Základní topologické pojmy:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základní topologické pojmy:"

Transkript

1 Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński (88 969) Sierpińského trojúhelník S = S 4 S = S = S 4 4 S = S = S 4 4. n Sn = S n+ 4 n n S = Sn = S = S = S 4 = S n+ n n= n= n= Nulový obsah a nekonečná délka nutnost precizace pojmu křivka Okolí bodu kruh (v E ), koule (v hraničních bodů, tedy: { ε} = { < ε} O A = X E AX < ; ε O A X E AX ε Otevřená množina M pro každý bod A M eistuje O ( A) O ( A) ε M. Základní topologické pojmy: E ) bez ε tak, že

2 Základní topologické pojmy: Souvislá množina M Pro každé dvě neprázdné otevřené množiny A; B, pro které je M A B, platí A B ε-pokrytí množiny M - je systém ε okolí O ( A ) i i O ( A) ε ε. ε kde M εi i a pro každé i je i i Dimenze množiny M je nejmenší číslo n, pro které platí: Pro každé ε > eistuje ε pokrytí množiny M tak, že každý bod X M je prvkem sjednocení nejvýše n + množin tohoto pokrytí. Křivka topologicky jednorozměrná souvislá množina Plocha topologicky dvojrozměrná souvislá množina Těleso topologicky trojrozměrná ohraničená množina Elementární křivky: přímka a její části (především polopřímka a úsečka. kružnice a její části (kruhový oblouk). Elementární plochy: rovina a její části (především polorovina) základní rovinné geometrické útvary známé ze středoškolské geometrie prostorové plochy hranolovou, jehlanovou, kruhovou válcovou, kruhovou kuželovou a dále plochu kulovou. Elementární tělesa: hranol a jeho speciální případy (především kvádr a krychli), jehlan (kosý, kolmý, pravidelný n -boký, kruhový válec a kužel (kosý a kolmý - rotační) koule. Nutná znalost související terminologie vrchol, strana hrana, plášť atd.

3 podle Rozdělení křivek dimenze prostoru, ve kterém jsou definovány: možnosti analytického popisu rovinné: prostorové analytické grafické = cost y= sint z = t = sin5t y= cost Typy a možnosti vyjádření: Analytické křivky (rovinné) a) graf funkce b) křivky zadané c) křivky zadané implicitně jedné reálné proměnné parametricky { } = [ ; ] = G f y E y f = ϕ y= ψ ( t) () t ; t I f ( ; y ) =

4 Parametrické vyjádření: Příklad: Analytické křivky (rovinné) = 5cos t = 5cos t = 5cos t ; t ; π ) ; t ; π ) ; t ; π ) y= 5sin t y= 5sin t y= 5sin t = 5cos t ; t ; y= 5sin t Převody: Parametrické vyjádření obecná rovnice obecná rovnice parametrické vyjádření (vyloučení parametru): (parametrizace): π ) Příklad: = cost y= sint y = 4cos t = 4sin t + y = 4 ( cos t+ sin t ) + y = 4 subst. Příklad: a y + = b = a cost y = b sint a cos t b sin t + = a b cos t + sin t = parametrické rovnice Analytické křivky Bodová funkce: Bodová funkce v euklidovské rovině resp. prostoru = ; = ; ; Qt f t f t E t t; t Qt f t f t f t E t t; t Bodová funkce v projektivní rovině resp. prostoru () = () ; () ; ω () () ; () ; ; ω (); (); (); Qt k f t k f t k t E Q t = k f t k f t k f t k t E. f t f t f t ω t - souřadnicové funkce Vektorová funkce v euklidovské rovině resp. prostoru ( ) ( ) q ( t) = f ( t) ; f ( t) q () t = f ( t) ; f ( t) ; f ( t) rovinná křivka prostorová křivka v projektivní rovině resp. prostoru reprezentanti: ( ) ( ; ; ; ω) Q () t = f () t ; f () t ; ω E Q () t = f t f t f t E

5 Limita funkce Funkce f ( ) má v bodě = limitu L právě tehdy, když ke každému Oε ( L) eistuje Oδ ( ) takové, že pro každé Oδ ( ) { } je f ( ) Oε ( L). Derivace funkce Derivace funkce: v bodě f( ) f ( ) f '( ) = lim Na intervalu I : pro každé I: f( ) f f '( ) = lim = h; = + h V bodě : f( + h) f ( ) f '( ) = lim h h Na intervalu I : f( + h) f f '( ) = lim h h

6 Derivace funkce n n ( )' = n ;( n ) ( c f ( ) )' = c f '( ) ( f ( ) + g( ) )' = f '( ) + g' ( ) ( ) ( ) sin ' = cos cos ' = sin Tečna t grafu funkce f ( ) v bodě T ; f ( ) T ; f ( ) a má směrnici f ( ). Příklad: f = + ; = Řešení: T ; f ( ) = [ ;] f ' = + ' = + f ' = + = + = n n ( t )' = n ;( n ) ( c f () t )' = c f '() t ( f () t + g() t )' = f '() t + g' () t ( t) ( t) sin ' = cost cos ' = sint t y = f ' + q = + q T t t y = je přímka, která prochází bodem ( f t ; f t ; ω) Bodová funkce Q () t = f() t ; f() t ; ω E bod T = ( ) ( ) Hodnota v bodě Q ( t ); QT ( ) Derivace bodové funkce derivujeme souřadnicové funkce: ( ) ( ' ; ' ;) Q () t = f () t ; f () t ; ω Q' ( t) = f ( t) f ( t) ( ) Regulární bod: bod T = f( t) ; f( t) ; ω je regulární bod křivky Q () = () ; () ; n řádu eistují Q ( k) ( T ) = f ( k) ( t) ; f ( k) ( t) ; ω ( k) ( k ) až do řádu n a Regulární křivka = křivka, jejíž každý bod je regulární Tečna v regulárním bodě: přímka X = T + Q' ( T ) t je tečna křivky určené bodovou funkcí = ; ; v regulárním bodě T = ( f t ; f t ; ω) Q t f t f t ω : Normála v regulárním bodě každá kolmice na tečnu křivky v regulárním bodě ( f ( t ); f ( t ); ω) T = : t f t f t ω Q T ;;.

7 Příklad: Určit tečnu ke křivkám: K () t = cos;sin; t t a) b) S () t = ( cos t;sin t; t;) Je-li Q ( t), která je v bodě T = Q ( t ) regulární. řádu, pak α = + t u+ t v Oskulační rovina: T Q' Q '' Křivost: κ ( t ) ( t) ''( t) Q '( t ) ' = Q Q Hlavní normála: Je normála, která leží v oskulační rovině Oskulační kružnice: - leží v oskulační rovině - poloměr r = κ t ( ) - s polopřímkou ''( t ) X = T + Q t; t má dva společné body Vrcholy regulární křivky body ve kterých má křivka etrémální křivost. Příklad: Oskulační kružnice elipsy v hlavním vrcholu

8 Plochy Plocha jako graf funkce obecná rovnice plochy Parametrické rovnice = cosucosv f ( ; y) = y + y + z = y= sinucosv z = sin v Bodová funkce dvou proměných: obecně: Q ( uv ; ) = f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); např. Q ( uv ; ) = ( cosucos v; sinucos v; sin v; ) Izokřivky: plocha Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) a v = v = konst ( u) = ( f ( u) ; g( u) ; h( u) ; ) = = ( v) = f ( v) ; g( v) ; h( v) ; u u konst Každá u-křivka protíná každou v-křivku a naopak. Q u-křivka Q v-křivka Derivace funkce dvou proměnných: Příklad: 4 Regulární plochy f u; v = u v 4 Derivace podle u : f ' u ( u; v) = u v Derivace podle v f ' v ( u; v) = 6u v Derivace bodové funkce po složkách: Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) Q ' ( uv ; ) = f' ( uv ; ); g' ( uv ; ); h' ( uv ; ); Q ( uv) = f ( uv) g ( uv) h ( uv) u u u u ' ; ' ; ; ' ; ; ' ; ; v v v v Geometrický význam: směrový vektor tečny u-křivky resp. v-křivky Regulární bod: bod = f ( u; v) ; g( u; v) ; h( u; v) ; ω Q ( uv ; ) = ( f( uv ; ); g( uv ; ); huv ( ; ); ) n řádu eistují Q ( k) ( k) ( k) ( k) u u v = fu u v gu u v hu ( u v) Q ( k) ( k) ( k) ( k) v u v = fv u v gv u v hv ( u v) až do řádu n, přičemž ( k ) ( k Q u ; v ; Q ) ( u ; v ) ( ;;;) T je regulární bod plochy u ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; v Regulární plocha = plocha, jejíž každý bod je regulární Tečná rovina v bodě T : X ( ; ) =T ( ; ) +Q' u( ; ) Q ' v( ; ) Normálový vektor plochy: N( u ; v ) = Q' ( u ; v ) Q ' ( u ; v ) uv u v u v u+ u v v u v

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Výpočet průsečíků paprsku se scénou

Výpočet průsečíků paprsku se scénou Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca

Více

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Diferenciáln. lní geometrie ploch Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

Axiomy: Jsou to tvrzení o těchto pojmech a vztazích, která jsou přijata bez důkazů. Například:

Axiomy: Jsou to tvrzení o těchto pojmech a vztazích, která jsou přijata bez důkazů. Například: 1.Euklidovský prostor 1.1) Základními geomterickými útvary jsou bod přímka a rovina. Základním geometrickým vztahem je vztah incidence, který se většinou opisuje spojeními bod leží na přímce, přímka prochází

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

Výpočet průsečíků paprsku se scénou

Výpočet průsečíků paprsku se scénou Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy. strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

Geometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy

Geometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy 1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c. Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

0. Pak existuje n tak, že Bµ APn

0. Pak existuje n tak, že Bµ APn Euklidovský prostor Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce přímka prochází bodem bod leží v rovině rovina prochází bodem bod inciduje s přímkou přímka inciduje s bodem bod

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1)

(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1) Cvičení II (Křivky) (1) Rozhodněte, zda pohyb f(t) = (t 1, t 3 t), t R je jednoduchý. [Není, bod samoprotnutí odpovídá hodnotám t = 1 a t = 1 () Určete singulární body pohybu x = r( cos t cos t), y = r(

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016

Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016 Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,

Více

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70). Úkoly k zápočtu z BA008 Všechny úkoly jsou povinné. Úkoly číslo 4, 7, 12, 14 budou uznány automaticky, pokud poslední den semestru, tj. 3. 5. 2019, budou všechny ostatní úkoly odevzdané a uznané. 1. Je

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

9 Vybrané rovinné křivky

9 Vybrané rovinné křivky 9 Vybrané rovinné křivky 9.1 Obalová křivka PŘÍKLAD 9.1. Za určitých okolností můžeme na dně dobře umytého hrnečku nebo na hladině nápoje v něm pozorovat křivku podobnou srdci (viz obr. 54). Jaká je podstata

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více