Laserová technika 1 Aktivní prostředí Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 16. prosince 2013
Program přednášek 1. Poloklasická teorie šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím 2. Šíření stacionární rovinné vlny v aktivním prostředí 3. Šíření optických impulsů v aktivním prostředí 4. Laser v aproximaci rychlostních rovnic 5. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser
Šíření impulzů prostředím poloklasicky Poloklasický popis interakce rezonančního záření s látkou popisuje záření klasicky pomocí MR a látku kvantově jako soubor totožných dvouhladinových kvantových soustav. Rezonanční prostředí je disperzní (rychlost šíření závisí na frekvenci) a nelineární (v závislosti na obsazení hladin se může záření absorbovat nebo zesilovat). V případě, kdy se zajímáme o popis obálky pomalu proměnného impulzu, jež se šíří látkou a jeho frekvence je v přesné rezonanci s kvantovými soustavami, stačí pro popis šíření 3 rovnice: E z = µ 0ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N 0 + 1 t T 1 EP 2 Charakter šíření určuje délka obálky impulzu T imp v porovnání s relaxačními časy T 1 a T 2 Pokud doba trvání impulzu splňuje podmínku T 2 T imp T 1, dostaneme soustavu dvou tzv. rychlostních rovnic.
Rychlostní rovnice pro laser s krátkým rezonátorem dn dt = W N τ 21 I I s di dt = σµcni I τ c N τ 21 Rovnice pro časový vývoj N a I odvozené v aproximaci rychlostních rovnic z poloklasické teorie interakce rezonančního záření s látkou Možné jsou i jiné zápisy (N může být nahrazeno ziskem g = σn, intenzita světla I může být nahrazena hustotu energie, hustou fotonů a pod.) Rovnice vyjadřují dynamiku interakce záření a prostředí v laserovém rezonátoru přenos energie mezi záření a prostředím zprostředkovaný absorpcí, spontánní a stimulovanou emisí Zanedbáváme prostorové rozložení N a I v rezonátoru Předpokládáme, že po dobu oběhu rezonátoru se hodnota N a I mění jen zanedbatelně Zanedbáváme spektrální a módovou strukturu laserového záření (aproximace rovinné vlny)
Rychlostní rovnice pro laser s krátkým rezonátorem dn dt = W N τ 21 I I s di dt = σµcni I τ c N hustota inverze populace hladin v aktivním prostředí I intenzita záření v rezonátoru I s saturační intenzita aktivního prostředí W čerpací rychlost (rychlost excitací horní laserové hladiny vlivem čerpání) σ účinný průřez pro stimulovanou emisi κ faktor redukce inverze populace hladin τ 21 doba života kvantové soustavy na horní laserové hladině τ c doba života fotonu v rezonátoru µ koeficient zaplnění rezonátoru aktivním prostředím c rychlost světla v aktivním prostředí ω úhlová frekvence laserového záření τ c = N τ 21 τ R ω, Is = L ln R κστ 21
Stacionární řešení rychlostních rovnic V rovnovážném stavu při konstantním buzení W bude di 0 dt 0 = σµcn 0 I 0 I 0 τ c dn 0 dt 0 = W N 0 τ 21 I 0 I s N 0 τ 21 Ustálené hodnoty intenzity a hustoty inverze populace hladin: N 0 = 1 W τ, I τ21 0 = 1 I s cσµc N 0 Aby byla ustálená hodnota intenzity I 0 > 0, musí čerpací rychlost přesahovat určité minimum práh: W 0 = N 0 1 = τ 21 τ 21 τ cσµc Potom: I 0 = W W 0 1 I s = (W W 0 ) Is W 0
Normalizace rychlostních rovnic V rychlostních rovnicích di dt = σµcni I τ c ; dn dt = W N τ 21 I I s Zavedeme nové bezrozměrné parametry a proměnné: N τ 21 N = N N 0 N = N 0 N I = I I 0 I = I 0 I W = W W 0 W = W 0 W T = t τ c t = τ ct Rychlostní rovnice mají s jejich použitím tvar: di dt = (N 1) I; dn dt = η W N (W 1) IN Řešení závisí jen na počátečních podmínkách (počáteční inverzi populace hladin a intenzitě záření), velikosti čerpání a jediném parametru η = τ c/τ 21
Přechodový jev v režimu volné generace Normované rychlostní rovnice (η = τ c/τ 21 ): di dt = (N 1) I; dn dt = η W N (W 1) IN Numerické řešení rychlostních rovnic pro W = 30, η = 2 10 3 I 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 2 I 8 6 4 N 1 2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 T 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 N Časový vývoj normované inverze populace hladin a intenzity laserového záření Laser po přechodovém ději relaxuje ke stacionárním hodnotám N = 1 N = N 0, I = 1 I = I 0
Rychlostní rovnice v režimu volné generace Příklad naměřené výstupní charakteristiky laseru pro kombinaci výstupní zrcadlo délka rezonátoru s maximální výstupní energii a příklad časové struktury generovaného záření.
Režim Q-spínání Q-spínání je metoda, která umožňuje dosáhnout generace vysoce výkonných impulsů laserového záření s délkou od jednotek do stovek nanosekund. Základní princip mechanismu generace gigantických Q-spínaných impulsů spočívá v jednorázovém uvolnění energie nahromaděné v aktivním prostředí laseru. Ztráty rezonátoru jsou na počátku čerpání uměle zvýšeny práh generace laseru zvýšen je zabráněno vzniku relaxačních oscilací a nedochází ke generaci laserového záření (I 0) Ztráty rezonátoru jsou ve vhodný okamžik prudce sníženy na běžnou hodnotu a sníží se práh generace. V tomto okamžiku je N > N 0 a tedy N > 1 a dochází k exponenciálnímu nárůstu intenzity laserového záření uvnitř rezonátoru gigantický impuls.
Metody Q-spínání mechanické
Metody Q-spínání elektronické a pasivní
Vybudování Q-spínaného impulsu 2.5 2 1.5 N 1 N i 0.5 0 0 0.4 T q T max N f 0.3 J 0.2 Timp 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 T
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser Normovaný tvar rychlostních rovnic di dt = (N 1) I; dn dt = η W N (W 1) IN Proces generace Q-spínaného impulsu probíhá během doby srovnatelné s dobou života fotonu v laserovém oscilátoru Během této doby dojde pouze k nepatrné změně inverze populace hladin v důsledku čerpání a fluorescence ve srovnání s vlivem způsobeným prudkým nárůstem intenzity a proto budou při analytickém řešení tyto změny zanedbány kde di dt dn dt = (N 1) I = ξin ξ = η (W 1) Zavedeme novotou funkci pro intenzitu ve tvaru J = ξi
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser... dostaneme rychlostní rovnice, jejich řešení je závislé pouze na počátečním stupni inverze: dj dn = (N 1) J, dt dt = J N Po vyloučení normovaného času T dostaneme: dj dn = N 1 N Separujeme proměnné a řešíme za předpokladu, že na počátku je inverze populace N i a hustota fotonů J = 0: J = ln N N + N i ln N i Z této rovnice lze určit špičkovou intenzitu J max, které je dosaženo v okamžiku, kdy N = 1 (dj /dt = 0), tj.: J max = N i ln N i 1 Po odnormování dostaneme pro maximální výstupní intenzitu (pro R 1): I max. = Jmax 1 R 2 kde E s = ω/κσ je saturační hustota energie (parametr aktivního prostředí) E s τ c
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser Využijeme vztah pro intenzitu J = ln N N + N i ln N i Určíme hodnotu inverze populace hladin N f, která se ustálí po vygenerování Q-spínaného impulsu, kdy J = 0. Tehdy: 0 = ln N f N f + N i ln N i... a tedy: 1 Nf = LambertW Ni exp N i 1 Funkce W (x) = LambertW(x) je definována jako řešení transcendentní rovnice W (x) exp [W (x)] = x.
Energie Q-spínaného impulzu Z Z Celková normovaná energie v impulsu: E = 0 J dt =... nebo-li (0 = ln N f N f + N i ln N i) 0 Z 1 dn Nf N dt dt = dn N i N Ni = ln N f Odnormování (pro R 1): E = N i N f E = 1 R SE s(n i N f ) 2 kde S je plocha svazku, E s je saturační hustota energie: E s = ω κσ Součin SE s udává maximální extrahovatelnou energii, která je tím vyšší, čím je menší účinný průřez pro stimulovanou emisi. Energie zjevně nezáleží na délce aktivního prostředí L ap. Je však nutné s daným σ a N i dosáhnout prahu generace (1 R exp[2σn il ap]).
Energie Q-spínaného impulzu a účinnost konverze energie E = N i N f, η = E N i = 1 N f N i Účinnost konverze energie uložené v aktivním prostředí v podobě inverze populace hladin do energie laserového impulzu roste s rostoucím N i
Doba trvání Q-spínaného impulsu Odhad doby trvání impulsu: Oddnormování: T imp = E N i N f = 1 pro Ni J max N i ln N i 1 T imp = τ ct imp Nejkratší impulz bude mít dobu trvání τ c. Délka impulzu v tomto přiblížení nezávisí na vlastnostech aktivního prostředí (kromě jeho vlivu na τ c), jen na parametrech rezonátoru a dosažitelné relativní inverzi populace hladin.
Doba vybudování Q-spínaného impulsu Dobu τ q vybudování gigantického impulsu ze šumu I 0 lze spočítat za předpokladu, že se inverze populace hladin N až do okamžiku, kdy je dosaženo I = 1, prakticky nemění. Potom: 2.5 T q = ln I 0 N i 1 2 1.5 N 1 N i 0.5 0 0 0.4 T q T max N f 0.3 J 0.2 Timp 0.1 0 0 5 10 15 T 20 25 30
Závěry plynoucí z analytického modelu generace Q-spínaného impulsu Pro zvýšení účinnosti Q-spínání (maximalizace E, minimalizace N f ) je třeba mít na počátku co nejvyšší hodnotu N i, tedy poměr N/N 0. Tato pak určuje všechny parametry generovaného impulzu. S rostoucí hodnotou N i se délka impulzu zkracuje, ale nelze generovat impulzy kratší než je doba života fotonu v rezonátoru. S ohledem na přijatou aproximaci však současně musí být T imp > τ R. V praxi je možné předpokládat (v případě, kdy čerpací rychlost není závislá na inverzi populace hladin), že N i je poměr čerpací energie (výkonu) použité při Q-spínání ku prahové energii (prahovém výkonu) laseru v režimu volné generace s otevřeným Q-spínačem. Pro nalezení tvaru impulzu je třeba řešit rychlostní rovnice numericky.
Q-spínání saturovatelným absorbérem Saturovatelný absorbér je dvouhladinové médium se širokým absorpčním spektrem, jehož absorpční koeficient β závisí na intenzitě dopadajícího záření obdobně jako zisk zesilujícího prostředí β 0 β(i) = 1 + I/IS a. Transmitance saturovatelného absorbéru tloušt ky L a je dána vztahem: T (I) = exp[ β(i)l a], T 0 T (0) = exp[ β 0 L a]. Rychlost změny transmitance absorbéru závisí na hodnotě saturační intenzity. Během krátké doby může dojít k úplné saturaci absorbéru, takže se prahová hodnota inverze populace hladin sníží tak, jako by absorbér v rezonátoru nebyl přítomen. Pokud zanedbáme přechodový jev spojený se změnou ztrát absorbéru, můžeme snadno odhadnout hodnotu N i: N i = 1 + 2 ln T 0 ln R. Lze odhadnout délku generovaného impulzu a účinnost extrakce energie V prvním přiblížení nebudou tyto parametry závislé na budící energii ani na použitém typu aktivního prostředí, ale pouze na hodnotě parametrů T 0 a R.
Spínání ziskem S pomocí intenzivního buzení je možné připravit na počátku laserové akce vysokou hodnotu N i za dobu kratší, než je doba nutná k vygenerování gigantického impulzu T q. Pokud bude buzení trvat po dobu několikanásobně delší, než je doba T q, bude na výstupu laseru generován sled impulzů podobný přechodovému jevu v režimu volné generace, s tím rozdílem, že intenzita generovaného záření bude podstatně vyšší, nebot se silně uplatňuje buzení mezi impulzy. Doba trvání prvního impulzu ve sledu je tím kratší, čím je rychlost buzení větší. Pokud vlastní budící impulz bude podstatně kratší než je doba T q, budou po jeho ukončení podmínky stejné jako po otevření Q-spínače a generace se bude řídit obdobnými zákony.
Shrnutí Rychlostní rovnice dn dt = W N τ 21 I I s di dt = σµcni I τ c Vázané nelineární rovnice obecné analytické řešení neexistuje Režim volné generace (volných oscilací) přechodový jev Generace krátkých impulzů Režim spínání činitele jakosti Q-spínání Režim spínání zisku Parametry gigantického impulzu určuje počáteční hodnota inverze populace hladin vzhledem k prahové hodnotě pro vznik volných oscilací S rostoucí počáteční inverzí populace hladin roste energie gigantického impulzu a zkracuje se jeho doba trvání S rostoucí hodnotou počáteční inverze se délka impulzu zkracuje, ale nelze generovat impulzy kratší než je doba života fotonu v rezonátoru. N τ 21
Závěr Z poloklasického popisu interakce rezonančního záření (popsáno klasicky) s prostředím (popsáno kvantově) vyplývají následující závěry: odezvu prostředí popisují dvě parciální diferenciální rovnice druhého řádu, jedna pro polarizaci prostředí, druhá pro inverzi populace hladin; prostředí je disperzní (susceptibilita závisí na frekvenci); prostředí je nelineární (susceptibilita je komplexní, odezva prostředí je funkcí intenzity záření); teorie popisuje jak absorpci, tak zesilování záření a jejich saturaci; při popisu šíření impulzů s pomalu proměnou obálkou rozhoduje o charakteru šíření vztah mezi charakteristickou dobou impulzu (např. FWHM, délka náběžné hrany) a dobou relaxace polarizace a inverze populace hladin; laser pracující v režimu volné generace, nebo v režimu Q-spínání je je možné dobře popsat pomocí tzv rychlostních rovnic, udávajících rychlost změny inverze populace aktivního prostředí a intenzity záření v rezonátoru. Poloklasický popis neumožňuje studovat statistické a kvantové vlastnosti záření (např. koherenci laserového záření)
Důležité pojmy a vztahy, kterým je třeba znát a rozumět jim Maxwellovy rovnice odezva prostředí a polarizace nelineární prostředí dvouhladinová aproximace reálné kvantové soustavy rezonance a Bohrův vztah relaxační doby polarizace a inverze populace hladin komplexní susceptibilita disperze exponenciální zesílení slabého signálu účinný průřez pro stimulovanou emisi (absorpci) spektrální závislost zesílení (absorpce) homogenní a nehomogenní rozšíření spektrální čáry saturace zesílení (absorpce) a saturační intenzita nekoherentní šíření zesilování stacionárního signálu s libovolnou intenzitou rychlostní rovnice pro popis laseru s krátkým rezonátorem čerpací rychlost, absorpce, spontánní emise a stimulovaná emise v rychlostních rovnicích doba života fotonu v rezonátoru a doba oběhu fotonu rezonátorem výstupní charakteristika kontinuálně pracujícího laseru (práh, strmost, prahová podmínka) popis přechodového jevu v režimu volné generace popis režimu Q-spínání (tvar impulzu, mezní délka impulzu) popis spínání ziskem koherentní šíření plocha impulzu Rabiova frekvence soliton a samoindukovná propustnost
Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 (http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/ulat/) VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Štol, I.: Elektřina a magnetismus, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 Přednášky: http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/lt1/