Základy číslicové techniky z, zk

Transkript

1 Základy číslicové techniky z, zk

2 Doc. Ing. Vlastimil Jáneš, CSc., K620 K508, 5. patro, laboratoř, Ing. Vít Fábera, K614 fabera@fd.cvut.cz K508, 5. patro, laboratoř, Ing. Tomáš Musil, K620 musil@asix.cz K508, 5. patro, laboratoř,

3 Fábera, V. : Úvod do hardware počítačů, skriptum FD ČVUT, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005 Douša, J., Jáneš, V. : Logické systémy, skriptum FEL ČVUT, Vydavatelství ČVUT,Praha 1998 Pluháček, A. a kol.: Úvod do počítačových systémů, přednášky slidy, katedra počítačů, FEL ČVUT, Praha Janeček, J. : Projektování mikropočítačových systémů, skriptum FEL ČVUT, Vydavatelství ČVUT, Praha 1999 Informace a materiály ke stažení na WWW:

4 Počítač počítač je matematický stroj, který zpracovává programy a data pracuje na určitém fyzikálním principu mechanické počítače Vinci, Pascal elektronické počítače období 2. světové války zpracovává : programy - systémové a aplikační data původně jen numerická data matematické úlohy numerickéřešení diferenciálních rovnic výpočet dráhy střely pro vojenské účely apod. texty, obrázky, zvuk, multimediální aplikace,

5 zpracování dat, tj. Počítač transformuje vstupní data na výstupní vstupní data Počítač výstupní data

6 Počítač a zobrazení dat počítač reprezentuje data (zobrazuje) pomocí určitých fyzikálních veličin možnosti: dva základní principy zobrazení dat: 1. spojité zobrazení (analogové) fyzikální veličina může nabývat libovolných hodnot, zpravidla z určitého intervalu 2. diskrétní zobrazení (číslicové) fyzikální veličina může nabývat diskrétních (izolovaných, oddělených) hodnot, zpravidla z určitého rozsahu mechanické: natočení kolečka elektrické: napětí, proud

7 Příklady zobrazení dat Jaké je toto zobrazení? Spojité neboli analogové

8 Příklady zobrazení dat A toto? Diskrétní neboli číslicové

9 Příklady zobrazení dat říkáme také, že u číslicového zobrazení je hodnota zobrazena určitým stavem; při změně hodnoty dochází ke skokové změně stavu změna musí být dostatečně rychlá odolnost změnám parametrů systému Zajímavost: elektromechanický číslicový počítač -programátor v automatické pračce - typový váleček se zářezy mechanický čísl. systém -hrací strojky

10 Zobrazení dat v počítači v číslicových počítačích se data zobrazují pomocí dvojkové soustavy, tj. čísel 0,1 číslice 0,1 se také označují jako logické hodnoty (nepravda, pravda, no, yes, false, true), protože se jimi v matematické logice ohodnocuje pravdivost výroků matematický aparát pro práci s 0 a 1 existuje již od 19. století 1848: anglický matematik George Bool: Booleova algebra

11 Zobrazení dat v počítači Proč dvojková soustava? mechanické systémy již v 19. stol. první číslicový počítač byl reléový, které dokáže rozlišit 2 stavy (rozepnuto, sepnuto 0,1) informace o velikosti 0 nebo 1 se nazývá 1 bit bit = binary digit (dvojková číslice) ale 1 bit (1b) není jednotkou informace, je to shannon, který je pro dvoustavovou logiku totožný s bitem

12 Zobrazení dat v počítači - jednotky 8 bitů = 1 Byte (bajt), 1B, správněčesky slabika 16 bitů = 1 Word (slovo) 32 bitů = 1 DoubleWord (dvojslovo) Násobky slabiky: 1 KB = 1 KiloByte - 1 KB = 1024 B 1 MB = 1 MegaByte - 1 MB = 1024 KB Proč 1KB = 1024 B? 2 10 = 1024 (nejblíže hodnotě 1000)

13 Zobrazení dat v počítači - jednotky Poznámka: v některé literatuře (ale výjimečně) se rozumí: 1 kb = 1000 B 1 KB = 1024 B my budeme chápat vždy: 1 kb = 1 KB = 1024 B

14 Číselné soustavy standardní polyadické soustavy základ soustavy z cifer zápis čísla vyjadřuje hodnotu

15 Číselné soustavy desítková soustava dvojková soustava

16 Číselné soustavy osmičková soustava šestnáctková soustava

17 Hornerovo schéma slouží k vyhodnocení polynomu bez výpočtu mocnin

18 Převody mezi číselnými soustavami převod do dvojkové soustavy počítáme zbytky po děleníčíslem 2 (%) a celočíselné podíly ( ) převedeme do dvojkové soustavy

19 Převody mezi číselnými soustavami převod do šestnáctkové soustavy počítáme zbytky po děleníčíslem 16 (%) a celočíselné podíly ( ) převedeme do šestnáctkové soustavy

20 Převody mezi příbuznými soustavami dvěčíselné soustavy o základech z 1, z 2 z 1 < z 2 příbuzné soustavy: z 2 = z 1 k příbuzné soustavy jsou dvojková a šestnáctková: 2 4 = 16 dvojková a osmičková: 2 3 = 8 převádíme přímo k-tice bitů

21 Převod mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou 1. Doplň zleva dvojkovéčíslo nevýznamnými nulami tak, aby byl celkový počet cifer roven nějakému násobku čísla 4 2. Jednotlivé čtveřice dvojkových cifer přepiš na šestnáctkové cifry dle následující tabulky

22 Převod mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou

23 Převod mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou Převeďte číslo z dvojkové soustavy do šestnáctkové 1. doplníme nevýznamnými nulami: rozdělíme na čtveřice: převedeme: 6 B = 6B 16

24 Převod mezi dvojkovou a osmičkovou soustavou 1. Doplň zleva dvojkovéčíslo nevýznamnými nulami tak, aby byl celkový počet cifer roven nějakému násobku čísla 3 2. Jednotlivé trojice dvojkových cifer přepiš na osmičkové cifry dle následující tabulky

25 Převod mezi dvojkovou a osmičkovou soustavou

26 Převod mezi dvojkovou a osmičkovou soustavou Převeďte číslo z dvojkové soustavy do osmičkové 1. doplníme nevýznamnými nulami: rozdělíme na trojice: převedeme: = 153 8

27 LOGICKÉ OBVODY Kombinační logické obvody

28 Logické obvody digitální obvody dvojková soustava hodnoty 0,1 = logické hodnoty log. 0, log. 1 reprezentace pomocí napětí, např. log. 0-0V - 0,4V, log. 1-2,4V - 5V nebo log. 0-0V - 0,99V, log. 1-2,3V 3,3V 2,5V logika, 1,8V logika

29 Logické obvody logické obvody zpracovávají diskrétní log. hodnoty 0 a 1 logické systémy matematické modely a popisy těchto obvodů na úrovni logiky

30 Logické obvody Dělení logických obvodů podle způsobu realizace mechanické, elektrické, pneumatické, použitých prvků (součástek) reléové, elektronkové, obvody s tranzistory, integrovanými obvody technologie výroby zejména u integrovaných obvodů TTL (bipolární), CMOS, HCMOS, BiCMOS

31 Logické obvody Dělení logických obvodů podle chování kombinační logické obvody hodnoty výstupních proměnných závisejí pouze a aktuálních hodnotách vstupních proměnných sekvenční logické obvody hodnoty výstupních proměnných naopak závisejí na okamžitých hodnotách vstupních proměnných a také na historii jejich hodnot

32 Kombinační logické obvody vstupní vektor = vstupní písmeno výstupní vektor = výstupní písmeno matematický vztah mezi vstupem a výstupem kombinační zobrazení

33 Booleova algebra negace NOT log. součin AND log. součet OR

34 Booleova algebra 1. Komutativní zákon duální forma a + b = b + a a. b = b. a 2. Asociativní zákon (a + b) + c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) 3. Zákon idempotence a + a = a a. a = a 4. Zákon absorpce a + (a. b) = a a. (a + b ) = a 5. Zákon agresivnosti nuly a jedničky a. 0 = 0 a + 1 = 1

35 Booleova algebra 6. Zákon neutrálnosti nuly a jedničky a + 0 = a a. 1 = a 7. Distributivní zákon a. (b + c) = (a. b) + (a. c) a + (b. c)= (a + b). (a + c) 8. Zákon sporu a vyloučeného třetího a.a= 0 a + a= 1 9. Zákon involuce neboli dvojí negace a 10. Zákon absorpce negace a.(a + b) = a.b 11. De Morganovy zákony a + a.b = a + b a + b + c z = a. b. c... z

36 1. Kombinační logické obvody Booleova algebra a. b. c... z = a + b + c z 12. Shannonův expanzní teorém - rozklad logické funkce a) verze součtová : F(x 1, x 2,, x n ) = x 1. F(1, x 2,, x n ) + x 1. F(0, x 2,, x n ) b) verze součinová : F(x 1, x 2,, x n ) = [x 1 + F(0, x 2,, x n )]. [ x 1 + F(1, x 2,,x n )] Každá logická funkce se dá realizovat v součtové nebo součinové formě. D U A L I T A F U N K C Í F D (x 1, x 2,, x n, 0, 1, +,.) = F(x 1, x 2,, x n, 1, 0,., + ) Poznámka: pořadí operací + a. Je důležité jde o záměnu, totéž platí pro logické konstanty 0 a 1

37 1. Kombinační logické obvody operace nebo Funkce nebo 1. Uveďme příklad výroku: bude-li číslo dělitelné 2 nebo 3 není to prvočíslo. Tedy : číslo X - je dělitelné 2 číslo Y - je dělitelné 3... pak X nebo Y = pravda, neboli 1 nebo 1 = 1 Hovoříme o tzv. obyčejném nebo zápis X + Y 2. Uveďme jiný příklad: chlapec bude hodný nebo dostane pár facek Tedy : A - bude hodný B - dostane par facek A nebo B : 1 nebo 1 = 0 jedná se o tzv. vylučovací nebo Zapisujeme jako : A B - součet modulo 2 Závěr: nebo nebo

38 Booleovská funkce booleovská funkce n proměnných y = f (x 1, x 2,,x n ) booleovských funkcí n proměnných je n 2 2

39 Boooleovské funkce k odvození počtu booleovských funkcí

40 1. Kombinační logické obvody základní logické funkce Další základní logické funkce: 1. Vylučovací nebo, XOR [exclusive OR], součet modulo 2, nonekvivalence X Y = X. Y + X. Y 2. Funkce ANI, NOR, Pierceova funkce, X Y = X + Y 3. Funkce NAND, Shefferova funkce, X Y = X. Y 4. Ekvivalence X Y = X. Y + X. Y 5. Implikace X Y = X + Y

41 1. Kombinační logické obvody Základní logické funkce pravdivostní tabulka

42 Zápis logických funkcí pravdivostní tabulka booleovský výraz seznam vstupních (stavových) indexů mapa jednotková krychle

43 Pravdivostní tabulka, log. výraz f ( c, b, a) = ab + bc f ( c, b, a) = b( a + c)

44 Seznam vstupních indexů seznam vstupních kombinací (chápané jako dvojkové číslo), kdy funkce nabývá hodnoty 1 f ( c, b, a) = (0,4,5) seznam vstupních kombinací (chápané jako dvojkové číslo), kdy funkce nabývá hodnoty 0 f ( c, b, a) = Π ( 1,2,3,6,7 )

45 Jednotková krychle sousední vstupní písmena (liší se v jediném bitu) Hammingova vzdálenost = 1 nabývá log. 1 pro vstup 000

46 Jednotková krychle

47 1. Kombinační logické obvody Schematické značky

48 Výrazy uvažujme n proměnných součinový term x 1, x 2, x 3,, x n výraz obsahující pouze operaci log. součinu termů je 3 n -1 minterm součinový term obsahující všechny uvažované proměnné v přímé nebo negované formě nabývá hodnoty log. 1 pouze pro právě jednu kombinaci vstupních písmen

49 Výrazy součtový term výraz obsahující pouze operaci log. součtu termů je 3 n -1 maxterm součtový term obsahující všechny uvažované proměnné v přímé nebo negované formě nabývá hodnoty log. 0 právě pro jednu kombinaci vstupních proměnných

50 Vyjádření booleovské funkce výrazem Podle tvaru výrazu součtová forma (disjuntivní) výraz je ve tvaru součtu součinových termů úplná normální disjunktivní forma výraz je ve tvaru součtu mintermů součinová forma (konjuntivní) výraz je ve tvaru součinu součtových termů úplná normální konjunktivní forma výraz je ve tvaru součinu maxtermů smíšená forma

51 Příklad f a b c maxtermy mintermy a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c + + a b c + + a b c + + a b c + + a b c + + a b c + + a b c + + a b c + +

52 Vytvoření úplné součtové formy vybereme řádky, kde nabývá funkce hodnoty log. 1 a zapíšeme součet odpovídajících mintermů f( c, b, a)= cba+ cba+ cba

53 Vytvoření úplné součinové formy vybereme řádky, kde nabývá funkce hodnoty log. 0 a zapíšeme součin odpovídajících maxtermů ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( a b c a b c a b c a b c a b c c b a f =

54 Minimální forma minimalizujeme úplné formy pomocí zákonů Booleovy algebry nepohodlné ( ) ( ) b c a b a a b c a b c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c f + = = = = + + = zákon idempotence 1 1

55 Minimalizace pomocí map mapa grafická, resp. tabulková forma vychází z Vennových diagramů rozdělíme určitou oblast na podoblasti a každé podoblasti přiřadíme určitý bod stavového prostoru Vennův diagram pro tři proměnné

56 Mapy mapy pro 3 proměnné 8 kombinací mapa má 2 x4 políček

57 Mapy mapy pro 4 proměnné 16 kombinací mapa má 2 x 8 políček nebo 4 x 4 políček

58 Grayův kód kód, kde každá dvě po sobě jdoucí dvojkováčísla jsou sousední, tj. liší se v jediném bitu tvoříme jej zrcadlovou metodou z kratšího kódu n bitový Grayův kód vytvoříme z (n-1) bitového zrcadlením jednobitový kód je posloupnost 0, 1

59 Grayův kód zrcadlení přidám 0 a 1 jednobitový dvoubitový tříbitový

60 Mapy Karnaughova mapa vstupní proměnné jsou kódovány Grayovým kódem Svobodova mapa vstupní proměnné jsou kódovány binárním kódem

61 1. Kombinační logické obvody - mapy Zobrazení logických funkcí do mapy :

62 1. Kombinační logické obvody - mapy Pravidla pro tvorbu smyček při hledání minimální součtové formy hledáme co nejmenší počet co největších smyček obsahujících pouze 1 každá 1 musí být v alespoň jedné smyčce, smyčky se mohou překrývat smyčka musí obsahovat takový počet jedniček, který se rovná určité mocniněčísla 2, tj. musí obsahovat 1 nebo 2 nebo 4 nebo 8 atd. jedniček! smyčka musí obepínat takovou množinu vstupních písmen (podoblast v mapě), která tvoří podkrychli ve stavovém prostoru vstupních písmen

63 1. Kombinační logické obvody - mapy Mapy pro 3 a 4 logické proměnné a sousední termy :

64 Mapy

65 Mapy

66 Mapy

67 1. Kombinační logické obvody mapy II Karnaughova mapa pro 5 proměnných podle Grayova cykl. kódu

68 1. Kombinační logické obvody úplné norm. formy a) Úplná normální disjunktní forma (úndf) - součtová V úplné normální formě je každá jedničková hodnota zadané logické funkce pokrývána jedním termem resp. implikantem. Takový součinový term obsahuje všechny proměnné zadané logické funkce jako přímé nebo negované (minterm). Na příklad u majority ze tří (funkce je dána třemi proměnnými) jsou implikanty délky 3 tj. xyz, xyz, xyz, xyz,atd. Prvotní popis majoritní funkce ze 3 je zapsán úplnou normální formou. b) Úpná normální konjunktní forma (únkf) - součinová Konjunktní forma pokrývá nulové hodnoty zadané logické funkce svými součtovými termy např. (maxtermy obsahuje opět všechny proměnné ).

69 1. Kombinační logické obvody - mndf c) Minimální normální disjunktní forma (mndf) Minimální normální disjunktní forma (mndf) obsahuje nejmenší možný počet nejkratších implikantů(součinových termů), tj. přímých implikantů. Kriteria minimality tedy jsou: 1) má minimální délku formy (tj. počet přímých implikantů) 2) má minimální délku implikantů(tj. s min.počtem prom.) 3) eventuelně obsahuje minimální počet negací Minializace pomocí mapy: Pokrýváním jedničkových stavů zadané logické funkce vytvoříme nejmenší počet co největších smyček! Řešení nemusí být jediné. Ukázka viz Karnaughova resp. Svobodova mapa pro 4 proměnné v předchozím slajdu (41) řešení jsou dvě : 1. F 1 (a,b,c,d) = 2. F 2 (a.b.c.d) = ac + abc + bcd + abd

70 1. Kombinační logické obvody Příklad na tabulku pokrytí Je daná následující logická funkce 4 proměnných

71 1. Kombinační logické obvody tabulka pokrytí Existují dvě nejvýhodnějšířešení: F (a,b,c,d) = a.d+ a.d + c.d + a.b.c F 1 (a,b,c,d) = a.d+ a.d + c.d + b.c.d 2 Obě funkce jsou pro realizaci rovnocenné mají stejný počet termů (implikantů), termy jsou stejně dlouhé a je potřeba všechny proměnné negovat.

72 1. Kombinační logické obvody - realizace Ekvivalence logických členů NAND AND - NOT

73 1. Kombinační obvody realizace s členy NAND

74 1. Kombinační obvody návrh KLO s členy NAND Výchozí podmínky: - minimální forma logické funkce - jsou dané typy logických členů, resp. se volí pro danou technologii - je daná rychlost logického požaduje se snadná diagnostika a oživování - bere se ohled na konstrukčnířešení a další I. OBECNÁ a KLASICKÁ STRUKTURA AND OR Uvažujme realizaci dané logické v minimálním tvaru: F 3 (a,b,c,d) = a.b + a.d + a.b.d + a.c.d + a.b.c Tuto minimální součtové funkci (mndf) můžeme zakreslit ve struktuře AND - OR

75 1. Kombinační obvody realizace AND - OR

76 1. Kombinační obvody realizace c členy NAND Úprava minimální logické funkce pro realizaci s členy NAND Použijeme zákona dvojí negace (involuce) a De Morganových pravidel Z této úpravy lze již snadno nakreslit schéma se členy NAND neboť každé závorce odpovídá logický člen NAND a negace celého výrazu odpovídá pětivstupovému NAND výstupnímu

77 1. Kombinační obvody výsledné schéma Výsledné schéma se členy NAND max. třívstupovými - bylo třeba nahradit výstupní log. člen pětivstupový

78 1. Kombinační obvody příklad sčítačky