GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Transkript

1 SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TABELACE FUNKCE LINEÁRNÍ INTERPOLACE

2 TABELACE FUNKCE Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění výpočtů složitějších funkcí, jejichž hodnoty byly pro funkci sestaveny do přehledné tabulky, kde se výsledky funkcí vyhledávali nebo dopočítávali (lineární interpolací) ze zapsaných hodnot. V současnosti lze již většinu funkcí vypočítat díky moderní technice bez větších obtíží a tak se tabelace funkcí nyní již tak příliš jako v minulosti nevyužívá. Nyní se s nimi můžeme potkat ještě pro speciální funkce a určité případy i např. nematematické povahy.

3 TABELACE FUNKCE ukázka tabelace fce Tabelace distribuční funkce normálního rozdělení Tabulka obsahuje hodnoty G(t) pro argument t. Tabelovaná hodnota G(t) je pravděpodobnost výskytu chyby mezi 0 a t-násobkem směrodatné odchylky.

4 TABELACE FUNKCE Funkce (fce) proměnné y je zapisována ve tvaru y = f(x), kde x je nezávislá proměnná - argument. Dvojice proměnných x a y sestaveny do tabulek tak, že v jednom sloupci jsou vzestupně nebo sestupně upořádány argumenty (x) a v druhém sloupci je k nim vypočtena funkce y = f(x) Rozdílu mezi dvěma sousedními argumenty (x)se nazývá tabulkový krok = k Rozdílu jim odpovídajících fcí se nazývá tabulková diference y, mohou být v tabulce uvedeny v dalším sloupci

5 čím je tabulkový krok argumentu menší tím je výpočet funkce podrobnější tabulkový krok je volen podle potřeby podrobnosti funkce a podle výsledné obsáhlosti tabulky tabulkový krok 10 gon 4. fce 3. fce 2. fce 1. fce Tabulka může být sestavena pro více funkcí pro jeden sloupec argumentů může být více sloupců fcí argument TABELACE FUNKCE

6 argument 1. fce 2. fce 3. fce 4. fce TABELACE FUNKCE Najděte v tabulce hodnoty fcí: sin 30 gon =... cos 60 gon =... tan 50 gon =... Najděte pro který úhel platí, že sin x = 0,89101 hledáme x =... cotg x = 0,32492 hledáme x =... tabulkový krok 10 gon

7 argument 1. fce 2. fce 3. fce 4. fce TABELACE FUNKCE Najděte v tabulce hodnoty: sin 30 gon = 0,45399 cos 60 gon = 0,58779 tan 50 gon = 1,00000 Najděte pro který úhel platí, že sin x = 0,89101 hledáme x = 70 gon cotg x = 0,32492 hledáme x = 80 gon tabulkový krok 10 gon

8 y = 1 / x2 konstantní y - není nelin.fce y=konst. lin. fce Funkce může být lineární nebo nelineární argument TABELACE FUNKCE

9 TABELACE FUNKCE Funkce může být tabelována i tak, že argument je rozdělen na dvě části dle desetinných míst a tabulka je pak sestavena následovně: druhé desetinné místo argumentu 0,0x je v horním řádku tabulky uvnitř tabulky jsou vyčísleny hodnoty fce pro jednotlivý argument x,xx hodnota fce pro argument 2,57 se hledá v řádku pro x,x = 2,5 a ve sloupci pro 0,0x = 7 (0,07) a je 16,97 argument x,x jednotky a první desetinné místo argumentu x,x je v levém sloupci tabulky argument 0,0x fce

10 TABELACE FUNKCE ukázka tabelace fce Tabelace funkce x3 Najděte v tabulce hodnoty y=x3 pro argument : 1,45 tzn. hledáte 1,453 =... 2,70 tzn. hledáte 2,703 =... 3,16 tzn. hledáte 3,163 =... Najděte pro hodnotu funkce y = x3 hodnotu argumentu 18,40 tzn. hledáte 3 18,40 =... 3,582 tzn. hledáte 3 3,582 =...

11 TABELACE FUNKCE ukázka tabelace fce Tabelace funkce x3 Najděte v tabulce hodnoty x3 pro argument : 1,45 tzn. hledáte 1,453 = 3,049 2,70 tzn. hledáte 2,703 = 19,68 3,16 tzn. hledáte 3,163 = 31,55 Najděte pro hodnotu fce y = x3 hodnotu argumentu 18,40 tzn. hledáte 3 18,40 = 2,64 3,582 tzn. hledáte 3 3,582 = 1,53

12 LINEÁRNÍ INTERPOLACE - PRINCIP Lineární interpolace je metoda prokládání křivek za použití lineárních funkcí (přímek). Používá se v řadě technických oborů pro zpřesnění hodnoty tabelovaných funkcí, pro interpolaci vrstevnic při konstrukci výškopisu apod. Jedná se o jednoduchou formu interpolace. Pokud jsou dány dva známé body souřadnicemi lineární interpolace je přímka mezi těmito dvěma body. Pro dané x můžeme na této přímce určit hodnotu y určovného bodu. Z podobnosti trojúhelníků resp. úměrou můžeme sestavit rovnici vzájemných vztahů Vyřešením této rovnice pro y, která je neznámou v rovnici pro x dostaneme:

13 LINEÁRNÍ INTERPOLACE LINEÁRNÍCH A NELINEÁRNÍCH FUNKCÍ interpolací lineární fce nedochází k chybám v určení hodnoty y z důvodu zjednodušení (linearizace) fce interpolací nelineární fce dochází k chybám v určení hodnoty y z důvodu zjednodušení (linearizace) fce velikost chyby závisí na průběhu fce, na kroku mezi body (x0 a x1) proložení lineární fce a na poloze určovaného bodu x v intervalu

14 LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE POSTUP y = sin x Tabelace fce y = sin x pro argument x s tabulkovým krokem 20 gon x (gon) sin x

15 LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE POSTUP Zadání: Určete hodnotu sin x pro x = 92,5 gon. 1 y=? 1. určí se tabulková diference k tabulkovému kroku v místě hledané fce => y se znaménkem y = y1 y0 = 0, určí se tabulkový krok argumentu x1 x0 = k = 20 92,5 x (gon) sin x y , určí se rozdíl daného argumentu x = 92,5 gon k nejbližšímu nižšímu argumentu x0 = 80,0 gon x x0 = 92,5 80,0 = 12,5 gon 4. určí se interpolační oprava (y y0) k fci y0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu Tabelace fce y = sin x pro argument x s tabulkovým krokem 20 gon 5. vypočte se hledaná fce y, tak, že se k fci y0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu přičte oprava

16 LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE POZNÁMKA 1 Výpočtem z interpolace tabelované fce sin x byla určena výsledná hodnota y=? 92,5 x (gon) sin x y , Pokud, ale vypočteme hodnotu sin 92,5 gon na kalkulačce, získáme hodnotu 0, Tabelace fce y = sin x pro argument x s tabulkovým krokem 20 gon Odchylka 0, , = 0, vzniká z důvodu zjednodušení fce sin x na přímku v intervalu x (80, 100). Tento příklad byl sestaven takto úmyslně pro ukázku nutnosti volby správného intervalu tabulkového kroku. Princip výpočtu zůstává stejný.

17 Postup: tabulková diference y = y1 y0 tabulkový krok argumentu x1 x0 = k rozdíly argumentů x x0 interpolační oprava výsledek tabulkový krok 10 gon 4. fce 3. fce 2. fce 1. fce Zadání: Pro argument 37 gon vypočtěte metodou lineární interpolace hodnoty jednotlivých fcí uvedených v tabulce. argument LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE

18 y = y1 y y tabulkový krok argumentu k = 10 x x0 = = 7 gon interp.oprava tabulkový krok 10 gon 4. fce 3. fce 2. fce 1. fce Zadání: Pro argument 37 gon vypočtěte metodou lineární interpolace hodnoty jednotlivých fcí uvedených v tabulce. argument LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE

19 LINEÁRNÍ INTERPOL.ARGUMENTU POSTUP Zadání: Určete hodnotu x pro sin x = 0, v int určí se tabulková diference k tabulkovému kroku v místě hledané fce => y se znaménkem y= 0, y = y1 y0 = 0, určí se tabulkový krok argumentu x1 x0 = k = 20 X=? x (gon) sin x y x=? určí se rozdíl dané fce y = sin x = 0, k nejbližší nižší hodnotě fce y0 = sin x0 = 0, y y0 = 0, , = 0, určí se interpolační oprava argumentu (x x0) k x0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu Tabelace fce y = sin x pro argument x s tabulkovým krokem 20 gon 5. vypočte se hledaný argument x, tak, že se x0 přičte oprava

20 1. fce Zadání: Pro fci y = sin a = 0,16523 vypočtěte metodou lineární interpolace hodnotu argumentu x argument LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU Postup: tabulková diference y = y1 y0 tabulkový krok argumentu x1 x0 = k rozdíl fcí y y0 interpolační oprava výsledek tabulkový krok 10 gon

21 1. fce Zadání: Pro fci y = sin a = 0,16523 vypočtěte metodou lineární interpolace hodnotu argumentu x argument LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU Postup: tabulková diference y = y1 y0 = 0,15259 tabulkový krok argumentu x1 x0 = k = 10 rozdíl fcí y y0 = 0,00880 interpolační oprava výsledek = ,5767 = 10,5767 gon tabulkový krok 10 gon

22 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Interpolace vrstevnic je úloha, při které se interpolují (vyhotovují) vrstevnice v daném území na základě znalosti polohy a výšky podrobných bodů terénu.

23 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Pro správnou interpolaci vrstevnic je nutné zobrazit čáry terénní kostry jako spádnice, údolnice, hřebenové linie, sedla apod. Interpoluje se právě po těchto hranách nebo při čtvercové síti podrobných bodů ve směru největšího spádu.

24 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Provede se číselná nebo grafická interpolace na spádnicích. Hledají se místa, kde daná vrstevnice protíná interpolovanou spádnici. Tzn. pokud máme na spádnici dva změřené body hodnotě např a tak mezi nimi budou probíhat vrstevnice 513 a 514 a právě pozici těchto vrstevnic na dané spádnici interpolací hledáme.

25 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Po provedené interpolaci vzniká výsledný vrstevnicový plán. V současnosti jsou vrstevnice často generovány digitálně z DMT (Digitálního modelu terénu). Při zpracování vrstevnic se též využívá upravený postup interpolace. Některé software pro tvorbu vrstevnic Atlas DMT, ArcGIS, nadstavby na KOKEŠ, Microstation apod.

26 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Interpolace vrstevnic je úloha, při které se interpolují (vyhotovují) vrstevnice v daném území na základě znalosti polohy a výšky podrobných bodů terénu. Používá se číselná a grafická interpolace.

27 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Číselná interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu: - bod s výškou 65.1 m - bod s výškou 63.2 m - na pravítku zjistíme hodnotu délky mezi těmito body = 59 mm - vypočteme rozdíl výšek daných bodů = 19 dm - vypočteme hodnotu délky odpovídající 1 dm = 3.1 mm - vypočteme hodnoty na pravítku pro jednotlivé vrstevnice 64 m 63.2 m = 0,8 m = 8 dm a z toho vyplývá, že poloha vrstevnice 64 bude ležet na hodnotě 8 x 3.1 mm = 24.8 mm

28 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Grafické interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu: - bod s výškou 66.8 m - bod s výškou 64.2 m - jedna z možností grafické interpolace je přiložit libovolně měřítko na hodnotu 4.2 na bod s výškou 64.2 a pak dalším trojúhelníkem propojíme hodnotu 6.8 na měřítku s bodem o výšce pak pomocí dalšího pravítka využít podobnost trojúhelníků a pomocí rovnoběžek této spojnice, které procházejí hodnotami 5 a 6 na měřítku, vynést polohu vrstevnic 65 a 66 na spojnici bodů 66.8 a 64.2

29 LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Grafické interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu: - bod s výškou 66.8 m - bod s výškou 64.2 m - jedna z možností grafické interpolace je přiložit libovolně měřítko na hodnotu 4.2 na bod s výškou 64.2 a pak dalším trojúhelníkem propojíme hodnotu 6.8 na měřítku s bodem o výšce pak pomocí dalšího pravítka využít podobnost trojúhelníků a pomocí rovnoběžek této spojnice, které procházejí hodnotami 5 a 6 na měřítku, vynést polohu vrstevnic 65 a 66 na spojnici bodů 66.8 a 64.2

30 REKAPITULACE TABELACE FUNKCE A LINEÁRNÍ INTERPOLACE TABELACE FUNKCÍ LINEÁRNÍ INTERPOLACE FUNKCÍ LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC Domácí úkol č.7 LINEÁRNÍ INTERPOLACE Následuje: SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY