VI - K M I T Y A V L N Y
ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako
Více6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh
6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceČást 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceTlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině
Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavé pohyby jsou důležité pro celou fyziku a její aplikace, protože umožňují relativně jednoduše modelovat řadu fyzikálních dějů a jevů. V praxi ale na pohybující
VíceMěření logaritmického dekrementu kmitů v U-trubici
Měření logaritmického dekrementu kmitů v U-trubici Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=17 Tento experiment, autorem publikovaný v [31] a [32], je z pohledu středoškolského učiva opět nadstavbový
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceExperimentální metody EVF II.: Mikrovlnná
Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.
VíceOptické měřicí 3D metody
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Optické měřicí 3D metod Michal Pochmon Olomouc 212 Oponent: RNDr. Tomáš Rössler Ph.D. Publikace bla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje
VíceFinanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů
Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů
VíceFyzikální praktikum 1
Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceÚvod do programu MAXIMA
Jedná se o rozpracovaný návod k programu wxmaxima pro naprosté začátečníky. Návod lze libovolně kopírovat a používat ke komerčním i osobním účelům. Momentálně chybí mnoho důležitých kapitol které budou
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.
VíceNetlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině
Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceFyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2
Fyzikální sekce přírodovědecké faklty Masarykovy niverzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikm 2 Zpracoval: Jakb Jránek Naměřeno: 24. září 2012 Obor: UF Ročník: II Semestr: III Testováno: Úloha
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
VíceSeismografy a Seismické pozorovací sítě mají pro seismo
Seismografy a Seismické pozorovací sítě mají pro seismologii tak zásadní důležitost jakou mají teleskopy pro astronomii či urychlovače pro fyziku. Bez nich bychom věděli jen pramálo o tom, jak vypadá nitro
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
Vícenapájecí zdroj I 1 zesilovač Obr. 1: Zesilovač jako čtyřpól
. ZESILOVACÍ OBVODY (ZESILOVAČE).. Rozdělení, základní pojmy a vlastnosti ZESILOVAČ Zesilovač je elektronické zařízení, které zesiluje elektrický signál. Má vstup a výstup, tzn. je to čtyřpól na jehož
VíceVY_32_INOVACE_ENI_2.MA_04_Zesilovače a Oscilátory
Číslo projektu Číslo materiálu CZ..07/.5.00/34.058 VY_3_INOVACE_ENI_.MA_04_Zesilovače a Oscilátory Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Autor Ing. Miroslav Krýdl Tematická
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující
Více. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
Více8. Posloupnosti, vektory a matice
. jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Více1.7.4. Skládání kmitů
.7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
VíceUčební text k přednášce UFY008
Lom hranolem lámavé stěny lámavá hrana lámavý úhel ϕ deviace δ úhel, o který je po výstupu z hranolu vychýlen světelný paprsek ležící v rovině kolmé k lámavé hraně (v tzv. hlavním řezu hranolu), který
VíceRadián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.
Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceZadání I. série. Obr. 1
Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím
VíceMatice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceZákladní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ
INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 1. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 ZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ
VíceEle 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu
VíceSYMETRICKÉ ČTYŘPÓLY JAKO FILTRY
SYMETRICKÉ ČTYŘPÓLY JAKO FILTRY V této úloze budou řešeny symetrické čtyřpóly jako frekvenční filtry. Bude představena jejich funkce na praktickém příkladu reproduktorů. Teoretický základ Pod pojmem čtyřpól
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
VíceŘešení úloh celostátního kola 55. ročníku fyzikální olympiády.
Řešení úlo celostátnío kola 55 ročníku fyzikální olympiády AutořiJTomas(134)aMJarešová() 1a) Pro určení poloy těžiště umístíme jelan do poloy podle obr R1 Obsa příčnéo řezu jelanem ve vzdálenosti od vrcolu
Více10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI
0a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI Úvod: Klasický síťový transformátor transformátor s jádrem skládaným z plechů je stále běžně používanou součástí
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceRezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině
Rezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině M. Stejskal, K. Záhorová*, J. Řehák** Gymnázium Emila Holuba, Gymnázium J.K.Tyla*, SPŠ Hronov** Abstrakt Zkoumali jsme rezonanční frekvenci závaží na
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceAPLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceAkustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K
zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
Více4. Tenkostěnné za studena tvarované prvky. Návrh na únavu OK.
4. Tenkostěnné za studena tvarované prvky. Návrh na únavu OK. Výroba, zvláštnosti návrhu, základní případy namáhání, spoje, navrhování z hlediska MSÚ a MSP. Návrh na únavu: zatížení, Wöhlerův přístup a
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceSvětlo v multimódových optických vláknech
Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
VícePRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Charakteristiky termistoru. stud. skup.
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. Úloha č. IX Název: Charakteristiky termistoru Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 17.10.2013 Odevzdal
VíceBřetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech
VíceStudijní opory k předmětu 6AA. 6AA Automatizace. Studijní opory k předmětu. Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení
6AA Automatizace Studijní opory k předmětu Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA Obsah: Logické řízení - Boolova algebra... 4 1. Základní logické funkce:... 4 2. Vyjádření Booleových funkcí... 4 3. Zákony a pravidla
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceObrázek č. 7.0 a/ regulační smyčka s regulátorem, ovladačem, regulovaným systémem a měřicím členem b/ zjednodušené schéma regulace
Automatizace 4 Ing. Jiří Vlček Soubory At1 až At4 budou od příštího vydání (podzim 2008) součástí publikace Moderní elektronika. Slouží pro výuku předmětu automatizace na SPŠE. 7. Regulace Úkolem regulace
VíceSystém vykonávající tlumené kmity lze popsat obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řadu s nulovou pravou stranou:
Pracovní úkol: 1. Sestavte obvod podle obr. 1 a změřte pro obvod v periodickém stavu závislost doby kmitu T na velikosti zařazené kapacity. (C = 0,5-10 µf, R = 0 Ω). Výsledky měření zpracujte graficky
VíceREGULOVANÉ PŘEPLŇOVÁNÍ VOZIDLOVÝCH MOTORŮ
REGULOVANÉ PŘEPLŇOVÁNÍ VOZIDLOVÝCH MOTORŮ Doc.Ing. Karel Hofmann, CSc -Ústav dopravní techniky FSI-VUT v Brně 2000 ÚVOD Současnost je dobou prudkého rozvoje elektronické regulace spalovacího motoru a tím
VíceObsah. 1. Komplexní čísla
KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6.
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
VíceDIDAKTICKÝ TEST ELEKTRICKÝ VÝKON STŘÍDAVÉHO PROUDU
DIDAKTICKÝ TEST ELEKTRICKÝ VÝKON STŘÍDAVÉHO PROUDU Použité zdroje: Blahovec, A.: Elektrotechnika II, Informatorium, Praha 2005 Černý, V.: Repetitorium, Základní vztahy v elektrotechnice, časopis ELEKTRO
VíceUNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
Více2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
Více