11. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 11. cvičení z Matematické analýzy prosince (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou z x + y a leží nad oblastí v rovině z ohraničené křivkami y x, y, x 1. (iii) xy dv, kde je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (, 1, ), (1, 1, ) a (, 1, 1). Fubiniho věta (pro trojný integrál): Necht R 3 je oblast integrace a f : R je funkce integrabilní v absolutní hodnotě (např. spojitá a omezená). Pak ( ) f dv f(x, y, z) dz ds, 1, () ({x} {y} R) kde 1, : R 3 R je projekce, 1, (x, y, z) (x, y) a ds znamená integraci podle zbylých proměnných, tj. x a y. Případně: ( ( ) ) f dv f(x, y, z) dz dy dx 1 () ({x} R) 1, () ( 1 () kde 1 : R 3 R je opět projekce, 1 (x, y, z) x. ({x} R ) ({x} {y} R) ) f(x, y, z) dz dy dx Průniky uvedené v integrálech nejsou nic jiného než jednorozměrné řezy příslušných množin, tj. vlákna (která ale nemusí být souvislá). Po zintegrování podél vlákna, pak integrujeme přes příslušný průmět dané množiny (zde přes 1, ()), kde postup opakujeme (tj. průmět opět řežeme na vlákna atd.) Jiná možnost, jak spočítat integrál, pak je množinu nejdříve nařezat na dvourozměrné plátky, přes ně integrovat danou funkci a výsledek pak zintegrovat přes jednorozměrný průmět množiny do směru zbylé souřadnice (zde přes 1 ()). (i) Oblast integrace je Máme tedy : z xy, x y x, x 1.

2 xyz dv (ii) Oblast integrace je x xy x xyz dz dy dx 1 8 x x ( ) 1 (xy) dy dx 1 x 5 x 11 dx 8 : z x + y, y x, x 1. I zde platí y dv x x+y y dz dy dx x y(x + y) dy dx [ y x + y3 3 ] yx y dx x 5 + x6 3 dx (iii) Oblast integrace je množina ohraničená rovinami x, y 1, z a z y x. Tedy můžeme psát např. Máme tedy : z y x, x y, y 1. xy dv y y x xy dz dx dy y y 4 y4 3 dy y x x y dx dy [ y 5 3 ] y1 y 1 3. ] xy [y x x3 3 y x dy 11. (trojný integrál - Fubiniho věta) Načrtněte oblast integrace a spočítejte integrály: (i) 3 3x 3 3x y dz dy dx (ii) z ln(sin y) e x dx dz dy. Page

3 (i) Oblast integrace je : x 1 & y 3 3x & z 3 3x y což je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (1,, ), (, 3, ) a (,, 3). Integrál vyjadřuje jeho objem (který bychom asi uměli spočítat i jinak, ale my ho pro procvičení zintegrujeme). Máme tedy 3 3x 3 3x y dz dy dx 3 3x (3 3x y) dy dx (3 3x) (3 3x) dx (ii) Oblast integrace je 9 (1 x) dx Průmět,3 () množiny do roviny yz je tvaru : y & ln(sin y) z & x z.,3 () : y & ln(sin y) z což vypadá jako hranaté obráceně písmeno s nekonečnými zužujícími se konci. Celkově pak vypadá jako nekonečně dlouhý -profil, který je šikmo seříznutý směrem dolů. Oblast je sice nekonečna, ale funkce v integrandu je opět nezáporná, takže můžeme použít Fubiniho větu: z ln(sin y) e x dx dz dy ln(sin y) e z dz dy [e z] z zln(sin y) dy (1 sin y) dy (cylindrické souřadnice) Zapište integrály pomocí cylindrických souřadnic a pak je spočítejte: (i) 4 x 4 x x +y (x + y ) dz dy dx. (ii) 1 x 1 1 x x y (x + y 3 ) dz dy dx. x +y (iii) 1 1 y x +y x +y xyz dz dx dy. Page 3

4 Cylindrické souřadnice jsou tvaru: tj. Φ :, + ), R R 3, kde Φ : Φ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 1 x r cos ϕ y r sin ϕ z z a det Φ r. neboli a tedy (i) Oblast integrace je : x & y 4 x & x + y z : x 4 & x + y 4 & x + y z : x + y z, což je kužel s výškou a poloměrem podstavy také, který stojí na svém vrcholu v počátku. Jako parametrizaci si vezmeme Můžeme tedy psát 4 x 4 x : r z & ϕ. (x + y ) dz dy dx (x + y ) dv x +y Φ() z r r dv r 3 dϕ dr dz z z 4 dz r 3 dr dz neboli (ii) Oblast je popsána jako a ekvivalentně : 1 x 1 & 1 x y 1 x & x + y z x y : x 1 & y 1 x & x + y z x y : x + y 1 & x + y z x y což je prostě oblast ležící nad kruhem o poloměru 1 v rovině xy a je sevřena mezi grafy dvou funkcí (celkově vypadá jako čočka ). Ještě si pro pořádek ověříme, že průmět oblasti do roviny xy je skutečně kruh o průměru 1 (jinak by totiž zadání nemělo smysl). Zřejmě ale je Page 4

5 x + y x y x + y 1 takže je to v pořádku. V cylindrických souřadnicích Φ je parametrizací Φ() množina Pak můžeme psát 1 x 1 1 x x y x +y (x + y ) 3 dz dy dx Φ() (x + y ) 3 dv r 3 r dϕ dz dr 4 r r r 3 dϕ dz dr ( 1 r 3 (1 r ) dr ) 6 3. r r r 3 dz dr neboli (ii) Oblast je popsána jako a ekvivalentně : 1 x 1 & y 1 x & x + y z x + y : y & x + y 1 & x + y z x + y : y & x + y z x + y což je prostor ležící mezi o rotačním paraboloidem z x + y a kuželem z x + y a to celé ještě v poloprostoru určeném y. Průmět oblasti do roviny xy je skutečně polokruh (určený pomocí y ) o průměru 1: x + y x + y x + y 1 takže je to v pořádku. V cylindrických souřadnicích Φ je parametrizací Φ() množina : ϕ & r 1 & r z r. Pak můžeme psát 1 1 y x +y r z cos ϕ sin ϕ r dϕ dz dr xyz dz dx dy x +y r r r 3 z Φ() xyz dv cos ϕ sin ϕ dϕ } {{ } dz dr (cylindrické souřadnice) Page 5

6 Vypočítejte hodnotu integrálu x dv, kde : x + y z & y & x. Oblast je čtvrtina kužele. K výpočtu integrálu proto použijeme cylindrické souřadnice: Φ : x r cos ϕ y r sin ϕ z z s parametrizací oblasti Φ() jako Pak máme : r z & z & ϕ. x dv Φ() r 3 cos ϕ dv 1 4 z z 4 dz r 3 cos ϕ dr dzdϕ 1 4 cos ϕ dϕ 8 5. z 4 cos ϕ dzdϕ 11.5 (sférické souřadnice) Spočítejte xe (x +y +z ) dv kde je oblast mezi sférami se středy v počátku a poloměry 1 a. Pro oblast použijeme sférické souřadnice Ψ : x (r sin ϑ) cos ϕ y (r sin ϑ) sin ϕ z r cos ϑ a parametrizace Ψ() pak bude : 1 r & ϕ & ϑ. Pro jakobián máme det Ψ r sin ϑ Page 6

7 a můžeme tedy psát Ψ() xe (x +y +z ) dv r sin ϑ cos ϕ e r4 r sin ϑ dr dϕ dϑ 1 r 3 e r4 dr cos ϕ dϕ } {{ } sin ϑ dϑ (sférické souřadnice) Vypočtěte těžiště tělesa : x + y + z R & z tan(α ) x + y, s hustotou σ 1, kde R > a α (, ) jsou parametry. Těleso je průnikem koule o poloměru R a kužele s vrcholovým úhlem α, jehož špička je ve středu koule. Výhodné tedy bude použít opět sférické souřadnice Ψ : Parametrizace Ψ() pak bude x (r sin ϑ) cos ϕ y (r sin ϑ) sin ϕ z r cos ϑ : r R & ϕ & ϑ α Pro těžiště musíme nejdříve spočítat hmotnost: m 1 dv Ψ() R α r sin ϑ dv r sin ϑ dϕ dϑ dr R α r sin ϑ dϑ dr (1 cos α ) R r dr 3 R3 (1 cos α ). Protože těleso je rotačně symetrické podle osy z, budou x-ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 1 m m R Ψ() z dv 1 m r 3 cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ dr 1 m R α 3 sin ϑ r dϕ dϑ dr α r 3 dr sin ϑ dϑ R4 8m (1 cos α ) 3R 16 1 cos α 3R 1 cos α 8 (1 + cos α ). Page 7

8 11.7 (cylindrické souřadnice) rčete těžiště homogenního kužele s výškou h > a poloměrem podstavy R >. Kužel : z h & x + y R h z, tentokrát pro změnu zintegrujeme tak, že ho nejdříve rozřežeme horizontálně na kruhy a ty pak zintegrujeme v závislosti na výšce. Využijeme známý vzorec na obsah kruhu o daném poloměru. hmotnost: m 1 dv h ( ) 1 dxdy dz x +y R h z h ( ) R h z dz 3 R h Protože těleso je rotačně symetrické podle osy z, budou x-ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 1 m z dv 1 m h ( ) z dxdy dz 1 m x +y R h z h ( ) R h z z dz 1 m 4 R h 3 4 h. Z postupu je vidět, že při integraci záleží pouze na ploše horizontálních řezu (přesněji na závislostí plochy na výšce) a tedy stejný výsledek (těžiště je ve čtvrtině výšky nad podstavou) dostaneme pro kužel s jakýmkoliv tvarem podstavy (např. pyramidu atd.) (obecnější sférické souřadnice) Vypočtěte těžiště tělesa : a + y b + z 1 & x, y, z, c s hustotou σ 1, kde a, b, c > jsou parametry. x Oblast integrace je osmina obecného elipsoidu. Použijeme proto upravené sférické souřadnice Φ (které parametrizují tento elipsoid): x/a (r sin ϑ) cos ϕ Φ : y/b (r sin ϑ) sin ϕ, z/c r cos ϑ které vzniknou složením klasických sférických souřadnic Ψ a lineární transformace L, která deformuje jednotlivé osy: Φ L Ψ, L( x, ỹ, z) : (a x, bỹ, c z). Máme tedy protože Φ L Ψ a det Φ (det L ) (det Ψ ) abc r sin ϑ, L a b c. Page 8

9 Parametrizace oblasti Φ() je : r 1 & ϕ & ϑ. Výpočet hmotnosti m oblasti si usnadníme znalostí objemu koule o poloměru 1 (označme ji jako K) a toho, že objem je jedna osmina objemu celého původního elipsoidu, který označme např. jako F. Protože F L(K), máme: m 1 dv 1 1 dv 1 det L dv 8 8 abc 8 K F L(K) K 1 dv abc abc 6. Pro zjištění těžiště T (T 1, T, T 3 ) se nyní stačí omezit jen na jednu složku (např. T 3 ), protože ostatní lze analogicky získat příslušným natočením elipsoidu do daného směru a zopakováním výpočtu. Máme tedy T 3 1 z dv 1 (cr cos ϑ) (abc r sin ϑ) dv m m 3c Φ() r 3 sin ϑ dϕ dϑ dr 3c Podobně tedy budeme mít T a a T 3 8 b. r 3 dr sin ϑ dϑ 1 dϕ 3 8 c. Page 9