10. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 . cvičení z Matematické analýzy prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y } d dy, kde, R. e y ds, kde oblast je omezená přímkami y, y a y. (a Oblast je vnitřní část paraboly y (obrácené v směru osy, která je oříznutá šikmo přímkou y 4. Zintegrujeme postupně nejdříve podle (tj. rozřežeme vodorovně a pak podle y. K tomu potřebujeme zjistit rozsah proměnné y (tj. průmět oblasti na osu y, neboli průniky hyperboly s přímkou: Množinu tedy zapíšeme jako y y 4 y (y + 4 y y 8 (y 4(y + Takže máme y ds 4 y+4 y : y 4 & y y + 4 y d dy 4 ( y y + 4 y dy 4 y 3 + 4y y4 dy [ y y3 3 y5 ]

2 (b Zjistíme si hodnoty funkce na množině : { e ma{,y } e pro y, e y pro y. Množinu si tedy rozdělíme na příslušné dvě části (trojúhelníky : y a pak máme e ma{,y } d dy e dy d + : y y ] [e e y d dy + e d dy + ] y [e y y e d + e. e y d dy ye y dy (c Oblast je trojúhelník s vrcholy (,, (, a (,. Na první pohled je jednodušší zkusit integrovat nejdříve podle. : y & y y e y ds y y e y d dy [ ] y ye y dy y y ( e e dy ( e e. Poznámka: Vyšetříme si ještě pro pořádek chování f na v bodě (,. Protože pro (, y máme y y a < y, tak y a tedy e e y e. Funkce f je proto na omezená a spojitá a integrál tedy eistuje a je konečný.. (oblast zadaná v polárních souřadnicích Křivka (zadaná pomocí polárních souřadnic je tvaru ϱ +sin ϕ, ϕ,. Načrtněte danou křivku v polárních i kartézských souřadnicích a určete velikost plochy, kterou křivka (v kartézských souřadnicích! ohraničuje. V polárních souřadnicích je oblast dána jako : ϕ & r + sin ϕ položíme tedy : Φ(. Hraniční křivka této plochy se nazývá kardioida. Použitím věty o substituci dostaneme pro velikost plochy (v kartézských souřadnicích!, že ds r dr dϕ DΦ( Page

3 ( +sin ϕ [ r r dr dϕ ] r+sin ϕ r dϕ ( + sin ϕ dϕ (sin ϕ + sin ϕ + dϕ + 3. Trik k výpočtu integrálu: sin ϕ dϕ cos ϕ dϕ a současně (cos ϕ + sin ϕ dϕ dϕ tedy sin ϕ dϕ..3 (vyjádření oblasti v polárních souřadnicích Vyjádřete integrál f(, y d dy v polárních souřadnicích v pořadí dϱ dϕ pro oblast, která je plochou trojúhelníka s vrcholy (,, (, a (,. V oblast je ohraničena přímkami, y a + y a dá se popsat také jako : & y Její parametrizace v polárních souřadnicích je dána jako : ϕ 4 takže přepis integrálu je následující & cos ϕ ϱ cos ϕ + sin ϕ f(, y d dy /4 cos ϕ+sin ϕ cos ϕ ϱ f(ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ dϱ dϕ..4 (polární souřadnice Použitím polárních souřadnic spočítejte integrály (a dy d + y Page 3

4 (b arctan y dy d, (a Oblast integrace je : & y což je kruhová výseč, jejíž parametrizace Ψ( ve sférických souřadnicích Ψ : r cos ϕ y r sin ϕ je tvaru : r & 4 ϕ. Jakobián je det Ψ r takže máme 4 + y dy d Ψ( r cos ϕ dr dϕ r dr + y ds 4 r cos ϕ dr dϕ ( cos ϕ dϕ. Poznámka: Použili jsme vztah X Y pro integrabilní funkce f : X R a g : Y R. ( f(g(y dv X ( f( d Y g(y dy (b Oblast integrace je : & y což je čtvrtina kruhu, jejíž parametrizace Ψ( ve sférických souřadnicích Ψ : r cos ϕ y r sin ϕ je tvaru Máme : r & ϕ. arctan y dy d Ψ( r ϕ dr dϕ arctan y ds r dr r ϕ dr dϕ ϕ dϕ 6. Page 4

5 .5 (polární souřadnice Použitím polárních souřadnic spočítejte integrály (a (b 4 dy d, + y y dy d, + y (c 4 y y + d dy. + y Vzhledem ke tvaru množiny i funkce zde budeme používat transformaci pomocí polárních souřadnic Φ : r cos ϕ y r sin ϕ jejíž jakobián je det Φ r. (a Oblast integrace je : & y což je trojúhelník, jehož parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ (po dosazení do nerovnosti pro a úpravě, ale hlavně pomocí náčrtku je tvaru : ϕ 4 & r cos ϕ. takže máme + y dy d Φ( + y ds cos ϕ dr dϕ 4 cos ϕ cos ϕ dr dϕ 4 dϕ 4. (b Oblast integrace je : & y 4 což je půlkruh o poloměru v horní polorovině a se středem v počátku, jehož parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ je tvaru : ϕ & r. Page 5

6 takže máme 4 y + y dy d Φ( y + y ds r dr cos ϕ dϕ. } {{ } r (cos ϕ sin ϕ dr dϕ }{{} cos ϕ (c Oblast integrace je : y & y 4 y což je kruhová výseč, jejíž parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ je tvaru takže máme 4 y y + + y : r & ϕ 4. d dy r + r dr 4 Φ( + + y ds [ ln( + r dϕ ] r r r dr dϕ + r 4 4 ln 5..6 (cylindrické souřadnice rčete těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie pro homogenní kužel s výškou H >, poloměrem podstavy R > a hustotou σ(, y, z. Kužel : z H & + y R H z, tentokrát pro změnu zintegrujeme tak, že ho nejdříve rozřežeme horizontálně na kruhy a ty pak zintegrujeme v závislosti na výšce. Využijeme známý vzorec na obsah kruhu o daném poloměru. hmotnost: m dv H ( ddy dz +y R H z H ( R H z dz 3 R H Protože těleso je rotačně symetrické podle osy z, budou -ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Page 6

7 Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 m z dv m H ( z ddy dz m +y R H z H ( R H z z dz m 4 R H 3 4 H. Z postupu je vidět, že při integraci záleží pouze na ploše horizontálních řezu (přesněji na závislostí plochy na výšce a tedy stejný výsledek (těžiště je ve čtvrtině výšky nad podstavou dostaneme pro kužel s jakýmkoliv tvarem podstavy (např. pyramidu atd.. Moment setrvačnosti M 3 (vůči 3. ose souřadnic: Integrujeme čtverec vzdálenosti každého bodu (, y tělesa od osy z, tedy funkci f(, y + y. Použijeme tentokrát cylindrické souřadnice Φ : r cos ϕ y r sin ϕ z h Jako parametrizaci si vezmeme : h H & r R H h & ϕ. M 3 ( + y dv r r dr dϕ dh H 4 Φ( ( 4 R H h dϕ dh H h 4 dh R 4 H R H h r 3 dr dϕ dh 4H 4 dϕ H5 5 R4 4H 4 R4 H..7 (sférické souřadnice Vypočtěte kde : + y + z. + y + (z dv, Věta o substituci má analogický tvar a podmínky (pouze zanedbatelné množiny nyní zahrnují i plochy, roviny atd.: f dv (f Φ det Φ dv. Φ( Použijeme sférické souřadnice: Ψ :, +,, R 3, kde Ψ : (r sin ϑ cos ϕ y (r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ. Page 7

8 Poznámka: Sférické souřadnice jsou složením dvou (upravených cylindrických souřadnic a sice: takže pro determinant máme Φ : r r sin ϑ ϕ ϕ z r cos ϑ Ψ Φ Φ, Φ : r cos ϕ y r sin ϕ z z det Ψ det(φ Φ det(φ r Φ r (r sin ϑ r r sin ϑ. Zvolíme si parametrizaci koule Ψ( jako Takže můžeme psát : r & ϕ & ϑ. + y + z 4z + 4 dv r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dv Ψ( [ r r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dϕ dϑ dr r 4r cos ϑ + 4 ] ϑ ϑ ( r r + r dr dr r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dϑ dr r( r + 4r + 4 r 4r + 4 dr ( r r + ( r dr r dr 3..8 (sférické souřadnice Spočítejte e ( +y +z dv kde je oblast mezi sférami se středy v počátku a poloměry a. Pro oblast použijeme sférické souřadnice Ψ : (r sin ϑ cos ϕ y (r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ a parametrizace Ψ( pak bude : r & ϕ & ϑ. Pro jakobián máme det Ψ r sin ϑ Page 8

9 a můžeme tedy psát Ψ( e ( +y +z dv r sin ϑ cos ϕ e r4 r sin ϑ dr dϕ dϑ r 3 e r4 dr cos ϕ dϕ } {{ } sin ϑ dϑ. Page 9