letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
|
|
- Libuše Slavíková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha
2 Opakování populace a výběr z populace náhodný výběr nezávislé náhodné veličiny X 1,...,X n se stejným m výběrový průměr X n a jeho vlastnosti střední hodnota rozptyl chování pro n, asymptotické
3 Pravděpodobnost vs. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými veličinami, jejichž je známo odvozovali jsme y těchto atd. Statistika pracuje s pozorováními (daty) náhodný výběr z nějakého neznámého na základě dat se snažíme něco říci o, z něhož pocházejí (např. o střední hodnotě apod.) někdy pozorujeme více náhodných veličin (více náhodných výběrů) a chceme něco usoudit o jejich vzájemném vztahu
4 Statististický přístup k řešení problémů 1 co nejpřesnější stanovení problému, otázky apod. 2 plán experimentu 3 sběr pozorování datový soubor 4 výběr vhodného pravděpodobnostního modelu popisujícího pozorovaných dat 5 formulace řešeného problému v řeči matematiky (matematické ) 6 analýza dat pomocí statistické 7 správná interpretace řešení odpověd na původní otázku
5 Data pozorování (měření), která provádíme kvůli zodpovězení položené otázky upravujeme do formátu datové tabulky a uchováváme v elektronické podobě jako počítačový soubor pozorování týkající se nezávislých subjektů náhodného výběru (osob, experimentů,...) většinou v řádcích, jednotlivé měřené veličiny ve sloupcích k zaznamenávání dat a manipulacím s nimi se používají různé druhy počítačového softwaru (databázové systémy, Excel, R, SAS,...) statistická analýza pomocí statistických softwarů (R, SAS,...)
6 Příklad datového souboru Tabulka: Část datové tabulky představující náhodný výběr z populace studentů 1. ročníku id pohl vys vaha n.sour v.o v.m bydl Vysočina Jižní Morava Karlovy Vary Praha (celkem 269 pozorování v letech )
7 Příklady problémů k řešení Jaká je typická hmotnost studentů? Jaké procento studentů je z Prahy? Jaké je věku studentů na přednášce? Jsou otcové dětí starší než matky? Pokud ano, o kolik? Závisí výška na pohlaví? Pokud ano, tak jak? Závisí velikost bot na výšce? Dva typy problémů: odhady neznámých kvantit odhady parametrů rozhodování o platnosti nějakého výroku testování hypotéz
8 Příklad datového souboru Studie zkoumající účinky nového léku pro snižování krevního tlaku: id lék tlak pred tlak po pohl. váha... kuřák T M ano 104 C M ano 105 T Z ne 106 C M ano Je nový lék (T) účinnější než standardní lék (C)? O kolik? Liší se účinnost pro muže a ženy? Jak?
9 Teorie odhadu máme data x 1,...,x n (např. hodnoty výšky studentů) považujeme je za realizaci náhodného výběru X 1,...,X n z nějakého neznámého chceme něco usuzovat o ách tohoto (střední hodnota, rozptyl, hustota...) budeme konstruovat jejich odhady odhadů je mnoho, chceme vybrat ty dobré
10 Teorie odhadu máme data x 1,...,x n (např. hodnoty výšky studentů) považujeme je za realizaci náhodného výběru X 1,...,X n z nějakého neznámého chceme něco usuzovat o ách tohoto (střední hodnota, rozptyl, hustota...) budeme konstruovat jejich odhady odhadů je mnoho, chceme vybrat ty dobré Jak by měl vypadat dobrý odhad? Neměl by mít žádnou systematickou výchylku (v průměru by měl odhadovat to, co chceme odhadovat). S přibývajícím počtem pozorování by měl být přesnější a přesnější.
11 Teorie odhadu příklad Příklad Chceme odhadnout typickou výšku (tj. střední hodnotu) studentů 1. ročníku na základě měření provedeného na n náhodně vybraných studentech. Měření odpovídají nezávislým náhodným veličinám X 1,...,X n z nějakého neznámého, jehož střední hodnota EX = µ X nás zajímá. Už víme, že: X n má střední hodnotu µ X X n µ X pro n X n tedy v průměru dosahuje hodnoty µ X, kterou chceme odhadnout, a se zvyšujícím se počtem pozorování se k této hodně bĺıží X je dobrý odhad střední hodnoty
12 Formální definice Definice Odhadem neznámé y θ rozumíme jakoukoli funkci θ n pozorování X 1,...,X n. 1 Odhad θ n nazýváme nestranný (nevychýlený), pokud E θ n = θ. 2 Odhad θ n nazýváme konzistentní, pokud lim n θn = θ. Závěr: Rozumné odhady by měly být konzistentní a pokud možno nestranné (ale malá výchylka nevadí). Poznámka: Odhad je z principu náhodná veličina proto lze uvažovat jeho, střední hodnotu atd.
13 Co všechno budeme odhadovat? Problém: Máme náhodný výběr X 1,...,X n z nějakého neznámého. Potom nás můžou zajímat odhady následujících : střední hodnota rozptyl kvantily (včetně mediánu) distribuční funkce hustota pro spojité pravděpodobnosti P(X = x j ) pro diskrétní...
14 Odhad střední hodnoty Situace: X 1,...,X n náhodný výběr, chceme odhadnout EX Odhad: výběrový průměr X n = 1 n n X i, i=1 už víme, že tento odhad má dobré vlastnosti. Charakteristika střední hodnota EX = x i P(X = x i ) nebo EX = x f(x)dx platí E(a+bX) = a+bex platí E(X +Y) = EX +EY Odhad výběrový průměr X n = 1 n n 1 X i platí totéž platí totéž
15 Příklad Příklad Odhadněte střední hodnotu výšky studentů 1. ročníku PřF. Řešení: Máme zaznamenaných 266 hodnot (3 chybějící hodnoty) náhodný výběr z populace studentů 1. ročníku PřF X = 1 ( ) = cm. 266 Podobně bychom mohli spočítat odhad střední hodnoty veličin váha, BMI index, věk otce, věk matky, rozdíl věku rodičů, velikost bot, počet sourozenců,... Má smysl počítat střední hodnotu veličiny udávající pohlaví a měsíc narození?
16 Odhad pravděpodobnosti Situace: Máme náhodný výběr X 1,...,X n z diskrétního, chceme odhad pravděpodobností p j = P[X i = j] Odhad: relativní četnost hodnoty j p j = #[X i = j] n je počet pozorování, která nabyla hodnoty j, dělený celkovým počtem pozorování n. Poznámka: popis tzv. kategoriálních znaků (pohlaví, bydliště...) analogicky lze odhadovat pravděpodobnosti typu P(X i < 80) pro spojitá X i
17 Odhad pravděpodobnosti Příklad Odhadněte pravděpodobnost, s jakou se vybraný(á) student(ka) 1. ročníku PřF narodil(a) v daném měsíci. zaznamenán měsíc narození pro 269 studentů 23 se narodilo v lednu odhadnutá pravděpodobnost narození studenta v lednu je tedy 23/269 = Kompletní tabulka pro všechny měsíce: Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec
18 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky Situace: X 1,...,X n náhodný výběr, chceme odhadnout rozptyl varx = E(X EX) 2 a směrodatnou odchylku σ X = varx : výběrový rozptyl S 2 n = 1 n 1 n (X i X n ) 2 i=1 a výběrová směrodatná odchylka S n = 1 n (X i X n ) n 1 2. i=1 Dá se ukázat, že tyto odhady mají dobré vlastnosti
19 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky Charakteristika rozptyl varx = E(X EX) 2 platí varx = EX 2 (EX) 2 var(a+bx) = b 2 varx varx 0 a varx = 0 právě tehdy, když X konstanta Odhad výběrový rozptyl Sn 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X n ) 2 platí Sn 2 = n ( 1 n 1 n platí totéž n i=1 ) Xi 2 X 2 n S 2 n 0 a S 2 n = 0 právě tehdy, když jsou všechna X i stejná
20 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky S 2 n je nestranný a konzistentní odhad σ2 X jiný možný odhad rozptylu je 1 n n (X i X n ) 2. i=1 Tento odhad je konzistentní, ale není nestranný. S n je konzistentní odhad σ X, ale není nestranný
21 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky Příklad Odhadněte rozptyl a směrodatnou odchylku výšky studentů 1. ročníku PřF zvlášt pro muže a pro ženy. Ve výběru máme 159 hodnot výšek žen (označíme je X 1,...,X n, kde n = 159) a 110 hodnot výšek mužů (označíme je Y 1,...,Y m, kde m = 110). Výpočet výběrových rozptylů a směrodatných odchylek dá Skupina Výb. rozptyl Výb. směr. odchylka Ženy cm cm Muži cm cm
22 Odhad distribuční funkce Problém: X 1,...,X n náhodný výběr, chceme odhadnout distribuční funkci F(x) = P(X x) Odhad: empirická distribuční funkce definovaná jako F n (x) = #[i : X i x] n lze ukázat, že má dobré vlastnosti hodnota funkce F n v bodě x je odhadem pravděpodobnosti P[X i x] pomocí relativní četnosti jevu [X i x] F n má stejné vlastnosti jako distribuční fce diskrétní veličiny
23 Odhad distribuční funkce Vlastnosti empirické distribuční funkce po částech konstantní skoky v pozorovaných hodnotách veličin X 1,...,X n velikost skoku v daném bodě x je rovna počtu veličin nabývající hodnoty x dělenému n Příklad: F n náhodného výběru 2,5,1,2,6,4,5, F^n(x) x
24 Odhad distribuční funkce Empirická distribuční funkce váhy studentů 1. ročníku PřF (muži a ženy zvlášt ). EDF zeny muzi Hmotnost
25 Odhad hustoty Problém: X 1,...,X n náhodný výběr ze spojitého, chceme odhadnout hustotu f odhad hustoty je relativně složitý problém spokojíme se s jednoduchou grafickou metodou histogram dává vizuální představu o hustotě Histogram of vyska Odhad hustoty Vyska [cm]
26 Konstrukce histogramu vezmeme interval A = (a, b, který pokrývá celé rozmezí dat rozděĺıme jej na K navazujících stejně velkých podintervalů A k, k = 1,...,K, všechny délky h = b a K označíme N k počet pozorování, které padly do A k potom N k nh je dobrý odhad hustoty na intervalu A k Histogram grafické znázornění N k nh na intervalech A k někdy se zobrazují relativní četnosti N k anebo jen četnosti n N k stejný tvar, ale liší se škála na ose y
27 Histogram příklad Histogram výšky studentů s proloženou hustotou normálního Histogram of vyska Odhad hustoty Vyska [cm]
28 Různé druhy histogramů Histogram of vyska Histogram of vyska Odhad hustoty Pocty Vyska [cm] Vyska [cm]
29 Histogram tvar histogramu závisí na volbě K, tj. počtu uvažovaných intervalů Vyska [cm] Vyska [cm]
30 Odhad kvantilu Problém: X 1,...,X n náhodný výběr, chceme odhadnout hodnotu kvantilu q X (α). Speciálně, budeme chtít odhad mediánu m X q X (0.5). Připomenutí: na kvantil se můžeme dívat jako na hodnotu, kterou X i ve 100α % případů nedosáhne a ve 100(1 α) % případů ji přesáhne spec. pro spojitou veličinu P(X < q X (α)) = α a P(X > q X (α)) = 1 α odhady sestrojíme pomocí tzv. uspořádaného výběru
31 Uspořádaný náhodný výběr Definice Uspořádaným náhodným výběrem rozumíme seznam hodnot původního náhodného výběru uspořádaný vzestupně podle velikosti. Uspořádaný výběr značíme indexem v závorce X (1),X (2),...,X (n 1),X (n). Musí tedy platit X (1) X (2) X (n 1) X (n). X (1) je tedy nejmenší pozorování (minimum) z celého náhodného výběru a X (n) je největší pozorování (maximum).
32 Odhad mediánu náhodný výběr X 1,...,X n uspořádaný náhodný výběr medián by měl odpovídat prostřední hodnotě pro n liché máme X (1)... X ( n 1 2 }{{} ) X ( n+1 2 ) X ( n+3 2 ) X (n) }{{} n 1 n pak za odhad mediánu vezmeme X ( n+1 2 ) pro n sudé máme X (1)...X ( n 2 ) }{{} n 2 X ( n 2 +1) X (n) }{{} n 2 a žádná naměřená hodnota prostřední není za odhad mediánu vezmeme průměr X ( n 2 ) a X ( n 2 +1)
33 Odhad kvantilu použijeme analogické úvahy označíme n α = (n+1)α je-li n α celé číslo, pak odhadu q n (α) odpovídá X (nα) Odhad: Kvantil q n (α) odhadneme pomocí α-tého výběrového kvantilu q n (α) = { X (nα), je-li n α celé číslo, (1 n α +[n α ])X ([nα]) +(n α [n α ])X ([nα]+1), jinak, kde [x] je celá část čísla x. pro α = 0.5 dostaneme tzv. výběrový medián, již diskutovaný q n (α) je dobrý (konzistentní ale ne nestranný) odhad q n (α)
34 Odhad kvantilu Jak chápat výraz v definici výběrového kvantilu? Příklad: q n (α) = (1 n α +[n α ])X ([nα]) +(n α [n α ])X ([nα]+1) uvažujme n = 33 počet pozorování a α = 0.2, tj. chceme 20% kvantil logicky bychom měli bychom vzít (n+1)α = 6.8-té pozorování z uspořádaného výběru to nelze místo toho vezmeme = 0.2 z šestého a = 0.8 ze sedmého pozorování
35 Odhad kvantilu příklad Příklad Odhadněte medián věku otce a matky studentů 1. ročníku PřF v době narození studenta. známe současný věk rodičů, rok narození studenta a rok záznamu dat spočítáme věk rodičů při narození dítěte 258 pozorování věku otce, 262 pozorování věku matky otcové: výběrový medián ze 258 pozorování = průměr pozorování č. 129 a 130 v uspořádaném náhodném výběru (dvě prostřední pozorování) pro matky podobně dostaneme 27 let pro věk otce a 26 let pro věk matky polovina otců byla při narození dítěte nejvýše 27 let stará a polovina matek nejvýše 26 let stará
36 Odhad kvantilu příklad (pokrač.) Spočítáme ještě další výběrové kvantily věku rodičů při narození dítěte: kvantil 5% 10% 25% 75% 90% 95% otcové matky
37 Odhad kovariance a korelace Problém: náhodný výběr ( X 1 ) ( Y 1,..., Xn ) Y n z dvourozměrného, chceme odhadnout kovarianci a korelaci znaků X a Y Připomenutí kovariance cov(x,y) = E[(X EX)(Y EY)] měří závislost X a Y korelace ρ XY = cov(x,y) varx vary je normalizovaná verze, 1 ρ XY 1 jsou-li X,Y nezávislé cov(x,y) = 0 = ρ XY
38 Výběrová kovariance Kovariance: cov(x,y) = E[(X EX)(Y EY)] Odhad: výběrová kovariance S XY = 1 n 1 n (X i X)(Y i Y) i=1 X je výběrový průměr X 1,...,X n Y je výběrový průměr Y 1,...,Y n S XY má stejnou struktura jako teoretická kovariance, jen střední hodnoty nahrazeny průměry a místo E průměrujeme S XY je dobrý odhad cov(x,y)
39 Odhad korelace Korelace: ρ XY = cov(x,y) varx vary Odhad: výběrový korelační koeficient r XY = S XY S X S Y = n i=1 (X i X)(Y i Y) n i=1 (X i X) 2. n i=1 (Y i Y) 2 S 2 X je výběrový rozptyl X 1,...,X n S 2 Y je výběrový rozptyl Y 1,...,Y n r XY je podílem výběrové kovariance a součinu výběrových směrodatných odchylek r XY je dobrý (konzistentní ale ne nestranný) odhad ρ XY
40 Odhad kovariance a korelace Charakteristika kovariance covx = E[(X EX)(Y EY)] platí cov(x,y) = EXY EXEY korelace ρ XY ρ XY = cov(x,y) varxvary 1 ρ XY 1 znaménko udává směr závislosti Odhad výběrová kovariance S XY = 1 n n 1 i=1 (X i X)(Y i Y) platí S XY = n i=1 X iy i X Y ) n 1 n 1( n výběrová korelace r XY r XY = S XY S X S Y 1 r XY 1 znaménko naznačuje směr závislosti
41 Odhad kovariance a korelace příklad Příklad Odhadněte korelační koeficient mezi výškou a váhou studentů 1. ročníku PřF. zaznamenáno 266 hodnot dvojice výška/váha (3 chybějící pozorování) náhodný výběr z populace studentů 1. ročníku PřF výška X 1,...,X n, váha Y 1,...,Y n, n = 266 nutné spočíst X, Y, S 2 X, S2 Y, S XY a dosadit do vzorečku (nebo použít statistický software) vyjde r XY = 0.72
42 Odhad kovariance a korelace: příklad Graf váhy proti výšce (r XY = 0.72): Vyska Vaha hodnota r XY koresponduje s obrázkem zdá se, že větší výška se pojí s vyšší hmotností
43 nic nenaznačuje, že by výška nějak souvisela s věkem otce při narození dítěte Odhad kovariance a korelace příklad Graf výšky proti věku otce při narození dítěte (r XY = 0.04): Vyska Vek otce pri narozeni ditete
44 shrnutí Teorie náhodný výběr střední hodnota E X rozptyl var X medián, kvantily q X (α) distribuční funkce F hustota f korelace ρ XY data realizace náh.výběru výběrový průměr X n výběrový rozptyl S 2 X výběrový medián, kvantily q X (α) empirická distribuční fce F n histogram výběrová korelace r XY
45 Grafická prezentace dat grafické pro zkoumání veličin a vztahů mezi nimi dává nám vizuální představu o analyzovaných datech kvantitativní znaky již známe histogram a empirickou distribuční funkci krabicový graf bodový graf kategoriální znaky sloupcový diagram výsečový (koláčový) diagram Vyska zeny muzi Vek otce pri narozeni ditete Odhad hustoty Histogram of vyska zena muz jaro leto podzim zima Cetnosti nadvaha podvaha normalni nadvaha podvaha Vyska [cm]
46 Krabicový diagram (angl. boxplot) simultánně zobrazuje několik vybraných nemá závaznou definici konkrétní podoba se liší podle použitého softwaru a zadaných parametrů obvykle zakreslen výběrový medián a kvartily (ale lze i průměr a směr. odchylka) vek otcu pri narozeni ditete svisle položená krabice horní a dolní okraj určují výběrové kvartily uprostřed čára určující výběrový medián vousy (angl. whiskers) ukazují rozmezí dat od kvartilu k minimu/maximu (není-li odlehlé) odlehlé pozorování je dál než 3/2 (Q 3 Q 1 ) od bližšího kvartilu
47 Krabicový diagram Obrázek: Krabicový diagram výšky studentů podle pohlaví a podle ročního období při narození zena muz jaro leto podzim zima
48 Bodový diagram (angl. scatterplot) slouží k zobrazení dvou spojitých náhodných veličin dvojice pozorování obou zkoumaných veličin zakreslené do kartézské soustavy souřadnic vhodný k neformálnímu zkoumání závislosti mezi náhodnými veličinami Příklad: Bodový diagram výšky studentů proti věku otce s rozlišením pohlaví Vyska zeny muzi Vek otce pri narozeni ditete
49 Obdélníkový a výsečový diagram angl. barplot a pie chart zobrazují četnosti, relativní četnosti nebo procenta pro hodnoty diskrétních (kategoriálních) veličin Příklad: obdélníkový a výsečový diagram veličiny udávající, zda má daný student nadváhu, podváhu nebo normální váhu Cetnosti normalni nadvaha podvaha nadvaha podvaha
Statistika. Program R. popisná (deskriptivní) statistika popis konkrétních dat. induktivní (konfirmatorní) statistika. popisná statistika
Statistika Cvičení z matematické statistiky na PřF Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy léto 2012 Základní dělení popisná (deskriptivní)
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VícePříklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu
Pravděpodobnost vs. statistika Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými veličinami, jejichž rozdělení je známo Statistika odvozovali jsme charakteristiky těchto rozdělení
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky V této kapitole se seznámíme se základy popisné statistiky, představíme si základní pojmy a budeme si je ilustrovat na praktických příkladech. Kapitola je psána formou volného
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceStatistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická
VíceZpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK
ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceMatematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Vícemezi studenty. Dále bychom rádi posoudili, zda dobrý výsledek v prvním testu bývá doprovázen dobrým výsledkem i v druhém testu.
Popisná statistika Slovní popis problému Naším cílem v této úloze bude stručně a přehledně charakterizovat rozsáhlý soubor dat - v našem případě počty bodů z prvního a druhého zápočtového testu z matematiky.
VíceMe neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33
1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceZáklady pravděpodobnosti a statistiky. Popisná statistika
Základy pravděpodobnosti a statistiky Popisná statistika Josef Tvrdík Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace v úterý 14.10 až 15.40 hod. Příklad ze života Cimrman, Smoljak/Svěrák,
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceZáklady popisné statistiky. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
Základy popisné statistiky Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi, výhodami, nevýhodami a vlastní sadou využitelných statistických metod -od binárních
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceVýrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy
Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream
VíceInformační technologie a statistika 1
Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
Více23. Matematická statistika
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceMnohorozměrná statistická data
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistický znak, statistický soubor Jednotlivé objekty nebo subjekty, které jsou při statistickém
VíceAnalýza dat na PC I.
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceSTATISTIKA VĚDA O USUZOVÁNÍ NA ZÁKLADĚ DAT. Patrícia Martinková Ústav informatiky AV ČR
STATISTIKA VĚDA O USUZOVÁNÍ NA ZÁKLADĚ DAT Patrícia Martinková Ústav informatiky AV ČR martinkova@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/martinkova 1.LF UK, 22. a 30. března 2017 Motivace 1 Velké množství (medicínských
VícePorovnání dvou výběrů
Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VícePojem a úkoly statistiky
Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VíceKontingenční tabulky, korelační koeficienty
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceMnohorozměrná statistická data
Mnohorozměrná statistická data Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Mnohorozměrná
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Vícemarek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68
Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceČíselné charakteristiky a jejich výpočet
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky
VíceMetody sociálních výzkumů. Velmi skromný úvod do statistiky. Motto: Jsou tři druhy lži-lež prostá, lež odsouzeníhodná a statistika.
Metody sociálních výzkumů Velmi skromný úvod do statistiky. Motto: Jsou tři druhy lži-lež prostá, lež odsouzeníhodná a statistika. Statistika Význam slova-vychází ze slova stát, s jeho administrativou
VíceSTATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceStatistické metody. Martin Schindler KAP, tel , budova G. naposledy upraveno: 9.
Statistické metody Matematika pro přírodní vědy přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 9. ledna 2015,
VíceJevy a náhodná veličina
Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili
VícePopisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel
Popisná statistika Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového testu z Matematiky I v zimním semestru 2015/2016 a to za všech 762 studentů,
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceNávrh a vyhodnocení experimentu
Návrh a vyhodnocení experimentu Návrh a vyhodnocení experimentů v procesech vývoje a řízení kvality vozidel Ing. Bohumil Kovář, Ph.D. FD ČVUT Ústav aplikované matematiky kovar@utia.cas.cz Mladá Boleslav
VíceNeparametrické metody
Neparametrické metody Dosud jsme se zabývali statistickými metodami, které zahrnovaly předpoklady o rozdělení dat. Zpravidla jsme předpokládali normální rozdělení. Např. Grubbsův test odlehlých hodnot
Více2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat
2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceStatistika. cílem je zjednodušit nějaká data tak, abychom se v nich lépe vyznali důsledkem je ztráta informací!
Statistika aneb známe tři druhy lži: úmyslná neúmyslná statistika Statistika je metoda, jak vyjádřit nejistá data s přesností na setinu procenta. den..00..00 3..00..00..00..00..00..00..00..00..00..00 3..00..00..00..00..00..00..00
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceÚvod do kurzu. Moodle kurz. (a) https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=2022 (b) heslo pro hosty: statistika (c) skripta na pravděpodobnost
Úvod do kurzu Moodle kurz (a) https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=2022 (b) heslo pro hosty: statistika (c) skripta na pravděpodobnost Výpočty online: www.statisticsonweb.tf.czu.cz Začátek výuky posunut
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více