Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,"

Transkript

1 Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží těžnice t c trojúhelníka ABC Jsou dány bod [ ] Napište obecnou rovnici A a přímka p : x + y = 0 Napište obecnou rovnici a) přímky m která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkou p b) přímky k která prochází bodem A a je kolmá k přímce p p t = t t t R Určete vzájemnou polohu přímky p R R Je dána přímka ) [ + ] a) a přímky a = [ + s s] s b) a přímky b u) = [ + u + u] u c) a přímky c v) = [ 6 + v+ v] v R Je dána přímka p : x y = 0 Určete vzájemnou polohu přímky p a) a přímky a : x + y 5 = 0 b) a přímky b : x 6y + 6 = 0 c) a přímky c : x + 6y + 6 = 0 5 Napište rovnici roviny α zadané bodem [ 5] n r = 7) A a normálovým vektorem 6 Určete jakou polohu vzhledem k souřadnicovým rovinám zaujímají roviny: a) α : x y + z = 0 b) β : z = c) γ : x + y = 0 d) δ : x y + 5 = 0 e) ε : y = a) ς : x + y + z = k k 0 7 Napište rovnice přímky l procházející body A [ ] B [ 50 ] a) zda body C [ 6 ] a D [ 50 ] leží na přímce l b) průsečík Q přímky l s rovinou ν x 8 Jsou dány body A [ ] a B [ 0 ] a) přímku AB b) polopřímku AB c) úsečku AB Popište 9 Napište parametrické rovnice přímky l která je průsečnicí rovin α : x y z 9 = 0 a β : x y + z + = 0 l t = t t t t R s rovinou 0 Určete průsečík přímky ) [ + ] α : x y + z + 7 = 0 A a přímkou Napište rovnici roviny určené bodem [ 5 0 ] l t) = [ + t t + t] t R Určete:

2 Napište rovnici roviny procházející přímkou l t) = [ + t t + 5t] t a kolmé k rovině x + y z + 7 = 0 Napište rovnici roviny procházející bodem [ ] l t) = [ + t + t 5 + t] t R Jsou dány body A [ ] B [ 5 ] a C [ 8 ] trojúhelníka ABC Vypočítejte velikost výšky v c 5 Jsou dány body A [ ] a [ 7 ] R A a kolmé k přímce Určete plošný obsah B Napište obecnou rovnici roviny β která prochází bodem B a je kolmá k přímce AB 6 Jsou dány body A [ ] a [ 0 ] B Napište obecnou rovnici roviny α která prochází počátkem O soustavy souřadné a body A B 7 Určete vzájemnou polohu přímky k t) = [ + t t + 5t] t α : x + y z + = 0 8 Jsou dány přímka k t) = [ + 5t + t + t] t R a roviny R a rovina β : x + y z + 7 = 0 Napište obecnou rovnici roviny α která prochází přímkou k a je kolmá k rovině β 9 Jsou dány přímka k t) = [ 5 + t + t t] t R a rovina β : x + y z + 5 = 0 Napište obecnou rovnici roviny α která prochází přímkou k a je rovnoběžná s rovinou β 0 Je dán bod A [ 75 ] Napište obecnou rovnici roviny která a) je určena bodem A a souřadnicovou osou x b) prochází bodem A a je kolmá k souřadnicové ose z c) prochází bodem A a je rovnoběžná s nárysnou ν x Popište množinu společných bodů rovin α a β α : x y z 9 = 0 β : x y + z + = 0 A a přímkou Napište obecnou rovnici roviny α která je určena bodem [ 5 0 ] k t) = [ + t t + t] t R A a je kolmá Napište obecnou rovnici roviny která prochází bodem [ ] k přímce ) [ ] R p t = t t t t Určete hodnotu parametru m tak aby přímka p t) = [ + t + mt t] t R byla rovnoběžná s rovinou α : x y + 6z + 7 = 0 5 Určete hodnoty parametrů a a b tak aby přímka p byla kolmá k rovině ρ p t) = [ + at + t5 t] t R ρ : x y bz + 5 = 0 Napište souřadnice průsečíku Q přímky p a roviny ρ

3 Kuželosečky 6 Určete typ kuželosečky napište souřadnice středu /vrcholů ohnisek velikosti poloos /parametru rovnice os / řídící přímky / asymptot Napište parametrické vyjádření těchto kuželoseček a) x + 9y 0x + 6y + 00 = 0 b) 9x 6y 5x 6 y 7 = 0 c) x + y 8x + 6y = 0 d) x y + 8x y + = 0 e) x y x 6y 5 = 0 f) x + y + 8x 6y + = 0 g) 9x y + y + 8 = 0 h) y 0x 8y + 56 = 0 i) x + 6x y = 0 j) x + y + y + 5 = 0 7 Napište rovnici elipsy která se dotýká osy x v bodě A [ 0] B [ 0 ] a osy y v bodě Osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami 8 Napište rovnici elipsy která má ohniska F [ ] F [ 5] a vrchol [ 7] 9 Napište rovnici hyperboly která má vrcholy A [ 0 ] [ ] F [ 5 ] A B a ohnisko 0 Napište rovnici hyperboly víte-li že její asymptoty mají rovnice y = x a y x A 0 = a jeden její vrchol je bod [ ] Napište rovnici paraboly která má a) vrchol V [ 5] a řídící přímku x = b) vrchol V [ 5] a řídící přímku y = 6 c) ohnisko F [ ] a řídící přímku x = F a řídící přímku y = 5 d) ohnisko [ ] Napište rovnice paraboly procházející bodem L [ 5] y = 0 a osa má rovnici x = 0 Napište souřadnice společných bodů přímky p t) = [ + t t] t x ) + y = tečna ve vrcholu má rovnici R a elipsy Napište souřadnice společných bodů přímky p : x y + 5 = 0 a paraboly y = x Kružnice k je dána středem [ ] S a tečnou m : x y 6 = 0 Napište souřadnice bodu dotyku kružnice k a tečny m Dále napište středovou rovnici kružnice k

4 6 Elipsa je dána středem S [ ] ohniskem [ 0] F a velikostí vedlejší poloosy b = a) Napište obecnou rovnici elipsy ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření b) Napište obecné rovnice tečen elipsy v jejích průsečících se souřadnicovými osami 7 Hyperbola je dána středem S [ ] ohniskem [ ] F a velikostí hlavní poloosy a = Napište obecnou rovnici hyperboly ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření Dále napište souřadnice vrcholů a obecné rovnice asymptot hyperboly 8 Parabola je dána vrcholem V [ ] a ohniskem [ 0] F Napište obecné rovnice tečny a normály v průsečíku paraboly s osou y 9 Hyperbola je dána ohnisky F [ ] a [ ] F a velikostí vedlejší poloosy b = Napište obecnou rovnici hyperboly ve středovém tvaru a její parametrické vyjádření 0 Napište obecnou rovnici ve vrcholovém tvaru a parametrické vyjádření paraboly s vrcholem V [ ] a řídící přímkou x = Dále napište a) souřadnice ohniska a obecnou rovnici osy paraboly b) souřadnice průsečíku P paraboly s osou x c) obecnou rovnici tečny paraboly v bodě P Křivky k t = t t t t t Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou y c) parametrické rovnice tečen a normál ve všech výše uvedených bodech Je dána křivka ) [ ln ] 0 ) Je dána křivka k t) = [ t t 8t t t ] t R Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s nárysnou ν x b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s bokorysnou µ y c) rovnice tečen a obecné rovnice normálových rovin ve všech výše uvedených bodech Je dána křivka k t) = [ t 5t t + ] t R Napište souřadnice průsečíků křivky k s rovinou α : x y + z + 5 = 0 Dále napište rovnice tečen křivky a obecné rovnice normálových rovin křivky v těchto průsečících Je dána křivka k t) = [ cos t sin t] t < 0 > Napište souřadnice průsečíků křivky k s přímkou y = x Dále napište obecné rovnice tečen a normál křivky v těchto průsečících k t = t t t t Napište souřadnice průsečíků křivky k s půdorysnou x Dále napište rovnice tečen křivky a obecné rovnice normálových rovin křivky v těchto průsečících 5 Je dána křivka ) [ sin ) cos ) cos ] < >

5 6 Je dána křivka t) = [ tgt) cos t] t ) k a) Určete asymptoty křivky a napište jejich obecné rovnice b) Napište parametrické rovnice tečen v bodech A = k 6 ) a B = k ) t 7 Je dána křivka k t) = [ t ln t ) ] t R {0} t + t + a) Určete asymptoty křivky a napište jejich rovnice b) Určete průsečíky křivky s nárysnou ν x a napište rovnice tečen v těchto průsečících c) Pokud tyto tečny určují rovinu α napište její rovnici d) Určete průsečíky křivky s rovinou α 8 Je dána křivka k t) [ + cost + cost) sin t ] t < 0 > = a) Určete souřadnice singulárních bodů křivky b) Napište obecnou rovnici tečny l v bodě křivky jehož x ová souřadnice je 9 Je dána křivka t) = [ln t) t ln t t t ln t ] t 00) k Napište obecnou rovnici roviny která je určena singulárním bodem křivky a tečnou křivky v jejím průsečíku s nárysnou ν x k t = a t t a t t < > a > Napište a) souřadnice singulárních bodů křivky b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x c) obecné rovnice tečen křivky v bodech z b) 50 Je dána cykloida ) [ sin ) cos ) ] 0 0 t t t 5 Je dána křivka k t) = [ ] t R t + t + t + a) Zjistěte zda má křivka asymptoty Pokud ano popište je b) Napište souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s bokorysnou µ y k a) Zjistěte zda má křivka asymptoty Pokud ano napište jejich obecné rovnice b) Napište obecné rovnice tečen křivky v bodech k ) a k ) 5 Je dána křivka t) = [ cotgt sin t] t 0 ) c) Jsou-li tečny z b) různoběžné zjistěte zda jejich průsečík je bodem dané křivky 5 Je dána křivka k t) = [ cost sin t t ] t < 0 > Napište a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s nárysnou ν x b) rovnice tečen křivky v bodech z a) c) souřadnice průsečíků tečen z b) s půdorysnou x d) rovnice přímky procházející průsečíky z c) t 5 Je dána křivka k t) = [ t + t + t t t ] t R Napište 6 a) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou y b) souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s osou x c) popište tečny z a) i b)

6 55 Je dána křivka k t) = [ t t t ) ] t < > Napište a) souřadnice průsečíků křivky s osami x a y b) obecnou rovnici přímky která spojuje body křivky na osách x a y ; vyberte body které jsou nejblíže počátku soustavy souřadnic cost sin t cost 7 56 Je dána křivka k t) = t < > + sin t + sin t a) Napište souřadnice všech průsečíků křivky s osou x b) Napište obecné rovnice tečen v bodech křivky z a) 57 Je dána křivka t) = [ t 8t ln t ] t 0 ) k Napište souřadnice bodů ve kterých má křivka tečny rovnoběžné s rovinou A B C) C 00 α kde A [ ] B [ ] [ ] 58 Je dána křivka t) = [ sin t sin t tgt ] t ) k a) Napište souřadnice singulárních bodů křivky b) Určete tečny křivky v průsečících křivky s přímkou x = Jsou-li tečny různoběžné napište souřadnice jejich průsečíků 59 Je dána křivka k t) [ sint) cost) cost ] t < 0 > = Napište souřadnice vektoru který je kolmý k rovině určené tečnami křivky v bodě A 00 [ ] 60 Je dána křivka t) [ cost cost) sin t cost) ] t < 0 > k = a) Napište souřadnice průsečíků křivky a přímky x = y b) Napište obecné rovnice tečen a normál v bodech z a) t 6 Je dána křivka k t) = [ t t e ] t R a) Napište obecnou rovnici normálové roviny α křivky k v jejím průsečíku s osou z b) Popište průsečnici roviny α s půdorysnou x 6 Osa šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 Napište parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) a) pravotočivé šroubovice bodu A [ 0 5] b) levotočivé šroubovice bodu A [ 0 5] Bod A nechť je krajním bodem závitu 6 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x výška závitu v = 6 Napište a) parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) šroubovice k bodu A [ 0] b) obecné rovnice normálových rovin šroubovice k v bodech k ) a k ) c) souřadnice průsečíku Q šroubovice k s bokorysnou µ y

7 6 Je dána šroubovice k t) = [ cost sin t t ] t R Napište souřadnice A = s půdorysnou x průsečíku Q tečny l šroubovice v bodě k ) 65 Je dána křivka k t) = [ t + t t t t ] t R Napište a) rovnice tečny křivky v bodě A = k ) b) obecnou rovnici normálové roviny křivky k v bodě A 66 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z redukovaná výška závitu je v = 0 Napište parametrické vyjádření jednoho závitu t < 0 > ) šroubovice bodu A [ 6 ] bod A nechť je krajním bodem závitu Dále napište rovnice tečny a obecnou rovnici normálové roviny v prostředním bodě B popsaného závitu šroubovice Plochy kvadratické 67 Určete jaká plocha je popsána rovnicí napište přesný název ploch a) x + y + z 6x + 8y + z + 0 = 0 b) 9x + 6y + z 8x y + 7 = 0 c) y + y 8z + = 0 d) 9x + 6y z 9 = 0 e) x + y x 8z + 7 = 0 f) x + y + 0x = 0 g) x + y + z 8x + y 6z + 7 = 0 h) + y 9z x = i) x y = z j) 9x y z + 90x 6y 6z 7 = 0 k) x y z x 6z 9 = 0 l) y z = 0 m) x y + x + y = 0 68 Určete jaká plocha je popsána rovnicí napište přesný název ploch Napište parametrické vyjádření křivek plochy v zadaných rovinách napište názvy těchto křivek a) x y + z + 8x y + 8z = 0 α : x = β : y = 0 γ : z = b) 9x + y z 6x y 8z + = 0 α : y = β : z = c) x y x 6y z 5 = 0 α : y = β : z = 0 d) 6x + 9y 6y 08 = 0 α : x = 0 β : z = e) 5x + 50x z + = 0 α : y = 0 β : x = f) 9x + y + 90x y 6z + = 0 α : x = 5 β : z = g) y x y + 0 = 0 α : z = 5 β : x = γ : x = h) 9x + 6y + z 5x + 6y 6z + 7 = 0 α : y = β : z =

8 Plochy 69 Je dána plocha p t Napište obecné rovnice tečných rovin plochy v zadaných bodech a) p t = [ t t t s] t R A 00 b) p t = [ t cos s t ) t sin s] t s R [ ] R s < 0 > A = p 0 0) B = p 8 ) t s c) p t = t + ts s + st t s t < > s < > 000 B 00 A [ ] [ ] p t s = t t s t s t B = p 6 ) d) ) [ ) sin cos ] e) p t s = [ s t s] t s ) ) ) ) t 9 s s t + t cos s )cos s+ t cos )sin s t sin R s < 0 > A = p 0 0) s R [ 008 ] R f) p = [ ] t A R s < 0 > A = p ) p t = scosht cosht + ssinht st t R A 0 B = p 0 0) g) [ ] h) p t = [ t t s + 5 t + ) s + ) ] t B = p ) s R [ ] R s R A = p 0) x ) y z + ) 70 Trojosý elipsoid + + = má parametrické vyjádření 9 p t = [ + cost cos s cost sin s + sint] t < > < 0 > s 0 B = p 0 6 A a ) dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech [ ] x + ) y ) z + ) 7 Rotační jednodílný hyperboloid + = má parametrické 6 vyjádření p t = [ + cosht cos s+ cosht sin s + sinht] t R s < 0 > Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech A [ ] a B = p 0 ) dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech 6 7 Je dána kulová plocha κ : x ) + y + z + ) = 6 Dále je dána rovina α : x + y + z + 5 = 0 Označte A a B průsečíky zadané plochy s přímkou q která prochází středem plochy a je kolmá k rovině α Napište obecné rovnice tečných rovin v bodech A a B dále popište příslušné normálové přímky v těchto bodech 7 Eliptický konoid viz příklad 85) má parametrické vyjádření p t = [7 + 7cost 5 5sin t 7 + 7cost) s] t < > s < 0 > 7 Napište obecnou rovnici tečné roviny plochy v bodě A [ 7 5 ] a popište příslušnou normálovou přímku v tomto bodě

9 Plochy rotační Rotační plocha je určena osou rotace o a křivkou k křivka k neleží v rovině kolmé k ose o ) Každý bod křivky k se při rotaci pohybuje po tzv rovnoběžkové kružnici která leží v rovině kolmé k ose o její střed leží na ose o Doporučený postup pro získání parametrického popisu rotační plochy p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme parametrické vyjádření rovnoběžkové kružnice m bodu K m s J měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu m zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J 7 Napište parametrické vyjádření rotační plochy p t která vznikne rotací zadané křivky k kolem osy rotace o : a) k je přímka určená body P [ 00 ] a Q [ 50 ] osa rotace je souřadnicová osa y b) k je úsečka s krajními body B [ 0 ] a C [ 05 ] osa rotace je souřadnicová osa z c) k je elipsa x + y = 9 v půdorysně x y ) osa rotace je souřadnicová osa x d) k je elipsa x + y = 9 v půdorysně x y ) osa rotace je souřadnicová osa y e) k je hyperbola x z = 5 6 v nárysně ν x z ) osa rotace je souřadnicová osa x f) k je hyperbola x z = 5 6 v nárysně ν x z ) osa rotace je souřadnicová osa z g) k je přímka y = 5 x x R ) v půdorysně x osa rotace je souřadnicová osa y h) k je část paraboly z = x z < 0 8 > ) v nárysně ν x osa rotace je souřadnicová osa z i) v půdorysně x je dána elipsa bod S [ 0 ] je její střed hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = 8 velikost vedlejší poloosy je b = 6 křivka k je část elipsy před bokorysnou x ové souřadnice bodů jsou nezáporné) osa rotace je souřadnicová osa y j) k je úsečka s krajními body B [ 00 ] a V [ 5 ] osa rotace je osa o V o o

10 Plochy šroubové Šroubová plocha je určena šroubovým pohybem s osou o a výškou v a křivkou k křivka k neleží na jedné rotační válcové ploše s osou rotace o ) Každý bod křivky k se při šroubování pohybuje po šroubovici všechny tyto šroubovice mají stejnou osu o stejný smysl a stejnou výšku závitu v Doporučený postup pro získání parametrického popisu šroubové plochy p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme parametrické vyjádření šroubovice l bodu K l s J měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu l zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J 75 Napište parametrické vyjádření šroubové plochy p t která vznikne šroubovým pohybem zadané křivky k : y ) z ) a) k je elipsa + = v bokorysně µ y osa pravotočivého 9 šroubového pohybu je souřadnicová osa y výška závitu je v = y ) z ) b) k je elipsa + = v bokorysně µ y osa levotočivého 9 šroubového pohybu je souřadnicová osa y výška závitu je v = c) k je část paraboly z = x ) x < > ) v rovině α : y = 5 osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 0 d) k je část paraboly z = x ) x < > ) v rovině α : y = 5 osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 0 e) k je kružnice x ) + z = v nárysně ν x osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v = 0 f) v půdorysně x S 0 je její střed poloměr je r = uvažujte část kružnice body této části kružnice mají nezáporné y ové souřadnice osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z výška závitu je v = 0 g) k je parabola v nárysně x V 00 je její vrchol osa paraboly je je dána kružnice bod [ ] ν bod [ ] rovnoběžná s osou x bod P [ 00 ] je bodem paraboly uvažujte část paraboly mezi body P a Q[ 08 ] osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x redukovaná výška závitu je v = 0 popište jeden závit šroubové plochy

11 76 Osa levotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa y redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ 50 ] P Napište souřadnice průsečíku Q tečny šroubovice v bodě P s nárysnou x ν 77 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa z redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ 00 ] P 78 Osa pravotočivého šroubového pohybu je souřadnicová osa x redukovaná výška závitu je v Napište parametrické vyjádření jednoho závitu plochy tečen 0 = šroubovice bodu [ ] P Konoidy Konoidy jsou přímkové plochy určené třemi řídícími křivkami: a) řídící křivka k b) řídící přímka l c) řídící nevlastní přímka m která je určena řídící rovinou ϕ Tvořící přímky konoidu protínají všechny řídící křivky tj protínají křivku k a přímku l a jsou rovnoběžné s řídící rovinou ϕ Doporučený postup pro získání parametrického popisu konoidu p : napíšeme parametrické vyjádření křivky k k t) t I napíšeme parametrické vyjádření přímky l l u) u R napíšeme obecnou rovnici řídící roviny ϕ obvykle vedenou bodem O [ ]) ϕ : ax + by + cz = 0 zvolíme libovolný bod K na křivce k t 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) K = k t 0 ) napíšeme obecnou rovnici roviny α která prochází bodem K a je rovnoběžná s řídící rovinou ϕ α : K α α ϕ ax + by + cz + d = 0 d určíme dosazením souřadnic bodu K ) napíšeme souřadnice průsečíku L přímky l s rovinou α L = l α 5 napíšeme parametrické vyjádření přímky q určené body K a L q = KL q s R s J pro úsečku KL ) 6 měníme bod K křivky k zároveň se mění bod L přímky l ) uvolníme fixované t 0 v popisu q zaměníme t 0 t ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p p t t I s J

12 79 V nárysně ν x je dána kružnice x 6) + z = 6 uvažujte půlkružnici nad půdorysnou body této půlkružnice mají nezáporné z ové souřadnice) Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná půlkružnice b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 890 ] Q [ 098 ] c) řídící rovinaϕ je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření konoidu 80 V rovině α rovnoběžné s nárysnou x S 070 a poloměru r = uvažujte půlkružnici nad půdorysnou body této půlkružnice mají nezáporné z ové souřadnice) Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná půlkružnice b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 500 ] Q [ 005 ] c) řídící rovinaϕ je půdorysna x Napište parametrické vyjádření konoidu ν je dána kružnice o středu [ ] 8 V nárysně ν x je dána hyperbola z 6) x = uvažujte větev hyperboly 9 nad půdorysnou body této větve mají nezáporné z ové souřadnice) Hyperbolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná větev hyperboly b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 060 ] Q [ 66 ] c) řídící rovinaϕ je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření konoidu 8 V půdorysně x je dána kružnice x ) + y ) = Kruhový konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná kružnice b) řídící přímka l prochází bodem P [ 00 ] a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je rovina ϕ : y + z = 0 Napište parametrické vyjádření konoidu 8 V bokorysně y V 080 je vrchol bod F [ 08 ] je ohnisko paraboly Parabolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná parabola b) řídící přímka je přímka l = PQ P [ 5 ] Q [ 007 ] c) řídící rovinaϕ je nárysna ν x Napište parametrické vyjádření konoidu µ je dána parabola bod [ ] 8 Speciální konoid hyperbolický paraboloid) je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka je přímka k = AB A [ 005 ] B [ 050 ] b) řídící přímka je přímka l = CD C [ 500 ] D [ 55 ] c) řídící rovinaϕ je nárysna ν x Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi přímkami k a l

13 85 V půdorysně x S 700 je střed hlavní osa je osa x velikost hlavní poloosy je a = 7 velikost vedlejší poloosy je b = 5 Uvažujte polovinu elipsy za nárysnou body této části mají záporné a nulové y ové souřadnice) Eliptický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná polovina elipsy b) řídící přímka je přímka l = OP O [ 000 ] P [ 0] c) řídící rovina je bokorysna µ y Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi půlelipsou a přímkou l je dána elipsa bod [ ] 86 V půdorysně x 50 A 00 je hlavní vrchol bod C [ 050 ] je vedlejší vrchol Eliptický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná elipsa b) řídící přímka l prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je rovina ϕ : y + z = 0 Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi elipsou k a přímkou l je dána elipsa bod S [ ] je střed bod [ ] 87 V nárysně x V 60 je vrchol osa je rovnoběžná s osou x bod O [ 000 ] je bodem paraboly Uvažujte část paraboly před bokorysnou body této části mají nezáporné x ové souřadnice) Parabolický konoid je určen těmito řídícími útvary: a) řídící křivka k je zadaná část paraboly b) řídící přímka l prochází bodem P [ 060 ] a je rovnoběžná s osou z c) řídící rovina je půdorysna x Napište parametrické vyjádření části konoidu mezi křivkou k a přímkou l ν je dána parabola bod [ ] 88 Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem ABCD A [ 006 ] B [ 070 ] C [ 57 ] D [ 500 ] Napište parametrické vyjádření části hyperbolického paraboloidu která je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem ABCD Plochy přímkové obecné) Obecné přímkové plochy jsou určeny třemi řídícími křivkami k l a m Tvořící přímky plochy protínají všechny tři zadané křivky Speciálním případem těchto ploch jsou konoidy dvě ze zadaných křivek jsou přímky jedna vlastní a jedna nevlastní určená řídící rovinou) 89 Štramberská trúba je určena těmito řídícími křivkami: a) řídící křivka k je kružnice x + y = 6 v půdorysně x b) řídící přímka l prochází bodem P [ 007 ] a je rovnoběžná s osou x c) řídící přímka m prochází bodem [ 00 ] M a je rovnoběžná s osou y Tvořící přímky této plochy protínají všechny tři řídící křivky k l a m Napište parametrické vyjádření části této plochy mezi kružnicí k a přímkou m

14 Plochy translační Translační plochy vznikají posunem translací) jedné řídící křivky k po druhé řídící křivce l tyto dvě křivky mají společný bod P Stejnou plochu získáme translací křivky l po křivce k Na ploše jsou dva systémy křivek křivky jednoho systému jsou shodné s křivkou k křivky druhého systému jsou shodné s křivkou l Doporučený postup pro získání parametrického popisu translační plochy p : napíšeme parametrické vyjádření řídící křivky k k t) t I napíšeme parametrické vyjádření řídící křivky l l s J zvolíme libovolný bod K na křivce k zvolíme libovolný bod L na křivce l t 0 je libovolné ale v dalším kroku s 0 je libovolné ale v dalším kroku pevně fixované číslo z I ) pevně fixované číslo z J ) K = k t 0 ) L = l s 0 ) přesuneme křivku l do bodu K přesuneme křivku k do bodu L q = l + K P) s J q t) = k t) + L P) t I měníme bod K křivky k měníme bod K křivky k uvolníme fixované t 0 v popisu q uvolníme fixované s 0 v popisu q zaměníme t 0 t ) zaměníme s 0 s ) napíšeme parametrické vyjádření plochy p : p t t I s J Pozn: Je-li místo jedné řídící křivky zadána pomocná křivka m můžeme s jejím využitím buď popsat chybějící řídící křivku nebo vytvořit potřebný vektor posunutí 90 Popište parametricky část roviny rovnoběžník) kterou lze vytvořit posunutím translací) úsečky k t) = [ t + t + t] t < 0 > po úsečce l = [ + s s + s] s < 5 > Napište obecnou rovnici roviny ve které rovnoběžník leží Pozn: Stejný rovnoběžník vznikne translací úsečky l po úsečce k x ) y + ) 9 V rovině z = 0 je dána hyperbola = Uvažujte část 9 hyperboly body této části mají záporné nebo nulové x ové souřadnice Napište parametrické vyjádření translační plochy která vznikne translací vybrané části hyperboly po přímce l = [5s 6s0 + s] s R Translační plocha je část kvadratické plochy napište název této kvadratické plochy 9 Část kruho-parabolické translační plochy je určena řídícími křivkami: a) půlkružnice k : x 5) + y = 5 v rovině z = y ové souřadnice bodů půlkružnice jsou nezáporné b) část paraboly l : y + ) = z v rovině x = 0 body této části mají z ové souřadnice menší nebo rovny Plocha vznikne translací půlkružnice po parabole nebo translací paraboly po půlkružnici Napište parametrické vyjádření části plochy

15 9 Napište parametrické vyjádření části parabolicko-hyperbolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) část paraboly k : x + ) = z v rovině y = 0 body této části mají z ové souřadnice menší nebo rovny z ) y b) jedna větev l hyperboly 9 = v rovině x = body vybrané větve mají z ové souřadnice větší než 9 Napište parametrické vyjádření části kruho-parabolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) část paraboly k : x + ) = y v rovině z = body této části mají y ové souřadnice menší nebo rovny 8 b) půlkružnice l : x ) + z = 5 v rovině y = z ové souřadnice bodů půlkružnice jsou nezáporné 95 Napište parametrické vyjádření hyperbolicko-eliptické translační plochy jejíž řídící křivky jsou jedna větev hyperboly k a polovina elipsy l x ) z ) Elipsa l leží v rovině v rovině y = 0 a má rovnici + = pro 9 body poloviny elipsy jsou z ové souřadnice větší nebo rovny Při translaci elipsy l po větvi hyperboly k se střed elipsy pohybuje po větvi x ) y hyperboly m : = v rovině z = x ové souřadnice bodů větve 6 jsou menší než ) Pozn: Větev hyperboly m neleží na translační ploše 96 Napište parametrické vyjádření parabolicko-eliptické translační plochy jejíž řídící křivky jsou část paraboly l a polovina elipsy k Parabola l leží v rovině z = 0 a má rovnici x = uvažujte část paraboly pro body této části jsou y ové souřadnice nezáporné Při translaci paraboly l po polovině elipsy k se ohnisko paraboly pohybuje po polovině elipsy m : y + z = v rovině x = 0 z ové souřadnice bodů jsou 9 nezáporné) Napište parametrické vyjádření části translační plochy Pozn: Polovina elipsy m neleží na translační ploše 97 Napište parametrické vyjádření kruho-hyperbolické translační plochy určené řídícími křivkami: a) kružnice k : x 7) + z 7) = v rovině y = x ) y ) b) jedna větev l : hyperboly = 5 v rovině z = 7 98 Napište parametrické vyjádření kruho-eliptické translační plochy určené řídícími křivkami: a) kružnice k : x ) + z = v rovině y = b) elipsa l : x ) + y + = 9 v rovině z =

16 99 Napište parametrické vyjádření části translační plochy která je určena řídícími křivkami: a) část cykloidy k t) = [ t sin t cost 0] t < 0 > b) polovina elipsy l : y + z = 9 v rovině x = z ové souřadnice bodů jsou nezáporné) 00 Napište parametrické vyjádření části translační plochy která je určena řídícími křivkami: a) část asteroidy k t) = [cost) sin t) 0] t < 0 > b) část paraboly l : z = x x < 0 > ) v rovině y = 0 Napište parametrické vyjádření hyperbolicko-parabolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou jedna větev hyperboly k a parabola l Hyperbola k leží v půdorysně x bod S [ 0 ] je její střed její hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = velikost vedlejší poloosy je b = Uvažujte větev hyperboly která neprotíná osu y Parabola l leží v nárysně ν x její vrchol V je průsečík vybrané větve hyperboly s osou x Řídící přímka paraboly je přímka d : d u) = [ u 0 ] u R 0 Napište parametrické vyjádření elipticko-parabolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou část paraboly k a elipsa l Parabola k leží v půdorysně x bod V [ 60 ] je její vrchol bod F [ 60 ] je její ohnisko Uvažujte část paraboly mezi jejím průsečíkem P s osou y a bodem Q který je souměrný k bodu P podle osy paraboly Elipsa l leží v rovině α : x = 6 bod [ 66 ] C 666 je její vedlejší vrchol S je její střed bod [ ] 0 Napište parametrické vyjádření translační plochy jejíž řídící křivky jsou elipsa l a závity šroubovice k Elipsa l leží v rovině rovnoběžné s bokorysnou µ y bod S [ 80 ] je její střed bod A [ 50 ] je její hlavní vrchol velikost vedlejší poloosy je b = Osa pravotočivé šroubovice k bodu A je osa z redukovaná výška závitu v = 0 Uvažujte závity nad půdorysnou x bod A je jeden krajní bod 0 Napište parametrické vyjádření kruho-hyperbolické translační plochy jejíž řídící křivky jsou kružnice l a jedna větev hyperboly k Hyperbola k leží v rovině α : z = 5 bod S [ 5 ] je její střed hlavní osa je rovnoběžná s osou x velikost hlavní poloosy je a = velikost vedlejší poloosy je b = Uvažujte tu větev hyperboly která neprotíná bokorysnu µ y Kružnice l leží v nárysně ν x a její průměr je úsečka spojující průsečíky hyperboly k s nárysnou ν x

17 Výsledky: Analytická geometrie přímky roviny a) x + y 7 = 0 b) x y = 0 c) x y 8 = 0 d) x y = 0 a) x + y 7 = 0 b) x y = 0 a) přímky p a a jsou různoběžné společný bod je bod P [ ] b) přímky p a b jsou rovnoběžné a rúzné c) přímky p a c jsou totožné a) přímky p a a jsou různoběžné společný bod je bod P [ ] b) přímky p a b jsou rovnoběžné a rúzné c) přímky p a c jsou totožné 5 α : x + y + 7z + 9 = 0 6 a) O [ 000] α rovinaα prochází počátkem soustavy souřadnic b) β x β z rovina β je rovnoběžná s půdorysnou tj je kolmá k ose z c) γ x O [ 00 0] γ rovinaγ je kolmá k půdorysně a prochází počátkem d) δ z δ x rovinaδ je rovnoběžná s osou z tj je kolmá k půdorysně e) ε ν x ε y rovinaε je rovnoběžná s nárysnou tj je kolmá k ose y f) rovina ζ protíná osy x y a z postupně v bodech X [ k 00] Y [ 0 k0] a Z [ 0 0 k] tj vytíná na osách stejné úseky vzhledem k počátku) 7 l t) = [ t + t + t] t R a) C l D l 6 5 b) Q [ 0 ] 8 a) p t) = [ t + t + 6t] t R b) t < 0 ) c) t < 0 > 9 l t) = [ 9t 5t + t] t R 0 Q [ 9 ] 9 x + 7y + z 8 = 0 x + y + z + = 0 x + y + z 7 = 0 0 Plošný obsah trojúhelníka je 5 velikost výšky v c je 5 β : 6x 7y + 6z 9 = 0 6 α : x y z = 0 7 Přímka k leží v roviněα 8 α : x 7y 9z + 0 = 0 9 Přímka k je rovnoběžná s rovinou β α : x + y z + = 0 0 a) 5 y + 7z = 0 b) z = 5 c) y = 7 Průsečnice rovin α a β je přímka p t) = [9t 5t + t] t R α : 9x + 7y + z 8 = 0 x + y + z 7 = 0 m = 5 a = 6 b = Q [ ]

18 Kuželosečky ) + y+ 9 x elipsa: [ 5 ] 5) 6 a) = b = o h : y = : x = 5 S F [ 5 5 ] [ ] F a = o v t) [ 5 + cost + sin t ] t < 0 > x ) ) y+ = hyperbola: S [ ] F [ ] F [ 8 ] a = b) 6 9 k = : x y 7 = b = o h : y = o v : x = a 0 a : x + y 0 c) 5 d) 0 e) 0 f) 0 y ) g) x = 9 = k t) = [ ± cosht + sinh t ] t R x ) + y + ) = kružnice: S [ ] r = 5 k t) = [ + 5cost + 5sin t ] t < 0 > x + ) y + ) = různoběžné přímky průsečík je P [ ] l : x y + = 0 l t) = [ + t + t ] t R m : x + y + = 0 m t) = [ + t t ] t R x ) y + ) = různoběžné přímky průsečík je P [ ] l : x y 5 = 0 l t) = [ + t + t ] t R m : x + y + = 0 m t) = [ + t t ] t R x + ) + y ) = jeden bod P [ ] hyperbola: [ 0] S F [ ] [ ] F a = + b = o h : x = 0 o v : y = a : x + y 0 a : x y + 0 = t) = [ sinh t ± cosht ] t R y ) = 0 x parabola: V [ ] [ 7] k h) ) [ + + t ] t k t) = t R 0 + ) = y + : 5 y = t) t t 8 i) ) = x parabola: V [ ] [ ] d k = [ ] t R j) x + y + ) = prázdná množina x+ ) ) + y = x ) ) + y = x+ ) ) y+ 5 9 = x 0 = y 9 6 a) y + 5) = 8 x ) b) x ) = y + 5) c) y + ) = x ) d) x ) = y ) x ) = y F p = 0 o : y = d : x = F = 8 p o : x = Přímka p je sečnou zadané elipsy společné body jsou P [ ] a [ ] Přímka p je tečnou zadané paraboly bod dotyku je T [ ] 5 Bod dotyku je bod T [ 6 ] x ) + y + ) = 5 ) 8 ) + y 6 a) = x t) = [ + cost + sin t ] t < 0 > b) ) [ 0 N = k = + p N : x y + + = 0 ) [ 0 ] 5 M = k = p M : x + y + = 0 = k ) = [ 0] C p C : y = 0 k Q

19 Křivky + ) x y [ ] ) 7 = k t) = + sinh t ± cosh t t R A [ 0] B[ 6] 9 6 asymptoty: x y 8 = 0 x + y + 6 = 0 t x k t) = [ t + + ] t 8 ) = 8 y ) 8 + y = 8 tečna: x y + 7 = 0 normála: x 0 6) 9 8 x ) 6 9 = y k t) = [ + sinh t 6 ± cosh t ] t R 0 t + ) = x ) k t) = t t a) F [ ] o : y = 7 b) P = k ) = [ 0] y [ ] c) x + y 7 = 0 R 7 R = k ) = [ 0 ] A a) A = k ) = [ ] b) B = k ) = [ ln ] c) tečna v bodě A : l A = [ s ] s R normála v bodě A : n A u) = [ u] u R tečna v bodě B : l B = [ s] s R normála v bodě B : n B u) = [ u ln ] u R a) A = k ) = [0 8 ] u r A = k ) = 0 9) b) B = k 0) = [ 0 0] u r B = k 0) = 0 8 ) c) tečna v bodě A : l = [ s 8 9s] s R normálová rovina v bodě A : x + 9z + 8 = 0 tečna v bodě B : m = [ 8s s] s R normálová rovina v bodě B : 8y + z = 0 A = k 0) = [ 0 ] u r = A k 0) = 0 0) tečna v bodě A : l = [ 0 + s] s R normálová rovina v bodě A : z = B = k ) = [ 5 ] u r = k B ) = 0) tečna v bodě B : m = [ + s 5 + 0s + s] s R normálová rovina v bodě B : x + 0y + z 6 = 0 A = k ) [ ] tečna v bodě A : x + y 6 = 0 normála v bodě = A : y = x B = k ) = [ ] tečna v bodě B : x + y + 6 = 0 normála v bodě B: y = x 5 A = k ) = [ 0] tečna v bodě A l = [ + s + s s] s R : normálová rovina v bodě A : x + y + z + = 0 B = k ) = [ 0] tečna v bodě B m = [ s + s s] s R : normálová rovina v bodě B : x y z = 0 6 a) y = pro t + i pro t ) b) l = [ + 8s s ] s R m = [ + 8s + s ] s R 7 a) asymptota je přímka l = [0 s] s R pro t i pro t + ) b) průsečíky jsou P = k ) = [ 0 ] Q = k ) = [ 0 ] tečna v bodě P je přímka p = [ s s + s] s R u) [ + u u tečna v bodě Q je přímka q = u] u R c) α : x + z = 0 d) křivka k leží v rovině α 8 a) singulární bod je k ) = [0 0] b) k 0) = k ) = [ 0] tečna l : x = 9 Singulární bod je k ) = [0 ] α : e e + ) x + e) y + e) z + = 0 8

20 50 a) k 0) = [0 0] k ) = [a 0] k ) = [a 0] b) [ a a] [a a] c) y = a 5 a) neexistuje b) k ) = [] k ) = [ ] 5 a) y = 0 b) x + y = 0 x y + = 0 c) P = k ) = [0 ] 5 a) P = k ) = [0 ] Q = k ) = [0 ] b) tečna v bodě P je přímka p = [ s + s] s R tečna v bodě Q je přímka q u) = [u + u] u R c) p = 0] 9 q = 0] [ v) [ + [ d) m = v + v 0] v R 5 a) A = k ) = [ 0 6] b) bod na křivce neexistuje c) tečna v bodě A : l = [ 0 + s6] s R 55 a) průsečíky s osou x : A = k 0) = [ 0] B = k) = [ 0] C = k ) = [ 0] průsečíky s osou y : D = k ) = [0 6] b) p = BD : x + y 6 = 0 56 a) P = [ 0] Q = [ 0] R = S = [0 0] b) t : x = t : x = t : x y = 0 t : x + y = 0 P Q R S 57 k ) = [9 6 ln ] k) = [ 80] 58 a) S = [0 0] b) [ 0] 59 n r = 0 0) 60 a) A = k ) = [ ] 5 B = k ) = [ ] b) tečna v bodě A je + ) x ) y = 0 normála v bodě A je ) x + + ) y = 0 tečna v bodě B je ) x + ) y = 0 normála v bodě B je + ) x + ) y + = 0 6 a) x + z = 0 b) l = [ s 0] s R 6 a) k t) = [ 5sin t + t 5cost] t < 0 > b) k t) = [ + 5sin t + t 5cost] t < 0 > 6 a) k t) = [ + t sin t cost] t < 0 > x z + 9 = x + y = 0 b) 0 c) [ 00 ] 6 l = [ s s] s R A = k ) [ 0 = ] = [ 0] 65 A = [ 0] a) p = [ s s] s R b) y z 9 = 0 66 k t) = [ 6cost + sin t cost + 6sin t + t] t < 0 > B = k ) = [ 6 + ] tečna v bodě B je p = [ 6 + s + s + s] s R normálová rovina je α : x + y z + + = 0 Q

21 Plochy kvadratické 67 a) ) + y + ) + z + ) = 6 S poloměr r = x ) y ) z b) + + = trojosý elipsoid střed S [ 0 ] 9 c) y + ) = 8 z ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou x z d) x + y = jednodílný eliptický hyperboloid střed S [ 000 ] velikosti 9 poloos x kulová plocha střed [ ] x rotační paraboloid vrchol V [ 0 ] e) ) + y = 8 z ) o = [ 0 s] s R osa rotace f) x + 5) + y = 9 rotační válcová plocha osa rotace o = [ 5 0 s] s R g) x ) + y + ) + z ) = 0 jeden bod [ ] h) x + y 9z = 0 nerotační kuželová plocha vrchol V [ 000 ] i) hyperbolický paraboloid sedlový bod [ 0 00 ] j) 9 x + 5) y + ) z + 8) = 0 rotační kuželová plocha vrchol V 5 8 osa rotace o = [ s 8] s R [ ] x ) k) y z + ) = 0 osa rotace o = [ s 0 ] s R l) y y + = 0 dvě různoběžné roviny jejich průsečnice je osa x [ s 0 0]s R S dvoudílný rotační hyperboloid střed [ ] m) x + ) y ) = 0 dvě různoběžné roviny x + y = 0 x y + = 0 průsečnice je přímka rovnoběžná s osou z l = [ s] s R x + ) y + ) z + ) 68 a) + = rotační jednodílný hyperboloid v rovině α je hyperbola + 7sinht ± cosht] t R [ 5 v rovině β je kružnice + 5 cost 0 + sint] t < 0 > v rovině γ je hyperbola [ [ ± cosh + 7 t 7sinht ] t R x ) y ) z + ) b) + = jednodílný eliptický hyperboloid 9 9 v rovině α je hyperbola [ ± cosht + sinht] t R v rovině β je elipsa [ + cost + sint ] t < 0 > c) x ) y + ) = z + ) hyperbolický paraboloid v rovině α je parabola [ 6 t + t ] t R v rovině β je hyperbola [ ± cosht + sinht 0] t R d) x ) + y = eliptická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné 9 6 s osou z v rovině α jsou dvě přímky [ 0 6 t]t R [ 0 s] s R v rovině β je elipsa [ cost + sint ] t < 0 >

22 e) 5 x + ) = z ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou y 5t v rovině α je parabola [ + t 0 + ] t R v rovině β je přímka [ t 7] t R f) 9 x + 5) + y ) = 6 z ) eliptický paraboloid t v rovině α je parabola [ 5 + t + ] t R 9 v rovině β je elipsa [ 5 + cost + sint ] t < 0 > g) y ) = x + ) parabolická válcová plocha povrchové přímky rovnoběžné s osou z v rovině α je parabola [ t + t 5 ] t R v rovině β je přímka [ t] t R v rovině γ jsou dvě přímky [ + t] t R [ s] s R x ) y + ) z ) h) + + = trojosý elipsoid v rovině α je bod [ ] v rovině β je elipsa [ + cost + sint ] t < 0 > Plochy 69 a) A = p ) = p ) v bodě A jsou tečné roviny τ : x y = 0 σ : x + y = 0 b) tečná rovina v bodě A neexistuje τ : y 8z + 8 = 0 B c) A [ 0 0 0] = p0 0) B [ 0 0 ] = p 0) = p 0) τ A : z = 0 τ B : x + z = 0 σ B : x z + = 0 d) A [9 0 0] tečná rovina v bodě A neexistuje B [ 9 0 ] τ B : x + z + 7 = 0 e) A [ 0 0 8] = p ) = p ) τ : 8y + z = 0 σ : 8y z + = 0 f) A [ 0] τ : 6x + y + 8 = 0 g) τ A : y z = 0 tečná rovina v bodě B neexistuje h) tečná rovina v bodě A neexistuje τ B : 0x + 5y 5 = 0 70 A 0 ] = p 0) = p ) τ : x + z = 0 l A u) = [ + u 0 + u] u R [ B = p 0 ) = [ + ] τ : x + y 6 = 0 6 l B v) = [ + + v + v ] v R B A 7 A[ ] = p0 ) τ A : y = 0 la u) = [ + u ] u R B = p 0 ) = [ + ] τ : x + y + 5 = 0 6 B l B v) = [ + + v + v ] v R 7 Střed plochy je bod S [ 0 ] q v) = [ + v v + v] v R A[ 5 ] τ A : x + y + z 9 = 0 la u) = [5 + u + u + u] u R B = [ ] τ : x + y + z + 7 = 0 B l B w) = [+ w + w + w] w R A= p ) τ : 5x + y 0z + 5 = 0 l u) = [ 7 + 5u + u 0u] u R

23 Plochy rotační 7 a) p t = [ 5t) + t) sin st 5t) + t) cos s] nebo p t = [5t cos s + t)sin st t)cos s 5t sin s] t R s < 0 > jednodílný hyperboloid b) p t = [ + t)cos s + t)sin s+ t] t < 0 > s < 0 > část rotační kuželové plochy c) p t = [cost sint cos s sin t sin s] t < 0 > s < 0 > zploštělý elipsoid d) p t = [cost cos s sin t cost sin s] t < > < 0 s > protáhlý elipsoid e) p t = [ ± 5cosht sinht cos s sinht sin s] t < 0 ) s < 0 > rotační dvoudílný hyperboloid f) p t = [5cosh t cos s 5cosh t sin s sinh t] t R s < 0 > rotační jednodílný hyperboloid g) p t = [ t cos s 5t t sin s] t R s < 0 > rotační kuželová plocha h) p t = [ t cos s t sin s t ] t < 0 > s < 0 > část rotačního paraboloidu i) p t = [ + 8cost)cos s + 6sint + 8cost)sin s] t < > s < 0 > j) p t = [ + t)cos s + t)sin s 5t] t < 0 > s < 0 > Plochy šroubové 75 a) 6 p t = [ + sint)sin s + cost + s + sint)cos s] t < 0 > s R b) 6 p t = [ + sin t)sin s + cost + s + sint)cos s] t < 0 > s R c) p t = [ + t)cos s + t sin s 5 + 0s t cos s + t)sin s] t < > s R d) p t = [ + t)cos s t sin s 5 + 0s t cos s + + t)sin s] t < > s R e) p t = [ + cost)cos s + sin t sin s s sint cos s + cost)sin s] t < 0 > s R f) p t = [ + cost)cos s + sint)sin s 5 + sin t )cos s + + cost)sin s s] t < > s R t g) p t = [ + s + t)sin s + t)cos s] t < > s < 0 > 76 p t = [ 5cost + 5ssint + t + s 5sint 5scost] t < 0 > s R 0 Q [ 5 0 ] 77 p t = [cost ssin t sin t + scost t + s] t < 0 > s R 78 p t = [ + t + s cost sint sin t + cost) s cost + sint + sin t + cost) s] t < 0 > s R

24 Konoidy 79 p t = [6 + 6cost 9s 6sint + 6cost 6sin t) s] t < 0 > s R 80 p t = [cost + 5 sint cost) s 7 7s sint] t < 0 > s R 8 p t = [6 + sinht 6s cosht + + sinht cosht) s] t R s R 8 p t = [ + cost scost + sin t + sin t) s + sin t) s] t < 0 > s R t 8 p t = [ 5 + t s + t t 8 ) 8 + t + ) s ] t R s R p t = [5s 5t 5 5t + 7t 5) s] t R s < 0 > 85 p t = [7 + 7cost 5sin t 5ssin t 7 + 7cost) s] t < > s < 0 > 86 p t = [ + cost scost 5 + 5sint) 5 + 5sint) s] t < 0 > s < 0 > 87 p t = [ t t 6) s 6s + t] t < > s < 0 > p t = [5t 7s 6 6t + 8t 6) s] t < 0 > s < 0 > nebo p t = [5s 7t 6 6t + 8t 6) s] t < 0 > s < 0 > Plochy přímkové obecné) 89 p t = [cost scost sint 8 ssin t s] t < 0 > < 0 > Plochy translační 7 90 p t = [ t + s + t s + t + s] t < 0 > s < 5 > Rovnoběžník leží v rovině α : 7x + 5y 8z + = 0 9 p t = [ cosht + 5s + sinht 6s0 + s] t R s R Plocha je částí hyperbolické válcové plochy 9 p t = [5 + 5cost 5sint + s + s ] t < 0 > s < > 9 p t = [ + t sinhs t + + coshs] t < > s R 9 p t = [ + t + 5coss + t 5sin s] t < > s < 0 > 95 p t = [ coshs + cost sinhs + sint] t < 0 > s R s t 96 p t = [ t + coss sins] t < > s < 0 > 97 p t = [5 + cosht + coss + 5sinht 7 + sins] t R s < 0 > 98 p t = [cost + coss + sins sint] t < 0 > s < 0 > 99 p t = [ t sint coss cost sins] t < 0 > s < 0 > 00 p t = [ s + cos t sin t s ] t < 0 > s < 0 > 0 p t s = s + + t + t s ) [ cosh sinh ] t R s R 0 s p t = [ s cost sint] t < 0 > s < 6 6 > 0 p t = [cost 5sint + coss + 5cost + sint sin s + t] t < 0 > s < 0 > 0 p t = [ + cosht + coss + sinht 5+ sins] t R s < 0 >

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

11. Rotační a šroubové plochy

11. Rotační a šroubové plochy Rotační a šroubové plochy ÚM FSI VU v Brně Studijní text. Rotační a šroubové plochy. Rotační plochy Rotační plochy jsou plochy, které lze získat rotačním šablonováním křivky. Jejich rovnice je tedy tvaru

Více

Deskriptivní geometrie 0A5

Deskriptivní geometrie 0A5 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava 1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Literatura: (1)Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta: Zborcené plochy Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- becném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Zborcené plochy. Mgr. Jan Šafařík. Konzultace č. 3. učebna Z240. přednášková skupina P-BK1VS1

Zborcené plochy. Mgr. Jan Šafařík. Konzultace č. 3. učebna Z240. přednášková skupina P-BK1VS1 Zborcené plochy Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Literatura Základní literatura: Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Parametrický popis křivek

Parametrický popis křivek Parametrický popis křivek Jan Suchomel Smíchovská střední průmslová škola Maturitní práce 013/014 Garant: Mgr. Zbšek Nechanický Konzultanti: RNDr. Alena Rbáková a RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Obsah 1

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Modely zborcených ploch

Modely zborcených ploch Modely zborcených ploch Modely geometrických těles jsou vhodným názorným doplňkem pro zvyšování prostorové představivosti. U zborcených ploch, což jsou plochy přímkové, pak mohou být modely obzvláště jednouché.

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší

Více

ZBORCENÉ PLOCHY. Zobrazení, které každému bodu X regulární přímky p přiřadí tečnou rovinu plochy v bodě X je projektivní, tj. zachovává dvojpoměr.

ZBORCENÉ PLOCHY. Zobrazení, které každému bodu X regulární přímky p přiřadí tečnou rovinu plochy v bodě X je projektivní, tj. zachovává dvojpoměr. ZBORCENÉ PLOCHY Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V obecném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Kartografické projekce

Kartografické projekce GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Kuželosečky. Kapitola Elipsa

Kuželosečky. Kapitola Elipsa Kapitola 4 Kuželosečky 4.1 Elipsa DEFINICE 4.1.1. Množinu všech bodů v rovině E, které mají od dvou různých pevně zvolených bodů F 1, F konstantní součet vzdáleností a, nazýváme elipsa; tj. k e = {X E

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.

ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Parametrické vjádření rotačních a šroubových ploch Michal Šesták Maturitní práce 2013/2014 Smíchovská střední průmslová škola Fakulta architektur ČVUT Vedoucí práce: Mgr. Zbšek Nechanický Oponenti: RNDr.

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Konstruktivní geometrie BA008

Konstruktivní geometrie BA008 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Konstruktivní geometrie BA008 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2017 Určeno pro studenty studijních

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text - díl II František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 7. února 2006 verze 2.0 Obsah 7 Obalové

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37 Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více