Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Transkript

1 Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1 a 6. Mezi kvadratické útvary patří kružnice, elipsa, hyperbola a parabola. Tyto křivky se nazývají kuželosečky. Současně se budeme zabývat vzájemnou polohou přímek a kuželoseček. Kuželosečky - to jsou plochy, které vzniknou řezem roviny na kuželovou plochu. Kružnice řez je veden rovnoběžně se základnou Elipsa řez je veden tak, aby neprocházel společným vrcholem kuželové plochy a neprocházel rovinou spodního řezu Parabola řez je veden tak, aby neprocházel společným vrcholem a procházel rovinou spodního řezu Hyperbola řez je veden tak, aby procházel oběma částmi kuželové plochy Na základě známé definice z geometrie, která říká: Kružnice je množina bodů, která má od daného bodu stejnou vzdálenost, jsme schopni odvodit algebraické vyjádření kružnice. Položíme li střed kružnice do počátku soustavy, pak S [0; 0] a obecný bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y ]. Vzdálenost těchto dvou bodů je rovna poloměru kružnice. Platí: SX = r ( x x + y = r středová rovnice kružnice se středem S [0; 0] a poloměrem r 0 Pokud je bod X vně kružnice, nutně musí platit, že x + y r Pokud je bod X uvnitř kružnice, pak platí: x + y r 0) Př. 300 Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; ]. Vyjdeme ze středové rovnice kružnice: x + y = r Dosadíme souřadnice bodu A a určíme druhou mocninu poloměru kružnice: r = 9 + r =13. Rovnice kružnice má vyjádření: x + y = 13 ( y Př. 301 Rozhodněte, zda body A[; 3], B[1; 1] a C[; 0] leží na kružnici x + y =. Pokud ne, pak určete vzájemnou polohu kružnice a bodu. A: leží vně kružnice B: leží uvnitř kružnice C: = leží na kružnici Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. 0) r

2 SX = r dle Pythagorovy věty platí: (x m) + (y + n) = r provedeme li naznačené matematické úkony dostaneme: x mx + m + y ny + n = r upravíme a dostaneme: x + y mx ny + m + n r = 0 zavedeme substituci: -m = a ; -n = b; m + n r = c a upravíme: x + y + ax + by + c = 0 obecná rovnice kružnice x + y + ax + by + c = 0 je rovnicí kružnice právě tehdy, jestliže m + n r to rovnice kružnice se středem [m; n] a poloměrem R = m n r. 0. V tom případě, je Př. 30 Napište rovnici kružnice se středem S [ ; -1] a poloměrem 3. Zjistěte, zda bod A [ ; 0] na ní leží. 1) Do středové rovnice kružnice dosadíme souřadnice středu kružnice : (x - ) + (y + 1) = 3 ) Tuto rovnici převedeme na obecnou rovnici kružnice: x + y - x + y = 3 k: x + y - x + y = 0 3) Dosadíme do této rovnice souřadnice bodu A: A k: 8 8 = 0 Bod A leží na kružnici uvedené rovnice. Př. 303 Pro které hodnoty c je rovnice x + y + 3x y + c = 0 rovnicí kružnice? Rovnici upravíme: x + 3x + y y + c = 0 výraz x + 3x doplníme na čtverec tak, aby platilo: (a + b) = a + ab + b x + 3x + 9 (doplnili jsme 9, protože ab = 3x, kde a = x, tedy xb = 3x b = 3, b = 3 a potom b = 9 ) y y doplníme na čtverec tak, aby platilo: (a b) = a ab + b y y + 1 (doplnili jsme 1, řešení obdobné tomu výše) dostaneme: (x + 3 ) + (y - 1 ) + c = 9 1 V této rovnici jsme na jedné straně přidali Upravíme rovnici: 3 (x + ) 1 + (y - ) 5 = c 9 1, proto totéž musíme přidat na druhou stranu.

3 Aby rovnice byla rovnicí kružnice, musí platit: 5 c 0 a tudíž c V tomto případě je S ; a poloměrem R = 5 c.) Př.30 V rovině jsou dány body A [; -1] a B[-; 3]. Určete množinu všech bodů X, pro které jsou přímky AX a BX navzájem kolmé. Jinými slovy, máme určit množinu všech bodů, ze kterých je vidět úsečka AB pod pravým úhlem. Jsou li přímky AX, BX na sebe kolmé, jsou na sebe kolmé i jejich vektory. Potom zde platí skalární součin AX BX = 0 (x ; y + 1) (x + ; y -3) = 0 x + y y 3 = 0 x + y y 7 = 0, což je rovnice se středem S[0; 1] a poloměrem r =. (Jedná se zde o Thaletovu kružnici). Jiným způsobem lze řešit tak, že využijeme znalostí Pythagorovy věty a vypočteme na základě vzdáleností dvou bodů. Platí: (x ) + (y + 1) + (x + ) + (y 3) = x + y y 1 = 0 x + y y 7 = 0 AX BX = Př. 305 Určete množinu všech bodů roviny, které mají od bodu A[1; -] třikrát větší vzdálenost než od bodu B[-3; 6]. Platí: XA 3 XB Jde o vzdálenosti dvou bodů jednak X a A a X a B Můžeme si tento výraz umocnit a dostaneme XA 9 XB Určíme druhou mocninu vzdáleností dvou bodů: (x 1) + (y + ) = 9[(x + 3) + (y 6) ] Upravíme rovnici a dostaneme rovnici, která bude rovnicí některé z kuželoseček x + y x + y + 5 = 9x + 9y + 5x 108y = 8x + 8y + 56x 11y = x + y + 7x 1y + 50 vychází zde pravděpodobně obecná rovnice kružnice 7 (x + ) + (y 7) 9 = (x + ) + (y 7) 5 = 7 3 Jsou to body kružnice se středem [- ; 7] a poloměrem 5, které mají uvedenou vlastnost. Př. 306 Napište rovnici kružnice, která prochází body A[; 1]; B[3 0], C [0; 5]. Určete střed a poloměr této kružnice. Budeme řešit z rovnice v obecném tvaru: x + y + ax + by + c = 0 Nejprve si zjistíme, zda uvedené tři body neleží na jedné přímce. AB = (1; -1); AC = (-; ) AB k. AC, tedy body neleží na jedné přímce. Dosadíme souřadnice jednotlivých bodů: A: a + b + c = 0 (1) AB

4 B: 9 + 3a + c = 0 () C: 5 + 5b + c = 0 (3) 1: + a - b = 0 3 :16 3a+ 5b = 0 8+ b = 0-1 = b c = -5 5.(1) = 5 a = = - 18 Rovnice obecná pro kružnici má tvar: x + y 18x 1y + 5 = 0. Střed S [9; 7] a poloměr 85. Vzájemná poloha kružnice a přímky Vzájemná poloha přímky a kružnice sečna společné dva body tečna - 1 společný bod vnější přímka nulový společný bod Hledáme řešení soustavy dvou rovnic, z nichž jedna vyjadřuje obecnou (středovou) rovnici kružnice a druhá představuje rovnici přímky v obecném, směrnicovém případně v parametrickém vyjádření. Př. 307 ( Sb.II 6.66a) Určete vzájemnou polohu kružnice k: x + y 5x 6y + 6 = 0 a osy x. V případě, že se jedná o sečnu, určete velikost tětivy, kterou tato kružnice vytíná. k: x + y 5x 6y + 6 = 0 osa x: y = 0 dosadíme do k: y = 0 a dostaneme: x 5x + 6 = 0. Řešením jsou souřadnice dvou bodů: [; 0] a [3; 0]. Tedy jedná se o sečnu. Velikost tětivy: 3 = 1 Př. 308 (6.96a) Určete rovnici tečny v daném bodě kružnice: x +y = 10, T [1; y T 0] Tečna protíná kružnici v 1 bodě. Hledáme obecné vyjádření rovnice přímky t: ax + by + c = 0 1) y T : 1 + y = 10 vyjádříme y = 3. Dle zadání úlohy bereme T [1; 3]. ) S[0; 0], vektor směřující z bodu S do bodu T (1; 3), což je normálový vektor přímky tečny. 3) Rovnice tečny bude: x + 3y + c = 0 ) Dosadíme souřadnice bodu T do tečny: Dostaneme: c = ) Rovnice tečny je : x + 3y 10 = 0 Př. 309 (6.70a) Napište rovnici tečny ke kružnici, která je rovnoběžná s danou přímkou. k: (x + ) + (y - 1) = 5; p: x y + 1 = 0 tečna je rovnoběžná s přímkou p, proto má tvar rovnice: x y + c = 0. Musíme najít c : 1) dosadíme do rovnice kružnice výraz y = x + c; (x + ) +(x + c 1) 5 = 0 ) dostaneme: x + x + + x + c xc x c 5 = 0 5x + xc + c c = 0 3) tečna s kružnicí má jeden společný bod tj. D = 0 16c 0c + 0c = 0 c 10c = 0 a z toho c = 0 nebo c = 10 tečna je dána : x y = 0 nebo x y + 10 = 0 Př. 310 (6.71) Určete hodnotu parametru a tak, aby rovnice ax + y 5 = 0 byla rovnici tečny ke kružnici x + y = 5

5 5 ax Upravíme rovnici tečny: y = 5 ax y = ( ) 1) dosadíme rovnici přímky do rovnice kružnice: x 5 ax + ( ) = 5 /16 16x ax + a x = 00 x (16 + a ) 50ax + 5 = 0 ) Diskriminant je roven nule: 500a 900 (16 + a ) = 0 5a 1 9a = 0 16a = 1 a = 3 dostáváme rovnice tečny: t 1 : 3x + y 5 = 0 t : -3x + y 5 = 0 upravíme: 3x y + 5 = 0