Měření poloměru Země ZEMĚPIS

ZEMĚPIS Měření poloměru Země Měřením zeměpisné šířky dvou míst na témže poledníku a vzdáleností těchto dvou míst se studenti seznámí s nepřímou metodou určení poloměru Země. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace autor: Mgr. Milan Schleider spoluautor: Mgr. Pavel Štryncl

ZEMĚPIS Obsah Obsah... 2 Úvod... 3 Cíle... 3 Teoretická příprava (teoretický úvod)... 4 Motivace studentů... 4 Doporučený postup řešení... 5 Pracovní návod... 6 Zadání úlohy... 6 Pomůcky... 6 Bezpečnost práce... 6 Teoretický úvod... 6 Příprava úlohy (praktická příprava)... 7 Postup práce... 7 Pracovní list (řešená učitelská varianta)... 8 Slovníček pojmů... 8 Teoretická příprava úlohy... 9 Vizualizace naměřených dat... 9 Vyhodnocení naměřených dat a výpočet... 10 Závěr... 11 Pracovní list (žákovská varianta)... 12 Slovníček pojmů... 12 Teoretická příprava úlohy... 13 Vizualizace naměřených dat... 13 Vyhodnocení naměřených dat a výpočet... 14 Závěr... 15

3 Zařazení do výuky Měření je vhodné zařadit v rámci učiva zeměpisu v kvintě ( Tvar a umístění země ve Vesmíru ), matematice ( Kružnice, definice radiánu ) a fyziky ve kvintě ( Struktura sluneční soustavy ) Časová náročnost Jedna vyučovací hodina (45 min). Minimální požadavky na pomůcky Xplorer, senzor GPS PS 2175, buzola Úvod Měřením zeměpisné šířky dvou míst na témže poledníku a vzdáleností těchto dvou míst se studenti seznámí s nepřímou metodou určení poloměru Země. Cíle Studenti s využitím senzoru polohy GPS zjistí: Severní zeměpisnou šířku dvou míst ϕa a ϕb na přibližně stejném poledníku a jejich vzdálenost s Vypočítají poloměr Země ze vztahu pro výpočet délky oblouku kružnice Vypočítají obvod Země ze zjištěného poloměru Země. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Materiály pro učitele

4 Slovníček pojmů GPS ZEMĚPISNÁ ŠÍŘKA ZEMĚPISNÁ DÉLKA RADIÁN POLEDNÍK ROVNOBĚŽKA POLOMĚR ZEMĚ Přehled pomůcek Xplorer GLX Senzor GPS PS 2175 flash karta Teoretická příprava (teoretický úvod) Motivace studentů Jak a kdy vůbec poprvé byla změřena Země? Jednoduchým, ale geniálním způsobem ji poprvé změřil muž, který žil v Egyptě ve třetím století před Kristem. Jmenoval se Eratosthenes. Tento řecký historik, geograf, filozof, divadelní kritik, matematik a astronom byl zároveň také vrchním správcem v rozsáhlé Alexandrijské knihovně. Když si jednoho dne pročítal papyrus, narazil na zajímavou zprávu. Daleko na jihu, četl, na asuánské pohraniční základně, se v nejdelší den roku děje něco pozoruhodného. Stíny chrámových sloupů se 21. června dopoledne zkracují. Čím více se blíží poledne, sluneční paprsky pronikají do hluboké studny, která jindy zůstává ve stínu. Načež v pravé poledne sloupy nevrhají žádný stín a Slunce svítí přímo na vodní hladinu ve studni. V tom okamžiku je Slunce přesně v nadhlavníku. Byl to úkaz, který by kdekdo ignoroval, ale Eratosthenes byl vědec a jeho pozorování těchto běžných věcí změnilo svět. Jelikož Eratosthenes byl hlava otevřená, zajímalo ho, jestli v Alexandrii budou 21. června v poledne sloupy vrhat stín. Ukázalo se, že ano. Eratosthenes si položil otázku, jak je možné, že sloupy ve stejnou chvíli v Asuánu nevrhají žádné stíny a zatímco 800 km severně v Alexandrii je vrhají. Slunce je od Země tak daleko, že paprsky dopadají na Zem rovnoběžně. Jediným možným vysvětlením bylo, že zemský povrch je zaoblený. A nejen to. Čím více je zaoblený, tím větší je rozdíl v délce stínů. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Materiály pro učitele Vzhledem k viditelnému rozdílu délek stínů, musela být Alexandrie od Asuánu vzdálena 7 po zemském povrchu. To je přibližně 1/50 celého zemského kruhu: 360. Eratosthenés znal vzdálenost mezi Alexandrií a Asuánem. Věděl, že to je 800 km, protože si najal člověka, aby mu to odkrokoval. Takže 800 km. 50 = 40 000 km, což tedy musí být obvod Země. Tolik měří cesta kolem Země. A je to správně. Eratosthenés k tomu potřeboval jen tyčky, oči, nohy, mozek a chuť k experimentu.

5 Tip1 Tento výpočet můžeme provést také tak, že údaje před samotným měřením získáme z map na internetu. Doporučený postup řešení 1. Před samotným měřením studenti obdrží pracovní návod k domácímu studiu a také pracovní listy. 2. Připravíme Xplorer a senzory pro měření a místo GPS popřípadě mapu. Příprava úlohy Před měřením zadáme studentům k vypracování přípravnou část z pracovního listu. Zjistíme domácí přípravu studentů, zda si vyplnili slovníček pojmů a zda rozumí podstatě dané úlohy. Před měřením si připravíme všechny potřebné pomůcky k měření a rozdělíme studenty do pracovních skupin. Materiály pro studenty Pracovní návod k nastudování laboratorního cvičení. Záznam dat Data lze zaznamenat Xplorerem. Uložená naměřená data mohou studenti zpracovat také v Datastudiu. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Materiály pro učitele Analýza dat Pomocí Xploreru zjistíme zeměpisnou šířku dvou míst na jednom poledníku. Dále rozdíl těchto dvou míst ve stupních a také vzdálenost těchto dvou míst. Syntéza a závěr Studenti shrnou své poznatky o tom, co a jak dělali a k jakým závěrům dospěli a své výsledky porovnají s tabulkovými hodnotami nebo hodnotami nalezenými na internetu. Hodnocení Změřili studenti správně zeměpisnou šířku dvou míst na stejném poledníku? Určili správně rozdíl těchto dvou zeměpisných šířek v radiánech? Určili správně vzdálenost těchto dvou míst v metrech? Vypočítali správně poloměr Země? Vypočítali správně obvod Země? Internetové odkazy a další rozšiřující informační zdroje letecký výškoměr http://cs.wikipedia.org/wiki/v%c3%bd%c5%a1ko m%c4%9br atmosférický tlak http://www.meteoshop.cz/atmosfericky-tlak-i-7. html Zdeněk Opava, Matematika kolem nás, Albatros, 1989 COSMOS, Carl Sagan, Pobřeží vesmírného oceánu, televizní seriál USA, 1980 GPS, http://cs.wikipedia.org/wiki/gps

ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní návod Zadání úlohy 1) Změř zeměpisnou šířku a vzdálenost dvou míst na jednom poledníku. 2) Vypočítej poloměr a obvod Země Pomůcky Xplorer GLX Senzor GPS Bezpečnost práce Dodržuj pracovní návod a pokyny vyučujícího. Při měření v terénu se pohybuješ po komunikacích. Dodržuj proto pravidla účastníka silničního provozu. Teoretický úvod Poloměr Země přímo změřit nemůžeme. Nezbývá, než poloměr Země vypočítat. Jak? Podívejme se na obrázek.

7 Známe-li zeměpisnou šířku dvou míst ϕa a ϕb ležících na témže poledníku, a jejich vzdálenost s po povrchu Země, pak poloměr Země vypočítáme ze vztahu pro výpočet délky oblouku kružnice: r = s Δϕ kde Δϕ = ϕa ϕb je velikost středového úhlu příslušného oblouku AB v obloukové míře. Tedy nikoliv ve stupních, ale v radiánech. Přičemž pro přepočet platí: 180 = π rad. Příprava úlohy (praktická příprava) Před měřením se seznam s teorií a vyplň teoretickou část pracovního listu. Postup práce 1. K Xploreru připojíme senzor GPS. 2. Určíme zeměpisný sever. 3. Změříme zeměpisnou šířku a vzdálenost dvou míst ležících na témže poledníku. 4. Vypočítáme poloměr Země a obvod Země 5. Výsledky porovnáme s tabulkovými údaji. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní návod Nastavení HW a SW 1) K Xploreru připojíme senzor GPS a založíme nový soubor. Žádné speciální nastavení není potřeba. Vlastní měření (záznam dat) 1. Vybereme si místo, kde budeme měřit. Např.: Vedle budovy gymnázia je ulice Březinová, která je orientována na zeměpisný sever. 2. K Xploreru máme připojený senzor GPS a založili jsme si nový soubor. 3. Zapneme Xplorer a odložíme jej na zem GPS senzorem k nebi. Počkáme, až senzor nalezne satelity. 4. Pokud svítí zelená kontrolka, znamená to, že senzor GPS funguje a můžeme udělat orientační měření a ujít se senzorem několik metrů. K lepší orientaci můžeme sever určit busolou. 5. Při měření nás zajímá zeměpisná šířka - Latitude ( ) a relativní zeměpisná šířka - Latitude Relative (m) 6. Zapneme tlačítko start a ujdeme několik desítek metrů ve směru na sever nebo jih. Tip2: K lepší orientaci v terénu můžeme použít busolu. Na Xploreru sledujeme grafy závislosti: a. Latitude vs.time b. Latitude Reletive vs. Time 7. Zmáčkneme tlačítko stop a data si uložíme. Uložení naměřených dat Protože máme soubor již založen, dostaneme se přes hlavní nabídku do DataFiles a zmáčkneme tlačítko F2 Save. Nyní data exportujeme na flash disk. Analýza naměřených dat Z naměřených dat určíme přímo v Xploreru středový úhel Δϕ dvou míst na témže poledníku a také vzdálenost těchto dvou míst.

ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (řešená učitelská varianta) Slovníček pojmů S využitím dostupných zdrojů vysvětli následující pojmy: GPS Global Positioning System, jeho pomocí je možné určit přesnou polohu a čas kdekoliv na Zemi nebo nad Zemí s přesností na desítky metrů a použitím dalších metod lze dosáhnout přesnost řádově na cm. Část tohoto systému, na který se ročně vynakládá až miliarda dolarů z rozpočtu USA je volně přístupná civilistům. ZEMĚPISNÁ ŠÍŘKA Zeměpisná souřadnice. Určuje hodnoty rovnoběžek. ZEMĚPISNÁ DÉLKA Zeměpisná souřadnice. Určuje hodnoty poledníků. RADIÁN Radián je jednotka rovinného úhlu. Radián dnes řadíme mezi odvozené jednotky SI soustavy a má značku rad. Přepočty: 180 π 1 rad = 57,296 57 15 45 1 = 0,01745 rad π 180 POLEDNÍKY Poledníky jsou myšlené čáry, které nejkratším způsobem po povrchu Země (globu) spojují oba póly. Na zeměkouli se nachází nekonečné množství poledníků. Jejich hodnoty udává zeměpisná délka. ROVNOBĚŽKY Rovnoběžky jsou myšlené čáry kolmé na poledníky. Existuje jich nekonečné množství. Pomyslně probíhají po povrchu Země rovnoběžně s rovníkem a mají tvar kružnice. Rovník představuje nejdelší rovnoběžku a jeho poloměr se rovná poloměru Země (rovníkový poloměr Země). Čím blíže leží rovnoběžky k pólům, tím menší jsou jejich poloměry. Hodnoty rovnoběžek se rovnají zeměpisné šířce.

9 ČASOVÁ PÁSMA Otáčení Země způsobuje, že je na jednotlivých polednících odlišný místní čas. Země byla rozdělena na 24 hodinových pásem širokých 15 zeměpisné délky. Základní (nultý) poledník, od kterého se počítá zeměpisná délka, prochází Královskou observatoří v Greenwich. Při cestě z východu na západ musíte posunout hodinky o hodinu dozadu po každých 15 zeměpisné délky. Sto osmdesátý poledník je mezinárodní datovou hranicí. Přecházíte-li ho z východu na západ, musíte k datu přidat jeden den. Díky tomu dorazíte k cíli o celý den později. Cestujete-li ze západu na východ, musíte po každých 15 zeměpisné délky posunout hodinky o hodinu dopředu. Po překročení mezinárodní datové hranice ze západu na východ musíte ubrat celý jeden den. POLOMĚR ZEMĚ Protože Země je zploštělá, nemá tvar koule. Je to rotační elipsoid. Vlastně je to tzv. geoid, protože jsou na povrchu Země hory atd. A protože je Země zploštělá, máme vlastně dva poloměry Země a) rovníkový poloměr Země r 1 = 6378,1 km b) polární poloměr Země r 2 = 6356,7 km Teoretická příprava úlohy Známe-li zeměpisnou šířku dvou míst ϕa a ϕb ležících na témže poledníku, a jejich vzdálenost s po povrchu Země, pak poloměr Země vypočítáme ze vztahu pro výpočet délky oblouku kružnice: s r = Δϕ kde Δϕ = ϕa ϕb je velikost středového úhlu příslušného oblouku AB v obloukové míře. Tedy nikoliv ve stupních, ale v radiánech. Přičemž pro přepočet platí: 180 = π rad. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (řešená učitelská varianta) Vizualizace naměřených dat 1) Xplorer GLX a) graf závislosti zeměpisné šířky na čase Latitude vs. Time b) graf závislosti relativní zeměpisné šířky na čase Latitude Relative vs. Time

10 c) graf závislosti zeměpisné šířky na relativní šířce Latitude vs. Relative 2) Datastudio a) graf závislosti zeměpisné šířky na čase Latitude vs. Time ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (řešená učitelská varianta) b) graf závislosti relativní zeměpisné šířky na čase Latitude Relative vs. Time c) graf závislosti zeměpisné šířky na relativní zeměpisné šířce Latitude vs. Latitude Relative Samozřejmě můžeme měřit i kontinuálně a na grafu si vybrat různé dva body ležící na tomtéž poledníku.

11 Vyhodnocení naměřených dat a výpočet 1) Získání dat pomocí nástrojů v Xploreru GLX a) graf závislosti zeměpisné šířky na čase Latitude vs. Time Zvolili jsme nástroj Delta Tool. Tím jsme přímo získali Δϕ = 7,4768 10-4 b) graf závislosti relativní zeměpisné šířky na čase Latitude Relative vs. Time ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (řešená učitelská varianta) Zde stačí najet kurzorem na poslední souřadnice v grafu, anebo opět použít Delta Tool. Velmi pohodlně tak získáme vzdálenost s = 82,7 m. c) Mnohem lepší varianta je zobrazit graf Latitude vs. Latitude Relative Takto můžeme hodnoty odečíst přímo z jednoho grafu.

12 2) Výpočet poloměru a obvodu Země a) výpočet poloměru Země (rovníkový poloměr) Δϕ = 7,4768 10-4 = 0,13051 10-4 rad s = 82,7 m r =? s 82,7 m r = = = 6335223 m 6335 km Δϕ 0,13054 10-4 Námi vypočítaný poloměr Země je 6335 km. b) výpočet obvodu Země (rovníkový poloměr) l = 2 π r = 2 π 6335 km 39 804 km Obvod Země je 39 804 km. 3) Přehled námi vypočítaných hodnot a tabulkových hodnot Veličina Námi vypočítané hodnoty Tabulkové hodnoty rovníkový poloměr Země 6335 km 6378,1 km délka zemského rovníku 39 804 km 40 075 km Závěr Měřením zeměpisné šířky dvou míst a vzdálenosti těchto míst na témže poledníku jsme vypočítali poloměr Země r = 6335 km. Tuto hodnotu poloměru jsme použili pro výpočet obvodu Země l = 39 804 km. Tabulková hodnota poloměru Země R = 6378,1 km (rovníkový poloměr) resp. rovníkového průměru d = 12 756,270 km. A délka zemského rovníku je přibližně 40 075 km. Naše odchylka není větší než 1%. Naše měření můžeme považovat za relativně přesné. ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (řešená učitelská varianta)

ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (žákovská varianta) Slovníček pojmů S využitím dostupných zdrojů vysvětli následující pojmy: GPS ZEMĚPISNÁ ŠÍŘKA ZEMĚPISNÁ DÉLKA RADIÁN 1 rad = 1 = POLEDNÍKY

14 ROVNOBĚŽKY ČASOVÁ PÁSMA POLOMĚR ZEMĚ ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (žákovská varianta) Teoretická příprava úlohy Známe-li zeměpisnou šířku dvou míst ϕa a ϕb ležících na témže poledníku, a jejich vzdálenost s po povrchu Země, pak poloměr Země vypočítáme ze vztahu pro výpočet délky oblouku kružnice: s r = Δϕ kde Δϕ = ϕa ϕb je velikost středového úhlu příslušného oblouku AB v obloukové míře. Tedy nikoliv ve stupních, ale v radiánech. Přičemž pro přepočet platí: 180 = π rad. Vizualizace naměřených dat Zpracování dat v Xploreru GLX nebo Datastudiu a) vlož graf závislosti zeměpisné šířky na čase Latitude vs. Time

15 b) vlož graf závislosti relativní zeměpisné šířky na čase Latitude Relative vs. Time Vyhodnocení naměřených dat a výpočet 1) Získání dat pomocí nástrojů v Xploreru GLX a) vlož graf závislosti zeměpisné šířky na čase Latitude vs. Time, kde jsi pomocí nástroje Delta Toll určil Δϕ ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (žákovská varianta) Δϕ = b) vlož graf závislosti relativní zeměpisné šířky na čase Latitude Relative vs. Time, kde pomocí nástroje Delta Tool jsi určil vzdálenost s Δϕ =

16 2) Výpočet poloměru a obvodu Země a) výpočet poloměru Země (rovníkový poloměr) Δϕ =... =...rad s =...m r =? s m r = = m km Δϕ rad Námi vypočítaný poloměr Země je... km. b) výpočet obvodu Země (rovníkový poloměr) l = 2 π r =...m Obvod Země je... km. 3) Přehled námi vypočítaných hodnot a tabulkových hodnot... km Veličina Námi vypočítané hodnoty (km) Tabulkové hodnoty (km) rovníkový poloměr Země délka zemského rovníku ZEMĚPIS Měření poloměru Země Pracovní list (žákovská varianta) Závěr