Analýza trigonometrické metody pro měření průhybu mostní konstrukce. Bakalářská práce

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra speciální geodézie Analýza trigonometrické metody pro měření průhybu mostní konstrukce Analysis of trigonometric method for measuring deflection of bridge Bakalářská práce Studijní program: Geodézie a kartografie Studijní obor: Geodézie a kartografie Vedoucí práce: Ing. Rudolf Urban, Ph.D. Ondřej Michal Praha 2013 ondrej.michal@fsv.cvut.cz

2

3 Prohlášení autora Prohlašuji, ţe jsem předloţenou práci vypracoval samostatně a ţe jsem uvedl veškeré pouţité informační zdroje v souladu s metodickým pokynem ČVUT 1/2009 O dodrţování etických principů při přípravě vysokoškolských závěrečných pracích. V Praze dne... Ondřej Michal Praha 2013 ondrej.michal@fsv.cvut.cz

4 Poděkování Chtěl bych poděkovat Ing. Rudolfu Urbanovi, Ph.D. za trpělivost při konzultacích, snadnou komunikaci a praktické připomínky k textu. Dále pak Lukáši Vosykovi, Alţbětě Prokopové a Janu Bartůňkovi za pomoc při měření, Ladislavu Palánovi a Aleně Peškové za korekturu textu a na závěr Ing. Vojtěchu Hronovi za to, ţe mě omluvil z cvičení během měření.

5 ABSTRAKT Zaměřování průhybových čar mostů klade velké nároky na přesnost a zároveň rychlost měření, protoţe přepjaté betonové konstrukce jsou velmi citlivé k dlouhodobému nárůstu průhybů. Spolehlivá předpověď těchto výchylek má velký vliv na ţivotnost konstrukce. Výsledky měření slouţí ke zpřesnění matematických predikčních metod chování přepjatých betonových konstrukcí. Nutnost zaměření velkého počtu bodů ve velmi krátkém čase prakticky zamezuje pouţití nivelace. Proto byly vyvinuta metoda trigonometrického zaměření profilu, která je dostatečně rychlá, ale její přesnost velmi kolísá v závislosti na atmosfírických podmínkách. Proto byl navrţen experiment ověřující přesnsot této metody ve srovnání s geometrickou nivelací ze středu. Zároveň byly pečlivě sledovány veličiny charakterizující stav atmosféry a bylo uváţeno zavádění oprav z vlivu vertikální sloţky refrakce do měřených převýšení dle empirického vzorce. Klíčová slova: most, průhybová čára, trigonometrická metoda, refrakce. ABSTRAKT Measurement deflection line of bridges puts high demans on accuracy and speed of measurement, because prestressed concrete structures are really responsive to the increase in long-term deflection. Reliable forecasts deflections of bridge structure has a great influence on its durability. Results from measurements are very useful for the improvement of mathematical prediction methods of behavior of prestressed concrete structures. Need to measure a large number of points in very short time does not allow use of digital leveling. Therefore was developed a technology for determine of deflection line, which is fast enough, but its accuracy depens on state of the atmosphere. Therefore was designed an experiment, which verifies the accuracy of these method in comparison with the leveling. During the measurment was also observed characteristics of the state of the atmosphere and was considered that the introduction of corrections of the effect of refraction according to the empirical formula. Key words: bridge, deflection line, trigonometric method, refraction.

6 OBSAH 1 Současný stav dané problematiky Návrh experimentu Lokalita Stabilizace bodů Rozvrţení do etap Přístrojová technika Totální stanice Trimble S6 robotic Nivelační přístroj Trimble DiNi 12 T Zkouška nivelačního přístroje kanálový teploměr Lutron BTM-4208SD Kalibrace teploměru Lutron BTM-4208SD Rozbor přesnosti před měřením Rozbor přesnosti trigonometrické metody Vliv zakřivení Země na měřené převýšení Určení chyby z nesvislosti cíle Vyčíslení přesnosti pro mezní podmínky Rozbor přesnosti referenčního měření přesnou nivelací Uváţení vlivu refrakce na měřená převýšení Určení teplotního gradientu Aproximace teplot měřených na čidlech během celého měření Aproximace závislosti teploty na výšce čidla nad terénem Výpočet teplotního gradientu v horizontu přístroje Provedení experimentu Referenční zaměření nivelací Výpočet výšek bodů profilu metodou nejmenších čtverců... 33

7 6.1.2 Zhodnocení přesnosti přesné nivelace za různých atmosférických podmínek Zaměření trigonometrickou metodou Vyhodnocení výsledků Ověření stability přístroje během etapy Srovnání výsledků trigonometrické metody a nivelace pro kaţdou etapu I. etapa II. etapa III. etapa IV. etapa V. etapa VI. etapa VII. etapa Ověření přesnosti pomocí statistických testů Porovnání přesnosti jednotlivých etap s rozbory přesnosti před měřením Ověření významnosti zvýšení přesnosti při zavádění oprav z refrakce Srovnání výsledků jednotlivých etap s nejpřesnější etapou Závěr Literatura a prameny Přílohy A. Textové přílohy B. Elektronické přílohy... 61

8 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1: Lokalita experimentu v měřítku 1:2000 se schematickým vyznačením profilu a připojovacího bodu Obr. 2: Ukázka stabilizace bodu hřebem FIXPIN v asfaltu Obr. 3: Totální stanice Trimble S6 roboti, výtyčka s řídící jednotkou Obr. 4: Digitální nivelační přístroj Trimble DiNi 12T Obr. 5: Förstnerova metoda zkoušky nivelačního přístroje Obr. 6: 12 kanálový teploměr Lutron BTM-4208SD Obr. 7: Schéma trigonometrického měření výšky bodu Obr. 8: Vliv zakřivení Země Obr. 9: Vliv odklonu od svislice na výšku cíle Obr. 10: Nivelační lať s teplotními čidly pro určení teplotního gradientu Obr. 11: Teplotní čidlo se stínítkem proti slunci Obr. 12: Proloţení teplot z jednotlivých čidel polynomickou funkcí Obr. 13: Graf závislosti teploty vzduchu na výšce nad terénem Obr. 14: Graf teplotního gradientu ve výšce 1,7 m v závislosti na čase s různými aproximacemi závislosti teploty na výšce nad terénem Obr. 15: Graf směrodatných odchylek výšek na bodech profilu v jednotlivých etapách Obr. 16: Odchylky výšek bodů v jednotlivých etapách od váţeného průměru všech etap Obr. 17: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace v I. etapě Obr. 18: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace ve II. etapě Obr. 19: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace ve III. etapě Obr. 20: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace ve IV. etapě Obr. 21: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace V. etapy Obr. 22: Graf odchylek trigonometrické metody od nivelace v VI. etapě Obr. 23: Graf odchylek trigonometrické metody od váţeného průměru všech nivelací Obr. 24: Odchylky na jednotlivých bodech v porovnání se VI. etapou bez zavedení oprav z refrakce Obr. 25: : Odchylky na jednotlivých bodech v porovnání se VI. etapou po zavedení oprav z refrakce s lineárním průběhem gradientu teploty... 55

9 SEZNAM TABULEK Tabulka 1: Výpočet oprav při kalibraci teplotních čidel Tabulka 2: Rozbor přesnosti přesné nivelace Tabulka 3: Mezní vliv refrakce na měřené převýšení Tabulka 4: Korelace mezi regresní křivkou a původními daty Tabulka 5: Korelace mezi měřenými daty a regresními funkcemi Tabulka 6: Přesnost jednotlivých etap Tabulka 7: Směrodatné odchylky na bodech profilu v jednotlivých etapách Tabulka 8: Výšky bodů v jednotlivých etapách a jejich váţený průměr Tabulka 9: Podmínky při jednotlivých etapách trigonometrického měření Tabulka 10: Rozdíl v převýšení na připojovací bod na začátku a na konci etapy Tabulka 11: Odchylky trigonometrické metody od nivelace v I. etapě Tabulka 12: Odchylky trigonometrické metody od nivelace ve II. etapě Tabulka 13: Odchylky trigonometrické metody od nivelace ve III. etapě Tabulka 14: Odchylky trigonometrické metody od nivelace ve IV. etapě Tabulka 15: Odchylky trigonometrické metody od nivelace V. etapy Tabulka 16: Odchylky trigonometrické metody od nivelace v VI. etapě Tabulka 17: Odchylky trigonometrické metody od váţeného průměru všech nivelací a od nivelace v VII. etapě Tabulka 18: Testování, zda jednotlivé etapy pocházejí ze základního souboru se směrodatnou odchylkou z rozboru přesnosti Tabulka 19: Testování výběrových směrodatných odchylek se zavedením oprav z vlivu refrakce... 54

10 ÚVOD ÚVOD V této práci se chci zabývat zhodnocením přesnosti trigonometrické metody zaměřování průhybových čar mostů. Měření průhybových čar mostů je technologicky velmi náročné, protoţe zárověň klade vysoké nároky na přesnost měření a na jeho rychlost. Aby bylo moţné zachytit průhybovou čáru s dostatečnou přesností, je nutné stabilizovat poměrně velké mnoţství bodů v takové hustotě, aby bylo moţné vypočtené posuny proloţit vhodným polynomem n-tého řádu s dostatečnou přesností. Poţadavky na přesnost by splňovala metoda geometrické nivelace ze středu, která však nesplňuje nároky na zaměření ve velmi krátkém čase, celá konstrukce by se mohla prohýbat i během měření. Z toho důvodu je nutné pouţít metodu trigonometrického měření výšek. Moderní robotické totální stanice s automatickým cílením a servomotory umoţňují v kombinaci s pamoramatickým hranolem výrazně zvýšit rychlost měření a zároveň odstranit měřičovu nepřesnost v cílení. Trigonometrickou metodu lze ale bezpečně pouţívat jen v noci, za stabilních atmosférických podmínek. Ve své práci budu prověřovat moţnosti pouţití trigonometrického určení výšek za různých podmínek v průběhu dne. Pro zjištění přesnosti metody bude zvolen vhodný experiment, napodobující podmínky měření na mostní konstrukci. Přesnost měření bude ověřována přesnější kontrolní metodou, geometrickou nivelací. Protoţe na výsledky trigonometrické metody má výrazný vliv svislá sloţka refrakce, bude do výsledků experimentálně zaváděna oprava z refrakce. Pro její určení bude během celého experimentu měřen teplotní gradient v těsné blízkosti přístroje. Po zavedení oprav bude uváţen jejich vliv na přesnost měření. Výstupem této práce by mělo být zhodnocení přesnosti trigonometrické metody za různých atmosférických podmínek porovnáním jejích výsledků s přesnější měřickou metodou a uváţení vhodnosti jejího pouţití k celodennímu sledování průhybové čáry. Dalším výsledkem pak bude posouzení přesnosti metody bez zavedení oprav z refrakce a s jejich zavedením. 9

11 ČVUT v Praze 1 SOUČASNÝ STAV DANÉ PROBLEMATIKY 1 SOUČASNÝ STAV DANÉ PROBLEMATIKY Zaměřování svislých posunů stavebních konstrukcí bylo aţ donedávna čistě záleţitostí geometrické nivelace ze středu, která svou přesností jako jediná metoda umoţňovala prokazatelně určit body podezřelé z posunu dle normy ČSN [5]. S nástupem elektronických dálkoměrů se trigonometrická metoda nivelaci svou přesností přiblíţila, ale nadále byla méně pouţívaná, protoţe neposkytovala výraznější časovou úsporu, zato byla náchylnější na vnější vlivy, zvláště refrakci [16]. Jsou vyvíjeny různé měřické postupy pro měření svislých posunů trigonometrickou metodou. Například experimnent bývalé Katedry niţší geodézie pouţívá metodu opakovaného měření zenitových úhlů na různá rozhraní na cílové značce, jehoţ pouţitím je moţno dosáhnou přesnosti charakterizované směrodatnou odchylkou výšky = 0,2 mm, coţ je pro většinu prací v této oblasti dostatečné. Přesnost této metody je vynikající, je však dosaţitelná pouze při vzdálenostech do padesáti metrů a je časově náročná kvůli vícenásobnému cílení. Vyţaduje také těţkou stabilizaci s nucenou centrací. Je pouţitelná spíše pro zátěţové zkoušky konstrukcí a sledování několika významných bodů během výstavby, pro dlouhodobé sledování průhybových čar není příliš vhodná [2]. Teprve nástup robotických totálních stanic, jeţ díky automatickému cílení a motorizovaným ustanovkám umoţňují efektivní obsluhu pouze jedním pracovníkem, který zároveň obsluhuje hranol, přinesla významnou časovou úsporu. Tato úspora je důleţitá právě pro zaměřování průhybové čáry konstrukce, kdy je snaha o zachycení stavu konstrukce pokud moţno v jeden okamţik v praxi v co nejmenším časovém intervalu. Právě z tohoto důvodu byla trigonometrická metoda s pouţitím robotické totální stanice pouţita pro zaměřování průhybové čáry mostu u Mělníka a Brzotic. Výsledky těchto měření dokazují, ţe tato metoda je úspěšně pouţitelná v praxi. Metoda spočívá v rychlém zaměření předem stabilizovaných bodů v pravidelných rozestupech a následné proloţení výsledků vhodnou průhybovou čarou. Má však významná omezení z důvodu sníţení vlivu atmosféry na měřená data musí měření probíhat za co nejstálejších podmínek, které nastávají v noci. Přesnost metody zde byla v rozborech přesnosti stanovena na 1,8 mm, při výpočtu výběrové směrodatné odchylky z opakovaných měření se pro body do vzdálenosti 200 m dostáváme na přesnost 0,67 mm. Pro denní měření je třeba metodu upravit, na závěr kaţdé etapy je změřeno několik charakteristických bodů profilu znovu, z rozdílu mezi původní a novou výškou jsou pak vypočteny korekce z průhybu konstrukce během měření [21]. 10

12 ČVUT v Praze 1 SOUČASNÝ STAV DANÉ PROBLEMATIKY Ve své práci se také budu také zabývat uváţením vlivu svislé sloţky refrakce na měřená převýšení. V minulosti bylo vytvořeno velké mnoţství různých refrakčních modelů, nejznámější je pravděpobně Gaussovo určení refrakčního koeficientu k = 0,13. Tato hodnota byla vypočtena z velkého mnoţství měřených zenitových úhlů v jiţní Německu v 19. století. Jeho platnost je však moţné uvaţovat jen za podobných podmínek, tedy při dlouhých záměrách vysoko nad terénem, přesto bývá mnohdy automaticky a zcela mylně zaváděn do měřených zenitových ůhlů [1]. Většina autorů se pak snaţí nalézt empirickou závislost mezi hodnotou refrakčního koeficientu a velikostí gradientu indexu lomu v daném prostředí, neboť index lomu n se stal nejspolehlivějším ukazatelem kvality prostředí. Důleţité je potom určit závislost mezi indexem lomu a výškou nad terénem [12]. Stanovením rovnice závislosti indexu lomu na výšce nad terénem se zabývá například článek profesora Pospíšlila, který ze Snellova zákona vyvozuje exponenciální závislost indexu lomu na výšce nad terénem, jejíţ parametry byly stanoveny pomocí meteorologických měření. Tento model předpokládá u vodorovné záměry o délce 30 metrů odchylku -0,135 mm, pro 1 km je to však jiţ -149,96 mm [17]. Praktickým pouţitím modelů popisujících průchod paprsku se zabývá [23], která pojednává o pouţití trigonometrické metody za extrémních teplotních podmínek. V této práci jsou výpočetně a mateticky náročné modely průchodu paprsku prostředím porovnávány s empirickým vzorcem prof. Böhma, přičemţ ukazuje, ţe pro kratší vzdálenosti a malé hodnoty teplotního gradientu jsou jejich výsledky srovnatelné. 11

13 2 NÁVRH EXPERIMENTU 2 NÁVRH EXPERIMENTU Experiment spočívá ve srovnání výsledků zaměření podélného profilu o délce přibliţně 200 metrů robotickou totální stanici TRIMBLE S6 robotic a výsledků přesnější referenční metody přesné nivelace. Zároveň jsou po celou dobu měření zaznamenávány teploty v různých vrstvách atmosféry, aby mohl být spočten teplotní gradient a výsledky trigonometrické metody následně opraveny o vliv svislé sloţky atmosférické refrakce. 2.1 Lokalita Experiment byl proveden v Praze 6 Dejvicích, v parku Indiry Gandhiové, viz Obr. 1. A to z důvodu vhodné délky s dobrou viditelností po celé délce profilu a blízkosti budov Fakulty stavební ČVUT v Praze a tím pádem malými problémy s dopravou přístrojů apod. Důleţitým faktorem byl také zákaz vjezdu automobilů do tohoto parku, coţ velmi usnadní celodenní observaci na asfaltové komunikaci. Obr. 1: Lokalita experimentu v měřítku 1:2000 se schematickým vyznačením profilu a připojovacího bodu [6] 2.2 Stabilizace bodů Všech šestnáct bodů profilu i připojovací bod byly stabilizovány pomocí nastřelovacího hřebu FIXPIN o délce 18 mm. 12

14 2 NÁVRH EXPERIMENTU Obr. 2: Ukázka stabilizace bodu hřebem FIXPIN v asfaltu Body profilu byly umístěny na straně komunikace cca 50 cm od okraje - Obr. 2. Body byly umisťovány kaţdých 10 m, tyto délky byly rozměřeny pásmem. Připojovací bod 4001 byl stabilizován na protější stranu komunikace cca 60 m od předpokládaného stanoviska přístroje. 2.3 Rozvržení do etap Hlavním výstupem experimentu je zhodnocení přesnosti trigonometrického určování výšek za různých vnějších podmínek. Proto byl profil zaměřován několikrát během jednoho dne. V kaţdé etapě je profil zaměřen nejprve přesnou nivelací a následně trigonometrickou metodou. První etapa měření proběhla v časných ranních hodinách (kvůli rannímu dešti byl začátek měření posunut na cca 8:00). Další etapy proběhly kontinuálně za sebou, tak aby mohly být sledovány výsledky trigonometrické metody v závislosti na měnící se teplotě a zvláště teplotním gradientu. Poslední etapa měření proběhla za tmy, kdy předpokládáme stálé atmosférické podmínky s minimálním vlivem na přesnost měření. 13

15 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA 3.1 Totální stanice Trimble S6 robotic Pro zaměření byla pouţita velmi přesná totální stanice Trimble S6 HP, v provedení robotic Obr. 3. Ta díky moţnosti odpojení řídící jednotky od přístroje a její následné připojení k výtyčce umoţňuje velmi rychlé a přesné měření pouze jedním obsluhujícím pracovníkem. Velká přesnost a rychlost měření je zaručena kvalitními servomotory a systémem automatického cílení pomocí pasivního sledování hranolu. Automatické cílení je výhodné, protoţe měření na mostě probíhají převáţně za tmy, kdy je cílení pro člověka obtíţnější a pomalejší, často je také nutné osvětlení hranolu [22]. Obr. 3: Totální stanice Trimble S6 roboti, výtyčka s řídící jednotkou [22] Při měření byl pouţíván všesměrný hranol, který zaručuje konstantní sledování hranolu přístrojem. Hranol je umístěn na speciální výtyčce s hladkou koncovkou, zaručující neměnnou výšku cíle. Na výtyčce je také umístěna přenosná řídící jednotka umoţňující snadné ovládání přístroje jednou osobou přímo ze zaměřovaného bodu. Nejdůleţitější technické parametry přístroje: Přesnost směru v jedné skupině: 1'', tedy 0,3 mgon. Přesnost délky: 1 mm + 1 ppm D. Pro délky do pěti set metrů, coţ je při experimentu dodrţeno, platí obojí i pro robotizované měření s automatizovaným cílením [20]. 14

16 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA 3.2 Nivelační přístroj Trimble DiNi 12 T Pro kontrolní zaměření experimentálního profilu byl pouţit digitální nivelační přístroj Trimble DiNI 12 T (Obr. 4) s invarovou kódovou latí o délce 2 m. Při měření na tuto lať je pro odečet nutná viditelnost alespoň 30 cm latě. Přístroj umoţňuje měření v rozsahu 1,5 aţ 100 metrů a při dodrţení zásad geometrické nivelace ze středu je udávána střední chyba obousměrné kilometrové nivelace 0,3 mm. Softwarové vybavení umoţňuje výpočet vyrovnaných výšek určovaných bodů pomocí metody nejmenších čtverců přímo v terénu [19]. Obr. 4: Digitální nivelační přístroj Trimble DiNi 12T [19] Pro rozbor přesnosti bude pouţita experimentálně určená přesnost jedné záměry dle [4], neboť z výsledků vyplývá, ţe zvláště pro krátké záměry, coţ odpovídá podmínkám v tomto experimentu, je přesnost přístroje vyšší, neţ výrobcem udávaná [19]. Část experimentu proběhla v noci, přičemţ pouliční osvětlení je pro čtení na kódové lati pro přístroj nedostatečné, osvětlení příručním světlem je většinou nekvalitní a nedostatečně rovnoměrné. Byla proto pouţita aparatura pro rovnoměrné osvětlení nivelační latě, která byla pouţita při přesné nivelaci tímto přístrojem v podzemních prostorách. Při tomto měření bylo ověřeno, ţe ani za zhoršených světelných podmínek nedochází ke statisticky významnému zhoršení přesnosti měřeného převýšení [9] Zkouška nivelačního přístroje Při zkoušce nivelačního přístroje se zjišťuje odklon záměrné osy přístroje od vodorovné roviny. Při dodrţení zásad geometrické nivelace ze středu se chyba v měřeném převýšení neprojeví, neboť má stejnou velikost v naměřeném převýšení vpřed i vzad. Pokud však při měření není moţné vţdy dodrţovat stejnou délku záměry vpřed a vzad, je nutné naměřená převýšení opravovat o vliv této chyby [1]. 15

17 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA Při zkoušce je také prověřeno, zda tato chyba nedosahuje velikosti, jeţ by značila mechanické poškození přístroje. V České Republice je pro zkoušku nejčastěji pouţívána tzv. japonská metoda, často označována také jako klasická. Při ní je jedna nivelační sestava nejprve zaměřena ze středu a poté zpoza jednoho z koncových bodů; přístroj stojí od bodu jen v takové vzdálenosti, v níţ je moţno zaostřit. V převýšení naměřeném ze středu se chyba neprojeví, zatímco v druhém se projeví maximálně. Ze známé délky sestavy je pak moţno vypočítat opravu naměřeného převýšení na jeden metr záměry [1]. Další metodou určení chyby ve vodorovnosti záměrné přímky je známa jako Förstnerova. Opět je zaloţena na dvojím zaměření téţe nivelační sestavy, ale s odlišnými stanovisky přístroje neţ v předchozím případě. Při prvním zaměření stojí přístroj přibliţně v jedné třetině nivelační sestavy, při druhém pak ve dvou třetinách dle Obr. 5. Chyba v převýšení způsobená nevodorovností záměrné přímky se pak v obou případech projeví stejnou velikostí, ale s opačným znaménkem. Z rozdílu naměřených převýšení získáme velikost chyby v převýšení odpovídající třetině délky sestavy [10]. Obr. 5: Förstnerova metoda zkoušky nivelačního přístroje. (1)... převýšení naměřené z bodu A.... převýšení naměřené z bodu B.... čtení na lati z bodu b na bod 1, další analogicky.... oprava z nevodorovnosti záměry odpovídající S/3. Dle [13] má sice Förstnerova metoda trochu niţší přesnost neţ klasický způsob, ale je díky méně rozdílným délkám záměr méně náchylná na změnu směru záměrné přímky v závislosti na přeostřování přístroje. 16

18 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA V tomto případě byla pro zkoušku pouţita Förstnerova metoda. A to také z důvodu, ţe software nivelačního přístroje obsahuje funkci umoţňující její rychlé provedení a následné automatické zavádění oprav do měřených převýšení [10] kanálový teploměr Lutron BTM-4208SD Pro měření teploty vzdušných vrstev v průběhu experimentu, pro určení teplotního gradientu, byl pouţit vícekanálový teploměr Lutron BTM-4208SD (Obr. 6). Přístroj umoţňuje souběţné měření teploty aţ 12 čidly, která jsou ve formě drátu, dosah přístroje je tedy omezen pouze jeho délkou. Přístroj všechna naměřená data zároveň registruje na SD kartu a podporuje rychlý export dat do programu MS Excel. Rozsah měření přístroje je -50 aţ 1700 C s přesností 0,4 % C, coţ je pro tento experiment dostačující [14]. Obr. 6: 12 kanálový teploměr Lutron BTM-4208SD [14] Kalibrace teploměru Lutron BTM-4208SD 12 kanálový teploměr Lutron BTM-4208SD byl při experimentu pouţit pro přesné měření teplotního gradientu vzduchových vrstev. Přístroj v továrním nastavení umoţňuje velmi přesný záznam relativních změn teploty v čase pro kaţdé čidlo, absolutní hodnoty teplot z jednotlivých čidel se však mohou lišit, a protoţe při experimentu bude nutné porovnávat hodnoty ze všech čidel v jeden okamţik, je nutné čidla vzájemně kalibrovat. Pro kalibraci musí být zajištěna stálá a jednotná teplota v okolí všech čidel, jako ideální médium byla proto pouţita voda o pokojové teplotě, která má v celém objemu téměř stejnou teplotu a díky velké tepelné kapacitě se v průběhu kalibrace změní jen minimálně. Všechna čidla byla ponořena do vody co nejblíţe k sobě a ponechána několik desítek minut ve stejné poloze pro ustálení teploty v jejich okolí. Poté byl přístroj zapnut a nastaven 17

19 3 PŘÍSTROJOVÁ TECHNIKA tak, aby ukládal naměřená data ze všech čidel v časovém intervalu dvě sekundy. Takto byl přístroj ponechán asi 45 minut. Tímto způsobem bylo získáno 1160 záznamů pro kaţdé ze čtyř čidel. Pro kaţdý záznam byl vypočten aritmetický průměr teplot. Ke kaţdému čidlu byla vypočtena oprava od aritmetického průměru. Tabulka 1: Výpočet oprav při kalibraci teplotních čidel Číslo záznamu Teplota [ C] Odchylka od průměru [ C] datum čas čidlo 1 čidlo 2 čidlo 3 čidlo 4 Průměr Č. 1 Č. 2 Č. 3 Č :47:39 17,1 16,9 17,1 17,0 17,03 0,1-0,1 0,1 0, :47:41 17,1 16,9 17,1 17,0 17,03 0,1-0,1 0,1 0, :47:43 17,1 16,9 17,1 17,0 17,03 0,1-0,1 0,1 0, :47:45 17,1 16,9 17,1 17,0 17,03 0,1-0,1 0,1 0, :26:11 18,1 17,8 18,1 17,9 17,98 0,1-0,2 0,1-0, :26:13 18,1 17,8 18,1 17,9 17,98 0,1-0,2 0,1-0, :26:15 18,1 17,8 18,1 17,9 17,98 0,1-0,2 0,1-0, :26:17 18,1 17,8 18,1 17,9 17,98 0,1-0,2 0,1-0,1 Průměr čidla 17,50 17,58 17,39 17,59 17,44 17,50 0,081-0,114 0,091-0,058 Opravy pro jednotlivá čidla Všechny opravy pro kaţdé čidlo byly opět zprůměrovány a výsledkem byla hodnota opravy od správné hodnoty pro kaţdé čidlo Tabulka 1. 18

20 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM Body profilu budou zaměřovány trigonometrickou metodou ve dvou polohách dalekohledu a kontrolně geometrickou nivelací ze středu. Vertikální posun bodu je určen vzorcem:, (2) kde je výška bodu v základní etapě, tj. v tomto případě výška určená nivelací a je výška bodu zaměřená trigonometricky. Absolutní hodnoty výšek bodů pro experiment nejsou podstatné, postačí tedy připojení na jeden známý bod, shodný jak pro nivelaci, tak pro úhlové měření. Během experimentu budou body povaţovány za stabilní, posuny p na jednotlivých bodech tedy budou představovat rozdíl v určení výšky nivelací a trigonometrickou metodou. Přesnost výšek z nivelace je, jak plyne z kapitoly 4.2, výrazně vyšší neţ přesnost trigonometrického měření, navíc výšky určené nivelací budou dále zpřesněny vyrovnáním metodou nejmenších čtverců kapitola 6.1.1, posun na bodě tedy přibliţně odpovídá skutečné chybě výšky určené trigonometrickou metodou. Při zaměření výšky bodu trigonometrickou metodou jsou měřeny šikmé délky a příslušné zenitové úhly. Stanovisko přístroje pro trigonometrickou metodu je vhodně voleno tak, aby bylo moţné určit nejlépe všechny stabilizované body průhybového profilu najednou. Vzhledem k určování relativních výšek bodů profilu se do dalších výpočtů výška přístroje nad terénem nepromítne [1], [16]. Obr. 7: Schéma trigonometrického měření výšky bodu. Do výpočtu vstupuje výška cíle na pozorovaném a připojovacím bodě. Tyto výšky budou v rámci udrţení přesnosti a zjednodušení výpočtu stejné, coţ bude zajištěno speciální výtyčkou s konstantní výškou s přípravkem ve spodní části pro výšková měření. Výšky cíle je tedy moţno z výpočtu eliminovat. Funkční vztah pro výpočet výšky bodu profilu je po zjednodušení dán vzorcem: (3) 19

21 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM... výška i-tého bodu.... výška připojovacího bodu.... šikmá vzdálenost k připojovacímu bodu.... šikmá vzdálenost k i-tému bodu.... zenitový úhel na připojovací bod.... zenitový úhel na i-tý bod. 4.1 Rozbor přesnosti trigonometrické metody Aby mohly být určeny body podezřelé z posunu, značící větší nepřesnost metody neţ bylo očekáváno, je nutné stanovit apriorní směrodatnou odchylku relativních výšek bodů profilu. Ze vzorce (3) je zřejmé, ţe přesnost určení výšky bodu závisí na přesnosti měřených délek a zenitových úhlů. Navíc je nutné vzít v úvahu přesnost výšky cíle, která závisí na odklonu cíle od svislice. Tato chyba není závislá na zbylých měřených veličinách, bude proto řešena odděleně na závěr. Parciálním derivováním vzorce (3) a zavedením skutečných chyb jako diferenciálu získáme vzorec pro skutečnou chybu výšky i-tého bodu profilu. (4)... skutečná chyba výšky i-tého bodu.... skutečná chyba výšky připojovacího bodu.... skutečná chyba délky na připojovací bod.... skutečná chyba délky na i-tý bod.... skutečná chyba zenitového úhlu na připojovací bod.... skutečná chyba zenitového úhlu na i-tý bod. Protoţe jsou určovány pouze relativní výškové rozdíly a připojovací bod můţe být v rámci trvání experimentu povaţován za stabilní, skutečná chyba výšky připojovacího bodu můţe být vypuštěna [3]. Získáváme tak zjednodušenou rovnici: (5) Všechny skutečné chyby v tomto vzorci jsou nezávislé, lze přejít na směrodatné odchylky. Zároveň předpokládáme, ţe přesnost měření zenitových úhlů je stálá a můţeme 20

22 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM psát:. Získáváme tak výsledný vzorec pro kvadrát směrodatné odchylky výšky: ( ) (6)... směrodatná odchylka výšky i-tého bodu.... směrodatná odchylka délky na připojovací bod.... směrodatná odchylka délky na i-tý bod.... směrodatná odchylka zenitového úhlu Vliv zakřivení Země na měřené převýšení Vzdálenosti mezi stanoviskem a pozorovanými body v experimentu dosahují téměř dvou set metrů, je tedy nutné uvaţovat negativní vliv zakřivení zemského povrchu na měřená převýšení a vypočtená převýšení o tento vliv opravit. Velikost opravy se snadno odvodí z naměřené vodorovné délky a příslušného středového úhlu, při známém poloměru náhradní koule [16]. Obr. 8: Vliv zakřivení Země Z trojúhelníku ABB odvodíme dle Obr. 8, ţe vliv zakřivení je definován jako a z trojúhelníka ABS pak vyjádříme středový úhel. Výslednou opravu převýšení můţeme vyjádřit dle vzorce (7). (7) 21

23 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM... vodorovná vzdálenost mezi body.... poloměr Země. Pro výpočet opravy svou přesností zcela postačuje poloměr Gaussovy náhradní koule: Pro nejvzdálenější bod profilu ( ), činí oprava ze zakřivení Země 6,3 milimetru Určení chyby z nesvislosti cíle Na velikost směrodatné odchylky výšky cíle má zásadní vliv odklon cíle od svislice. Pro urovnání cíle do svislice slouţí krabicová libela, která má přesnost 4'-6' [22]. Vliv této chyby na výšku cíle lze snadno odvodit z Obr. 9. Obr. 9: Vliv odklonu od svislice na výšku cíle Skutečná výška cíle je vţdy menší neţ výška cíle, klesá s cosinem úhlu odklonu od svislice: (8)... skutečná chyba výška cíle.... odchylka cíle od svislice. Pro zjištění velikosti směrodatné odchylky vzorec (8) parciálně derivujeme dle diferenciály nahradíme skutečnými chybami: i 22

24 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM (9)... skutečná chyba výšky cíle.... skutečná odchylka od svislice. Předpokládáme, ţe výšku cíle známe přesně, první sčítanec tedy můţeme zanedbat. Dále pak předpokládáme, ţe a z Taylorova rozvoje funkce sinus vyplývá, ţe pro úhly blíţící se k nule je jeho funkční hodnota přibliţně rovna tomuto úhlu. V našem případě:. (10) Po těchto úpravách můţeme přejít na směrodatné odchylky, získáváme tak výslednou směrodatnou odchylku výšky cíle: (11)... směrodatná odchylka výšky cíle.... směrodatná odchylka svislosti cíle (přesnost krabicové libely). Po dosazení chyby krabicové libely byla vypočtena, její velikost je v řádu desítek mikrometrů, její vliv na přesnost metody je tedy zanedbatelný Vyčíslení přesnosti pro mezní podmínky Ze vzorců (6) a (11) můţeme vyjádřit vzorec pro celkovou směrodatnou odchylku metody takto: ( ). (12) Přičemţ výraz z (11) zavádíme dvakrát, protoţe výška cíle má vliv jak při měření na bodech profilu, tak při měření na připojovací bod. Jako mezní hodnoty byly stanoveny délka na nejvzdálenější bod profilu cca 200 m a zenitový úhel 90 gonů (ekvivalentně 110 gonů). Délka na připojovací bod byla 50 m a zenitový úhel opět 90 gonů. Při těchto hodnotách je, přičemţ vliv velikosti zenitového úhlu je v řádu desetin mm a vliv odklonu cíle od svislice dokonce v řádu setin mm. 23

25 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM 4.2 Rozbor přesnosti referenčního měření přesnou nivelací Rozbor přesnosti byl počítán dle [4] jako souhrn směrodatných odchylek všech záměr v celém pořadu. Dle zákona hromadění středních chyb byla přesnost celého nivelačního pořadu vypočtena jako odmocnina ze součtu variancí všech záměr [3]. (13)... směrodatná odchylka převýšení celého niv. pořadu.... variance výběrové směrodatné odchylky jedné záměry. Protoţe nivelační pořad je zakončen na počátečním bodě, odpovídá přesnost pořadu přesnosti uzávěru na tomto bodě a můţe z ní být vypočten uzávěr mezní: (14) Přičemţ je mezní uzávěr pro měření zpět a vpřed a pro přesnější způsob měření zpět-zpět a vpřed-vpřed, který byl při měření pouţit. Celý výpočet včetně vypočtených uzávěrů je znázorněn, viz Tabulka 2. 24

26 4 ROZBOR PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM Tabulka 2: Rozbor přesnosti přesné nivelace sestava délka záměry [m] střední chyba záměry [mm] variance záměry [mm] ,042 0, ,042 0, ,018 0, ,018 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,014 0, ,042 0, ,042 0, ,018 0, ,018 0, ,018 0, ,018 0, ,018 0, ,018 0, délka pořadu 310 0,124 0,015 mezní uzávěr [zv] / [zzvv] [mm] 0,373 0,264 25

27 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ 5 UVÁŽENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ Nelineární průběh paprsku elektromagnetického záření atmosférou je jedním z nejvýznamnějších faktorů limitujících přesnost trigonometrické metody. Průběh paprsku závisí na indexu lomu vzduchu v okolí jeho trasy. Index lomu je funkcí teploty, tlaku a vlhkosti vzduchu, přičemţ největší vliv má teplota [8], [12]. V praxi je však nemoţné měřit všechny parametry indexu lomu vzduchu v průběhu celé dráhy paprsku, zvláště s ohledem na jejich velkou proměnlivost například poryvy větru, na které měřicí přístroje zareagují se zpoţděním. Proto byla měřena pouze teplota, jejíţ gradient má na průběh paprsku největší vliv. Z těchto dat byl modelován mezní vliv refrakce na měřená převýšení, který by reálně neměl být překonán. Existuje několik modelů simulujících průchod paprsku atmosférou zaloţených na Snellově zákonu či na diferenciální rovnici průchodu vlnoplochy nehomogenním prostředím. Tyto modely jsou teoreticky i numericky velmi náročné a přesahují téma této práce. Dle [23] by pro odhad mezního vlivu refrakce měl postačovat přibliţný vzorec profesora Böhma: ( ) ( ). (15)... změna měřeného převýšení způsobená refrakcí.... změna teploty v závislosti na změně výšky (teplotní gradient). Experiment je naplánován na teplý den, takţe zvláště u etap měřených v poledne a odpoledne a ohřevu vzduchu nad asfaltovým povrchem se dá očekávat velikost teplotního gradientu v řádu desetin C/m. Byly proto předem vypočteny odhady mezního vlivu refrakce pro několik velikostí teplotního gradientu a několik délek z uvaţovaného profilu Tabulka 3. Vliv refrakce [m] Teplotní gradient * + Tabulka 3: Mezní vliv refrakce na měřené převýšení Délka [m] ,1 0,0002 0,0006 0,0014 0,0025 0,2 0,0003 0,0011 0,0024 0,0043 0,5 0,0006 0,0025 0,0056 0,0099 0,7 0,0009 0,0034 0,0077 0, ,0012 0,0048 0,0108 0,

28 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ Z tabulky je zřejmé, ţe i při malém teplotním gradientu má u délek přes sto metrů refrakce takový vliv, ţe naprosto degraduje přesnost metody. 5.1 Určení teplotního gradientu Stěţejní veličinou pro určení opravy výšky z vlivu refrakce je hodnota teplotního gradientu odpovídající výšce přístroje. Během experimentu byla pomocí multikanálového teploměru Lutron BTM-4208SD kaţdou minutu zaznamenávána teplota na čtyřech teplotních čidlech. Čidla byla připevněna na nivelační lati ve výškách 20 cm, 90 cm, 160 cm a 230 cm. Čidla mají podobu tenkého zvonkového drátu, nebyl proto problém umístit je cca 5 cm od latě tak, aby nebyla ovlivněna ohříváním samotné latě. Obr. 10: Nivelační lať s teplotními čidly pro určení teplotního gradientu Čidla byla zastíněna alobalem tak, aby na ně nikdy během měření nedopadaly přímé sluneční paprsky a byly měřeny skutečné teploty jednotlivých vrstev atmosféry. 27

29 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ Obr. 11: Teplotní čidlo se stínítkem proti slunci Výsledkem měření byla okamţitá teplota atmosféry pro čtyři výšky nad povrchem Země, zaznamenaná kaţdou minutu. K dalšímu pouţití bylo nutné tato data statisticky zpracovat. Teplotu v tomto případě uvaţujeme jako funkci dvou proměnných času a výšky nad terénem. Tyto závislosti budeme prošetřovat odděleně. To před nás klade otázku, zda nejprve aproximovat teploty na jednotlivých čidlech a poté vypočítávat závislost na výšce, či naopak. Pro jistotu byly provedeny oba způsoby, jejich výsledky jsou prakticky shodné, ale způsob, kdy je nejprve vypočten gradient a teprve následně je aproximována závislost na čase, je mnohem méně statisticky stabilní, korelace mezi regresní funkcí a původními daty je velmi nízká. Proto je níţe popsán postup, kdy jsou nejprve aproximovány teploty z kaţdého čidla pro celý den a následně jsou zaváděny funkce popisující vztah teploty a výšky nad zemským povrchem Aproximace teplot měřených na čidlech během celého měření Nejprve byly naměřené teploty za celý den pro kaţdé čidlo proloţeny regresní křivkou. Protoţe dat bylo velké mnoţství, mohly být pouţity sloţitější křivky s více parametry tak, aby křivka co nejlépe odpovídala průběhu teplot na jednotlivých čidlech. Pro proloţení byl pouţit toolbox Curve Fitting Tool programu MATLAB verze Tento toolbox umoţňuje načíst statistická data a proloţit je libovolnou křivkou (velké mnoţství křivek je předdefinováno, zároveň je moţné nadefinovat si regresní křivku vlastní). Tabulka 4: Korelace mezi regresní křivkou a původními daty H [m] Čidlo 1 0,2 0,9472 Čidlo 2 0,9 0,9644 Čidlo 3 1,6 0,9511 Čidlo 4 2,3 0,9662 V našem případě vycházela regrese nejlépe pro polynom šestého stupně, coţ dokládají hodnoty kvadrátu korelačního koeficientu, které mohou nabývat hodnot od 0 do 1, 28

30 Teplota [ C] ČVUT V PRAZE 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ přičemţ hodnoty blízké 1 ukazují na vysoký stupeň korelace, a tedy velkou míru závislosti Tabulka 4. Po proloţení se zobrazí data spolu s regresní křivkou do grafu a je umoţněna i další práce s daty. Jednou z moţností je vyčíslení hodnot regresní křivky pro původní hodnoty y, coţ byly v našem případě jednotlivé časy záznamu teplot. Takto byly získány vyrovnané hodnoty teplot pro jednotlivá čidla Čidlo 1 Regrese 1 Čidlo 2 Regrese 2 Čidlo 3 Regrese 3 Čidlo 4 Regrese Číslo záznamu Obr. 12: Proloţení teplot z jednotlivých čidel polynomickou funkcí Z Obr. 12 je zřetelné, ţe největší rozdíl mezi teplotami na jednotlivých čidlech je mezi záznamy 200 a 400, coţ odpovídá časovému rozmezí mezi 12. aţ 16. hodinou. V tomto období se tedy dá předpokládat největší teplotní gradient a tím pádem i největší vliv refrakce na výsledky měření Aproximace závislosti teploty na výšce čidla nad terénem Nyní máme k dispozici vyrovnané teploty pro kaţdé čidlo. K získání teplotního gradientu ve výšce přístroje (cca 1,70 m) je nutné odhadnout závislost mezi výškou čidla nad zemí a teplotou a následně tuto závislost funkčně vyjádřit. Pro danou závislost existuje více modelů; v našem případě byly pouţity tři a jejich výsledky srovnávány: 29

31 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ proloţení lineární funkcí: (16) proloţení mocninou funkcí: (17) proloţení exponenciální funkcí...výška nad terénem.... teplota vzduchu.... parametry funkcí. Proloţení lineární funkcí je výpočetně nejjednodušší, navíc koeficient (18) je přímo hledaný teplotní gradient, ale také nejméně odpovídá realitě, ve skutečnosti předpokládáme, ţe blíţe k povrchu země budou změny teploty prudší. Tomuto předpokladu více odpovídají zbývající dva modely [12], [18]. Pro ukázku je v Obr. 13 znázorněno proloţení hodnot pro všechny tři způsoby. Data v tomto grafu odpovídají stavu atmosféry v čase 15:45. Při regresní analýze byly opět vypočteny hodnoty pro odhad míry závislosti mezi daty a regresními funkcemi Tabulka 5. V tomto případě ale hodnoty odpovídají pouze konkrétnímu okamţiku, v průběhu dne se mění. Tabulka 5: Korelace mezi měřenými daty a regresními funkcemi Typ regrese Lineární 0,689 Mocninná 0,805 Exponenciální 0,738 30

32 Teplota [ C] ČVUT V PRAZE 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ Teplota lineární odmocniná exponenciální Výška nad terénem [m] Obr. 13: Graf závislosti teploty vzduchu na výšce nad terénem Výpočet teplotního gradientu v horizontu přístroje Pro určení opravy dle vzorce (15) je ideální určit teplotní gradient přímo v horizontu přístroje. Gradient z matematického hlediska vyjadřuje směr a velikost největšího spádu a odpovídá tedy 1. derivaci funkce. Dle této úvahy funkce (16), (17) a (18) derivujeme a dosadíme výšku přístroje 1,70 m. Tento výpočet učiníme pro diskrétní hodnoty odpovídající kaţdé minutě měření a získáme průběh teplotního gradientu během celého dne pro všechny tři typy závislosti - Obr

33 9:03:03 9:34:03 10:05:03 10:36:03 11:07:03 11:38:03 12:09:03 12:40:03 13:11:03 13:42:03 14:13:03 14:44:03 15:15:03 15:46:03 16:17:03 16:48:03 17:19:03 17:50:03 18:21:03 18:52:03 19:23:03 19:54:03 20:25:03 20:56:03 grad T [ C/m] ČVUT V PRAZE 5 UVÁŢENÍ VLIVU REFRAKCE NA MĚŘENÁ PŘEVÝŠENÍ 0,5 0,4 I II III IV V VI VII 0,3 0,2 0,1 0-0,1 exponenciální lineární mocninná I.-VII. etapa -0,2-0,3-0,4 Čas [hh:mm:ss] Obr. 14: Graf teplotního gradientu ve výšce 1,7 m v závislosti na čase s různými aproximacemi závislosti teploty na výšce nad terénem V grafu jsou ţlutými pruhy znázorněny jednotlivé etapy, je tedy jasně vidět, ţe největší vliv má refrakce ve třetí a čtvrté etapě měření. 32

34 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU 6.1 Referenční zaměření nivelací Před první etapou byla provedena zkouška nivelačního přístroje dle kapitoly Software přístroje automaticky vypočetl odklon záměrné přímky od vodorovné záměry c = 0,28 mgon, coţ odpovídá 0,004 mm na jeden metr záměry. V kaţdé etapě bylo přesnou nivelací zaměřeno 17 převýšení mezi 16 body profilu a bodem připojovacím. Výška připojovacího bodu byla známa, určováno bylo 16 výšek bodů profilu. V první etapě byl pořad z důvodu špatného nastavení softwaru měřen pouze jednou zpět a jednou vpřed (zv), v dalších etapách jiţ byl nastaven správný systém dvakrát zpět a dvakrát vpřed (zzvv) Výpočet výšek bodů profilu metodou nejmenších čtverců V kaţdé etapě tedy bylo jedno nadbytečné měření a pro přesný odhad výšek bodů bylo nutno tyto výšky vypočítat vyrovnáním metodou nejmenších čtverců (dále jen MNČ). Aby bylo moţné jednotlivé etapy porovnávat, byl výpočet prováděn pro kaţdou etapu zvlášť. Nejprve byly sestaveny rovnice pozorování:, (19) pro všechna měřená převýšení. Parciálními derivacemi jednotlivých rovnic pozorování dle výšek bodů byla vytvořena matice plánu. (Všechny prvky matice plánu jsou nulové, pouze ty odpovídající i-tému bodu nabývají hodnoty 1 a j-tému. Váhová matice je diagonální a hodnoty na diagonále jsou nepřímo úměrné délkám jednotlivých převýšení R. Výpočet výšek z měřených převýšení je lineární úloha, řešení MNČ je tedy značně zjednodušeno, protoţe pozorování není nutné linearizovat a můţeme ihned přistoupit k normálním rovnicím: ( ) (21)... vektor výšek určovaných bodů.... vektor měřených převýšení. (20) 33

35 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU Pro moţnost zhodnocení přesnosti jednotlivých etap byla vypočtena aposteriorní jednotková směrodatná odchylka jako: (22)... vektor oprav mezi vyrovnou a měřenou hodnotou převýšení.... počet pozorování. S pouţitím aposteriorní směrodatné odchylky pak byla vypočtena kovarianční matice výšek určovaných bodů a také kovarianční matice měřených převýšení [3]. ( ) ( ) (23)... kovarianční matice vyrovnaných výšek určovaných bodů.... kovarianční matice vyrovnaných převýšení. Směrodatné odchylky jednotlivých bodů a převýšení získáme odmocněním příslušných prvků na diagonále kovarianční matice. Výpočty byly prováděny v systému MATLAB, výpočetní skript je součástí této práce v příloze A Zhodnocení přesnosti přesné nivelace za různých atmosférických podmínek Základní veličinou charakterizující přesnost kaţdé etapy je aposteriorní jednotková směrodatná odchylka. Z jejího vývoje v jednotlivých etapách je zřetelná její závislost na velikosti uzávěru pořadu - Tabulka 6. Čas měření Tabulka 6: Přesnost jednotlivých etap Teplota [ C] [mm] Uzávěr [mm] Mezní uzávěr [mm] Dodržen I. etapa 8:20-9: ,0004-0,03 0,37 ANO II. etapa 10:00-10: ,0089-0,62 0,26 NE III. etapa 11:40-12: ,0229 1,59 0,26 NE IV. etapa 13:20-14: ,0309 2,14 0,26 NE V. etapa 15:20-16: ,0162 1,12 0,26 NE VI. etapa 17:05-17: ,0016 0,11 0,26 ANO VII. etapa 20:20-21: ,0032-0,22 0,26 ANO Během měření bohuţel nebyly vţdy dodrţeny stanovené mezní uzávěry. Nejniţší přesnost mají etapy měřené za nejvyšších denních teplot, nejspíše se tedy při vysokém počtu nivelačních sestav nasčítaly chyby z kroucení různě osvětlených noh stativu a z diferenční změny refrakce během sestavy. 34

36 Směrodatná odchylka [mm] ČVUT V PRAZE 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU Dle vzorce (23) byly vypočteny kovarianční matice vyrovnaných převýšení a výšek bodů profilu. Pro názornost byly porovnány směrodatné odchylky na jednotlivých bodech a ve všech etapách - Tabulka 7, Obr. 15. Tabulka 7: Směrodatné odchylky na bodech profilu v jednotlivých etapách v jednotlivých etapách [mm] bod profilu I. etapa II. etapa III. etapa IV. etapa V. etapa VI. etapa VII. etapa 1 0,003 0,058 0,149 0,201 0,105 0,010 0, ,003 0,062 0,160 0,215 0,113 0,011 0, ,003 0,066 0,169 0,227 0,119 0,012 0, ,003 0,069 0,176 0,237 0,124 0,012 0, ,003 0,071 0,183 0,246 0,129 0,013 0, ,004 0,073 0,188 0,253 0,132 0,013 0, ,004 0,075 0,192 0,258 0,135 0,013 0, ,004 0,076 0,195 0,262 0,137 0,013 0, ,004 0,077 0,197 0,265 0,139 0,014 0, ,004 0,077 0,198 0,267 0,140 0,014 0, ,004 0,077 0,199 0,267 0,140 0,014 0, ,004 0,077 0,198 0,267 0,140 0,014 0, ,004 0,077 0,197 0,265 0,139 0,014 0, ,004 0,076 0,195 0,262 0,137 0,013 0, ,004 0,075 0,191 0,257 0,135 0,013 0, ,004 0,073 0,187 0,252 0,132 0,013 0,026 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0, Body profilu I. etapa II. etapa III. etapa IV. etapa V. etapa VI. etapa VII. etapa Obr. 15: Graf směrodatných odchylek výšek na bodech profilu v jednotlivých etapách Z grafu je zřetelné, ţe směrodatné odchylky jsou ve všech etapách největší na bodech 10 a 11, které byly nejvíce vzdáleny od připojovacího bodu. Rozdíly v absolutní velikosti 35

37 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU odchylek jsou dány velikostí dané etapy. Jednoznačně nejpřesnější se jeví I. etapa, která byla přitom měřena pouze systémem tam zpět, ale za nejpříznivějších podmínek. Těsně po ní pak následují etapy VI a VII, které jiţ byly měřeny v pozdně odpoledních, respektive nočních hodinách a podmínky byly opět stálé. Ani směrodatné odchylky v nejméně přesné etapě IV nepřekročily hranici 0,3 mm, coţ pro ověření přesnosti trigonometrické metody postačí. Pro další zpracování bylo nutno vypočítat co nejpřesnější odhad výšek bodů profilu. Pro výpočet byl pouţit váţený průměr, přičemţ jako váha výšek z jednotlivých etap poslouţil kvadrát jednotkové směrodatné odchylky: (24)...váţený průměr výšky bodu.... výška bodu v i-té etapě.... variance jednotkové směrodatné odchylky i-té etapy. I. etapě byla dána poloviční váha, neţ by odpovídala její, aby bylo zohledněno, ţe byla zaměřena, na rozdíl od dalších etap, pouze systémem zpět-vpřed, a její přesnost je tedy apriorně o niţší [3]. Pro kontrolu výšek určených v jednotlivých etapách byly vypočteny odchylky od váţeného průměru, které byly následně zobrazeny v grafu - Obr. 16. Z grafu je zřejmé, ţe VII. etapa má významně odlišné výsledky od etap předchozích, přestoţe mezní uzávěr byl v jejím případě dodrţen, coţ by mělo takto hrubým chybám zabránit. VII. etapa byla měřena za tmy na osvětlenou lať, coţ by přesnost nemělo ovlivnit, naopak díky stabilním atmosférickým podmínkám by výsledky měly být kvalitní. 36

38 Odchylka [mm] ČVUT V PRAZE 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU Tabulka 8: Výšky bodů v jednotlivých etapách a jejich váţený průměr Výšky bodů v jednotlivých etapách [m] Číslo bodu I. etapa II. etapa III. etapa IV. etapa V. etapa VI. etapa I. etapa Vážený průměr 1 101, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0, I. etapa II. etapa III. etapa IV. etapa V. etapa VI. etapa VII. etapa -0,4-0,6 Body profilu Obr. 16: Odchylky výšek bodů v jednotlivých etapách od váţeného průměru všech etap 37

39 6 PROVEDENÍ EXPERIMENTU 6.2 Zaměření trigonometrickou metodou Profil byl zaměřován v kaţdé etapě dle postupu, který je uveden v kapitole 4. Kaţdý bod byl přístrojem automaticky zaměřen dvakrát, výsledné hodnoty délek a zenitových úhlů byly průměrovány. Výpočet výšek jednotlivých bodů profilu dle výsledného vzorce (25) není sloţitý, samotné výšky jednotlivých bodů nejsou relevantní a nebudou v práci uvedeny. Podstatným výstupem jsou odchylky jednotlivých etap od výsledků nivelace a mezi sebou, jeţ jsou uváděny v následující kapitole 7. ( ) (25)... oprava ze zakřivení Země.... případná oprava z vlivu refrakce dle (15). Na výsledky měření mají velký vliv veličiny charakterizující stav atmosféry. Tyto údaje spolu s časem měření jsou uvedeny v Tabulka 1. Uvedené hodnoty teplotního gradientu odpovídají lineární závislosti teploty na výšce nad terénem dle kapitoly Tabulka 9: Podmínky při jednotlivých etapách trigonometrického měření Etapa začátek měření konec měření teplota start [ C] teplota konec [ C] grad teploty [ C/m] tlak [kpa] teplota povrchu [ C] čísla bodů I. 9:00 9:25 12,3 14,5-0, , II. 10:50 11:15 18,5 19,5-0, , III. 12:50 13:10 19,6 18,7 0, , IV. 14:50 15:05 21,6 22,9 0, , V. 16:15 16:38 23,0 22,3 0, , VI. 18:18 18:38 20,1 18,8 0, , VII. 21:05 21:22 15,8 15,0-0, ,