13. Lineární procesy

Transkript

1 . Lineární procesy. Lineární procesy Našim cílem je studovat lineární (iterované) procesy. Každý takový proces je zadán čtvercovou maticí A Mat k k (R). Dále víme, že systém se v čase t n nachází ve stavu X n R k, přičemž přechod mezi jednotlivými stavy je dán násobením maticí A, tj. X n+ = A X n. Z toho plyne, že pokud X je počáteční stav, pak stav v okamžiku t n je X n = A X n = A (A X n ) = = A n X. To, co nás zajímá, je, jak se daný systém chová pro velká n (n ) a jak toto chování závisí na počátečním stavu. Předpokládejme, že v R k existuje báze tvořená vlastními vektory matice A. Označme tyto vektory v, v,..., v k a jim příslušná vlastní čísla jako λ, λ,..., λ k. Dále předpokládejme, že λ > a λ i < pro všechna i =,,..., k. Bud X R k libovolný počáteční stav. Pak existují a, a,..., a k R taková, že X = a v + a v + + a k v k, a platí A n X = λ n a v + λ n a v + + λ n k a kv k λ n a v... Leslieho populační model Představme si, že zkoumáme soubor jedinců jistého druhu. Dále budeme předpokládat, že vývoj jednoho jedince lze přirozeně rozdělit na k vývojových stádií (generací) a že každý jedinec se nachází právě v jednom z těchto k stádií vývoje. Pro každé vývojové stádium známe hodnotu relativní plodnosti f i a hodnotu relativní úmrtnosti τ i. Je-li x počet jedinců v i-tém stádiu, pak f i x udává počet potomků jedinců z x, jedná se tedy o o nově narozené jedince, a proto se v další generaci počet jedinců prvního stádia zvýší o f i x. Číslo τ i x pak udává počet jedinců, kteří se dožijí následujícího stádia. Aby tato úloha dávala smysl budeme předpokládat, že f i a τ i jsou nezáporná, τ i a τ k =. Celé to pak vede na lineární iterační proces s maticí f f f... f k f k τ... τ... A =. τ τ k Tomuto modelu se říká Leslieho populační model a matice A se nazývá Leslieho matice. To, jakým způsobem se bude populace vyvíjet, zda vymře, expanduje, nebo se ustálí na nějakém stavu, obecně závisí na počátečním stavu a spektrálním poloměru matice A.

2 . Lineární procesy Definice.. Maximum absolutních hodnot všech vlastních čísel matice A se nazývá spektrální poloměr matice A. Tvrzení.. Každá Leslieho matice má právě jedno kladné reálné vlastní číslo. Jsou-li všechna vlastní čísla Leslieho matice v absolutní hodnotě menší než, pak populace vymře (bez ohledu na počáteční stav). Je-li počáteční stav X = (u, u,..., u k ) vlastním vektorem k onomu jedinému kladnému reálnému číslu λ, pak nastane právě jedna z těchto možností:. je-li λ <, populace vymře,. je-li λ =, pak populace zůstane pořád stejná,. je-li λ >, pak populace expanduje, přičemž poměry jednotlivých skupin zůstávají stéjné. Příklad.. Farmář chová ovce. Porodnost ovcí je dána pouze věkem a je průměrně ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, čtyři ovce na ovci mezi dvěma a třemi lety věku a dvě ovce na ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po čtyřech letech posílá farmář ovce na jatka. Farmář by rád ještě prodával (živá) jehňátka do jednoho roku na kožešinu. Jakou část jehňátek může každý rok prodat, aby mu velikost stáda zůstávala z roku na rok stejná? V jakém poměru pak musí být rozděleny počty ovcí v jednotlivých věkových skupinách, aby velikost stáda zůstávala pořád stejná? Řešení. Matice daného modelu je L = Farmář může ovlivnit kolik ovcí do jednoho roku mu ve stádu zůstane do dalšího roku, může tedy ovlivnit prvek l matice L. Zkoumáme tedy model a a hledáme a tak, aby daná matice měla vlastní hodnotu (víme, že má pouze jednu reálnou kladnou). Charakteristický polynom této matice je λ aλ aλ a. Požadujeme-li, aby měl kořen, musí být a = 9 (dosadíme za λ číslo a položíme rovno nule). Farmář tedy může prodat 9 = 5 8 ovcí, které se mu v daný rok narodí. Odpovídající vlastní vektor k vlastnímu číslu dané matice je (8,,, ) a v těchto poměrech se taky ustálí populace ovcí.

3 . Lineární procesy.. Primitivní matice Definice.. Za kladnou matici budeme považovat takovou čtvercovou matici A, jejíž všechny prvky a ij jsou reálné a kladné. Primitivní matice je pak taková čtvercová matice A, jejíž nějaká mocnina A k je kladná. Věta.5 (Perron). Jestliže je A primitivní matice se spektrálním poloměrem λ R, pak je λ jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice A, který je ostře větší než absolutní hodnota kteréhokoliv jiného vlastního čísla matice A. K vlastnímu číslu λ navíc existuje vlastní vektor x s výhradně kladnými prvky x i. Příklad.6. Které z matic A = jsou primitivní? ( ) B = C = D = ( ) Řešení. ( B = D = ).. Markovovy procesy Definice.7. Matice, jejichž všechny sloupce mají součet svých komponent roven jedné, se nazývají stochastické matice. Definice.8. Vektor v se nazývá pravděpodobnostní, jestliže jeho složky jsou nezáporná čísla, jejichž součet je roven. Věta.9. Necht T je primitivní stochastická matice. Pak existuje jediný vlastní vektor x pro vlastní číslo, který je pravděpodobnostní. Navíc platí, že iterace T k x se blíží k vektoru x pro libovolný počáteční vektor x. Příklad.. Malé dítě necháme, aby si hrálo se kostkami. Z těchto kostek staví věž. Když má čerstvě spadlou věž, vezme nějakou kostku a snaží se ji postavit na některou jinou, což se mu s pravděpodobností podaří. Podobně, když má věž ze dvou, resp. tří kostek, snaží se umístit další kostku na vrchol, což se mu s pravděpodobnosti podaří a věž má o jednu kostku vyšší, nebo mu věž spadne (s pravděpodobností ) a má věž výšky jedna. Pokud má věž ze kostek, radostně zatleská a věž si samo zboří (s pravděpodobností ), čímž se opět vrací do stavu s věží výšky. Takto pokračuje pořád dokola. Tatínek se přijde po (dostatečně dlouhé) době podívat na dítě. Jaká je pravděpodobnost, že uvidí stát věž o (resp., resp., resp. ) kostkách?

4 . Lineární procesy Řešení. Označme po řadě x (n), x (n), x (n), x (n) pravděpodobnost, že dítě bude mít po n krocích věž výšky, resp., resp., resp.. Pak platí To nám dává matici x (n + ) = x (n) + x (n) + x (n) + x (n) x (n + ) = x (n) x (n + ) = x (n) x (n + ) = x (n) A = Z teorie víme, že tato matice (je primitivní a stochastická) má vlastní číslo a libovolný počáteční vektor x se blíží k pravděpodobnostnímu vektoru x, jenž je vlastním vektorem příslušným číslu. Spočítejme však všechna vlastní čísla. Charakteristický polynom matice A je λ λ λ = λ ( λ) λ λ λ = λ tedy Kořeny najdeme Hornerovým schematem: 8λ λ λ λ ( ) λ ( λ + λ + ), Kořeny polynomu x + jsou ± i. Kromě jsou všechna vlastní čísla v absolutní hodnotě menší než. Díky tomu víme, že A k x se bude blížit k x. Spočítáme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu. 8 Řešením příslušné homogenní soustavy je vektor (8,,, ), tedy x = ( 8 5, 5, 5, 5 ). Příklad.. Výrobní halu osvětluje žárovek s krátkou životností: 5 % žárovek praskne během prvního měsíce od namontování, 5 % žárovek praskne během druhého měsíce, 5 % žárovek praskne během třetího měsíce a 5 % žárovek praskne během čtvrtého měsíce. V

5 . Lineární procesy hale vždy prvního dne v měsíci vymění všechny prasklé žárovky za nové. Napište Leslieho matici popsaného modelu výměny žárovek (s měsíčním cyklem). Určete stabilní distribuci žárovek, ke které bude populace žárovek konvergovat. Určete, kolik žárovek při dlouhodobém provozu budou (průměrně) měsíčně v hale měnit. Řešení. Tato matice je primitivní a stochastická, a proto má tato matice vlastní číslo Řešením příslušné homogenní soustavy je vektor (,,, ). Každý měsíc mění průměrně žárovek. = 5