MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

Transkript

1 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM

2 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc. Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8

3 Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor: RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc. Olomouc 8

4 Obsah Úvod 7. Základní fakta z teorie grafů 8 Základní pomy 9 Neorientované grafy Příklady neorientovaných grafů Podgrafy neorientovaných grafů Kostra grafu 5 Eulerovské grafy 6 Hamiltonovské grafy 7 Orientované grafy 8 Příklady orientovaných grafů 8 Souvislé orientované grafy 9 Nekratší a minimální cesta v ohodnoceném orientovaném grafu Acyklické grafy 3. Matice grafů 5 Maticový popis grafů 6 Matice neorientovaných grafů 6 Incidenční matice 6 Matice sousednosti 7 Laplaceova matice sousednosti 8

5 5 Matice kružnic 3 Matice hranových řezů 3 Matice orientovaných grafů 3 Incidenční matice 3 Matice sousednosti Algoritmy pro řešení optimalizačních úloh 38 Minimální kostra 39 Složitost algoritmů 39 Algoritmy 4 Minimální cesta 4 4. Síťová optimalizace 45 Deterministické sítě a eich časová analýza metoda CPM 46 Stochastické sítě a eich časová analýza - metoda PERT 5 5. Analýza toků v sítích 57 Základní pomy 58 Maimální tok Úvod do lineárního programování 64 Obecná formulace úlohy 65 Grafické řešení úloh LP 66 Různé typy úloh LP Simpleová metoda 7 Realizace simpleové metody 7 Maimalizační úlohy 73 Minimalizační úlohy 75 Úlohy lineárního programování a dualita Aplikace simpleové metody 8 Směšovací problém 8 Řezné plány 84 9, Algoritmy pro řešení speciálních úloh LP 87

6 Celočíselné programování 88 Dopravní problém 89 Přiřazovací problém 9. Vícekriteriální programování 95 Úvod 96 Vícekriteriální hodnocení variant 96 Grafická metoda vícekriteriálního hodnocení variant 97 Obecný způsob řešení úloh vícekriteriálního hodnocení variant 98 Vícekriteriální programování Princip dominování 3 Metoda agregace účelových funkcí 3. Teorie her 6 Úvodní pomy a označení 7 Hry dvou racionálně ednaících hráčů 8 Řešení v čistých strategiích 8 Řešení ve smíšených strategiích 9 Algoritmus řešení Grafická metoda 3 Maticové hry hrané proti přírodě 5. Formulace a řešení úloh nelineárního programování 8 Nelineární modely 9 Kvadratické programování 9 Modely se separovatelnými proměnnými 4 6

7 Úvod Rozhodovací proces e náročná činnost, která probíhá v několika etapách, a to strukturování problému (vymezení problému, zištění alternativních řešení, určení kritérií pro vyhodnocení alternativ), analýza problému (vyhodnocení alternativ, výběr vhodných alternativ), realizace vybraného řešení (použití zvolené alternativy, vyhodnocení toho, zda sme obdrželi uspokoivé řešení). V případě, že rozhodnutí, které máme učinit, e příliš závažné nebo když problém e nový či hodně rozsáhlý, e dobré provést kvantitativní analýzu problému. K tomu e možné použít různé matematické prostředky - lineární algebru, matematickou analýzu, pravděpodobnost, statistiku, teorii grafů, fuzzy logiku, matematické programování apod. Následuí tet e zaměřen na některé z nich. Neprve se budeme věnovat teorii grafů a eím aplikacím (viz kapitoly - 4). V kapitolách 4 9 a se budeme zabývat matematickým programováním (lineárním, celočíselném, vícekriteriálním, nelineárním), kdy naším cílem bude naít mezi přípustnými variantami optimální řešení. V kapitole si obasníme principy síťové analýzy, která představue graficko-analytické metody pro plánování složitých návazných procesů, a teorie her, která se týká řešení konfliktních situací mezi dvěma nebo více hráči s cílem zvolit optimální strategii. Věty (obrázky, tabulky, a vzorce) sou v každé kapitole označeny dvoicí čísel. Prvním z nich e číslo příslušné kapitoly a druhé odpovídá pořadí věty (obrázku, tabulky, vzorce) v této kapitole.

8 Kapitola Základní fakta z teorie grafů Po prostudování kapitoly budete umět: používat příslušnou terminologii, vymezit základní vlastnosti grafů a eich podgrafů. Klíčová slova: Uzel, hrana, orientovaný graf, neorientovaný graf, podgraf, ohodnocený graf, acyklický graf, kostra grafu, strom, nekratší cesta, minimální cesta.

9 9 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Základní pomy Graf G e uspořádaná dvoice ( U, H), kde U e množina uzlů a H e množina hran (sponic mezi dvoicemi uzlů). Hrana, která spoue dva uzly, e s těmito uzly incidentní. Uzel, který není propoen hranou s žádným iným uzlem, se nazývá izolovaný uzel. Hrana, která spoue uzel se sebou samým, se nazývá smyčka. Graf, který nemá smyčky, se nazývá obyčený graf. Graf e ohodnocený, když každá eho hrana e opatřena nezápornou hodnotou w (h), která reprezentue délku hrany. Uzel, ze kterého hrana vychází, se nazývá vstupní uzel. Uzel, do kterého hrana směřue, se nazývá výstupní uzel. Hrana e orientovaná, pokud e určeno, který ze dvou uzlů e vstupní a který e vý- stupní. Graf G, který má všechny hrany orientované, nazveme orientovaný graf. Tzn. H U. U Graf G, který má všechny hrany neorientované, nazveme neorientovaný graf. Tzn. H U. Každý neorientovaný graf lze převést na orientovaný tak, že každé hraně přiřadíme dvě opačně orientované hrany. Orientovaný graf lze převést na neorientovaný pomocí symetrizace (t. odstraněním orientace hran). Řekneme, že graf G' ( U', H' ) e podgrafem grafu G ( U, H), pokud U' U a H' H. Píšeme pak G' G. Podgraf lze vytvořit z daného grafu vynecháním některých uzlů a hran. Podgraf, který vznikne vynecháním pouze hran, se nazývá faktor. Příklad. Na obrázku Obr.. e neorientovaný graf určený množinou uzlů U a, b, c, da množinou hran H {a,b},{a,c},{b,c},{c,c},{a,d},{b,b }. Hrany {c,c} a {b,b} představuí smyčky grafu. c d a b Obrázek. Neorientovaný graf Příklad. Na obrázku Obr.. e orientovaný graf určený množinou uzlů U a, b, c, da množinou neorientovaných hran H {a,b},{a,c},{b,c},{a,d},{a, a}. Hrana {a, a} e smyčka v daném grafu.

10 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ c d a b Obrázek. Orientovaný graf Řekneme, že grafy G ( U, H) a G' ( U', H' ) se rovnaí, právě když U U' a H H'. Píšeme pak G G'. Poznameneme eště, že při kreslení grafů dáváme přednost planárním grafům, eichž hrany se nekříží. Příklad.3 Grafy G a spouících stené uzly. G ' na obrázku Obr..3 se rovnaí, protože maí stenou množinu uzlů a hran Graf G a Graf G' a b d c b c d Obrázek.3 Rovnost grafů Nechť G a G ' sou dva grafy. Zobrazení f : U( G) U( G' ) e homomorfismus grafu G do grafu G ', pokud pro eich neorientované hrany platí {, y} U( G) { f ( ), f ( y)} H( G' ), popř. pro eich orientované hrany platí (, y) U( G) ( f ( ), f ( y)) H( G' ). Zobrazení f f : U U ({ u}) { f ( u)}, f (( u, v)) ( f ( u), f ( v)) U ' U U ' U ' takové, že f ({ u, v}) { f ( u), f ( v)}, se nazývá zobrazením indukovaným zobrazením f. (Platí, že f e homomorfismus, že když pro u U(G) e f ( h) H( G' ). ) Homomorfismus f : G G' e izomorfismus, pokud e f i f prosté a na. Dva grafy G ( U, H) a G' ( U', H' ) sou izomorfní, právě když eistue izomorfismus f : G G' Píšeme pak G G'.

11 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Příklad.4 Grafy G a G ' sou izomorfní, protože uzly, které si odpovídaí, sou shodně očíslované. Obrázek.4 Izomorfismus grafů Neorientované grafy Příklady neorientovaných grafů V dalším tetu budeme značit: K n - úplný graf na n uzlech (n ), C n - kružnici délky n (n 3), P n - cestu délky n (n ), K m,n - úplný sudý graf (m, n ) (viz Obr..6) K : 4 C : 4 K :, 3 P 4 : : Obrázek.5 Některé neorientované grafy

12 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Podgrafy neorientovaných grafů Posloupnost u,, u n U(G) propoená hranami, se nazývá sled z u do u n v grafu G. Sled, ve kterém se žádná hrana neopakue, e tah v grafu G. Sled, ve kterém se neopakue, žádný uzel ani hrana, se nazývá cesta v grafu G. (viz Obr. 7). Příklad.5 Na obrázku Obr..6 přes uzly a, b, e, c, b, d prochází sled z a do d. Uzly a, b, c, e, b, d určuí tah z a do d, protože hrany se neopakuí. Cesta z a do d e určena uzly a, b, c, e, d (zde se neopakuí ani uzly ani hrany). Obrázek.6 Podgrafy grafu G Sled e uzavřený, když má alespoň ednu hranu a počáteční uzel u splývá s koncovým uzlem u n. Číslo n pak reprezentue délku sledu, tahu resp. cesty. Uzavřená cesta se nazývá kružnice (viz Obr..7). Příklad.6 Propoením bodů g, b, c, d, e, g v grafu na Obr..7 vznikne kružnice. Obr..7 Podgrafy grafu G Graf G e souvislý, právě když pro každé dva uzly u, v U(G) eistue v G sled (nebo cesta) z u do v. Maimální souvislý podgraf grafu G se nazývá komponenta grafu G.

13 3 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Příklad.7 Graf na Obr..8 má dvě komponenty G : a, b, c a G : d, e, f, g. Obrázek.8 Podgrafy grafu G Nechť G e graf. Vzdálenost uzlů u, v G e délka nekratší cesty z u do v a budeme i značit d G (u, v). Pokud taková cesta neeistue, klademe d G (u, v) =. Nechť G e ohodnocený graf. Pro libovolnou cestu P G e w délka cesty w(p) = h H(P) w(h). (w) Pro libovolné dva uzly u, v U(G) nazveme w-vzdáleností d G (u, v) uzlů u a v nemenší w-délku cesty z u do v. Pokud cesta z u do v neeistue, klademe d w G =. Příklad.8 V grafu G na obrázku Obr..9 e délka cesty z a do e, která de přes uzly a, b, d, e e d G (a, e) = 4 a w-délka této cesty e d w G = 8. Obrázek.9 Délka cesty v ohodnoceném grafu G Příklad.9 (problém převozníka) Převozník má z levého břehu řeky převézt na pravý břeh kozu, vlka a hlávku zelí. Musí e převážet po ednom, koza nemůže zůstat sama s vlkem ani s hlávkou zelí. Převoz prázdné loďky trvá hodinu, zelí hodiny, kozy 3 hodiny a vlka 4 hodiny. Má se určit, ak a za ak dlouho e převozník schopný splnit úkol. Řešení Jedná se o hledání minimální cesty v neorientovaném ohodnoceném grafu. Situaci na levém břehu popíšeme pomocí uspořádané čtveřice nul a edniček (převozník, zelí, koza, vlk) podle toho,

14 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 aký eich počet e přítomen. Přípustné stavy a vazby sou znázorněny na obrázku Obr... Úloha má dvě řešení (Buď: převozník ede s kozou, sám, se zelím, s kozou, s vlkem, sám, s kozou. Nebo: převozník ede s kozou, sám, s vlkem, s kozou, se zelím, sám, s kozou. V obou případech potřebue na splnění úkolu 7 hodin. Obrázek. Řešení problému převozníka Stupeň uzlu u v grafu G e číslo d G (u) = H(u). Minimální stupeň grafu e číslo δ(g) = min d G (u). Maimální stupeň grafu e číslo Δ(G) = ma d G (u). Řekneme, že u e koncový uzel grafu, když d G (u) =. Graf se nazývá úplný, když každé dva eho uzly maí stený stupeň. Graf e regulární, když všechny uzly grafu maí stený stupeň. Věta. Graf G e souvislý, když δ(g) U(G). Věta. Když G e souvislý graf a počet uzlů U(G) = n, pak počet hran H(G) n. Souvislý graf, který neobsahue ako podgraf žádnou kružnici se nazývá strom. Věta.3 Graf G e strom, právě když platí edna z následuících podmínek: - pro každé dva uzly u, v U(G) eistue v grafu G právě edna cesta z u do v - G e souvislý a H(G) = U(G), - G e minimální souvislý graf na množině uzlů U(G) (tzn., nemá žádný souvislý faktor). Příklad. Grafy na obrázku Obr.. sou stromy Obrázek. Stromy

15 5 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Kostra grafu Nechť G e souvislý graf. Jeho podgraf T se nazývá kostra grafu, když T e strom a současně e T faktorem grafu G. Hrany grafu G, které patří kostře T se nazývaí větve grafu a zbývaící hrany grafu G sou tzv. tětivy grafu G vzhledem ke kostře T. Věta.4 V každém souvislém grafu eistue alespoň edna kostra. Příklad.. Na obrázku Obr.. e znázorněna kostra grafu. Větve sou vyznačeny červeně a tětivy černě. Obrázek.. Podgrafy grafu G- kostra Když k(g) e počet komponent grafu G, pak číslo h(g) = U(G) k(g) e hodnost grafu G a číslo c(g) = H(G) U(G) + k(g) e cyklomatické číslo grafu G. Věta.5 Každý graf má h(g) větví a c(g) tětiv. Příklad.3 Na základě Věty.5 lze určit, že pro počet větví a tětiv grafu na Obr.. platí h(g) = = 9 a c(g) = 9 =. Jedna z možných koster e na obrázku vyznačena červeně. Obrázek.3 Podgrafy grafu G větve a tětivy

16 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 6 Věta.6 Když G e souvislý ohodnocený graf a K e souvislý faktor grafu G, pro který e součet hranových ohodnocení h H(K) w(h) minimální, pak K e kostra grafu G. K e minimální kostra grafu G, pokud pro libovolný souvislý faktor G grafu G platí h H(K) w(h) w(h ) h H(G ). Eulerovské grafy Otázka, zda lze nakreslit domeček edním tahem souvisí s eulerovským grafem. Řekneme, že graf G eulerovský, pokud v grafu G eistue uzavřený tah, který obsahue všechny hrany z H(G). Příklad.4 Příklady eulerovských grafů sou na obrázku Obr..4. Obrázek.4 Eulerovské grafy Věta.7 Nechť G má alespoň uzly, e souvislý a všechny eho uzly sou sudého stupně. Pak e G eulerovským grafem. Mezi neznáměší úlohy, kterých se problematika eulerovských grafů týká, patří následuící problém sedmi mostů v Královci. Příklad.5 Přes Královec (Konigsberg, Kalinigrad) teče řeka Pregola, která rozdělue město na 4 části (viz Obr..5) propoené 7 mosty. Občané města by rádi na svých procházkách prošli přes tyto mosty (přes každý právě ednou) a vrátili se zpět do výchozího místa. Je možné tento požadavek realizovat?

17 7 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Obrázek.5 Schéma města Královce Řešení: Řešení úlohy pochází od Eulera (736). Graf příslušný k zadanému problému e na následuícím obrázku. Obrázek.6 Graf příslušný problému o sedmi mostech V řeči grafů vyřešit zadaný problém znamená zistit, zda v daném grafu eistue eulerovský tah. Takový tah však neeistue. Všechny mosty v Královci tedy není možné proít právě ednou a vrátit se zpět na původní místo. Hamiltonovské grafy Pokud graf G obsahue ako podgraf kružnici délky U(G), pak se graf nazývá hamiltonovský graf. Příklad.6 Na Obr..7 sou dva hamiltonovské grafy čtyřstěn a krychle.

18 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 8 Obrázek.7 Hamiltonovské grafy Věta.8 Nechť graf G má alespoň 3 uzly a platí, že δ(g) U(G), pak graf e hamiltonovský. Příklad.6 (Problém obchodního cestuícího) Obchodní cestuící má postupně navštívit určitá města, nabídnout tam vzorky zboží a vrátit se zpět do podniku. Žádné město nesmí vynechat a vzdálenost, kterou urazí, má být minimální. Situaci si můžeme znázornit ako ohodnocený graf, ve kterém uzly představuí města a hrany silnice. Ohodnocení hran odpovídá vzdálenostem mezi městy. V řeči grafů e naším úkolem naít v neorientovaném ohodnoceném grafu hamiltonovskou kružnici K minimální délky. Řešení Při řešení problému se rozhodueme mezi konečně mnoha možnostmi. Rozhodovací proces e možné znázornit rozhodovacím stromem. Z každého uzlu pak vychází tolik hran, kolik má cestuící možností pokračovat v cestě tak, aby navštívil en město, ve kterém dosud nebyl. Jedná se o organizované procházení všech možností. To ale není zrovna efektivní způsob řešení. Poznameneme eště, že věta o eistenci hamiltonovské kružnice, ani algoritmus efektivního řešení není dosud znám. Je však možné formulovat modifikovaný problém, kdy obchodní cestuící se vrátí zpět do některého města, které už navštívil a pokračue dál. Tzn., v grafu máme naít uzavřený sled, který obsahue všechny hrany a který má nemenší součet hranových ohodnocení. Orientované grafy Příklady orientovaných grafů E o n - orientovaný úplný graf na n uzlech (n ), E n - obyčený orientovaný úplný graf na nuzlech

19 9 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ P n - orientovaná cesta délky n (n ) C n - cyklus délky n (n ) Přičemž definueme E o n = (, n,, n, n ) E n = (, n, {(i, ) i,, n, i }) P n = (, n, {(i, i + ), i =,,..., n }) C n = (, n, {(i, i + ), i =,,..., n } {n, }) Obrázek..8 Vybrané typy orientovaných grafů. Souvislé orientované grafy Symetrizací orientovaného grafu G e neorientovaný graf G, který z G vznikne vynecháním všech smyček a nahrazením zbývaících orientovaných hran hranami neorientovanými. Příklad.7 Na obrázku Obr..9 e znázorněn přechod od orientovaného grafu G k neorientovanému grafu G. Obrázek.9 Symetrizace grafu

20 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Orientovaný graf G e souvislý, když eho symetrizace G e souvislý graf. V orientovaném grafu G definueme vstupní stupeň uzlu u G ako číslo d G + = {{, u} U (G )} H (G ) (t. počet hran, které z uzlu u vycházeí) výstupní stupeň uzlu u e číslo d G = {{u, } U (G )} H (G ) (t. počet hran, které do uzlu u vstupuí). Uzel u G e vstupní uzel grafu, když d G + (u) =. Uzel u G e výstupní uzel, když dg (u) =. Nechť G e orientovaný graf. Zobrazení f : P n G, f () = u, f (n) = v, kde uzly u, v U(G). Zobrazení f : C n G. Řekneme, že podgraf f (P n ) grafu G e orientovaný sled z uzlu u do v, když f e homomorfismus, orientovaný tah z uzlu u do v, když f e hranový monomorfismus, orientovaná cesta z uzlu u do v, když f e monomorfismus. Příklad.8 V grafu na Obr.. obdržíme propoením uzlů A, B, C, D, F, C, D, E orientovaný sled z A do E, A, B, C, F, C, D, F, E uzavřený orientovaný tah z A do E, A, B, C, D, F cyklus v G. Obrázek.. Zobrazení cesty a cyklu Podgraf f (C n) grafu G e uzavřený orientovaný sled. Pokud f e hranový monomorfismus, pak f (C n) e uzavřený orientovaný tah. Pokud f e monomorfismus, f (C n) e cyklus v grafu G.

21 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Číslo n (počet hran) e délka orientovaného sledu, tahu nebo cesty, popř. délka uzavřeného orientovaného sledu, tahu nebo cyklu. Poznámka Cyklus e orientovaná uzavřená cesta. Příklad.9 Propoením uzlů a, g, e, f, a v grafu na Obr.. obdržíme cyklus. Obrázek. Podgrafy orientovaného grafu - cyklus Orientovaný graf e silně souvislý, když pro každé dva uzly u, v U(G) eistue v G orientovaný sled. Poznámka K tomu, aby orientovaný graf byl silně souvislý, stačí, aby každá eho hrana ležela alespoň v ednom cyklu. Příklad. Graf G na Obr.. e silně souvislý. Obrázek. Silně souvislý graf Graf G e eulerovský, když eistue uzavřený tah, který obsahue všechny hrany grafu G. Věta. 9 Graf G, který má alespoň dva uzly e euklidovský, právě když e souvislý a pro každý uzel u U(G) platí d G (u) = dg + (u).

22 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Příklad. Graf na Obr..3 e orientovaný eulerovský graf. Uzavřený tah, který obsahue všechny uzly grafu, vede např. přes uzly,, 3, 4. Obrázek..3 Orientovaný eulerovský graf Nekratší a minimální cesta v ohodnoceném orientovaném grafu Nechť G e orientovaný graf. Funkce w: H(G) (, ) se nazývá hranové ohodnocení grafu G a graf G s tímto hranovým ohodnocením e tzv. ohodnocený orientovaný graf. Délku nekratší orientované cesty z u do v v grafu G budeme značit d G (u, v) a nazývat vzdálenost uzlů u a v. Pokud cesta z u do v neeistue, pak d G (u, v) =. Pro ohodnocený orientovaný graf G představue číslo w(p) = h H(P ) w (h) tzv. w- délku libovolné orientované cesty P G. Nemenší w-délka orientované cesty z u do v w G (u, v) se nazývá w vzdálenost uzlů u, v. Orientovaná cesta z u do v nemenší délky se nazývá nekratší cesta z u do v. Orientovaná cesta z u do v, která má nemenší w-délku se nazývá minimální cesta. Příklad. V grafu na Obr..4 nekratší cesta z uzlu a do uzlu d má délku 3 a prochází uzly a, e, f, d nebo a, b, c, d. Minimální cesta z a do d má délku 4 a prochází uzly a, b, e, f, d.

23 3 ZÁKLADNÍ FAKTA Z TEORIE GRAFŮ Obrázek.4 Nekratší a minimální cesta v G Acyklické grafy Maimální silně souvislý podgraf grafu G se nazývá kvazikomponenta grafu G. Poznámka V grafu G odstraníme všechny hrany, které nepatří žádnému cyklu, pak komponenty vzniklého grafu sou kvazikomponenty původního grafu. Příklad.3 Graf G na Obr.5 obsahue komponenty G ; G G 3 a 3 kvazikomponenty G, G, G 3. Obrázek.5 Komponenty a kvazikomponenty grafu Orientovaný graf G e acyklický, když žádný eho podgraf není cyklem. Věta. Platí: Podgraf acyklického grafu e acyklický. Každý acyklický graf G má alespoň eden uzel vstupní a alespoň eden uzel výstupní. Acyklický graf nemá smyčky. Věta. Když G e orientovaný acyklický graf o n uzlech, pak každý neprázdný podgraf obsahue vstupní a výstupní uzel, eistue takové očíslování uzlů od do n, že pro každou hranu (i, ) H (G ) e i <.

24 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 Příklad. Graf G na Obr.6 e acyklický, protože žádný eho podgraf není cyklem. Obrázek.6 Acyklický graf Teorie grafů e v současné době důležitým nástroem, který umožňue řešit řadu inak celkem nepřehledných situací. Zeména, když de o problémy organizace provozu, přepravy, elektrifikace apod. Základem e grafické zachycení všech možností ve formě grafu, a pak nalezení podgrafu, který odpovídá nevýhodněšímu řešení. Definute orientovaný a neorientovaný graf. Co znamená, že graf e ohodnocený? 3 Nakreslete graf, který e a) stromem, b) acyklický. 4 Jaký e rozdíl mezi nekratší a minimální cestou? 5 V grafu na Obr..6 vyznačte něakou kostru Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5, 33 s. ISBN [3] Holenda, J., Ryáček Z. Lineární algebra II,.vyd. Plzeň. ZČU Plzeň, s. ISBN 8-7-8=638-X

25 Kapitola Matice grafů Po prostudování kapitoly budete umět: konstruovat různé typy matic grafů, identifikovat vlastnosti grafů z incidenční matice, identifikovat vlastnosti grafů z matice sousednosti. Klíčová slova: Incidenční matice, matice sousednosti orientovaného a neorientovaného grafu, Laplaceova matice sousednosti, matice kružnic.

26 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 6 Maticový popis grafů K určení grafu (orientovaného i neorientovaného) můžeme použít různé způsoby obrázek, výčet uzlů, výčet uspořádaných troic (uzel; uzel; hrana, která e spoue), vyádření incidence hran a uzlů. Znázornění grafu obrázkem má při malém počtu uzlů řadu výhod, protože e názorný, lze z ně vyčíst určité vlastnosti grafu. Nevýhodou však e, že neumožňue efektivní práci na počítači. Mnohem výhodněší, obzvlášť pro grafy s větším počtem uzlů a hran, e zvolit numerický popis grafu. V této kapitole se soustředíme na maticový popis grafů a uvedeme příklady některých vlastností, které lze z matic grafů určit. Matice neorientovaných grafů Incidenční matice Pro obyčený neorientovaný graf definueme úplnou incidenční matici M = (m i ) typu U(G) H(G), kde m i = { pro u i h inde }. Věta. Nechť G e graf o n uzlech a M e eho incidenční matice. Pak graf G má k komponent, právě když hodnost h(m) = n k. Příklad. Na obrázku Obr.. e neorientovaný graf. Hrany grafu sou pro identifikaci očíslovány a vloženy do kulatých závorek. Určete počet komponent grafu. Obrázek. Neorientovaný graf - incidenční matice

27 7 MATICE GRAFŮ Řešení Danému grafu odpovídá incidenční matice M která má hodnost h ( M) 4. Počet uzlů n = 5. Podle Věty. má graf n h(m) = komponenty., Matice sousednosti Pro obyčený neorientovaný graf definueme matici sousednosti S = (s i ) typu U(G) U(G), pro {i, } H(G) kde s i = { inak }. Věta. Nechť S e matice sousednosti obyčeného neorientovaného grafu G o n uzlech. Pokud realizueme operace sčítání a násobení ako logické operace konunkce a disunkce, vzdálenost uzlů u i a u v grafu G označíme d(u i, u ) a matice V k = (I + S) k (k) = (v i ) pak (k) d(u i, u ) k, právě když v i =, (k) d(u i, u ) = min{k; v i = }, Graf G e souvislý, právě když matice V n má všechny prvky rovny edné. Příklad. Na obrázku Obr.. e neorientovaný graf. Zistěte, zda graf e souvislý a naděte nemenší vzdálenost mezi ednotlivými uzly. Obrázek.. Neorientovaný graf matice sousednosti

28 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 8 Řešení Zadaný graf má n 4 uzly. Danému grafu odpovídá matice sousednosti S Když vezmeme v úvahu, že sčítání a násobení chápeme ako logické operace, kde +=+=+= += a.=.=.=,.=, obdržíme..3 V, V. V. 3 Protože V e matice tvořená samými edničkami, e zadaný graf podle Věty. souvislý. Současně také podle této věty platí, že d(u i, u ) = pro dvoice uzlů (,3), (,3), (3,4) a d(u i, u ) = pro dvoice uzlů (,4), (,4). Laplaceova matice sousednosti Pro obyčený neorientovaný graf G s očíslovanými uzly u, u,..., u n definueme Laplaceovu matici pro {u i, u k H(G)} sousednosti L = (l ik ) řádu n, kde l ik = { pro i ka{u i, u k } H(G) }. e ii = d(u i )(t. stupeň uzlu u i ) Věta.3 Nechť L e Laplaceova matice sousednosti obyčeného neorientovaného grafu G o n uzlech. Graf G má k komponent, právě když h(l) = n k. Graf G e souvislý, právě když h(l) = n. Pokud eště navíc má graf n hran, pak všechny hlavní minory matice L se rovnaí a libovolný z nich udává počet různých koster grafu G. Příklad.3 Na obrázku Obr..3 e neorientovaný graf. Pomocí Laplaceovy matice sousednosti rozhodněte, zda e graf souvislý. Pokud graf není souvislý, určete, kolik má komponent.

29 9 MATICE GRAFŮ Obrázek..3 Neorientovaný graf Laplaceova matice sousednosti Řešení. Danému grafu odpovídá Laplaceova matice sousednosti Protože hodnost matice ) ( L h a zadaný graf má 4 n uzly, není podle Věty.4 graf souvislý (h(l) n ) a skládá se z dvou komponent (k = n h(l)). Příklad.4 Pomocí Laplaceovy matice sousednosti určete počet koster grafu z obrázku Obr... Řešení: Danému grafu odpovídá Laplaceova matice sousednosti. 3 L Pro hlavní minory 3. řádu máme 3, 3 L, 3 3 L, 3 3 L L. L

30 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 3 Podle Věty.3 má graf 3 kostry (viz Obr..4) Obrázek..4 Kostry grafu z Obr.. Matice kružnic Nechť G e graf s hranami h, h,..., h m a kružnicemi K, K,..., K p. Matici K = (k i ) typu p m, kde: nazýváme úplnou matici kružnic grafu G. k i = {, když h H(K i ) }, inak Nadále budeme značit G - obyčený souvislý neorientovaný graf o n uzlech a m hranách, T- kostru grafu G, T + {h} - faktor grafu G, který vznikl z T přidáním hrany h. Nechť c e cyklomatické číslo grafu G, h, h,..., h c e množina všech tětiv grafu G vzhledem ke kostře Ta K, K,..., K c sou kružnice grafu T + {h i }, pak množina F = {K, K,..., K c } se nazývá fundamentální soustava kružnic grafu G vzhledem ke kostře T. Maticí K F fundamentální soustavy kružnic nazveme podmatici matice K, pokud eí řádky odpovídaí kružnicím ze soustavy F. Věta.4 Nechť G e obyčený, neorientovaný, souvislý graf s daným očíslováním uzlů u, u,..., u n hran h, h,..., h m a kružnic K, K,..., K p, M e eho incidenční matice, K e úplná matice kružnic a c e cyklomatické číslo. Pak h(k) = c, c p c.

31 3 MATICE GRAFŮ Matice hranových řezů V tomto odstavci značíme G- souvislý obyčený neorientovaný graf, P ± {h, h,..., h k } - faktor grafu G, který vznikne z G odebráním ( ) nebo přídáním (+) uvedené množiny hran grafu G. Minimální množina R hran grafu G, pro kterou h(g R) = h(g), se nazývá hranový řez grafu G. Poznámka Různé hranové řezy mohou mít různý počet prvků. Každý řez grafu má s množinou hran kružnice grafu G sudý počet společných hran. Věta.5 Podmnožina hran R souvislého grafu G e hranovým řezem, právě když e minimální množinou hran, která obsahue alespoň ednu větev každé kostry grafu G. Poznámka Věta dává možnost pomocí libovolné kostry grafu konstruovat hranové řezy. (Nademe ednu kostru; vybereme ednu eí hranu; -řez; určíme rozklad T kostry indukovaný tímto řezem; faktor T {h i } má dvě komponenty s množinami uzlů U (i) (T), U (i) (T), které sou neprázdné a disunktní; k hraně h i přidáme ty hrany grafu G, které maí eden uzel v edné komponentě a druhý ve druhé komponentě. Takto získaná soustava řezů se nazývá fundamentální soustava hranových řezů grafu G, které přísluší kostře T. Nechť G e graf s hranami h, h,..., h m a očíslovanými hranovými řezy R, R,..., R s. Matici Q = (Q i ) typu s m, kde q i = {, když h R i } nazveme úplnou maticí hranových řezů grafu G. inak Matice orientovaných grafů Incidenční matice Pro obyčený orientovaný graf e incidenční matice M = (m i ) typu U (G ) H (G ) a

32 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 3 m i = { pro h = (u i, u k ) pro něaké k pro h = (u k, u ) pro něaké k }. inak Věta.6 Když G e souvislý graf o n uzlech a M eho incidenční matice, pak h(m) = n. Věta.7 Když M S e matice typu n m, která vznikla s-tého sloupce z incidenční matice M grafu G s daným očíslováním uzlů a hran a h(m S ) = h(m), pak hrana h S e volná hrana grafu G. Příklad.5 Pomocí incidenční matice naděte volnou hranu grafu G na Obr..5. Hrany grafu sou pro identifikaci očíslovány a vloženy do kulatých závorek. Obrázek.5 Incidenční matice orientovaného grafu volná hrana Řešení: Danému grafu odpovídá incidenční matice M. Protože hodnost h ( M) 3 a n 4, e zadaný graf podle Věty.6 souvislý. Vynecháním. sloupce v incidenční matici obdržíme matici M, která má hodnost h ( M ) 3. Podle Věty.7 e hrana () volnou hranou.

33 33 MATICE GRAFŮ Poznámka Obrácená věta k Větě.7 neplatí. Pokud bychom v našem příkladu obrátili orientaci hrany (4), nepatřila by tato hrana do žádného cyklu grafu. To znamená, že hrana by byla volná. Po vypuštění 4. sloupce z incidenční matice zůstane hodnost stále rovna 4 (t. graf bude i nadále souvislý), a tedy podle Věty.7 neusuzueme na volnou hranu. Věta.8 Nechť G e obyčený orientovaný graf a matici R tvoří n sloupců incidenční matice M typu n m grafu G. Pak h(r) = n, právě když faktor R grafu G určený incidenční maticí R e strom a tedy také kostra grafu. h(k) < n, právě když faktor R není souvislý. Pokud R S e podmatice, která vznikne z R vyškrtnutím s-tého řádku, pak: det(r S ) =, právě když ve faktoru R e alespoň edna kružnice, det(r S ) = ±, právě když R e kostra grafu G. Příklad.6 V grafu na Obr..6 naděte kostru grafu a kružnice. Obrázek.6 Incidenční matice orientovaného grafu kostra, kružnice Řešení: Danému grafu odpovídá incidenční matice M. Vyškrtnutím s -tého sloupce ( s =,,3,4) z matice M, obdržíme submatice

34 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 34, R, R, 3 R. 4 R Pro eich hodnosti platí ) ( R h a h(r)= h(r3)=h(r4)=3. Podle Věty.8 faktory 4 3,, R R R, které odpovídaí incidenčním maticím 4 3,, R R R, představuí kostry zadaného grafu. Dále podle Věty.8 faktor R není souvislý. Když teď z ně vypustíme eště. řádek a zistíme, že determinant, D usoudíme, že ve faktoru R eistue alespoň edna kružnice. Poznámka Když neorientovaný graf bez smyček se upraví na orientovaný graf, e možné k eho vlastnosti použít výše uvedené věty. Matice sousednosti Pro orientovaný prostý graf G e matice sousednosti S = (s i ) řádu U (G ) a s i = {, když (u i, u ) H (G ) inak }. Věta.9 Nechť G e obyčený orientovaný graf a N = (n i ) e eho matice sousednosti. Pokud sčítání a násobení matic realizueme ako běžné operace na množině celých čísel, pak prvek n i (k) matice N k udává počet sledů délky k z uzlu u i do uzlu u, při označení d(u i, u ) = min{k n i (k) } představue číslo d(ui, u ) nemenší délku orientované cesty z uzlu u i do uzlu u.

35 35 MATICE GRAFŮ Příklad.7 V grafu na Obr..7 stanovte nemenší délku orientované cesty z uzlu do uzlu 4 a z uzlu do uzlu. Obrázek.7 Incidenční matice orientovaného grafu délka cesty Řešení: Danému grafu na pěti uzlech odpovídá matice sousednosti. N Pro mocniny této matice, pokud sčítání a násobení realizueme ako logické operace, platí: N, 3 N,. 4 N Z matice N e vidět, že d(,) = d(,5) = d(,3) = d(3,4) = d(4,) =. Z matice N e d(,) = d(,3) = d(,4) =. Z matice N 3 e d(,4) = 3. Odtud zistíme, že nemenší délka orientované cesty z uzlu do uzlu 4 e d(,4) = 3. Nemenší délka orientované cesty z uzlu do uzlu e d(,) =. Věta. Nechť G e obyčený orinetovaný graf, N = (n i ) eho matice sousednosti, sčítání a násobení realizueme ako logické operace, označíme R = N k v k= = (r i ), kde

36 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 36 v = min { H (G ), U (G ) }, R ~ = (r ~ i), kde r ~ i = min{r i, r i }. Když r ~ i =, pak uzly u i, u patří do téže kvazikomponenty grafu G. Když R ~ má všechny prvky rovny edné, pak graf G e silně souvislý. Příklad.8 Podle Věty. zistěte, zda graf na Obr..7 e silně souvislý. Řešení: Neprve určíme v min{ 5,5 } 4 a spočteme R a ~ R. Podle Věty. e vidět, že graf není silně souvislý. Poznámka Když G e graf o n uzlech, který vznikl z neorientovaného grafu G libovolně zvolenou orientací hrany, M e incidenční matice grafu G, pak L = (l ik ) = MM T e Laplaceova matice sousednosti grafu G. Rozsáhlé úlohy z teorie grafů se řeší prostřednictvím počítače. Pro ten se víc než grafické znázornění hodí použít některý z typů matic sousednosti nebo incidenčních matic. Z maticových zápisů grafů lze také určit, aké má příslušný graf vlastnosti. Vysvětlete, co e incidenční matice a co e matice sousednosti. Určete počet komponent grafu z Obr..8 pomocí a) incidenční matice b) Laplaceovy matice sousednosti 3 Rozhodněte, zda e graf z Obr..8 souvislý. 4 Určete počet koster úplného obyčeného grafu, který má 4 uzly.

37 37 MATICE GRAFŮ Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5,33 s. ISBN [3] Holenda, J., Ryáček Z. Lineární algebra II,.vyd. Plzeň. ZČU Plzeň, s. ISBN 8-7-8=638-X

38 Kapitola 3 Algoritmy pro řešení optimalizačních úloh Po prostudování kapitoly budete umět: nalézt minimální kostru grafu, nalézt minimální cestu grafu, aplikovat probrané algoritmy na reálné situace. Klíčová slova: Souvislý faktor grafu, minimální kostra grafu, minimální cesta v grafu.

39 39 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ OPTIMALIZAČNÍCH ÚLOH Minimální kostra V řadě praktických i teoretických problémů e často řešena úloha nalézt minimální kostru daného ohodnoceného neorientovaného grafu (tzn. kostru s minimálním součtem hranových ohodnocení). Nalezení minimální kostry grafu nachází praktické uplatnění např. když sme postaveni před rozhodnutí navrhnout rozvod elektrické energie do obcí okresu. Požadueme, aby náklady na vybudování rozvodu sítě byly co nenižší a všechny obce byly pravidělně zásobeny. Jinou aplikací může být navržení tras posypu silnic v okrese. A to tak, aby bylo možné doet do libovolné obce okresu a celkové náklady na údržbu silnic byly minimální. V uvedených příkladech představuí uzly grafu ednotlivé obce okresu, hrany grafu zase síť elektrického vedeni popř. silnice okresu a ohodnocení ednotlivých hran grafu odpovídaí nákladům na údržbu elektrického vedení popř. silnic mezi obcemi, které tato spouí. Zamysleme se, ak můžeme minimální kostru v grafu nalézt. Ukazue se, že postup, kdy nademe všechny kostry grafu a mezi nimi vybereme minimální kostru, nemusí ani za podpory počítače vést k rychlému nalezení řešení. Uvažume např. úplný graf K 5, který má ( 5 ) = 5 hran a 53 koster. Pokud e počítač schopen za sekundu vyhodnotit 6 koster a uvědomíme si, že rok má přibližně 3 6 s, pak vyhodnocení všech koster našeho grafu by trvalo = 6,8 let. Neuměřená časová náročnost takového řešení e důvodem, proč byly vypracovány algorimy, které poskytuí řešení efektivněší. Složitost algoritmů Co si však máme představit pod pomem efektivní algoritmus? Jako rychlé algoritmy sou označovány ty, které na zpracování n dat potřebuí maimálně n 3, n, nlog n času. V tomto případě lze závislost počtu kroků na množství vstupních dat aproimovat vhodným polynomem. Takové algoritmy pak nazýváme polynomiální. Vedle toho iné algoritmy (např. systematické prohledávání stromu v úloze obchodního cestuícího) potřebuí na zpracování n dat alespoň n!, n kroků. Tyto algoritmy označueme ako eponenciální. n, n Za efektivní sou považovány polynomiální algoritmy a problémy třídy P (tzn. problémy, které sou řešitelné v polynomiálně omezeném čase). Patří sem např. problém minimální kostry, minimální

40 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 a kritická cesta. Většinou sou tyto úlohy řešitelné deterministicky (v každém kroku e učeno, který krok bude následovat). Třídu úloh, které sou řešitelné nedeterministicky v polynomiálním čase, označueme ako problémy třídy NP (např. úlohy lineárního programování a algoritmus simpleové metody). Pokud umíme rozhodnout, estli třída úloh e řešitelná en v polynomiálním či en eponenciálním čase, hovoříme o NP úplné úloze. Ze stávaících 3 NP úplných problémů menume např. problém obchodního cestuícího, modifikovaný problém obchodního cestuícího, problém nalezení hamiltonvské kružnice. Poznameneme, že ednou z nedůležitěších otázek současné matematiky e, zda NP = P nebo NP P. Eistue však i třída úloh, pro které nelze získat efektivní algorimus (např. generování všech koster neorientovaného souvislého grafu, generování cyklů, kružnic, cest). A další třída úloh, pro které zatím nebyl polynomiální algoritmus nalezen, ani nebylo dokázáno, že takový algoritmus neeistue. Algoritmy Základní myšlenka spočívá v tom, že postupně v ednotlivých krocích hledáme souvislé faktory ohodnoceného grafu G tak dlouho, než dostaneme souvislý faktor bez kružnic s minimálním ohodnocením, t. kostru grafu, která e minimální. V následuícím algorimu přidáváme ke stávaícímu faktoru uzel, který se nachází na hraně s minimálním ohodnocením. Algoritmus 3. () Zvolte u U(G), G = ({u}, ), i: =. () Je G i faktor grafu G? ne: mezi všemi hranami {, y}, pro které U(G i ) a y U(G i ), nadi hranu s nemenším ohodnocením. Polož G i+ = (U(G i ) {y}, H(G i ) {{, y}}), i: = i +, opaku () ano: G i e hledaná minimální kostra Ve druhém algoritmu odebíráme z grafu G hranu, která má maimální ohodnocení tak dlouho, než se zbavíme všech kružnic v grafu. Algoritmus 3. () Polož G = G, i: =. () Eistue v G i kružnice C i?

41 4 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ OPTIMALIZAČNÍCH ÚLOH ano: V G i nadi hranu h i s minimálním ohodnocením, označ G i+ = (U(G i ), H(G i ) {h i }). i: = i + a opaku () ne: G i e hledaná minimální kostra Příklad 3. V grafu na obrázku Obr. 3., který reprezentue silniční propoení mezi 5 obcemi, naděte minimální kostru pomocí Algoritmu i Algoritmu. Obrázek 3. Zadaný graf s hranovým ohodnocením Řešení: Podle Algoritmu postupueme přes uzly, 3,, 4, 5 a současně přidáváme hrany, které tyto uzly spouí. Celkové ohodnocení e pak = 8. Podle Algoritmu neprve odstraníme hranu {3,5}, a pak hranu {,}, která e součástí kružnice. Obdržíme, že celkové ohodnocení e = 8. Obrázek 3. Minimální kostra grafu z Obr. 3. Minimální cesta Jestliže ohodnocený orientovaný graf interpretueme ako telekomunikační, železniční nebo silniční síť a de nám o to, nalézt co nelevněší nebo nekratší trasu, pak řešíme úlohu o nalézení minimální

42 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 cesty. Tzn., máme nalézt takovou posloupnost operací, které systém převedou z výchozího stavu postupně až do cílového stavu s minimálními náklady (v minimálním čase). Následuící algoritmus e založen na postupném přidávání ednoho uzlu, který leží na hraně, která vychází z posledního zařazeného uzlu a která a má nemenší hranové ohodnocení. Algoritmus 3.3 (Minimální cesta z u do v, u, v U (G )) () Uzlu u přiřadíme trvalou hodnotu th = a ostatním uzlům dočasnou hodnotu dh =. () Když e poslední uzel s přiřazenou trvalou hodnotou, pak všem y, pro která (, y) H (G ) a pro která zatím nebyla přiřazena trvalá hodnota, přiřadíme dočasnou hodnotu dh(y): = min{dh(y), th() + w(, y)}. (3) Pro uzel z s nemenší dočasnou hodnotou položíme th() = dh(). (4) Má uzel trvalou hodnotu? ne: deme na () ano: th(v) e délka minimální cesty z u do v v G. Minimální cesta z u do v e určena těmi hranami (, y), pro které w(, y) = th(y) th() Příklad 3. Nalezněte minimální cestu z u do v v grafu G na Obr Obrázek. 3.3 Hledání minimální cesty Řešení: Provedeme v tabulce Tab. 3.. Nad trvalými hodnotami e v tabulce udělán pruh. Délka minimální cesty z u do v e.

43 43 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ OPTIMALIZAČNÍCH ÚLOH Tabulka 3. Minimální cesta krok\uzel u a b c d v Obrázek 3.4 Nalezená minimální cesta Poznámka Algoritmus 3.3 lze použít i pro nalezení minimální cesty v neorientovaném grafu, estliže neorientovaný graf nahradíme eho symetrickou orientací. Nebo také k nalezení nekratší cesty, pokud všechny hrany orientovaného grafu ohodnotíme edničkami. Úloha hledání minimální kostry nachází v prai uplatnění v případě, že e třeba rozhodnout o tom, akým způsobem bude realizována údržba silnic v okrese nebo ak má vypadat rozvodná síť v určitém krai. Hledat řešení na základě definic a vět z prvních dvou odstavců však není efektivní. Proto se využívá algoritmů popsaných v této kapitole. K nalezeni minimální kostry vede Algoritmus 3., ve kterém sou k výchozímu

44 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 44 uzlu postupně přidávány vhodné hrany, nebo Algoritmus 3., ve kterém sou z původního grafu odebírány nevhodné hrany. S další praktickou úlohou se setkáváme, pokud potřebueme určit nelevněší nebo nekratší trasu přepravy. Jedná se o úlohu naít minimální cestu v grafu. K tomu slouží Algoritmus 3.3, kdy se cesta vytváří postupným doplňováním hran s nemenším hranovým ohodnocením. Jak e definovaná minimální kostra grafu? Co e minimální cesta grafu? 3 Prostřednictvím vhodného algoritmu z této kapitoly naděte minimální kostru grafu z Obr Prostřednictvím vhodného algoritmu z této kapitoly naděte minimální cestu z u do v v grafu G na Obr.. 3. Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5,33 stran. ISBN [3] Holenda, J., Ryáček Z. Lineární algebra II,.vyd. Plzeň. ZČU Plzeň, stran. ISBN 8-7-8=638-X

45 Kapitola 4 Síťová optimalizace Po prostudování kapitoly budete umět: nakreslit ohodnocený síťový graf, naít kritickou cestu metodou CPM, naít kritickou cestu metodou PERT. Klíčová slova: Metoda CPM, metoda PERT, ohodnocený síťový graf, kritická cesta, rezervy.

46 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 46 Deterministické sítě a eich časová analýza metoda CPM Síťové metody nacházeí uplatnění při řízení průběhu složitých návazných činností, ako sou proekty ve stavebnictví, zařazení lidí na sezónní práce apod. V této lekci se seznámíme s metodou CPM (Critical Path Mehod) a s metodou PERT. CPM (Critical Path Mehod) nachází uplatnění v deterministických modelech, ako sou konstrukční nebo stavební modely, kdy předpokládáme, že doby trvání ednotlivých činností sou předem známy. Cílem e naít takový způsob realizace daného úkolu, který zabezpečí splnění úkolu v nekratším možném čase. V řeči teorie grafů to znamená naít v acyklickém grafu cestu ze vstupního do výstupního uzlu, a to cestu maimální délky (aby bylo možné vykonat všechny naplánované činnosti). Taková cesta se nazývá kritická a akékoliv odchýlení od ní, znamená zdržení realizace zadaného proektu. Při řešení proektu budeme postupovat v těchto krocích:. Sestavení katalogu činností. Provádí ho odborník schopný analyzovat problém a vytvořit seznam požadovaných činností. U každé činnosti uvede dobu eího trvání a činnosti, které í bezprostředně předcházeí.. Konstrukce síťového grafu. V grafu sou zachyceny návaznosti ednotlivých činností. Síť musí mít právě eden vstupní a eden výstupní uzel. Jednotlivé činnosti sou reprezentovány hranami. Pokud některé činnosti probíhaí souběžně, popř. sou zaháeny současně, zařadíme do grafu tzv. fiktivní činnosti. Fiktivní činnost e činnost, která nemá trvání v čase ani nespotřebovává žádné zdroe. Budeme i značit čárkovaně. Neprve uzly očíslueme,,n. Hranu, která vede z uzlu i do uzlu, přiřadíme ohodnocení w i - dobu trvání příslušné činnosti. Pak postupueme od vstupního uzlu k výstupnímu, abychom určili nedříve možné začátky činností t i (činnost, která vychází z i -tého uzlu může začít nedříve až po ukončení činností, které do tohoto uzlu vstupuí) a nedříve možné konce činnosti t ˆi (odpovídaí začátku činnosti navýšenému o dobu trvání činnosti). Také určíme nedřív možný termín realizace t i pro i -tý uzel. Dále pak postupueme od výstupního uzlu ke vstupnímu a stanovíme nepozděi přípustné začátky činností t i (činnost, která vstupuí do -tého uzlu musí skončit nepozděi do oka-

47 47 SÍŤOVÁ OPTIMALIZACE mžiku prvního přípustného začátku ze všech činností, které z uzlu vycházeí), nepozděi přípustné konce činnosti t ˆi (ty odpovídaí době trvání činnosti a rovnaí se příslušným nepozděi přípustným koncům činnosti) a nepozděi přípustné doby trvání činnosti uzel. T pro -tý Algoritmus 4. (Nalezení kritické cesty) Určení nedříve možných časů: a) Stanovíme nedříve možný termín uzlu (t. nebližší možný začátek činností, které z uzlu vycházeí) : Celková časová rezerva (o kolik lze odložit nedříve možný termín zaháení nebo prodloužit trvání činnosti (i, ), aniž bychom ohrozili celkový termín proektu) (4.) t, pro i,,..., n spočteme t ma{ˆ (, ) ( i ti wi i H G)} b) Stanovíme nepozděi přípustný termín uzlu (t. nepozděi přípustný konec činností, které v uzlu končí): (4.) Tn tn, pro n, n,..., spočteme Kritická cesta prochází těmi uzly, kde T t. K přiímání operativních rozhodnutí slouží vyhodnocení časových rezerv : Interferenční časová rezerva (O tuto dobu lze prodloužit činnosti, které v uzlu i končí, nebo zpozdit činnosti, které v uzlu i začínaí) (4.3) IR T t. i Celková časová rezerva (o kolik lze odložit nedříve možný termín zaháení nebo prodloužit trvání činnosti (i, ), aniž bychom ohrozili celkový termín proektu) (4.4) CR T t w. i Nezávislá časová rezerva (o kolik lze odložit nedříve možný termín zaháení nebo prodloužit trvání činnosti (i, ), aniž se změní akýkoliv další termín proektu) (4.5) NR t T w. i Volná časová rezerva (o kolik lze odložit nedříve možný termín zaháení nebo prodloužit trvání činnosti (i, ), aniž bychom ohrozili nedříve možné termíny zaháení navazuících činností) (4.6) VR t t w. i Závislá časová rezerva (o kolik lze odložit nedříve možný termín zaháení nebo prodloužit trvání činnosti (i, ), aniž bychom ohrozili nepozděi přípustné termíny ukončení navazuících činností) i i i i i i i

48 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 48 (4.7) ZR T T w. i Poznámka Kritickou cestu v případě rozsáhleších grafů lze stanovit tak, že výpočty provedeme v incidenční matici (viz následuící příklad). Příklad 4. V následuící tabulce Tab. 4. sou zaneseny údae o činnostech, které e třeba realizovat při stavbě domu. i i Tabulka 4. Rozpis činností činnost Doba trvání (v týdnech) Předchozí činnosti A zemní práce 3 - B hrubá stavba 3 A C montáž krovu a krytiny B D montáž oken 3 B, I E instalatérské práce 5 C F vnitřní omítky a podlahy 6 E, D G nátěry F H fasáda D, C I výroba atypických oken 4 - Pomocí síťového grafu určete kritickou cestu a spočtěte nezávislé a celkové časové rezervy ednotlivých uzlů. Řešení: Hledání kritické cesty v síťovém grafu realizueme následovně: Nakreslíme orientovaný graf, ve kterém e zachycena návaznost ednotlivých činností. Uzly očíslueme a hranám přiřadíme hodnoty, které odpovídaí době trvání příslušné činnosti. Vydeme z prvního - vstupního uzlu a podle vztahů (4.) do všech uzlů postupně poznačíme nedříve možné termíny uzlů t i, i,..., n. Obrázek 4. Popis uzlů

49 49 SÍŤOVÁ OPTIMALIZACE Pak, počínae od posledního - výstupního uzlu, určíme postupně podle vztahů (4.) nepozděi přípustné termíny uzlů T i, i n,...,. Na závěr podle vzorců (4.4) a (4.5) spočteme celkové a nezávislé časové rezervy pro ednotlivé činností. Síťový graf, který odpovídá zadání Příkladu 4. e na Obrázku Obr. 4.. Kritická cesta e vyznačena červeně, na hranách sou poznačeny hodnoty w CR, NR. i, i i Obrázek 4. Stanovení kritické cesty

50 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 5 Příklad 4. V Příkladu 4. určete kritickou cestu a spočtěte interferenční rezervy uzlů pomocí incidenční matice. Řešení: V Ecelu e možné výpočet realizovat prostřednictvím incidenční matice, kde spočteme nedříve možné t i a nepozděi přípustné termíny uzlů T. Kritická cesta prochází těmi uzly, kde se t. Na závěr vypočteme také interferenční rezervu uzlů IR T t. T Postup: Neprve do tabulky Tab. 4. zapíšeme dobu trvání činnosti (do i-tého řádku a -tého sloupce přide w ). i, i V pomocném sloupci Tab. 4. položíme t. K ednotlivým hodnotám z. řádku v Tab. 4. postupně přičteme t a zapíšeme do Tab Maimální hodnotu z. sloupce Tab. 4.3 zapíšeme ako t do Tab K hodnotám z. řádku v Tab. 4. postupně přičteme t a zapíšeme do Tab Maimální hodnotu z 3. sloupce Tab. 4.3 zapíšeme ako t 3 do Tab. 4.. Atd. až do posledního řádku incidenční matice. V pomocném řádku Tab. 4. položíme T9 t 9. Od ednotlivých hodnot z 9. sloupce v Tab. 4.3 postupně odečteme T 9 a zapíšeme do Tab Minimální hodnotu z 8. sloupce Tab. 4.4 zapíšeme ako T 8 do Tab. 4.. Od hodnot z 8. sloupce v Tab. 4.3 postupně odečteme T 8 a zapíšeme do Tab Minimální hodnotu ze 7. sloupce Tab. 4.4 zapíšeme ako T 7 do Tab. 4.. Atd. až do prvního sloupce incidenční matice. V dalším přídavném řádku Tab. 4. spočteme pomocí vztahu (4.3) interferenční časové rezervy. i Tabulka 4. Incidenční matice s dalšími propočty Incidenční matice - trvání činností a rezervy t_i

51 5 SÍŤOVÁ OPTIMALIZACE T_ IR 5 Tabulka 4.3 Matice s pomocnými výpočty pro určení t_i ma Tabulka 4.4 Matice s pomocnými výpočty pro určení T_ min Z incidenční matice (viz tabulka Tab. 4.), steně ako ze síťového grafu (viz obrázek Obr. 4.), e patrné, že kritická cesta vede přes uzly,, 3, 4, 7, 8, 9 a eí délka e 84 týdnů. Jakékoliv odbočení

52 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 5 z této cesty znamená prodloužení termínu dokončení stavby. Uzly 5 a 6 neleží na kritické cestě. Interferenční rezerva v těchto dvou uzlech e nenulová (v uzlu 5 činí týdnů a v uzlu 6 5 týdnů) a reprezentue buď dobu, o kterou lze prodloužit trvání činnosti vstupuící do příslušného uzlu nebo dobu, o kterou lze zpozdit zaháení činnosti vystupuící z příslušného uzlu. Stochastické sítě a eich časová analýza - metoda PERT Na časový průběh náhodných činností působí řada náhodných vlivů, proto e lepší bodový odhad délky trvání ednotlivých činností nahradit odhadem pravděpodobnostním. Trvání činností w i e nahrazeno třemi veličinami a i - dolní mez odhadu (edná se o pesimistický odhad, když činnost probíhá za optimálních podmínek), b i - horní mez odhadu (edná se o optimistický odhad, když bereme v úvahu i nepříznivé vlivy), mi - odhad nepravděpodobněšího trvání činnosti, t. nečastěi se vyskytuící hodnota z dřívěších proektů. Pokud rozptyly veličin m leží v /3 rozpětí kolem středu, pak nelepším odhadem střední hodnoty a i, bi se rovnaí a i (4.8.) w e i a i 4mib i 6 a rozptylu e ( bi ai ) (4.9.) i. 36 Příklad 4.3 Spočtěte střední hodnotu a rozptyl doby trvání ednotlivých činností, když v katalogu z Příkladu 4. sou údae o délce trvání činnosti nahrazeny údai o dolní mezí odhadu, horní mezí odhadu a odhadem nepravděpodobněšího trvání ednotlivých činností z Tabulky 4.5. Dosažené výsledky porovnete se zadáním v Příkladu 4..

53 53 SÍŤOVÁ OPTIMALIZACE Tabulka.5 Zadání příkladu í ai mi bi, ,5 4,5 3 3, ,5 8, ,5 Řešení: Pomocí vztahů (4.8) a (4.9) spočteme střední hodnoty w_i a rozptyly s_i. Tabulka 4.6 Výpočet charakteristik délka činností í a_i m_i b_i w_i s_i,5 4, ,6667, ,5 8,833333,5 4,5 3 3,5 3, ,6667, ,83333, ,5 9,666667, 8,5,96667, ,5 4,83333,736 Při řešení metodou PERT budeme postupovat následovné: Ze stanovených hodnot a, b, m, spočteme w i i i e i, y Kritickou cestu pak při ohodnocení hran hodnotami w e i, y stanovíme ako v CPM.

54 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 54 Na závěr provedeme pravděpodobnostní analýzu výsledků (Stanovení pravděpodobnosti, kdy nekritická cesta přede v kritickou; pravděpodobnosti dodržení termínu ukončení proektu; určení termínu akce, aby byl splněn se zvolenou pravděpodobností.) Poznámka (Pravděpodobnostní analýza.) Když počet uzlů e větší než a termíny uzlů sou poměrně malé a navzáem nezávislé, můžeme předpokládat, že termíny představuí náhodnou veličinu, která má normální rozložení. Můžeme proto spočítat hodnoty normovaných proměnných u a stanovit odpovídaící pravděpodobnosti evů, které nás zaímaí. Příslušné pravděpodobnosti sou rovny hodnotám distribuční funkce pro normované normální rozložení. Tyto hodnoty sou tabelovány. V případě interferenční rezervy e normovaná interferenční rezerva uzlu (4..) u ( T i t i ) T t a pravděpodobnost, že nekritické uzly se stanou kritickými (4..) P PI ) P( T t ) ( T t ). ( R i i i i V případě celkové časové rezervy: Normovaná celková časová rezerva činnosti (4..) u ( T i T t i w t i ) w a pravděpodobnost, že nekritické činnosti se stanou kritickými (4.3.) P ( CR ) P( T t w ). i V případě plánovaného termínu: Normovaný plánovaný termín PT i i i (4.4.) u ( PT s t n ) a pravděpodobnost, že nekritický uzel se stane kritickým (4.5.) P ( PT t ). n Získané výsledky porovnáme s následuícím hodnocením: Hodnoty pravděpodobnosti <,5 signalizuí nedostatečné zabezpečení proektu. Hodnoty pravděpodobnosti,5 až,6 signalizuí, že práce sou dobře zabezpečeny

55 55 SÍŤOVÁ OPTIMALIZACE Hodnoty pravděpodobnosti >,6 signalizuí nadbytečné zabezpečení proektu Síťová analýza e praktickou aplikací teorie grafů. Pokud e třeba naplánovat proces, který sestává z řady návazných činností, e možné využít vhodných teoretickýh poznatků. V podstatě se edná o nalezení kritické cesty v acyklickém grafu. Pokud sou doby potřebné k vykonání ednotlivých činností přesně zadané, k nalezení kritické cesty se použie metoda CPM. V případě, že přesná doba realizace činnosti není známá, použie se stochastická metoda PERT.. Čím se od sebe liší metody CPM a PERT?. Metodou CPM stanovte kritickou cestu a spočtěte rezervy v proektu rekonstrukce výrobní linky. Jednotlivé činnosti a eich návaznosti sou uvedeny v následuící katalogu činností (Tab. 4.7). Tabulka 4.7 katalog činností Činnosti: Následuící čin- Trvání Předchozí činnosti nosti čin- Odstavení výrobní linky - 3, Zpracování proekt. dokumentace - 3,4,5,7,8 3 3 Stavba montážního lešení 9,6 5 4 Nákup nového kompresoru 5 Zabezpečení náhradních dílů 4 6 Nákup hutního materiálu 7 Odpoení od energet. rozvodů, 9,6 8 Demontáž výrobní linky 3,4 8 9 Výstavba základů pro nový komp. 3,4 7 Dodávka kompresoru 5,9 3 6 Montáž kompresoru 7,8 3 5 Výměna opotřebovaných dílů a montáž apa- 6,7, Kompletace, linky a napoení na rozvody,, 4,5 5 4 Odstranění lešení, odzkoušení linky Úklid. Předání linky do výroby Činnosti: 4,5 -

56 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 56 Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5,33 stran. ISBN [3] Holenda, J., Ryáček Z. Lineární algebra II,.vyd. Plzeň. ZČU Plzeň, stran. ISBN 8-7-8=638-X. [4] STŘÍŽ P. RYTÍŘ, V., SEBEROVÁ, H. Manažerské rozhodování v riziku a neistotě teoreticky a prakticky..vyd. Bučovice: Martin Stříž, 9. 6 stran. ISBN

57 Kapitola 5 Analýza toků v sítích Po prostudování kapitoly budete umět: stanovit maimální tok v síti, aplikovat řešení toků v síti na praktické úlohy. Klíčová slova: Zdro, stok, tok v síti, propustnost hrany, maimální tok.

58 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 58 Základní pomy Sledování toků v sítích slouží k řešení takových úloh ako e distribuce po železniční nebo silniční síti, přenos v počítačové síti, popř. přeprava přes produktovody. Cílem e uspokoit přepravní nároky s minimálními celkovými náklady. Zaveďme neprve některé základní pomy. Síť e orientovaný graf s kladným ohodnocením hran a reálným ohodnocením uzlů. Označme: a R i, i =,,..., n - ohodnocení i-tého uzlu (tzv. intenzita uzlu), r i R,, i =,,..., n - ohodnocení hrany (i, ) (tzv. propustnost hrany). Obrázek 5. Síť s ohodnocením uzlů a hran Pokud a i = nazveme uzel neutrální; pokud a i >, nazýváme uzel zdro; když a i <, pak se uzel nazývá stok. Množinu hran (A, A) = {(, y) A U (G ), y A U (G ) A} sítě G nazýváme řez sítě. Číslo r(a, A)se nazývá propustnost řezu. Řez s nemenší propustností e tzv. minimální řez. Pokud pro uzly u, v U (G ) platí, že u A, v A, pak říkáme, že řez (A, A) oddělue uzly u, v.

59 59 ANALÝZA TOKŮ V SÍTÍCH Příklad 5. V síti z Obr. 5. vyznačte ednotlivé řezy Obrázek 5. Řez v síti Tok v síti e hranové ohodnocení : H (G ), ), takové, že pro každý uzel platí (5.) a pro každou hranu e i i, ( i, ) H ( G), ( i, ) H ( G) (5.) i r i pro každou hranu (i, ) H (G ). Uvedené vztahy lze interpretovat následovně: To, co do uzlu nateče, musí z ně také vytéct. Tok po hraně e kladná hodnota, která nepřevýší ohodnocení hrany. Věta 5. ( eistenci toku) V síti G eistue tok, právě když součet ohodnocení všech uzlů sítě e roven nule a když součet ohodnocení všech uzlů z libovolně zvolené množiny A U (G ) e menší nebo roven součtu všech hranových ohodnocení hranového řezu r(a, A). a i Maimální tok Věta 5. (Fordova Fulkersonova) Nechť G e síť s ediným zdroem z a ediným stokem s. Velikost maimálního toku ze z o s e rovna propustnosti minimálního řezu, který oddělue uzly z a s. Poznámka: Když (i, ) e hrana minimálního řezu a i e maimální tok hranou (i, ), pak i = r i. V takovém případě říkáme, že hrana e nasycená. V případě ednodušších grafů stanovit lze vyít z Věty 5. a maimální tok stanovit pomocí následuícího algoritmu.

60 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 6 Algoritmus 5. (Nalezení maimálního toku) Na všech hranách e na začátku nulový tok. () Vybereme cestu K, na které lze tok zvýšit. Jedná se o cestu přes hrany s nenulovou rezervou β i = r i i + i. Na zvolené cestě nademe minimální rezervu ε = min i K {β i }. () Na každé hraně cesty (i, ) K spočteme možné snížení toku δ = min{ i, ε}. Na hranách orientovaných v opačném směru upravíme tok i = i δ. Na hranách cesty provedeme úpravu toku i = i + ε δ. (3) Pokud lze naít další cestu, na které lze tok navýšit, vrátíme se na bod (). Jinak sme našli maimální tok. Jeho hodnota e rovna součtu toků ze zdroe. Příklad 5. Naděte maimální tok v síti, která e znázorněna na Obrázku Obr Obrázek 5.3 Síť s vyznačenou kapacitou hran Řešení Na Obr Obr. 5.7 e zachycen postup při hledání maimálního toku. V průběhu výpočtu ke každé hraně poznačíme průběžnou hodnotu toku/ kapacitou hrany. Postupueme podle Algoritmu 5.. Neprve na všech hranách nastavíme nulový tok. A vybereme. cestu (viz Obr. 5.4). Obrázek 5.4 Výběr. cesty

61 6 ANALÝZA TOKŮ V SÍTÍCH Na vybrané cestě spočteme ε = min i K {β i } = min{ +, 5 + } =, δ z = min{ z, ε} = min{, } =, δ s = min{ s, ε} = min{, } = a navýšíme hodnotu toku po hranách. Zvolíme novou cestu (viz Obr. 5.5). Obrázek 5.5 Výběr. cesty Na této cestě spočteme ε = min{3 +, +, + } =, δ z = min{,} =, δ,3 = min{, } =, δ 3,s = min{, } = a navýšíme hodnotu toku po hranách. Zvolíme novou cestu (viz Obr. 5.6). Obrázek 5.6 Výběr 3. cesty Spočteme ε = min{,, 4, } =, δ z =, δ, =, δ,3 =, δ 3,s = a navýšíme hodnotu toku po hranách. Zvolíme novou cestu (viz Obr. 5.7). Obrázek 5.7 Výběr 4. cesty

62 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 6 Spočteme ε = min{,, } =, δ z =, δ, =, δ,s = a navýšíme hodnotu toku po hranách. Protože hrany sou už nasycené, našli sme maimální tok. Jeho hodnota e rovna 5 (viz Obr. 5.8). Obrázek 5.8 Nalezený maimální tok Poznámka Po vypuštění nasycených hran sme obdrželi nesouvislý graf. Když množinu uzlů komponenty, která obsahue zdro, označíme ako A, pak (A, A) e minimální řez. Poznámka Zdokonalením Fordova Fulkersonova algoritmu e např. Edmonsův- Karpův algoritmus k nalezení minimálního řezu (viz[3]). Problematiku přepravy materiálu po železnici nebo zásobování s cílem uspokoení přepravních nároků s minimálními celkovými náklady e možné řešit na základě teorie grafů. V daném síťovém grafu se snažíme naít tzv. maimální tok. K tomu lze využít například Algoritmus 6... Jak e definován maimální tok v síti?. Určete hodnotu maimálního toku v síti určené grafem a)

63 63 ANALÝZA TOKŮ V SÍTÍCH b) c) [Maimální tok a) 5, b) 3, c) 8, graf má dvě kostry] Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5,33 stran. ISBN [3] Holenda, J., Ryáček Z. Lineární algebra II,.vyd. Plzeň. ZČU Plzeň, stran. ISBN 8-7-8=638-X.

64 Kapitola 6 Úvod do lineárního programování Po prostudování kapitoly budete umět: k dané úloze sestavit příslušný matematický model, dvodimenzionální úlohy řešit graficky, vysvětlit princip simpleové metody. Klíčová slova: Úloha lineárního programování, účelová funkce, omezuící podmínky, podmínky nezápornosti.

65 65 ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Obecná formulace úlohy Máme vyrobit n druhů výrobků. K dispozici e m zdroů, eichž kapacity sou omezené. Nároky na množství zdroů při výrobě ednotkového množství ednotlivých výrobků sou známy. Výrobní program má být sestaven tak, aby zisk byl co nevětší. Označme vyprodukované množství -tého výrobku bi množství i-tého zdroe, které e k dispozici ai množství i-tého zdroe, potřebného na výrobu -tého výrobku c cenu ednotkového množství -tého výrobku Obecný matematický model: (6.) z c ma (6.) ai bi, i,..., m (6.3), í,..., n n n Množina bodů, které vyhovuí nerovnicím (6.), (6.3), se nazývá přípustná oblast. Rovnice (6.) e tzv. účelová funkce. Poznámka V závislosti na řešeném problému (třeba, když funkce z představue ztráty), e také možné hledat minimum účelové funkce (6.). V soustavě (6.) lze uvažovat kromě i nebo =. Poznámka Úloha (6.) (6.3) e maimalizační úloha ve standardním tvaru. O minimalizační úloze říkáme, že e ve standardním tvaru, když všechny omezuící nerovnosti (6.) sou typu. Poznámka Vektor = (,, n ) nazýváme vektorem strukturních proměnných, vektor b = b,., b m vektorem pravých stran, vektor c = (c,, c n ) vektorem cen a matici A a ) maticí strukturních koeficientů. ( i Příklad 6. V krečovském saloně se vyráběí sukně a halenky. Jedna pracovnice potřebue na ušití edné halenky hodiny a na sukni,5 hodiny. Počet ušitých sukní by neměl být o víc než kusů

66 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 66 vyšší než počet ušitých halenek. Celkový počet sukní a halenek, které má pracovnice za týden ušít, by neměl být nižší než 5 kusů. Halenka se bude prodávat za 6 Kč a sukně za 7 Kč. Kolik sukní a kolik halenek musí pracovnice udělat za 4,5 hodiny, když chceme, aby výtěžek z prodee byl co nevětší? Řešení Proměnné: Označme: - počet vyrobených kusů halenek, y - počet vyrobených kusů sukní. Omezení: Počet pracovních hodin, které sou k dispozici, nesmí být překročen: (6.4),5 y 4, 5 Sukní by nemělo být víc než : (6.5) y Dohromady e třeba ušít alespoň 5 kusů sukní a halenek: (6.6) y 5 Počet vyrobených halenek e nezáporný steně ako počet vyrobených sukní: (6.7), y. Cíl: Naít, y (celá) tak, aby zisk byl maimální: (6.8) z 6 7 y ma. Rovnice (6.4)-(6.8) představuí matematický model zadané úlohy. Množina bodů, které vyhovuí nerovnicím (6.4)-(6.7), se nazývá přípustná oblast. Rovnice (6.8) přísluší účelové funkci. Grafické řešení úloh LP Pokud v matematickém modelu úlohy vystupuí pouze dvě neznámé, lze omezuící podmínky i účelovou funkci graficky znázornit v rovině. Nerovnice (6.), (6.) pak představuí poloroviny. Jeich průnikem e přípustná oblast. Za předpokladu, že účelová funkce (6.) nabývá určité zvolené konstantní hodnoty, můžeme i zakreslit ako přímku. Optimální řešení maimalizační úlohy získáme rovnoběžným posunutím přímky do vrcholu přípustné oblasti, který e nevíc vzdálen od počátku.

67 67 ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Mohou nastat tyto případy: Přípustná oblast e neomezená úloha nemá řešení. Přímka účelové funkce protíná přípustnou oblast v ediném vrcholu úloha má právě edno řešení. Přímka účelové funkce splývá s některou hranou přípustné oblasti úloha má nekonečně mnoho řešení. Příklad 6. Odhadněte řešení úlohy z Příkladu 6., a pak úlohu řešte graficky. Řešení: Řešení úlohy lineárního programování (6.5)-(6.8) se v obecném případě realizue na základě algoritmu simpleové metody. Ten e založen na tom, že postupným přecházením po hranách přípustné množiny zvyšueme (popř. snižueme) hodnotu účelové funkce. Po konečném počtu kroků dospěeme do takového kraního bodu přípustné množiny, v němž e hodnota účelové funkce maimální (popř. minimální). Předpokládeme, že účelová funkce (6.8) nabývá určité konstantní hodnoty. V našem případě sme neprve zvolili z 3. Hodnotu účelové funkce sme pak měnili tak, aby se přímky, které těmto účelovým funkcím odpovídaí, postupně posouvaly do vrcholů přípustné oblasti. Nevyšší možnou hodnotu účelová funkce dosáhla, když přímka vrcholu, ve kterém e přímka účelové funkce nevíce vzdálená od počátku. 6 7 y c byla posunuta do Obrázek 6. Grafické řešení úlohy LP Z obrázku Obr. 6. e vidět, že při daných omezeních e optimální vyrobit 7 halenek a 9 sukní, za které se obdrží 7 5 Kč.

68 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 68 Různé typy úloh LP Plánování výroby: K dispozici e m zdroů, eichž kapacity sou omezené. Nároky na množství zdroů při výrobě ednotkového množství ednotlivých výrobků sou známy. Výrobní program má být sestaven tak, aby zisk byl co nevětší. z n a i n c b,,,..., n ma i i,..., m Směšovací problém: Z n surovin známého složení a známé ceny máme sestavit směs tak, aby vyhovovala určitým m ukazatelům a přitom byla co nelevněší. z n n a n i c b,,,..., n min i i,..., m Přiřazovací problém: Je speciálním případem dopravní úlohy. Máme zařadit n pracovníků na n činností tak, aby celkový zisk z efektivity eich práce byl co nevětší. z i n n i i i n,, n c i i i ma,,..., n i,..., n když i - tý pracovník e na inak tém místě

69 69 ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Dopravní problém: Od m dodavatelů máme rozvézt zboží k n spotřebitelům tak, abychom uspokoili požadavky všech spotřebitelů a vyčerpali kapacity všech dodavatelů. Předpokládáme, že součet kapacit všech dodavatelů se krye se součtem požadavků všech spotřebitelů. Výdae na přepravu maí být co nemenší. z n m i i m i i i n c a, i b, i i min i,..., m,..., n, i,..., m,,..., n Cílem úloh, které lze řešit metodami lineárního programování, e naít na přípustné množině vymezené lineárními nerovnicemi řešení, pro které nabývá účelová funkce své optimální hodnoty (maima nebo minima). Škála těchto úloh e velmi rozsáhlá. Mimo iné mezi ně kromě plánování výroby patří i směšovací, přiřazovací a dopravní problém.. Napište obecný tvar matematického modelu pro úlohu lineárního programování.. Uveďte, ak se liší matematické modely pro směšovací, přiřazovací a dopravní problém. 3. Sestavte matematický model následuící úlohy: Závod nakupue materiál ve svitcích širokých cm. Tento materiál e třeba v plánovaném období řezat na tři druhy svitků steně dlouhých ako nakupované svitky, ale různě široké: alespoň 3 kusů svitků 6 cm širokých, alespoň 6 kusů svitků 55 cm širokých, alespoň 6 kusů svitků 4 cm širokých. Plánovaný úkol e třeba splnit s minimálním celkovým množstvím odpadů. Vybrané možné řezné plány sou uvedeny v tabulce. Máte vypočítat, kolikrát e třeba použít který řezný plán, aby byl vyroben alespoň plánovaný počet tří druhů svitků při minimálním množství odpadu

70 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 7 Literatura k tématu: [] FIALA, P. Modely a metody rozhodování. 3. přepr. vyd. V Praze: Oeconomica, 3. 9 stran. ISBN [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [3] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5,33 s. ISBN [4] JABLONSKÝ, J., LAGOVÁ, M. Lineární modely. 3. vyd. Praha VŠE, 4. 3 stran. ISBN [5] MOŠOVÁ, V. Lineární programování. VVŠ PV Vyškov, 996.

71 Kapitola 7 Simpleová metoda Po prostudování kapitoly budete umět: používat simpleovou metodu, řešit různé úlohy lineárního programování. Klíčová slova: Simpleová metoda, maimalizační a minimalizační úloha lineárního programování, kanonický tvar úlohy LP, simpleová tabulka, optimální řešení.

72 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 7 Realizace simpleové metody Simpleová metoda e univerzální algoritmus pro řešení úloh lineárního programování. Pří řešení úloh lineárního programování touto metodou budeme postupovat v následuících krocích: Sestavení matematického modelu maimalizační úloha má tvar z n a i n c b,,,..., n i,..., m Ten e třeba upravit na tvar kanonický (z nerovnic vytvoříme rovnice) z n a n i c m,,..., n; d ma i ma b,,,..., m a koeficienty zapsat do simpleové tabulky, v níž budeme úlohu řešit. Nalezení výchozího bazického řešení (t. řešení, které vyhovue soustavě v kanonickém tvaru). Většinou se kladou doplňkové proměnné rovny nule. Testování optimality řešení maimalizační popř. minimalizační úlohy lze zlepšit, pokud eistue záporné popř. kladné indení číslo (t. číslo v řádku účelové funkce). Pokud e takových čísel více, vybereme to, které má nevětší absolutní hodnotu. (Indení číslo vznikne ako rozdíl hodnot účelové funkce před a po nahrazení edné původní bázické proměnné novou, původně nebázickou, proměnnou. Přechod k novému optimálnímu řešení maimalizační popř. minimalizační úlohy uskutečníme tak, že proměnnou, pro kterou e indení číslo záporné popř. kladné, nahradíme proměnnou, pro kterou e podíl pravé strany a koeficientu u vylučované proměnné nemenší popř. pro minimalizační úlohu nevětší. i d i,..., m

73 73 SIMPLEXOVÁ METODA Maimalizační úlohy Při realizaci simpleové metody hrae roli, estli se edná o úlohu maimalizační nebo minimalizační. V závislosti na tom pak upravueme nerovnice vymezuící přípustnou oblast na rovnice. Mezi maimalizačními a minimalizačními úlohami platí určitá závislost, které se říká dualita a kterou lze využít při řešení zadaných úloh. Příklad 7. Příklad 6. řešte simpleovou metodou. z 9 / 44 / 6 / 3, 3 ma Řešení: Matematický model naší úlohy převedeme do kanonického tvaru. z 9 / / 6, / 3,, d, d 44 3 Koeficienty zapíšeme do tabulky Tab. 7., ve které budeme dál provádět výpočet. 3 d d, d ma Tabulka. 7. Simpleová tabulka č. d 3 3 d d d b i b i, s z d / 3 3 d d /6 /3 36

74 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 74 V simpleové tabulce na průsečíku vybraného klíčového sloupce a klíčového řádku se nachází klíčový prvek. Řádek s klíčovým prvkem normueme a opíšeme. Na místa ostatních prvků klíčového sloupce dostaneme pomocí ekvivalentních úprav (t. sčítání ednotlivých řádků vynásobených vhodnými konstantami různými od nuly). Celý proces opakueme, dokud nesou splněny optimalizační podmínky. Tabulka 7. Simpleová tabulka č. Klíčový sloupec Klíčový řádek d d d b i b i, s z d / 3 3 d d /6 /3 36 Po prvním kroku e řešení (,,3,44,) s hodnotou účelové funkce z=. Tabulka 7.3 Simpleová tabulka č. 3 d d d b i b i, s z / 3 6 d / d 3 -/3 Ve druhém kroku e řešení (, 3,, 4, ) s hodnotou účelové funkce z=3.

75 75 SIMPLEXOVÁ METODA Tabulka. 7.4 Simpleová tabulka č. 4 d d d b i b i, s z d. 6 d - 8 d -/3 Ve třetím kroku e řešení (8,6,,,) s hodnotou účelové funkce z=4. Poznámky V průběhu řešení simpleovou metodou může doít k degeneraci řešení, a to tehdy, když bázické řešení obsahue méně než m nenulových složek. V další iteraci pak nemusí doít ke zlepšení řešení. Eistence více optimálních tzv. alternativních řešení pokud pod nebázickou proměnnou se vyskytne nulové indení číslo. Řešení pak e konvení lineární kombinací k bázických optimálních řešení. Simpleová metoda má následuící geometrickou interpretaci: Postupným přecházením po hranách přípustné množiny zvyšueme (popř. snižueme) hodnotu účelové funkce. Po konečném počtu kroků dospěeme do kraního bodu přípustné množiny, ve kterém e hodnota účelové funkce maimální (popř. minimální). Minimalizační úlohy Uvažume minimalizační úlohu z = c min, A b,. Abychom v nové soustavě získali ednotkovou bázi, přičteme k levým stranám rovnic umělé proměnné a k systému připoíme pomocnou účelovou funkci. z n nm a i, c min, nm a i n z' m,..., n m, v v m v b, i, min i,..., m,..., m

76 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 76 Tuto úlohu neprve minimalizueme vzhledem k pomocné účelové funkci. Úkol Řešte následuící minimalizační problém z 4 / / 6, 44 / min Úlohy lineárního programování a dualita Ke každé úloze lineárního programování lze přiřadit úlohu duální. Duální úloha k maimalizační úloze z = c ma A b má tvar z = b y min A T c y Duální úloha k minimalizační úloze z = c min A b má tvar z = b y ma A T y c y Poznámka Složky duální proměnné y maí svou ekonomickou interpretaci: Pokud se zvýší disponibilní množství určitého zdroe, představuí složky duální proměnné maimální možné ceny, které má eště smysl zaplatit za ednotkové množství zdroe (tzv. stínové ceny). Příklad 7.3 K úloze z Příkladu 7. napište úlohu duálem.

77 77 SIMPLEXOVÁ METODA Příslušná duální úloha má tvar Pro duální úlohy platí: z 3 y / y y y, y y 44 y / 6y / 3y y 3, y y min Silná věta o dualitě: Má-li edna z duálních úloh řešení, pak má řešení i druhá. Hodnoty účelových funkcí primární a duální úlohy se rovnaí. Při řešení duálních úloh simpleovou metodou uvedeme duální úlohu na kanonický tvar doplněním o vedleší proměnnou d, Od rovnice (6.3) odečteme rovnici (6.). Do rovnice (6.3) přičteme umělou proměnnou v. Rovnici (6.3) odečteme od rovnice pro pomocnou účelovou funkcí z ' v sme doplnili systém (6.)-(6.3). Příklad 7.4 Simplevou metodou řešte duální úlohu k úloze z Příkladu 7.. Řešení Sestavíme duální úlohu z' y y z 3 y / y y 44 y / 3y / 3y y / 6y y, y 3 3, y 3 3 d d y d d v, d 3, d kterou vyřešíme v simpleové tabulce (viz Tab Tab. 7.7). (min) (min), (min), o kterou Tabulka 7.5 Simpleová tabulka y y y d d v 3 b i z ' /3 - z

78 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 78 d / /6 - v /3 - Tab. 7.6 Simpleová tabulka y y y d d 3 v b i z ' - 8 z y /3 - v - 8 Tab. 7.7 Simpleová tabulka y y y d d v 3 b i z ' - z y /3 - y - 8 Řešení primární úlohy e (8,6,,,;4 ), duální úlohy (,8,,,;4 ). Tzn. na každou přidanou hodinu přípravy má smysl uvolnit nanevýš Kč a na kompletování 8 Kč. Na kontrolu nic, protože počet hodin e příliš vysoký (nevyčerpáno e hod). Poznámka Úlohy lineárního programování lze řešit v programu EXCEL pomocí doplňku ŘEŠITEL. Následuící příklad e ukázkou řešení edné takové úlohy. Příklad 7.5 Řešení úlohy v Ecelu:

79 79 SIMPLEXOVÁ METODA Podnik nakupue dva druhy výrobků V, V. Spotřeba surovin v kg, které sou potřebné na výrobu ednoho kusu výrobku sou uvedeny v tabulce. V tabulce e také uvedeno množství surovin, kterými podnik disponue. Zisk z ednoho výrobku V e 8 Kč, z výrobku V e 8 Kč. Stanovte výrobní plán tak, aby podnik dosáhl maimálního zisku. Tabulka V V Disponibilní množství S 4 S 4 zisk 8 8 ma Matematický model z = 8+8 ma 4+ <= 4+<= >=, >= Řešení v Ecelu učelová fce z 54 V V hledané hodnoty 3 omez. podm Simpleová metoda e metoda určená k řešení úloh lineárního programování. Svů název získala z grafického názoru, kdy přípustná oblast tvoří simple a optimální řešení se získá postupným přecházením do různých vrcholů simpleu po eho hranách, tak aby účelová funkce dosáhla optimální hodnoty.. Napište, ak vypadá obecný model úlohy lineárního programování.. Jaký e princip simpleové metody? 3. Grafickou metodou řešte úlohu LP zadanou matematickým modelem z = ,, 3, ma,.

80 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 8 4. V prostředí Ecelu řešte následuící úlohu: Firma vyrábí dva typy dřevěných hraček: nákladní autíčka a vláčky. Autíčka prodává za 55 Kč a vláčky za 7 Kč. Náklady na dřevo, které se při výrobě používá ako hlavní materiál, činí u autíček 5 Kč a u vláčků 7 Kč. Na výrobě se podíleí řezbáři a lakýrníci. Na edno autíčko e třeba hod řezbářské práce a hod dokončovací práce. Na eden vláček e třeba hod řezbářské práce a hod práce. Na eden vláček e třeba hod řezbářské práce. Náklady na hod řezbářské práce činí 3 Kč a na hod a dokončovací práce Kč. Každý měsíc e k dispozici 5 hod na řezbářské práce a 3 hod na dokončovací práce. Vzhledem k odbytu e pro firmu efektivní vyrobit maimálně autíček za měsíc. Výroba vláčků není z hlediska poptávky niak omezená. Cílem firmy e naít výrobní program, který bude maimalizovat zisk, vyádřený ako rozdíl tržeb a nákladů. [,, 55] Literatura k tématu: [] FIALA, P. Modely a metody rozhodování. 3. přepr. vyd. V Praze: Oeconomica, 3. 9 stran. ISBN [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [3] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5, 33 stran. ISBN [4] JABLONSKÝ, J., LAGOVÁ, M. Lineární modely. 3. vyd. Praha VŠE, 4. 3 stran. ISBN [5] MOŠOVÁ, V. Lineární programování. VVŠ PV Vyškov, 996

81 Kapitola 8 Aplikace simpleové metody Po prostudování kapitoly budete umět: rozpoznat dva nové typy úloh řešitelné simpleovou metodou, aplikovat simpleovou metodu na další praktické problémy. Klíčová slova: Simpleová metoda, řezné plány, směšovací problém.

82 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 8 Směšovací problém Příklad 8. Podnik má vytvořit krmnou směs, která by obsahovala alespoň 38 mg vápníku a alespoň 4 mg hořčíku. Používá přitom dvou typů krmiv. Jeden kilogram krmiva K obsahue mg vápníku, 8 mg hořčíku a stoí 5 Kč. Jeden kilogram krmiva K obsahue 8 mg vápníku, mg hořčíku a stoí 4 Kč. Stanovte složení výsledné krmné směsi tak, aby náklady na eí pořízení byly co nemenší. Řešení: Označíme - krmivo. typu a krmivo. typu. K řešení použieme ecelovský nástro řešitel. Tabulka 8. Matematický model Řešení úlohy v Ecelu z = > min Řešení v Ecelu učelová fce z >= >=4, >= V V hledané hodnoty 6 6 omez.podmínky Je vidět, že k vytvoření krmné směsi e třeba použít 6 kg krmiva. typu a 6 kg krmiva.typu. Náklady na pořízení směsi pak budou 4 44 Kč. Příklad 8. V tabulce Tab. 8. e 9 druhů potravin, které lze obednat v síti Mac Donald. U každé z nich e informace o eich nutriční hodnotě (energetická hodnota, obsah bílkovin, ) a ceny za ednotku. Tabulka 8. Zadání příkladu Energie (kcal) Bílkoviny (g) Tuky (g) Uhlohydráty (g) Cena (Kč) Big Mac Hamburger Zeleninový burger

83 83 APLIKACE SIMPLEXOVÉ METODY Hranolky Salát Mléko Coca cola Big mac menu Hamburger menu Cílem e navrhnout dávky výživy tak, aby byla co nelevněší a respektovala následuící podmínky: energetická hodnota e minimálně 3 kcal, obsah bílkovin minimálně 65 gramů, obsah uhlohydrátů minimálně 375 gramů, obsah tuku maimálně gramů, každou z potravin lze do dávky výživy zahrnout maimálně dvakrát. Řešení: Úlohu budeme řešit v prostředí Ecelu Tabulka 8.3 Řešení Příkladu 8. Matematický model energ. hodnota bílkoviny tuky uhlohydráty i, i=,,9 - kolikrát se daná potravina zahrne do dávky výživy z=49*+45*+ +75*9 ->min 479*+57*+ +4*9>=3 5*+3*+ +39*9>=65 *+3*+ +5*9<= 44*+4*+ +55*8>=375 *+5*+ +6*8>= <=i<=, celé Energie (kcal) Bílkoviny (g) Tuky (g) Uhlohydráty (g) Cena (Kč) měněné buňky Big Mac Hamburger Zeleninový burger Hranolky Salát Mléko Coca cola Big mac menu Hamburger menu >= >= <= >= požadavky 3 65,, 375 cílová buňka omezení

84 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 84 Jídlo bude nelevněší a vyhovovat zadaným požadavkům, pokud v něm bude zařazen Big Mac, Coca cola, hranolky, Hamburger menu, mléko. Energetická hodnota pak bude 357 kcal, obsah bílkovin 83 g, obsah tuků g, obsah uhlohydrátů 4 g a cena 7 Kč. Řezné plány Příklad 8.3 K dispozici sou cívky s elektrickým kabelem délky 8 m. Podnik z nich potřebu e pro další použití nařezat alespoň 3 ks kabelů délky 5m, alespoň 6 ks kabelů délky 4m a alespoň 5 ks kabelů délky 3m. Cílem e minimalizovat počet rozřezaných cívek. Řešení: Sestavíme řezné plány (Tab. 8.4). Výpočet pak provedeme v Ecelu (Tab. 8.5). Tabulka 8.4 Řezné plány plán č min ks kabel 5 m 3 kabel 4 m 6 kabel 3 m 3 5 odpad m Tabulka 8.5 Řešení v Ecelu Matematický model i, i=,,6 - počet cívek rozřezných podle i-tého řezného plánu z= >min *++3>=3 +*4+5>=6 3+*5+3*6>=5 i>=,celé Řešení v Ecelu z omez.podm. 3 >= 3 >= 6 5 >= 5 Když chceme minimalizovat počet rozřezaných cívek, použieme patnáctkrát. řezný plán a padesátkrát 6. řezný plán. Počet rozřezaných cívek pak bude 65.

85 85 APLIKACE SIMPLEXOVÉ METODY Mezi specifické úlohy lineárního programování patří například úlohy směšovací, které se mohou týkat optimalizace nákupu surovin do krmných směsí, vsádek do vysokých pecí nebo stanovení ídelníčku. Patří sem také tzv. řezné plány, které se uplatňuí, když e třeba minimalizovat odpad při řezání materiálu na předem určenou délku.. Jaké další typy úloh lze řešit simpleovou metodou?. Úlohu 8. řešte simpleovou metodou i graficky. 3. Papírny vyráběí role papíru o délce 5 m ve standardní šířce m. Tento standardní rozměr odebírá většina odběratelů. Někteří z nich však preferuí inou šířku rolí konkrétně,5m,,8m a,m. Role těchto šířek sou získávány z rolí standardních rozměrů eich dělením. V rámci isté zakázky e třeba vyprodukovat 5 ks rolí o šířce,5 m, ks rolí o šířce,8 m a 4 ks rolí o šířce, m. Pro dělení standardních rolí na menší e k dispozici 5 variant, které sou charakterizovány počtem,5,,8 a, metrových rolí získaných rozdělením edné m role. Kromě toho e u každé varianty uveden případný odpad vzniklý dělením. Popis variant e uveden v následuící tabulce Tab. 8.6 Tabulka 8.6 Zadání příkladu 3 Varianty dělení m rolí I II III IV V,5 4,8 -, - - odpad,,3,4 Cílem optimalizace e nalezení takové struktury dělení rolí, která uspokoí požadavky odběratelů a bude minimalizovat počet standardních m rolí, které bude třeba použít. [(, 5,, 75, 4; 85)]

86 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 86 Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] JABLONSKÝ, J., LAGOVÁ, M. Lineární modely. 3. vyd. Praha VŠE, 4. 3 stran. ISBN [3] MOŠOVÁ, V. Lineární programování. VVŠ PV Vyškov, 996

87 Kapitola 9 Algoritmy pro řešení speciálních úloh LP Po prostudování kapitoly budete umět: sestavit model celočíselného programování a problém řešit, sestavit model pro dopravní úlohu a problém řešit, sestavit model pro přiřazovací úlohu a problém řešit. Klíčová slova: Celočíselné programování, Gomoryho algoritmus, dopravní problém, přiřazovací problém.

88 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 88 Celočíselné programování Dosud sme předpokládali, že proměnné se mění spoitě. Eistuí však úlohy, kde tomu tak není. Například hodnoty proměnných mohou představovat počty opakování technologických úkonů realizovaných pouze ako celek, nebo se může ednat o počty nedělitelných obektů nabývaících pouze celočíselné hodnoty. Požadavek celočíselnosti, který vstupue do matematického modelu ako další nová omezuící podmínka, e v podstatě vyádřením určitých logických požadavků a ty by měly být v modelu respektovány. Část matematického programování, která spadá do této problematiky, budeme nazývat celočíselným programováním. Pro řešení úloh celočíselného programování byly vyvinuty speciální metody řešení. Čtenáře-praktika určitě napadne, k čemu další nové metody, když se nabízí zadanou úlohu vyřešit a získaný výsledek zaokrouhlit. Takový přístup však může vést ke zcela mylným závěrům, což se může proevit zeména při zaokrouhlování proměnných, které mohou nabývat pouze hodnot a. Přípustný e snad en v situacích, kdy e úloha inak neřešitelná. Příklad 9. V zadání Příkladu 6. snižte počet hodin, které sou k dispozici, ze 4,5 na 4. Pomocí Ecelu naděte optimální řešení. Řešení Pokud použieme původní nastavení Řešitele, obdržíme výsledek (počet halenek a sukní), který není celočíselný (viz Tab. 9.). Tabulka 9. Řešení při původním nastavení Řešitele optim. proměnné y 6,8574 8,857 účelová funkce MAX z= 657,43 omezuící podm. meze ma. počet hodin 4 4 vztah mezi výrobky min. počet výrobků 4, počet halenek 6,8574 počet sukní 8,857

89 89 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ SPECIÁLNÍCH ÚLOH LP Ecel však nabízí nastavení parametrů tak, abychom získali celočíselné řešení. Když k omezuícím podmínkám v Řešiteli přidáme navíc podmínku celočíselnosti, dostaneme řešení uvedené v Tab. 9.. Tabulka 9. Řešení při novém nastavení Řešitele optim. proměnné y 6 8 účelová funkce MAX z= 6 omezuící podm. meze ma. počet hodin 39 4 vztah mezi výrobky min. počet výrobků 4 5 počet halenek 6 počet sukní 8 V tomto případě e =6, y=8. Účelová funkce má pak hodnotu z=6. Poznámka: Ke stanovení řešení úloh celočíselného lineárního programování se také používá pro tento účel speciálně vytvořený Gomoryho algoritmus. Spočívá v tom, že v určitých fázích výpočtu se k úloze lineárního programování přidávaí dodatečná omezení, která odseknou tu část množiny přípustných řešení, která neobsahue žádné řešení celočíselné. Dopravní problém Tyto úlohy se týkaí otázek přepravy zboží od m dodavatelů k n spotřebitelům. Předpokládá se, že přepravueme stenorodý produkt prostřednictvím stených druhů dopravních prostředků, že mezi dodavatelem a spotřebitelem eistue vždy en ediná cesta, po níž lze přepravovat libovolné množství zboží, a že cena za přepravu e přímo úměrná množství převáženého zboží.

90 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 9 Kapacity dodavatelů aké množství zboží a i, požadavky spotřebitelů b a sazby za přepravu c i známe. Máme určit, i e třeba přepravit vždy od i-tého dodavatele k -tému spotřebiteli, aby náklady na dopravu byly co nenižší. Matematický model úlohy (kapacity všech dodavatelů sou vyčerpány a požadavků všech spotřebitelů sou plně uspokoeny), má tvar: (9.) z i n m m i i i n c min a, i,..., m i b, i,..., n i i, i,..., m,,..., Uvedený dopravní problém patří mezi úlohy lineárního programování a můžeme e proto řešit v prostředí Ecelu. Příklad 9. Zboží e rozváženo od dodavatelů k 3 spotřebitelům. Náklady na dopravu v tis. Kč, požadavky spotřebitelů a kapacity dodavatelů v tunách sou uvedeny v Tab Stanovte optimální plán přepravy pomocí Ecelu. Tabulka 9.3 Zadání příkladu D D P S S S3 K Řešení: Matematický model úlohy má tvar z min ,, 3,,, 3

91 9 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ SPECIÁLNÍCH ÚLOH LP Řešení v Ecelu s pomocí Řešitele e v Tab Tabulka 9.4 Řešení dopravní úlohy Dopravní problém proměnné hodnoty Omezení zdro kapacita v kapacita v požadavek ds požadavek ds 7 požadavek ds3 3 Účelová funkce 4 Při způsobu transportu uvedeném v tabulce (viz hodnoty,..., 3), bude výše nákladů na dopravu z=4 Kč. Úkol: Situaci z předchozího příkladu znázorněte pomocí ohodnoceného grafu. Poznámka Dopravní problém patří mezi úlohy lineárního programování a ako takový e lze řešit simpleovou metodou. Matice tvořená koeficienty soustavy vlastních omezuících podmínek dopravní úlohy e však řídká (obsahue hodně nul). Byly proto vypracovány zvláštní algoritmy řešení, které využívaí specielní struktury matematického modelu a sou v dané situaci efektivněší. Příkladem takové metody e Vogelova aproimační metoda (VAM) (viz [3]). Přiřazovací problém Speciálním případem dopravní úlohy e přiřazovací problém, kdy eden obekt zařadíme na edno určité místo. Oproti dopravní úloze (9.) e v tomto případě a i b i i Matematický model úlohy pro přiřazovací problém má tvar

92 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 9 (9.) z n m i m i i i n c i i ma, i,..., m, i,..., m, i - tý pracovník na - té místo i, inak Příklad 9.3 Podnik má k dispozici 3 eřáby, které má předisponovat na 3 pracoviště. Vzdálenosti v km mezi stanovišti eřábů a pracovišti sou uvedeny v tabulce Tab Naděte optimální plán přepravy. Tabulka 9.5 Zadání příkladu. pracoviště. pracoviště 3. pracoviště. eřáb 4. eřáb 6 3. eřáb Řešení Optimální plán přepravy určíme pomocí Ecelu obdobně, ako řešení úlohy lineárního programování, en v omezuících podmínkách vyznačíme, že se edná o bivalentní úlohu. Tabulka 9.6 Řešení v Ecelu Přiřazovací problém proměnné hodnoty Omezení zdro kapacita v kapacita v 3 kapacita v3 požadavek ds požadavek ds 3 požadavek ds 3 3

93 93 ALGORITMY PRO ŘEŠENÍ SPECIÁLNÍCH ÚLOH LP 33 Účelová funkce 7 Z Tab. 9.6 e vidět, že nelépe bude zařadit. eřáb na 3. pracoviště,. eřáb na. pracoviště, 3. eřáb na 3. pracoviště, kdy počet uetých kilometrů při přepravě eřábů e roven 7. Poznámka Přiřazovací problém lze řešit také pomocí speciálního algoritmu Maďarské metody (viz [3]). Dopravní a přiřazovací problém sou úlohy, které lze řešit simpleovou metodou. Pokud se rozhodneme k výpočtu použít Ecel, e třeba v případě přiřazovacího problému v Řešiteli nastavit, že se edná o bivalentní úlohu. Protože matice soustavy, která přísluší matematickému modelu dopravní nebo přiřazovací úlohy e řídká, byly vypracovány speciální algorimy pro eich řešení. Pro dopravní problém e to Vogelova aproimační metoda a pro přiřazovací problém Maďarská metoda.. Vysvětlete, čím se liší obecný model lineárního programování od modelu dopraní úlohy.. Uveďte, čím sou specifické úlohy celočíselného programování. 3. Podnik vyrábí tři druhy výrobků,, 3, pro eich výrobu sou potřebné dva druhy surovin s i, s. Odhadnuté měrné spotřeby surovin, disponibilní množství surovin a tržní ceny výrobků sou uvedeny v tabulce Tab Stanovte takový výrobní program, který firmě zaistí maimální zisk. Tab. 9.7 Zadání příkladu 3. s s 3,9,3,5 75,5,4 88, Disp. obem množství cena Podnik kompletue 3 druhy aparatur, na eichž kompletaci používá druhy komponent. Disponibilní množství komponent nepřekročí 5 kusů u první komponenty a kusů u druhé. Firma má omezený počet pracovníků, eichž fond pra-

94 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 94 covní doby e maimálně 3 hodin. Měrné spotřeby komponent, pracnost výroby (hod/ks) a ceny výrobků (Kč) sou uvedeny v tabulce Tab V prostředí Ecelu sestavte optimální plán výroby. Nezapomeneme zadat požadavek celočíselnosti. Tabulka 9.8 Zadání příkladu 4. Aparatura Aparatura Aparatura 3 Pracnost 3 3 Spotřeba. dílu 3 Spotřeba. dílu Cena 4 5 Literatura k tématu: [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [] JABLONSKÝ, J., LAGOVÁ, M. Lineární modely. 3. vyd. Praha VŠE, 4. 3 stran. ISBN [3] MOŠOVÁ, V. Lineární programování. VVŠ PV Vyškov, 996.

95 Kapitola Vícekriteriální programování Po prostudování kapitoly budete umět: sestavit matematický model rozhodovacích situací, kdy e třeba vzít v úvahu více kritérií, řešit tyto úlohy na základě vícekriteriálního hodnocení variant, řešit tyto úlohy pomocí vícekriteriálního programování. Klíčová slova: Vícekriteriální programování, vícekriteriální hodnocení variant, bázická varianta, ideální varianta, váha, kompromisní řešení.

96 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 96 Úvod Při rozhodování se v prai často setkáváme s problémy, ve kterých e nutné zadané varianty posuzovat podle celého souboru optimalizačních kritérií. Cílem může být neen určení nelepší varianty, ale třeba také uspořádání variant podle výhodnosti, popř. výběr dobrých a vyloučení špatných variant. V takovém případě hovoříme o vícekriteriální optimalizaci. Metody řešení těchto úloh můžeme rozdělit podle mohutnosti množiny přípustných řešení do dvou kategorií Vícekriteriální hodnocení variant pokud má množina rozhodovacích variant konečný počet prvků. Vícekriteriální programování pokud e přípustných alternativ nekonečně mnoho. Vícekriteriální hodnocení variant Cílem tedy e řešit určitou rozhodovací situaci. K dispozici máme n variant řešení, které označíme X, X,..., X. Jeich hodnocení budeme provádět prostřednictvím m kritérií K, K,..., X. Úloha n bude určena, když budeme znát kriteriální matici m (.) X m n nm eíž prvky i představuí ohodnocení i-té varianty vzhledem k -tému kritériu. Nadále budeme předpokládat, že všechna kritéria sou pouze maimalizačního typu. Tedy čím e pro určitou variantu hodnota kritéria vyšší, tím lépe e z hlediska tohoto kritéria varianta hodnocena. Definume některé základní pomy. Řekneme, že varianta X i dominue variantu X a píšeme Xi X, estliže ik k pro všechna k,..., n. Varianta X B e bázická varianta, když eí složky sou vybrány ze složek všech variant X i tak, aby platilo X X pro všechna i,..., n. B i

97 97 VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ Varianta platí I X I e ideální varianta, když eí složky sou vybrány ze složek daných variant i X i tak, že X X pro všechna i,..., n. Ideální varianta e v maimalizačních úlohách nelepší možnou variantou ze všech. Protože e běžné, že maimální hodnoty ednotlivých kritérií se vyskytuí u různých variant, není výskyt ideální varianty v řešených úlohách zrovna reálný. Odklon varianty od bázické varianty e možné vyádřit prostřednictvím normované odchylky od bázické varianty. Složky normované odchylky se spočítaí následovně * i B (.) i pro i,. I X Příklad. Máme posoudit hospodářskou vyspělost tří států (varianty, X, X 3 ), prostřednictvím tří kritérií: K - hrubý národní důchod ve srovnatelných ednotkách na ednoho obyvatele, K - výroba elektrické energie v kwh na ednoho obyvatele, K3 - průměrná délka života. Určete ideální a bázickou variantu a varianty, které se navzáem dominuí, když kriteriální matice má tvar B Řešení: Neprve sestavíme ideální a bázickou variantu X ( ) I X ( ) B Vidíme, že X dominue X a že varianty X, X, X 3, X 4 sou navzáem nedominované. Grafická metoda vícekriteriálního hodnocení variant Grafická metoda se používá v tom případě, kdy pracueme s nízkým počtem variant. Neprve nakreslíme hvězdicovou soustavu souřadnic (poloosy svíraí úhly m ) a spočteme podle vzorce normovanou odchylku do bázické varianty. Hodnoty * i vyneseme pro každou variantu zvlášť na odpovídaící poloosy a spoíme e úsečkou. Jako nelepší variantu zvolíme tu, pro kterou má příslušný polygon maimální obsah (hledáme variantu, která se neméně ze všech liší od ideální varianty).

98 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 98 Příklad. Grafickou metodou řešte úlohu o hospodářské vyspělosti státu z předchozího příkladu. Řešení: Neprve stanovíme, nakolik se ideální varianta liší od bázické a podle vztahu (.) určíme normované odchylky ednotlivých variant Pro. variantu máme,9,,7, Pro. variantu e,, 3,33. X X ( ) Pro 3. Variantu obdržíme 3, 3, 33. I B Obrázek. Řešení příkladu grafickou metodou Protože počet kritérií m 3, zakreslíme osy, které svíraí úhel 6 stupňů. Na osy naneseme vypočtené hodnoty. Obrázek Obr.. odpovídá grafickému názoru hodnocení životní úrovně.,. a 3. státu. Je vidět, že plocha prvního polygonu e nevětší. Proto se ideální variantě nevíc blíží varianta první. Budeme i proto považovat za optimální. Můžeme tedy uzavřít, že s ohledem na zvolená kritéria za hospodářsky nevyspěleší vyhlásíme první zemi. Obecný způsob řešení úloh vícekriteriálního hodnocení variant Postupueme ve dvou krocích. Neprve pomocí vah (viz odstavec Stanovení vah) zachytíme, ak významnou roli při našem hodnocení hraí ednotlivá kritéria. Pak provedeme vyhodnocení pomocí edné z metod popsaných v odstavci Vyhodnocení ednotlivých variant. Stanovení vah: K určení odhadů vah se užívá různých epertních postupů. Jedním z nich e bodovací metoda, v níž každému kritériu přidělí s epertů body ve výši od do. Váha příslušná k i-tému kritériu e pak určena vztahem

99 99 VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ (.3) v i s v i, kde s v i m a i i a i a ai e počet bodů, kterým -tý epert ohodnotil i-té kritérium. Příklad.3 Spočítete váhy, když 4 eperti ohodnotili 4 kritéria ve stupnici,.., následovně Tabulka. Body přiřazené eperty ednotlivým kritériím ai E E E3 E4 K K K 3 K Řešení: Řešení budeme realizovat v Ecelu. Neprve stanovíme celkový počet bodů a i i, kterými eperti ocenili ednotlivá kritéria, a poznačíme si celkový počet epertů. Další část ecelovské tabulky Tab.. obsahue dílčí váhy v i. Hledané váhy v se nacházeí v posledním sloupci tabulky. Tabulka. Řešení příkladu Bodovací metoda E E E3 E4 K K K K4 4 5 součet ai 5 počet ep. 4 E E E3 E4 Váhy v K,3,35,3,777,368 K,45,5,8,777,338 K3,5,,,363636,849 K4,,,,999,849

100 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Z tabulky Tab.. e z výše vah patrné, že nevětší důraz e kladen na druhé kritérium a nemenší na třetí a čtvrté kritérium. Vyhodnocení ednotlivých variant: lze provést podle některé z níže uvedených metod. Metoda váženého součtu pořadí: Pro všechna kritéria sestavíme pořadí variant. První bude varianta s nelepším ohodnocením z hlediska daného kritéria. Označme ri pořadí i-té varianty z hlediska -tého kritéria. Za nelepší považueme tu variantu, pro kterou výraz (.4) f ( X i ) v r nabývá minimální hodnoty. m Metoda váhových multiplikátorů: Optimální e ta varianta, která maimalizue součet součinů vah s normovanými hodnotami dané varianty, t. výraz * (.5) f ( X ) v. i m Metoda bázické varianty: Když B e bázické varianta, pak optimální e ta varianta, pro kterou výraz m * i (.6) f ( X i ) v. nabývá maimální hodnoty. B i i Příklad.4 Pomocí uvedených metod stanovte, aké bude pořadí států z Příkladu 4.3, když země uspořádáme podle výše životní úrovně a když v 4, v, v3 47 sou váhy přiřazené ednotlivým kritériím. Řešení: Metoda váženého součtu pořadí: Když budeme chtít k výpočtu použít tuto metodu, poznačíme si v matici X pořadí kritérií vzhledem k ednotlivým variantám řešení X a podle vzorce (.4) spočteme hodnoty

101 VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ Vidíme, že nemenší e hodnota f X ). f( X ) f( X ) 53 f( X ) 94 3 ( Metoda váhových multiplikátorů: Vydeme z matice 9 7 X 33 (Jeí prvky sme už dříve spočítali v Tab..3 z Přikladu..) Pomocí vztahu (.5) spočteme Vidíme, že nevětší e hodnota f X ). ( Metoda bázické varianty: Podle Příkladu. e bázická varianta reprezentována vektorem X (45,495,7). Ze vzorce (-6) spočteme B f( X ) f( X ) 55 f( X ) 53 3 f( X ) f( X ) 53 f( X ) Vidíme, že nevětší e hodnota f X ). 3 ( Na závěr můžeme shrnout, že podle všech způsobů hodnocení e nevyšší životní úroveň v první zemi. Při hodnocení metodou váhových multiplikátorů a metodou bázické varianty e na tom nehůř třetí země. Když provádíme vyhodnocení pomocí metody váženého součtu pořadí, dospěeme k závěru, že nenižší životní úroveň e v druhé zemi. Poznámka Metody vícekriteriálního hodnocení variant se využívaí např. k řešení územního plánování nebo při výběru varianty pro realizaci investiční akce.

102 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Vícekriteriální programování V podstatě se edná o zobecnění úloh matematického programování vzhledem k počtu účelových funkcí. Tyto úlohy sou zadávány obdobně ako ostatní úlohy matematického programování, t. ako soustava účelových rovnic, která se optimalizue na dané přípustné množině. Ovšem poem nelepšího řešení e zde nutné chápat v trochu iném významu, než tomu bylo u úloh s ednou účelovou funkcí. Pro ednoduchost budeme předpokládat, na přípustné množině se má maimalizovat k účelových funkcí. Matematický model úlohy pak má tvar (.7) z s ci ma, s,..., k (.8) ai bi, i,..., m n n (.9),,..., n Příklad.5 Grafickou metodou řešte následuící úlohu vícekriteriálního lineárního programování z z ma ma Řešení: Zadanou situaci si znázorníme graficky. Vyplněná plocha znázorňue přípustnou oblast. Čárkované přímky představuí případ, kdy ednotlivé účelové funkce (každá zvlášť) nabývaí své maimální hodnoty. 5 3 Obrázek. Přípustná oblast a účelové funkce

103 3 VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ Vidíme, že účelová funkce z : 4 nabývá na přípustné množině svého maima v bodě (4,) a účelová funkce z : y 3 v bodě (3,). Současně však obě funkce maima nenabývaí. Princip dominování Z Příkladu.5 e vidět, z našich požadavků musíme poněkud slevit. Neprve vyloučíme řešení, která sou pro nás vysloveně nevýhodná. To sou ta, která mohou být nahrazena řešeními, která sou alespoň v edné hodnotě účelové funkce lepší při stených hodnotách ostatních účelových funkcí. Přípustné řešení se nazývá nedominovaným řešením úlohy vícekriteriálního lineárního programování, když neeistue přípustné řešení pro které by platilo, že (.) z ( ) z ( ) pro všechna s,..., k. s s Jednou z možností, ak v takové situaci postupovat, e určit množinu všech nedominovaných řešení a mezi nimi vybrat tzv. kompromisní řešení, které nelépe vyhovue požadavkům zadavatele. Výběr nám mohou usnadnit interaktivní metody, kdy za pomoci počítače procházíme postupně množinu nedominovaných řešení a vybíráme řešení, které odpovídá našim představám. Metoda agregace účelových funkcí Jinou možností e převést model vícekriteriálního lineárního programování na model s ednou účelovou funkcí. Nová účelová funkce z e sestavena z koeficientů původně zadaných účelových funkcí z s například tak, že (.) z v z s, kde čísla s k k s s v sou tzv. váhy ( v, ), které sme podle stupně významnosti přidělili původním účelovým funkcím. s v s ś Příklad.6 Úlohu z Příkladu.5 řešte za předpokladu, že sou dány váhy v,7, v,3.

104 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 Řešení: Agregovaná účelová funkce (.) má v našem případě tvar z v v. Nový matematický model úlohy tedy bude z z Úlohu vyřešíme v Ecelu. z 6 ma 5 3 Tabulka.3 Řešení příkladu optimalizované proměnné 4 účelová funkce Ma z= 4,6 omezuící podmínky meze omezení 5 5 omezení 3 3 omezení 3 Získali sme optimální řešení = (4,), pro které e hodnota účelové funkce z (4, ) = 4,6. Vektor e zároveň kompromisním řešením původního problému a platí, že z (4,) 4 a z (4,) 6. V úlohách lineárního programování nemusí vždy vystupovat en edno optimalizační kritérium. Úlohu s více optimalizačními kritérii e možné řešit pomocí vícekriteriálního hodnocení variant, kdy ednotlivým kritériím sou přiřazeny v závislosti na eich významnosti váhy a situace e pak vyhodnocena graficky. Nebo e možné po agregaci účelových funkcí problém převést na úlohu lineárního programování s ednou účelovou funkcí. Čím se od sebe liší vícekriteriální programování a vícekriteriální hodnocení variant?. Jaké postupy se používaí při vícekriteriálním hodnocení variant? 3. Řešte úlohu vícekriteriálního lineárního programování

105 5 VÍCEKRITERIÁLNÍ PROGRAMOVÁNÍ z ma z ma 3 Když 3 eperti ohodnotili kritéria ve stupnici,..., následovně, Tab..4 Zadání příkladu ai E E E3 K K Literatura k tématu: [] FIALA, P. Modely a metody rozhodování. 3. přepr. vyd. V Praze: Oeconomica, 3. 9 stran. ISBN [] MOŠOVÁ, V. Lineární programování. VVŠ PV Vyškov, 996.

106 Kapitola Teorie her Po prostudování kapitoly budete umět: naít řešení maticové hry dvou racionálních hráčů, určit řešení maticové hry hrané proti přírodě. Klíčová slova: Maticová hra, sedlový bod, čisté strategie, smíšené strategie, hry hrané proti přírodě.

107 7 TEORIE HER Úvodní pomy a označení Maticová hra modelue rozhodovací proces, na kterém se podílí více subektů. Název vyplývá z toho, že celá řada rozhodovacích situací má stenou strukturu ako salonní hry. Nadále budeme používat následuící terminologii Hra - konfliktní situace, kterou lze matematicky modelovat. Hráč - subekt, který se aktivně zúčastňue hry. Strategie hráče - možnosti chování hráče při hře. Platba - kvantitativně vyádřený výsledek hry. Pokud dosahue kladné hodnoty, hráč získává, pokud záporné hodnoty, hráč ztrácí. Hry můžeme členit podle různých hledisek. Počet strategií, které maí hráči k dispozici, určue, zda se edná o hru konečnou či nekonečnou. Podle součtu výher dělíme hry na hry s konstantním součtem a hry s proměnným součtem výher. Hry konstantním součtem dále dělíme na hry antagonistické, kdy sou účastníci v přímém rozporu, protože vyšší výhra ednoho znamená ztrátu druhého (např. hry s nulovým součtem výher), a neantagonistické (např. hry s proměnným součtem výher). Neantagonistické hry podle toho, zda hráči sou nebo nesou ochotni spolupracovat, můžeme rozdělit na hry kooperativní, kdy e pro hráče výhodné, aby se dohodli na společném postupu, a hry nekooperativní. V tomto tetu se budeme zabývat konečnými antagonistickými hrami dvou hráčů. Budeme značit m - počet strategií. hráče, n - počet strategií. hráče, v ( i, ) - výhru. hráče v případě, že. hráč zvolil svou i-tou strategii a. hráč -tou, v ( i, ) - výhru. hráče v případě, že. hráč zvolil svou i-tou strategii a. hráč -tou. Protože se edná o antagonistickou hru, e součet obou výher konstantní: v ( i, ) v ( i, ) K.

108 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 8 Odtud máme v i, ) K v ( i, ). To znamená, že nám stačí všímat si en výher. hráče, třeba ( prvního. Jeho výhry zadáváme v matici výher a a A... am a a a... m a n an... amn kde a i z ( i, ). Hry dvou racionálně ednaících hráčů Řešení v čistých strategiích V tomto případě se každý z obou hráčů snaží naít svou optimální strategii. Optimální strategie e ta, odchýlení od které znamená to pro hráče ztrátu, pokud eho protihráč zvolil svou optimální opt opt strategii. Vektor ( i, ) tvořený optimálními strategiemi. a. hráče, pak nazýváme řešením maticové hry v čistých strategiích. Obecně platí, že nevětší z minimálních výher, které si může. hráč zaistit, určitě nepřekročí eho nevětší výhru, kterou chce. hráč minimalizovat. Tzn. (.) ma min ai, min ma ai,. i Maticová hra má řešení v čistých strategiích, pokud v předchozím vztahu nastane rovnost. opt opt Říkáme pak, že matice A má sedlový bod ( i, ). i Příklad. Zistěte, zda hra Kámen, nůžky, papír má řešení v čistých strategiích. Řešení: Neprve sestavíme pro prvního hráče matici výher - A -. -

109 9 TEORIE HER Výpočty provedeme v tabulce. Z maimálních hodnot ve sloupcích vybereme tu nemenší a z minimálních hodnot v řádcích vybereme tu nevětší (viz tučná čísla v tab..). Tab.. Hledání řešení v čistých strategiích K N P min K - - N - - P - - ma vs - Protože se tučně vyznačená čísla nerovnaí, (t papír nemá řešení v čistých strategiích. ma min ), hra Kámen, nůžky, i a i, min ma ai, i Řešení ve smíšených strategiích Jak sme viděli v předchozím příkladu, maticová hra nemusí mít řešení v čistých strategiích. Platí ale, že každá maticová hra má řešení ve smíšených strategiích. To znamená, že potřebueme určit pravděpodobnosti, se kterými museí hráči střídat své strategie, aby v průměru dosáhli maimální možné výhry. Označme,i, i =,, m - pravděpodobnosti, se kterými by měl. hráč střídat své strategie,,, =,, n - pravděpodobnosti, se kterými by měl. hráč střídat své strategie, m X (,,..., ),, m i i i - vektor smíšených strategií. hráče, n X (,,..., ),, m - vektor smíšených strategií. hráče, m n v a A i T, i i, - střední hodnota výhry.

110 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Algoritmus řešení Nadále budeme předpokládat, že matice A má pouze nezáporné prvky. Pokud tomu tak není, přičteme ke všem prvkům dostatečně velkou hodnotu c. Dostaneme novou výherní matici A uprav A c. Příslušná střední hodnota výhry pak bude v uprav v c. Optimální strategie má zaistit. hráči co nevětší výhru bez ohledu na to, akou strategii zvolí. hráč. To vede na úlohu tvaru m,,, (,,...,). A ev e T uprav uprav T, i, i i uprav, i Pokud v, můžeme položit ti. Když si uvědomíme, že první hráč se snaží maimalizovat svou výhru (t. minimalizovat / v ), dostaneme se k úloze lineárního uprav v uprav programování m i i T uprav t A e, t, i,..., m. i t min, Druhý hráč se snaží minimalizovat výhru protihráče (t. maimalizovat úlohu lineárního programování uprav / v ). To vede na duální n ma, uprav uprav A s e, uprav s,,..., n. s Po návratu k původním proměnným vyhovuí smíšené strategie. hráče a smíšené strategie. hráče následuícím soustavám (.) z i min i m a,,..., n i i m i i, i,..., m z n a i n ma, i,..., m, i,..., n Příklad. Na základě průzkumu sledovanosti pořadů, které vysílaí dvě televizní stanice, byla sestavena následuící tabulka (počet diváků e uveden v milionech).

111 TEORIE HER Tabulka. Zadání příkladu B-thriller B-krimi B-veselo- A-thriller, 3, A-krimi,,4 Navrhněte, aké programové složení by měly televizní stanice preferovat. Řešení: Lze ověřit, že úloha nemá řešení v čistých strategiích. Nademe proto optimální řešení ve smíšených strategiích. Pravděpodobnosti i, i,, se kterými. hráč (t.. televizní stanice) střídá své strategie, nademe ako řešení úlohy lineárního programování. Když označíme i ti, i,, z pak. hráč se snaží naít minimum účelové funkce (.3) na přípustné množině, která e vymezená nerovnostmi (.4),t,t, t t., y Pravděpodobnosti,,, 3, se kterými potřebue. hráč (t.. televizní stanice) střídat své strategie, získáme při označení / z t t min 3t,4t,t t,, tak, že nalezneme maimum s i y,,,3, z (.5) / z s s s ma 3 na přípustné množině (.6),s 3s,s 3, 3 s, s, s3,s,4s s,

112 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ Řešení úloh (.3), (.4) a (.5), (.6) provedeme v Ecelu. Postupueme obdobně ako v předešlých úlohách lineárního programování. Do tabulky uložíme matici sledovanosti, vymezíme buňky pro neznámé veličiny z primární a duální úlohy, zapíšeme vzorec pro účelovou funkci a příslušná omezení pro přípustnou oblast. V nabídce Nástroe Řešitel vyplníme potřebné odkazy a necháme naít odpovídaící řešení. Tabulka. Řešení v Ecelu Matice sledovanosti, 3,,,4 Řešení primární úlohy optimalizované proměnné hodnoty omezuící podmínky t,49755 v,9 t, v, v3 účelová funkce /z=, Min přepočtené pravděpodobnosti a účelová funkce, ,958 v, Řešení duální úlohy optimalizované proměnné hodnoty omezuící podmínky s, v s v s3, účelová funkce /z=, Ma přepočtené pravděpodobnosti a účelová funkce, 3,9 v,

113 3 TEORIE HER Z přepočtených pravděpodobností t z i, s z, kde i=,, =,,3, vyplývá, že pro televizní stanici A bude výhodné zařadit ednotlivé typy pořadů postupně s pravděpodobnostmi ((,;,9) a pro televizní stanici B s pravděpodobnostmi (,; ;,9). Tzn., když stanice A zařadí do programu thrillery a krimi v poměru :9 a stanice B thrillery a veselohry v poměru :9, pak obě stanice budou mít zhruba stenou sledovanost, a to miliony diváků. Grafická metoda Pokud některý z hráčů používá en dvě strategie, lze úlohu řešit graficky. Předpokládeme, že e to. hráč. Matice plateb má tvar a A a... n... a a n Protože. hráč má k dispozici pouze dvě strategie, musí eho řešení ve smíšených strategiích mít tvar X (, ). Předpokládeme, že. hráč má k dispozici n strategií. Když. hráč zvolí svou k-tou strategii (k=,..,n), bude střední cena výhry (.7) v(, k) a, k a, k( ). První hráč usilue o nalezení takové strategie opt aby si zaistil nevětší ze svých minimálních výher. Tzn., Hledá opt, aby. opt v( ) ma min v(, k)., k,..., n Všimněme si, že z geometrického hlediska lze vzorce (.7) znázornit ako přímky yk a, k a, k( ), k,..., n. Průsečík přímek, který e nedál od osy, reprezentue optimální řešení pro. hráče. Poznámka V případě, že. hráč má k dispozici en dvě strategie, postupueme obdobně. V souladu se skutečností, že tento hráč chce minimalizovat nevyšší výhru, kterou může získat eho soupeř, však optimální řešení představue ten průsečík, který leží neblíže k ose.

114 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 4 Příklad.3 Úlohu z Příkladu. řešte grafickou metodou Řešení Označme ako pravděpodobnost, že. stanice zařadí do programu thriller, pravděpodobnost, že zařadí do vysílání krimi (součet pravděpodobností, se kterými hráč volí své strategie, musí být roven edné). Závislost výše výhry. hráče na zvolené strategii. hráče můžeme vyádřit následovně: Pokud druhý hráč použie. strategii, bude střední hodnota výhry prvního hráče v(,),,( ),,9. Když druhý hráč zvolí. strategii, pak v(,) 3,4( ),4,6. Když si druhý hráč vybere svou 3. strategii, bude v(,3), ( ),. Neprve pomocí modrého pruhu vymezíme skutečnost, že Pak nakreslíme přímky.. y,,9, y,4,6, y,,. Hodnota -ové souřadnice průsečíku přímek odpovídá v našem případě hledanému řešení a představue pravděpodobnost, s akou má. hráč zařazovat svou. strategii. Hodnota y -ové souřadnice průsečíku přímek e příslušná střední hodnota výhry. Obrázek. Grafické řešení

115 5 TEORIE HER opt Z obrázku e vidět, že =, a y=,. Tedy optimální smíšená strategie. hráče e (,,,9), opt střední hodnota výhry v ( ),. První televizní stanice by proto měla do programu zařazovat z % thrillery a v 9% krimi, což í zaistí přibližně mil. diváků. Úkol: Graficky znázorněte následuící situace, které mohou nastat při řešení maticové hry: ) Oba hráči maí optimální řešení v čistých strategiích. ) Oba hráči řešení v optimálních smíšených strategiích. Maticové hry hrané proti přírodě Inteligentní chování budeme v tomto odstavci předpokládat pouze u prvního hráče. Druhý hráč (příroda) se chová nahodile. Pokud známe pravděpodobnosti p, se kterými lze očekávat chování přírody, hovoříme o rozhodování v podmínkách rizika. Pokud tyto pravděpodobnosti neznáme, hovoříme o rozhodování v podmínkách neistoty. Při řešení obou případů můžeme využít Bayesův princip: pro prvního hráče e nevýhodněší zvolit tu strategii, která má maimální střední hodnotu výhry (.8) E ( i ) ai p ma. Ve druhém případě klademe p. n n Příklad.4 Zemědělský podnik se rozhodue, zda začít sklizeň cukrovky ihned nebo zda má počkat. Bude-li příznivé počasí, bude při pozděší sklizni vyšší hektarový výnos. Zároveň eistue nebezpečí chladného deštivého počasí, kdy by sklizeň cukrovky byla obtížná, ztráty větší a průměrný hektarový výnos nižší. Platební matice má tvar Určete a) akou strategii má podnik zvolit, 47 A b) akou strategii má podnik zvolit, když podle meteorologických předpovědí lze s 6-ti % pravděpodobností očekávat, že bude příznivé počasí.

116 MATEMATICKÉ METODY ROZHODOVÁNÍ 6 Řešení a) Jedná se o rozhodování za neistoty. Pravděpodobnosti, s akými nastane příznivé a nepříznivé počasí, uspořádáme do vektoru p = (, )T a podle vztahu (.8) spočteme střední hodnoty E ( ) 47., 5 47., 5 47 E ( ) 5., 5 45., 5 47, 5 ma{47; 47, 5} 47, 5 Vidíme, že pro podnik bude nelepší zaháit sklizeň v pozděším termínu, kdy se předpokládá průměrný výnos 47,5 t/ha. b) Ve druhém případě se edná o rozhodování za rizika. Zadaný vektor pravděpodobností p = (,6;,4) T. Pak E ( ) 47.,6 47., 4 47 E ( ) 5.,6 45., 4 48 ma{47; 48} 48 V tomto případě sme spočítali, že pro podnik bude nelepší zaháit sklizeň v pozděším termínu, kdy se předpokládá průměrný výnos 48 t/ha. Maticové hry dvou hráčů vznikly na základě snahy naít optimální řešení rozhodovacích problémů, kdy proti sobě stoí dva antagonistické subekty, které usiluí o co nevyšší zisk. Je třeba rozlišovat mezi hrami, kdy mezi sebou soupeří dva rozumné subekty, a hrami, kdy eden ze subektů se chová náhodně. Někdy e možné, aby eden z hráčů byl absolutním vítězem, tzn. naít řešení v čistých strategiích. Ve většině případů e však nutné hledat řešení ve strategiích smíšených.. Jaká e podstata hledání sedlového bodu?. Jaký e postup při hledání řešení maticové hry ve smíšených strategiích? 3. Naděte řešení hry Kámen, nůžky, papír ve smíšených strategiích. 4. Ukažte, že úloha z příkladu. nemá řešení v čistých strategiích. 5. Dvě televizní stanice A, B stoí před problémem, který typ pořadů zařadit do nesledovaněšího času mezi. a. hodinou. Rozhoduí se mezi thrillerem, krimi a veselohrou. Na základě průzkumu sledovanosti pořadů byla sestavena matice sledovanosti (hodnoty sou uvedeny v mil. diváků). Stanovte, které programy maí vybrat.

117 7 TEORIE HER Tab..3 Zadání Příkladu 5 B-thriller B-krimi B-veselohra A-thriller.I 3.I A-krimi.I 3.I.I A-veselohra.I.I.I 6. Na základě nového průzkumu sestavena matice sledovanosti a údae byly zaneseny do Tab..3. Jak maí televizní společnosti změnit programové složení? Tab..4 Zadání Příkladu 6 B-thriler B-krimi B-veselohra A-thriler,3,8 3 A-krimi,,8 A-veselohra,9,7 3,5 7. Televizní společnost A se vzhledem k nízké sledovanosti rozhodla nevysílat veselohry. Matice sledovanosti tak nabyla nového tvaru A,3,8 3,,8. Naděte řešení maticové hry grafickou metodou. Literatura k tématu: [] FIALA, P. Modely a metody rozhodování. 3. přepr. vyd. V Praze: Oeconomica, 3. 9 stran. ISBN [] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Praha: Grada, 3. ISBN [3] GROS, I.,DYNAR, J. Matematické modely pro manažerské rozhodování.. upr. a rozš. vyd. Praha. VŠCHT Praha. 5, 33 s. ISBN

118 Kapitola Formulace a řešení úloh nelineárního programování Po prostudování kapitoly budete umět: sestavit model kvadratického programování, rozhodnout o eistenci řešení úlohy kvadratického programování, řešit úlohu kvadratického programování. Klíčová slova: Konvení programování, sedlový bod, kvadratické programování.