Booleova algebra. ZákonyBooleovy algebry Vyjádření logických funkcí
|
|
- Leoš Svoboda
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Booleova algebra ZákonyBooleovy algebry Vyjádření logických funkcí pravdivostní tabulka logický výraz seznam indexů vstupních písmen mapa vícerozměrná krychle O. Novák 1
2 Booleova algebra Booleova algebra je úplný, komplementární a distributivní svaz Booleova algebra s dvěma log. hodnotami se nazývá minimální Booleovou algebrou +,. jsou binární operace na B (log. součet a součin) je unární operace na B (negace) 0, 1 jsou nulární operace (logické konstanty) na B a kde platí dále uvedené zákony pro všechna a, b, c B: O. Novák 2
3 Základní zákony Booleovy algebry (8 axiomů) 1. komutativita: a + b = b + a, a.b = b.a 2. asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c, a.(b.c) = (a.b).c 3. distributivita: a + (b.c) = (a + b).(a + c), a.(b + c) = (a.b) + (a.c) 4. neutralita 0 a 1: a + 0 = a, a.1 = a 5. vlastnosti komplementu: a + a = 1 a a = 0 6. agresivita 0 a 1 : a 0 =0, a +1 =1 7. idempotence 8. absorbce a a = a, a + a b = a, a + a = a a a + b = a O. Novák 3
4 Odvozené zákony dvojí negace a = a, absorbce negace a + a b = a + b, de Morgan ( a + b) = a b, consensus ab + a c + bc = ab+ a c, a a + b = a b a b = a + b a b a + c b+ c = a + b a + + c Zobecněné zákony absorbce a + F(a, a, b, c,..., z) = a + F( 0, 1, b, c,..., z) a + F(a, a, b, c,..., z) = a + F( 1, 0, b, c,..., z) a F(a, a, b, c,..., z) = a F( 1, 0, b, c,..., z) a F(a, a, b, c,..., z) = a F( 0, 1, b, c,..., z) O. Novák 4
5 Zákon negace, Shannonův teorém zobecněný zákon negace (logické funkce) : F (a, b,..., z, 0, 1, +, ) = F( a, b,..., z, 1, 0,, + ) rozklad logické funkce (Shannonův expanzní teorém) : F(a, b,..., F(a, b,..., Vyjádření logické funkce slovní popis algebraický výraz tabulka mapa z ) z ) jednotková krychle = a F( 1, b,..., z ) + a F( 0, b,..., z ) = a + F( 0, b,..., z ) a + F( 1, b,..., z ) O. Novák 5
6 Algebraický (Booleový) výraz představuje funkci nad B. Jednu funkci lze popsat více výrazy. Používá se standartní (kanonický) tvar. Tento tvar se též někdy nazývá normální formou. term - výraz tvořený pouze proměnnými v přímém a negovaném tvaru a operací logického součtu nebo součinu P-term (součinový term) - term s operací součinu S-term (součtový term) - operace součtu minterm - P-term obsahující všechny nezávislé proměnné maxterm - S-term obsahující všechny nezávislé proměnné vstupní písmeno - kombinace hodnot vst. proměnných O. Novák 6
7 Každou log. funkci je možno vyjádřit pomocí součtu mintermů nebo součinu maxtermů Každý minterm (resp. maxterm) nabývá hodnoty log1 (resp. log0) právě pro jedno vstupní písmeno dané log. funkce Stavový index - desítkový zápis kombinace hodnot nezávisle proměnných Úplná normální disjunktní forma (UNDF) log. výraz tvořený součtem všech mintermů Úplná normální konjunktivní forma (UNKF) - log. výraz tvořený součinem všech maxtermů O. Novák 7
8 UNDF: UNKF: Pravdivostní tabulka se všemi mintermy a maxtermy f (c, b, a ) = cba + cba + cba + cba f (c, b, a ) = a c+ b + a c+ b + a + c + b + a c + b Seznam stavových indexů (zkrácený tabulkový tvar): f (c, b, a ) =Σ( 1, 2, 4, 6) = Π( 0, 3, 5, 7) O. Novák 8
9 UNDF obsahuje tolik mintermů, kolik je počet vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 1 UNKF obsahuje tolik maxtermů, kolik je počet vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 0 Vytvoření UNDF z UNKF - roznásobením UNKF z UNDF určíme doplněk množiny mintermů s hodnotou 1 pro příslušná vstupní písmena určíme maxtermy UNKF je součin těchto maxtermů O. Novák 9
10 Algebraické výrazy nabývají řady forem, které nejsou čistě disjunktivní nebo konjunktivní. Nazýváme je smíšené formy. Disjunktivní nebo konjunktivní formou můžeme popsat všechny výrazy - používá se pro minimalizaci Tyto formy lze snadno transformovat do Shefferovy algebry (samé NANDy) nebo Pierceovy algebry (samé NORy) O. Novák 10
11 Vénovy diagramy A C ab c a b c ab c abc abc a b c a bc a bc B Mapa je Vénův diagram, kde jednotlivé oblasti mají tvar obdélníků O. Novák 11
12 Mapy Svobodova O. Novák 12
13 Tabulka Grayova kódu O. Novák 13
14 O. Novák 14
15 Rozšíření Svobodovy a Karnaughovy mapy O. Novák 15
16 O. Novák 16
17 Minimalizace logických výrazů O. Novák 17
18 Základní pojmy Kritérium minimality 3 minimální počet termů 3 minimální počet nezávisle proměnných v každém termu 3 minimální počet negovaných proměnných Minimální normální disjunktní forma - logický součet minimálního počtu minimálních P-termů Implikant logické funkce - součinový p-term, který implikuje danou funkci Přímý implikant - implikant, který po vypuštění libovolné promenné přestává být implikantem funkce Minimální normální konjunktivní forma - logický součin minimálního počtu minimálních S-termů O. Novák 18
19 Možnosti minimalizace Algebraický přístup: postupně aplikovat zákony Booleovy algebry Metody založené na hledání sousedních stavů 3 minimalizace pomocí mapy 3 metoda Quine-Mc Cluskey O. Novák 19
20 Příklad aplikace zákonů Booleovy algebry Absorbce negace: { b d + b c d = b (d + c) } f = a d + b c d + a b c + b d + b c Absorbce negace: { a b c + b c = b( c + a) } f = a d + a b + b c d + b d + b c Absorbce: consensus: f = a d + a b + b d + b c f = a d + a b + b c a to je MNDF O. Novák 20
21 Minimalizace pomocí map Sousední stavy stavu a bcd (s = 10) O. Novák 21
22 Příklad Nalezněte MNDF a MNKF logické funkce zadané výčtem jedničkových stavů: f(d,c,b,a) = Σ(1,4,5,6,9,10,12,13,14) Skupiny sousedních stavů A) jedničkových B) nulových f(d,c,b,a) = a b + a c + a b d MNDF f(d,c,b,a) = ( a + b)(a +b+c)(a+c+d) MNKF O. Novák 22
23 Hledání MNDF a MNKF funkcí s neurčenými stavy O. Novák 23
24 Metoda Quine-McCluskey vyvinuta pro minimalizaci logických funkcí s větším počtem proměnných, možnost zpracování na počítači Příklad Najděte MNDF funkce f(d,c,b,a) = Σ(1,4,7,8,9,10,11,12,14,15) Postup řešení 1) vyjádříme všechny jedničkové stavy binárně (první sloupec tabulky) 2) Druhý sloupec - stavové indexy příslušných řádků 3) Třetí sloupec - skupiny stavů s jednou, dvěma, třema a čtyřmi jedničkami (Skupiny odděleny prázdným řádkem, výběr podle druhého sloupce, již vybrané indexy označeny hvězdičkou) 4) Stavové indexy 5) 5. sloupec - všechny sousední dvojice (dvojice, lišící se o jednu jedničku) O. Novák 24
25 Tabulka všech skupin sousedních stavů (s je stavový index) O. Novák 25
26 Dvojice rozděleny do skupin podle počtu jedniček, skupiny odděleny prázdným řádkem 7. sloupec - všechny čtveřice sousedních stavů, hvězdičkou označeny použité dvojice. Označíme velkými písmeny všechny skupiny stavů i jednotlivé stavy, u kterých se nevyskytuje hvězdička. Z nich vybereme minimální pokrytí jedničkových stavů. K tomu použijeme tabulku pokrytí: O. Novák 26
27 Tabulka pokrytí Zmenšená tabulka pokrytí O. Novák 27
28 Ve sloupcích jsou všechny jedničkové stavy (tedy stavy, které musíme pokrýt) a v řádcích jsou všechny přímé implikanty (tedy všechny skupiny sousedních stavů Nalezneme sloupce, které obsahují pouze jednu hvězdičku (stavy, pokryté pouze jedním implikantem). Odpovídající řádek bude nesporným přímým implikantem. Vyškrtneme sloupce pokryté nespornými implikanty. Vytvoříme tabulku zmenšenou o použité řádky a vyškrtnuté sloupce. Vyškrtnutí sloupce, který má hvězdičku ve stejných řádcích jako jiný sloupec nebo má nějaké hvězdičky navíc (dominance sloupce). /v příkladu 10. sloupec/ Vyškrtnutí řádku, který je podmnožinou jiného řádku (dominance řádku) /v př. se nevyskytuje/ výběr zbývajících termů podle kritérií minimality Výsledek: f(d,c,b,a) = a b c + a b c + a b c + b d + cd O. Novák 28
29 Další algoritmy minimalizace tříúrovňové sítě se členy NAND - Metoda TANT (Three-level AND-NOT logic with True Inputs) 3 generování zobecněné normální formy 3 vytvoření dovolených implikantů 3 výběr implikantů, realizujících danou funkci minimálním počtem hradel NAND využití v automatizovaných návrhových systémech ESPRESSO, 1984, komerční program pro minimalizaci O. Novák 29
30 Struktury s omezeným počtem vstupů TTL max. osmivstupová hradla, CMOS max. dvouvstupová hradla náhrada vícevstupových hradel kaskádou technologicky realizovatelných hradel Faktorizace obvodu Někdy není výhodné vycházet v realizaci obvodu z MNDF nebo MNKF, ale z formy smíšené. Příklad : f = x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 x 8 + x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 x 7 x 8 +f 1 (x 1,..., x 8 ) O. Novák 30
31 Realizace podle De Morgan. pravidel O. Novák 31
32 Realizace s vytknutím společné části O. Novák 32
33 Definice Konjunkce obsahující společnou část s délkou D (počtem společných proměnných = D) s jinou konjunkcí se nazývá originál Nechť je N počet originálů pro něž platí že mají společnou část o délce D (faktor o délce D), pak ND je míra přednosti daného faktoru. Algoritmus faktorizace formální přepis funkce seřazení faktorů podle míry přednosti Výběr faktorů podle kritérií minimálnosti realizace obvodu O. Novák 33
34 Postup sestavení log. obvodů Zjištění možností předpokládaných součástek (typ technologie, možnosti kombinování různých technologií, typ hradel, parametry hradel,...) sestavení pravdivostní tabulky (někdy možno vynechat nebo redukovat) sestavení UNDF, UNKF nebo smíšené formy minimalizace (možno vynechat) kontrola počtu vstupů jednotlivých hradel, popřípadě náhrada kaskádou méně vstupových hradel konverze výsledného logického výrazu do tvaru vhodného pro realizaci (De Morganova pravidla) schéma zapojení propojení konstrukčních prvků vodiči O. Novák 34
P4 LOGICKÉ OBVODY. I. Kombinační Logické obvody
P4 LOGICKÉ OBVODY I. Kombinační Logické obvody I. a) Základy logiky Zákony Booleovy algebry 1. Komutativní zákon duální forma a + b = b + a a. b = b. a 2. Asociativní zákon (a + b) + c = a + (b + c) (a.
Více2. LOGICKÉ OBVODY. Kombinační logické obvody
Hardware počítačů Doc.Ing. Vlastimil Jáneš, CSc, K620, FD ČVUT E-mail: janes@fd.cvut.cz Informace a materiály ke stažení na WWW: http://www.fd.cvut.cz/personal/janes/hwpocitacu/hw.html 2. LOGICKÉ OBVODY
Více12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.
12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující
VíceZáklady číslicové techniky. 2 + 1 z, zk
Základy číslicové techniky 2 + 1 z, zk Ing. Vít Fábera, K614 e-mail: fabera@fd.cvut.cz K508, 5. patro, laboratoř, 2 2435 9555 Ing. Tomáš Musil, Ph.D., K620 e-mail: musil@asix.cz K508, 5. patro, laboratoř,
VíceLOGICKÉ OBVODY 2 kombinační obvody, minimalizace
LOGICKÉ OBVODY 2 kombinační obvody, minimalizace logické obvody kombinační logické funkce a jejich reprezentace formy popisu tabulka, n-rozměrné krychle algebraický zápis mapy 9..28 Logické obvody - 2
VíceNeuronové sítě Minimalizace disjunktivní normální formy
Neuronové sítě Minimalizace disjunktivní normální formy Zápis logické funkce Logická funkce f : {0, 1} n {0, 1} Zápis základní součtový tvar disjunktivní normální forma (DNF) základní součinový tvar konjunktivní
VíceY36SAP Y36SAP-2. Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka Kubátová Y36SAP-Logické obvody 1.
Y36SAP 26.2.27 Y36SAP-2 Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka 27-Kubátová Y36SAP-Logické obvody Logický obvod Vstupy a výstupy nabývají pouze hodnot nebo Kombinační obvod popsán
VíceLogické proměnné a logické funkce
Booleova algebra Logické proměnné a logické funkce Logická proměnná je veličina, která může nabývat pouze dvou hodnot, označených 0 a I (tedy dvojková proměnná) a nemůže se spojitě měnit Logická funkce
Víceíslicová technika Radek Maík Maík Radek 1
íslicová technik Rdek Mík Mík Rdek 1 íselné soustvy ritmetické operce Mík Rdek 2 Pevody mezi soustvmi (z10) Výsledek dostneme vyíslením z-dickéhoz dickéhoísl ve tvru dy. (101,11) 2 = 1.2 2 + 0.2 1 + 1.2
VíceZáklady číslicové techniky z, zk
Základy číslicové techniky 2 + 1 z, zk Doc. Ing. Vlastimil Jáneš, CSc., K620 e-mail: janes@fd.cvut.cz K508, 5. patro, laboratoř, 2 2435 9555 Ing. Vít Fábera, K614 e-mail: fabera@fd.cvut.cz K508, 5. patro,
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceČíslicové obvody základní pojmy
Číslicové obvody základní pojmy V číslicové technice se pracuje s fyzikálními veličinami, které lze popsat při určité míře zjednodušení dvěma stavy. Logické stavy binární proměnné nabývají dvou stavů:
VíceBinární logika Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceDIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY 1. ZÁKLADNÍ POJMY DIGITÁLNÍ TECHNIKY
DIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY BDOM Prof. Ing. Radimír Vrba, CSc. Doc. Ing. Pavel Legát, CSc. Ing. Radek Kuchta Ing. Břetislav Mikel Ústav mikroelektroniky FEKT VUT @feec.vutbr.cz
Více1. 5. Minimalizace logické funkce a implementace do cílového programovatelného obvodu CPLD
.. Minimalizace logické funkce a implementace do cílového programovatelného obvodu Zadání. Navrhněte obvod realizující neminimalizovanou funkci (úplný term) pomocí hradel AND, OR a invertorů. Zaznamenejte
VíceLogické řízení. Náplň výuky
Logické řízení Logické řízení Náplň výuky Historie Logické funkce Booleova algebra Vyjádření Booleových funkcí Minimalizace logických funkcí Logické řídicí obvody Blokové schéma Historie Číslicová technika
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Více4. Elektronické logické členy. Elektronické obvody pro logické členy
4. Elektronické logické členy Kombinační a sekvenční logické funkce a logické členy Elektronické obvody pro logické členy Polovodičové paměti 1 Kombinační logické obvody Způsoby zápisu logických funkcí:
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceBooleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky.
Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky
VíceLOGICKÉ ŘÍZENÍ. Matematický základ logického řízení
Měřicí a řídicí technika bakalářské studium - přednášky LS 28/9 LOGICKÉ ŘÍZENÍ matematický základ logického řízení kombinační logické řízení sekvenční logické řízení programovatelné logické automaty Matematický
Více2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY OVLÁDACÍ TECHNIKA A LOGICKÉ ŘÍZENÍ 2.1.5 LOGICKÉ FUNKCE Cíle: Po prostudování
VíceÚvod do informačních technologií
Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika
VíceÚvod do informačních technologií
Úvod do informačních technologií Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI přednášky Binární logika Jan Outrata (Univerzita Palackého v Olomouci) Úvod do informačních technologií
VíceHAZARDY V LOGICKÝCH SYSTÉMECH
HAZARDY V LOGICKÝCH SYSTÉMECH 1. FUNKČNÍ HAZARD : Při změně vstupního stavu vstupních proměnných, kdy se bude měnit více jak jedna proměnná - v reálné praxi však současná změna nenastává a ke změnám hodnot
VíceArchitektura počítačů Logické obvody
Architektura počítačů Logické obvody http://d3s.mff.cuni.cz/teaching/computer_architecture/ Lubomír Bulej bulej@d3s.mff.cuni.cz CHARLES UNIVERSITY IN PRAGUE faculty of mathematics and physics 2/36 Digitální
VíceArchitektura počítačů Logické obvody
Architektura počítačů Logické obvody http://d3s.mff.cuni.cz/teaching/computer_architecture/ Lubomír Bulej bulej@d3s.mff.cuni.cz CHARLES UNIVERSITY IN PRAGUE faculty of mathematics and physics Digitální
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceMinimalizace logické funkce
VYSOKÉ UČENÍ TEHNIKÉ V RNĚ FKULT ELEKTROTEHNIKY KOMUNIKČNÍH TEHNOLOGIÍ Ústav mikroelektroniky LORTORNÍ VIČENÍ Z PŘEDMĚTU Digitální integrované obvody Minimalizace logické funkce Michal Krajíček Martin
VíceObsah DÍL 1. Předmluva 11
DÍL 1 Předmluva 11 KAPITOLA 1 1 Minulost a současnost automatizace 13 1.1 Vybrané základní pojmy 14 1.2 Účel a důvody automatizace 21 1.3 Automatizace a kybernetika 23 Kontrolní otázky 25 Literatura 26
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceNávrh systémů s digitálními integrovanými obvody a mikroprocesory pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Návrh systémů s digitálními integrovanými obvody a mikroprocesory pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO Garant předmětu:
VíceLOGICKÉ ŘÍZENÍ. Matematický základ logického řízení. N Měřicí a řídicí technika 2012/2013. Logické proměnné
N4444 Měřicí a řídicí technika 22/23 LOGICKÉ ŘÍZENÍ matematický základ logického řízení kombinační logické řízení sekvenční logické řízení programovatelné logické automat Matematický základ logického řízení
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceNávrh synchronního čítače
Návrh synchronního čítače Zadání: Navrhněte synchronní čítač mod 7, který čítá vstupní impulsy na vstupu x. Při návrhu použijte klopné obvody typu -K a maximálně třívstupová hradla typu NAND. Řešení: Čítač
VíceČíslicová elektronika. Ondřej Novák a kolektiv autorů
Číslicová elektronika Ondřej Novák a kolektiv autorů Liberec 24 Bibliografická reference těchto skript: NOVÁK, O. a kol. Číslicová elektronika.. vydání. Liberec: Technická univerzita v Liberci, Fakulta
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
VícePROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ
STŘENÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOL V ČESKÝH UĚJOVIÍH, UKELSKÁ 3 ÚLOH: ekodér binárního kódu na sedmisegmentový displej 0.. Zadání PROTOKOL O LORTORNÍM VIČENÍ Navrhněte a realizujte dekodér z binárního kódu na sedmisegmentovku.
VíceLogické systémy a jejich návrh
Kapitola 2 Logické systémy a jejich návrh 2.1 Logické funkce a jejich návrh Vstupní/výstupní písmeno - každá kombinace hodnot všech vstupních/výstupních proměnných. Na vstup se tedy může přivést jedno
VíceOtázka 10 - Y36SAP. Zadání. Logické obvody. Slovníček pojmů. Základní logické členy (hradla)
Otázka 10 - Y36SAP Zadání Logické obvody. Logické funkce, formy jejich popisu. Kombinační obvody a jejich návrh. Sekvenční systém jako konečný automat. Synchronní a asynchronní sekvenční obvody a jejich
VíceDefinice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.
Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Víceprůniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry
BOOLEOVY ALGEBRY Připomeňme si, že za Booleovu algebru považujeme každou algebru (B,,, 0, 1, ) s neprázdnou množinou B, binárními operacemi průsek, spojení, s prvky 0, 1 B a unární operací komplement,
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceObsah. Vymezení použitých pojmů
Obsah Vymezení použitých pojmů Základní pravidla pro svazování kvadrantů v Karnaughových mapách Základní pravidla pro tvorbu rovnic Postup při zápisu rovnice z Karnaughovy mapy Příklady řešení Vymezení
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Více2.7 Binární sčítačka. 2.7.1 Úkol měření:
2.7 Binární sčítačka 2.7.1 Úkol měření: 1. Navrhněte a realizujte 3-bitovou sčítačku. Pro řešení využijte dílčích kroků: pomocí pravdivostní tabulky navrhněte a realizujte polosčítačku pomocí pravdivostní
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceVY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.
Číslo projektu Číslo materiálu Náev škol Autor Tematická oblast Ročník CZ..7/.5./34.58 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_4_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
VíceLogické obvody 10. Neúplné čítače Asynchronní čítače Hazardy v kombinačních obvodech Metastabilita Logické obvody - 10 hazardy 1
Logické obvody 10 Neúplné čítače Asynchronní čítače Hazardy v kombinačních obvodech Metastabilita 6.12.2007 Logické obvody - 10 hazardy 1 Neúplné čítače Návrh čítače M5 na tabuli v kódu binárním a Grayově
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceSTRUKTURA POČÍTAČŮ JIŘÍ HRONEK, JIŘÍ MAZURA KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO STRUKTURA POČÍTAČŮ JIŘÍ HRONEK, JIŘÍ MAZURA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceSylabus kurzu Elektronika
Sylabus kurzu Elektronika 5. ledna 2004 1 Analogová část Tato část je zaměřena zejména na elektronické prvky a zapojení v analogových obvodech. 1.1 Pasivní elektronické prvky Rezistor, kondenzátor, cívka-
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí způsoby algebraické minimalizace a využití Booleovy algebry
Číslo projektu Číslo materiálu Náev školy Autor Náev Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ..07/.5.00/4.04 VY INOVACE_8_ČT_.08_ algebraická minimaliace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče,
VíceCíle. Teoretický úvod. BDIO - Digitální obvody Ústav mikroelektroniky Základní logická hradla, Booleova algebra, De Morganovy zákony Student
Předmět Ústav Úloha č. DIO - Digitální obvody Ústav mikroelektroniky Základní logická hradla, ooleova algebra, De Morganovy zákony Student Cíle Porozumění základním logickým hradlům NND, NOR a dalším,
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceČíselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?
Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Více3. REALIZACE KOMBINAČNÍCH LOGICKÝCH FUNKCÍ
3. REALIZACE KOMBINAČNÍCH LOGICKÝCH FUNKCÍ Realizace kombinační logické funkce = sestavení zapojení obvodu, který ze vstupních proměnných vytvoří výstupní proměnné v souhlasu se zadanou logickou funkcí.
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceMINIMALIZACE LOGICKÝCH FUNKCÍ MINIMISATION OF LOGICAL FUNCTIONS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
VíceDigitální obvody. Doc. Ing. Lukáš Fujcik, Ph.D.
Digitální obvody Doc. Ing. Lukáš Fujcik, Ph.D. Základní invertor v technologii CMOS dva tranzistory: T1 vodivostní kanál typ N T2 vodivostní kanál typ P při u VST = H nebo L je klidový proud velmi malý
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
VíceTestování a spolehlivost. 1. Laboratoř Poruchy v číslicových obvodech
Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 1. Laboratoř Poruchy v číslicových obvodech Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v PRaze Příprava studijního programu Informatika
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceČíselné soustavy: Druhy soustav: Počítání ve dvojkové soustavě:
Přednášející : Ing. Petr Haberzettl Zápočet : práce na doma hlavně umět vysvětlit Ze 120 lidí udělá maximálně 25 :D Literatura : Frištacký - Logické systémy Číselné soustavy: Nevyužíváme 10 Druhy soustav:
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMultimetr: METEX M386OD (použití jako voltmetr V) METEX M389OD (použití jako voltmetr V nebo ampérmetr A)
2.10 Logické Obvody 2.10.1 Úkol měření: 1. Na hradle NAND změřte tyto charakteristiky: Převodní charakteristiku Vstupní charakteristiku Výstupní charakteristiku Jednotlivá zapojení nakreslete do protokolu
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceSoustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip:
Obvody S - popis 1 Soustavy se spínanými kapacitory - S 1. Základní princip: Simulace rezistoru přepínaným kapacitorem viz známý obrázek! (a rovnice) Modifikace základního spínaného obvodu: Obr. 2.1: Zapojení
VíceVelmi zjednodušený úvod
Velmi zjednodušený úvod Výroková logika: A, B, C - výroky. Booleova algebra Výroky nabývají hodnot Pravdivý a Nepravdivý. C = A B A B Booleova algebra: a, b, c - logické (Booleovské) proměnné. Logické
VíceKombinační automaty (logické obvody)
Kombinační automaty (logické obvody) o Název: VY_32_INOVACE_01_CIT_01_Prehled_schematickych_znacek.pptx o Téma: Přehled schématických značek o Název: VY_32_INOVACE_01_CIT_02_Prehled_schematickych_znacek_test.pptx
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceFuzzy logika Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Binární logika 3) 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 1 Osnova přednášky Základní pojmy Lingvistické proměnné Funkce
VíceStruktura a architektura počítačů (BI-SAP) 4
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 4 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii
VíceKOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY
KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY Použité zdroje: http://cs.wikipedia.org/wiki/logická_funkce http://www.ibiblio.org http://martin.feld.cvut.cz/~kuenzel/x13ups/log.jpg http://www.mikroelektro.utb.cz http://www.elearn.vsb.cz/archivcd/fs/zaut/skripta_text.pdf
Více