Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Veronika Chrastinová, Oto Přibyl"

Transkript

1 Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno

2 Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový integrál ve skalárním poli 10 4 Křivkový integrál ve vektrovém poli Přímým výpočtem Nezávislost na integrační cestě Greenova věta

3 1 Dvojný integrál Vypočtěte: ln(x y 2 ) dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 e 2 }. x 2 +y 2 D [polární souřadnice, meze konstantní, restrikce lze použít, substituce ln ρ = t; vyjde 2π] 1.2 Statický moment S y pro homogenní oblast D vymezenou křivkou y = sin x a úsečkou spojující body [0, 0], [ π 2, 1]. (Hustota pro homogenní oblast σ(x, y) k R +.) [bez transformace, nekonstantní meze proměnné y, per partes; vyjde: k(1 π2 12 )] 1.3 Těžiště T homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 r 2, y 0}. (r > 0) [ ] [polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde T = 0, 4r 3π, x T ihned.] 1.4 Hmotnost rovnoběžníka D vymezeného přímkami y = x, y = x + 2, y = 2, y = 6 s hustotou σ(x, y) = x 2 + y 2. [bez transformace, pozor na meze prommené x; vyjde 224] 1.5 (9x 2 + 4y 2 + 4)dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 9x 2 + 4y 2 36}. D [zobecněné polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde 132π] 1.6 Obsah plochy obrazce D = { [x, y] R 2 ; x 2 + y 2 4y, x 2 + y 2 2y, x 0, y 3x }. [polární souřadnice, pozor na nekonstantní meze proměnné ρ; vyjde 1 2 ( π ) ] 1.7 (2x y + 3)dxdy, kde D D = { [x, y] R 2 ; 0 x 4, 0 y x, y 4 }. x [bez transformace, nutno rozdělit na 2 integrály; vyjde ln 2] 3

4 1.8 Moment setrvačnosti I y homogenní oblasti D = {[x, y]; 6x + y 6, 2x + y 6, y 0}. 1.9 [bez transformace, který způsob (pořadí) integrace je lepší? vyjde 13k] xy 2 dxdy, kde oblast D je vymezena parabolou y 2 = 2px a částí D přímky x = p. (p > 0) 2 [bez transformace, můžeme použít restrikce; vyjde p5 21 ] 1.10 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 r 2, x 2 + y 2 + (z r) 2 r 2 }. [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce lze 8x, subst. = t; vyjde 5πr3 12 ] 1.11 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami az = a 2 x 2 y 2, z = 0. (a > 0) [polární souřadnice, restrikci lze použít, nakreslete si také zde obrázky v R 3 i v rovině xy; vyjde πa3 2 ] 1.12 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami z = x 2 +y 2, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy (x = 0,y = 0,x + y = 1); snadno vyjde 1 6 ] 1.13 Obsah plochy rotačního paraboloidu x 2 +y 2 = 2z uvnitř válce x 2 + y 2 1. [polární souřadnice, ( konstantní meze, restrikce lze použít, subst. odmocninová ; vyjde 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.14 Obsah plochy z = 4 x 2 y 2 uvnitř kužele 3x 2 + 3y 2 = z 2. [polární souřadnice, opět ( si nakreslete obrázek v R 3 i v souř. rovině xy, restrikce lze; vyjde 4π 2 ) 3 ] 1.15 Težiště homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 +y 2 1, 0 y x+1}. [bez transformace, [ které ] pořadí integrace je jednodušší? 2x subst. metoda; vyjde T = 2 3π+6, 2 π+2 ] 4

5 1.16 Souřadnici x T težiště T [x T, y T ] oblasti D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 4, 0 y x} s danou hustotou σ(x, y) = xy. [polární souřadnice; bez problémů vyjde 124(4 2) 225 ] 1.17 Moment setrvačnosti I z homogenní oblasti D ohraničené přímkami x + y = 2, x = 2 a y = 2. [bez transformace; snadno vyjde 8k] 1.18 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z homogenní oblasti 1.19 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x} [bez transformace; integrací polynomů bez problémů I x = k 28, I y = k 20, I z = 3k 35 ] (x 2 + y 2 )dxdy, je-li D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 a 2, y x}. (a > 0) D [polární souřadnice s konstantními mezemi, můžeme i restrikcí; πa4 4 ] 1.20 Težiště oblasti D = {[x, y] R 2 ; 4x 2 + y 2 4, x 0, y 0} s danou hustotou σ(x, y) = x. [ ] [zobecněné polární souřadnice; snadno vyjde T = 3π 16, 3 4 ] 1.21 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 + y 2 = 4z, z = 4. [polární souřadnice, nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, nejlépe restrikcí; vyjde 32π] 1.22 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 +y 2 = 1, z = 0, z = x 2 + y [polární souřadnice, ( stačí obrázek projekce, jaké jsou meze proměnné z? Restrikcí; 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.23 Obsah části plochy z = x 2 + y 2 nad oborem D = {[x, y]; x 2 + y 2 2y}. [pokud si napíšete správně integrand, pak vyjde okamžitě: 2π] 1.24 Hmotnost oblasti D = { [x, y]; 1 } 4 (x 3)2 + (y 1) 2 1 s danou hustotou σ(x, y) = (x 3) 2 (y 1) 2. [zobecněné polární souřadnice s posunutím do počátku, raději bez restrikce; vyjde π 3 ] 5

6 1.25 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 = y, x 2 = 4 3y, z = 0, z = 9. [nakreslete si projekci do roviny xy ( x 2 = y, x 2 = 4 3y ), bez transformace, restrikce ano; vyjde 16 ] 1.26 Těžiště T oblasti s hustotou σ(x, y) = x 2. D = {[x, y]; x 2 + y2 4 1, x2 + y2 4 4, y 0} [zobec. polár. [ souřadnice ] x = ρ cos ϕ, y = 2ρ sin ϕ, pozor na meze ρ, restrikce lze; T = ] 0, π 1.27 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2 +y 2, z = 0, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4. [stačí projekce do roviny xy (mezikruží) (zkuste obr. i v R 3 ), polár. souřadnice s restrikcí; 8π ln 2] 1.28 Obsah plochy z = x 2 + y 2 uvnitř válce x 2 + y 2 = r 2. (r > 0) [nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, polární souřadnice s restrikcí, substituce ( odmocninová, ) upravíte-li dobře integrand, pak bez problémů vyjde (1 + 4r 2 ) ] π Obsah rovinného obrazce D = {[x, y]; y 1, y 4x, y 8}. x [bez transformace, které pořadí integrace je lepší? Meze x nekonstantní; vy- 2 ln 2] jde Moment setrvačnosti I y homogenního kruhu D = {[x, y]; (x a) 2 + y 2 a 2 }, (a > 0). [polární souřadnice s restrikcí, nekonstantní mez ρ, cos 6 ϕ = ( cos 2 ϕ ) 3 =...; vyjde 5πka4 4 ] 1.31 Obsah části kužele y 2 + z 2 = x 2 uvnitř válce x 2 + y 2 a 2. (a > 0) [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce 8x, obrázky nutné; vyjde 2πa 2 ] 1.32 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 4 + y2 9 = z2, x2 4 + y2 9 = 2z. [ Ω tedy vymezeno eliptickým kuželem a eliptickým paraboloidem, obrázek v R 3 ani projekce nejsou obtížné, zobecněné polární souřadnice, restrikce 4x; vyjde 8π] 6

7 2 Trojný integrál Vypočtěte f(x, y, z) dx dy dz, kde: Ω 2.1 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 0, y 0, z 0, x + y 1, z x 2 + y }. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy, zkuste také obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde ] 2.2 f(x, y, z) = z 2, Ω je vymezena rovinami x = 2, y = 5, x + z = 6 v 1. oktantu. [bez transformace, nakreslete obrázek projekce i obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde ] 2.3 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; y x 2, x y 2, z 0, z xy}. [bez transformace, stačí obrázek projekce, zkuste také obrázek v R 3 (sedlová plocha); vyjde 1 96 ] 2.4 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0}. [sférické souřadnice, všechny meze konstantní ; vyjde 1 48 ] 2.5 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 4z, z sqrtx 2 + y 2 }. [cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce nutné (koule a vršek rotačního kužele), restrikci raději ne; snadno vyjde 0] Vypočtěte: 2.6 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2, 2x + y = 4 v 1. oktantu. [bez transformace, projekce i obrázek v R 3 nutné; integrací polynomů vyjde 40 3 ] 2.7 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, z 1 x 2 y 2, z 0, 0 y x}. [cylindrické souřadnice, stačí projekce, zkuste také obrázek v R 3 (rotáční paraboloid), restrikci nepoužít; vyjde π 16 ] 2.8 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 + z 2 2az}, kde a > 0 je konstanta. 7

8 [cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 (2 koule) i projekce nutné, jaký je poloměr projekce?, restrikce 4x; vyjde 5πa3 12 ] 2.9 Těžiště tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 0} s danou hustotou σ(x, y, z) = k x 2 + y 2 + z 2, kde a > 0, k > 0 jsou konstanty. [sférické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce snadné; x T = y T = 0, z T = 2a 5 ] 2.10 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z x 2, x 0, y 0, z 0}, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce (meze z jasné); snadno vyjde 2a 5 15 ] 2.11 Těžiště tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného hraničními rovinami x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3. [bez transformace, obrázek v R 3 i projekce jsou snadné; vyjde T = [1, 2, 1 2 ]] 2.12 Objem tělesa Ω vymezeného plochami hz = x 2 + y 2, z = h, kde h > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, pozor na meze proměnné z; vyjde πh3 2 ] 2.13 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného plochami x 2 + y 2 = a 2, z = 0, z = b, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [cylindrické souřadnice, ( obrázek ) v R 3 i projekce snadné, (zdůvodněte si); vyjde I x = I y = πa 2 b a b2 3, I z = πa4 b 2 ] 2.14 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 2 x 2 + y 2, z 0 }, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x 2 + y [lepší jsou sférické souřadnice, všechny meze konstantní, restrikce 4x, obrázek v R 3 i projekce; výsledek není pěkný, ale integrace je jednoduchá (po úpravě): π 2 a 4 16 πa πa3 3 2πa 3 3 ] 2.15 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2ax, y x, 0 z x}, kde a > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x ( ( ) ϕı 0, π 4 ) ; vyjde a 3 π ] 2.16 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; a 2 x 2 + y 2 4a 2, y x, 0 z x 2 + y 2 1 } s danou hustotou σ(x, y, z) =, kde a > 0 je x 2 +y 2 +a2 konstanta. 8

9 [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, restrikce 4x ( ϕı 0, π 4 ) ; vyjde ( ) 2 ] πa Objem a hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, y x, 0 z, z x 2 + y 2 } s danou hustotou σ(x, y, z) = 8 (64x 2 y 2 + z). [cylindrické souřadnice,stačí obrázek projekce (meze z jasné) restrikce 4x; vyjde V = π 4, m = 26π 3 ] 2.18 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2x, 1 z 4 x 2 y 2 }. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x; vyjde 7π 2 ] Ve všech příkladech jsou pouze obvyklé goniometrické nebo odmocninové substituce. Vždy zkuste také obrázek v R 3. 9

10 3 Křivkový integrál ve skalárním poli Vypočtěte: 3.1 Hmotnost křivky : r(t) = cos t i + sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2z x 2 + y [integrací polynomu ihned vyjde 2 2π(2π 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x2 + y2 = 1, x 0, y 0}, kde a > a 2 b 2 0, b > 0 jsou konstanty. [obvyklá parametrizace elipsy (viz Integrální počet II, str. 37), odmocninová substituce, a 3 b 3 = (a b) ( a 2 + ab + b 2) ; vyjde ab(a2 +ab+b 2 ) 3(a+b) ] 3.3 Hmotnost šroubovice : r(t) = t cos t i + t sin t j + 3t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = z. [obvyklá substituce, snadno vyjde (4π ) ] 3.4 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 = 1, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = x 2, z = 2+y 2. [parametrizace kružnice; vyjde 4π (zkuste i obrázek) ] 3.5 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z]; 4x 2 + 9y 2 = 36, y 0, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = 0, z = xy. [parametrizace elipsy, nutno integrovat v 1. a2. kvadrantu zvlášť, v obou integrálech obvyklá substituce = u; snadno vyjde: 76 5 ] 3.6 Hmotnost křivky = {[x, y, z]; x 2 + y 2 = 2y, z = x 2 + y 2, x 0, y 1}, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = x (y 1). 3.7 [parametrizace kružnice x 2 + y 2 = 2y pro x 0, y 1, = u; vyjde 1 12 (5 5 1)] (z x) 2 ds, kde : r(t) = (cos t sin t) i + 3t j + (cos t + sin t) k, t 0, 2π. [snadno vyjde 4 11π] 10

11 x2 + y 2 ds, kde z + 1 : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2π. [po správném dosazení do integrálu a úpravě integrandu vyjde lehce: 2π 2 2π + 3 ln(2π + 1)] 3.9 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2 + x2 y [snadno vyjde 4 10π] 3.10 Těžiště homogenního oblouku : r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, t 0, π, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [přesně podle vzorcu pro výpočet těžiště vyjde bez problémů T = 3.11 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3t k, t 0, 2, 3 [ ] 0, 2a π, πb 2 ] je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 +z 2. [při integraci užijte vzorec dt t 2 +a 2 = 1 a arctan t a ; vyjde 13π 24 ] xy ds, kde : r(t) = sin t 2 i + sin t cos t j + cos t k, t 0, π 2 [ds = 1 + sin 2 2 tdt, obvyklá substituce, 15 ( 2 + 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 = 4}. [parametrizace kružnice s restrikcí 4x snadno vyjde 16] y ds, kde : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t 0, 2π (první oblouk tzv. cykloidy).. [po správném zderivování a dosazení do integrálu ihned vyjde 2 2πa 3/2 ] 11

12 x 2 + y 2 ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y2 4 = 1}. [parametrizace elipsy, integrand je po úpravě jednoduchý (odmocnina zmizí), vyjde 10π] 3.16 Moment setrvačnosti I y homogenního oblouku ÂB křivky : y = ln x, A = [1, 0], B = [2, ln 2]. [přesně podle vzorce pro I y a parametrizaci x = t, y = ln t vyjde: 1 3 ( )] xy ds, kde křivka je dána jako obvod obdélníka ABCD s vrcholy na přímkách x = 0, x = 4, y = 0, y = 2. [ = , snadná parametrizace, vyjde 24] xyz ds, kde je dána jako oblouk křivky x = t, y = 1 3 mezi body určenými hodnotami parametru t = 0, t = 1. [integrací polynomu snadno vyjde ] z ds, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2. 8t3, z = 1 2 t2 [také jednoduchý příklad, vyjde 1 3 (3 3 1)] 12

13 4 Křivkový integrál ve vektrovém poli 4.1 Přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch x 2 + y 2 = 1, z = xy od počátečního bodu A = [1, y A, z A ] přes bod B = [x B, 1, z B ] do koncového bodu C = [ 1, y C, z C ]. [nezadané souřadnice bodů A, B, C snadno spočítáte z rovnic ploch, stačí projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace lehká: x = cos t, y = sin t z =, t 0, π, (proč?) vyjde: π ] 4.2 Spočítejte práci vektorového pole F = x i + z 2 j + e xy k podél křivky, která je dána jako uzavřená orientovaná křivka ABC tvořená oblouky na ploše z = 1 x 2 pro x 0, y 0, z 0, které leží postupně v rovinách y = 0, z = 0, y = x. Orientace je dána pořadím bodů A = [0, 0, 1], B = [1, 0, 0], C = [1, 1, 0]. [nakreslete si obrázek v prostoru R 3 (parab. válec proťatý 3 rovinami); ihned uvidíte = 1 2 3, parametrizací 1, 2, 3 (není obtížná) a součtem 3 integrálů (polynomy a substituce) vyjde: e ] 4.3 Spočítejte práci silového pole F = xy i y j které působí při pohybu hmotného bodu po kladně orientované uzavřené křivce + tvořené oblouky na křivkách y = x 2, y = x. [obrázek = 1 2 je snadný, parametrizací 1, 2 a součtem dvou integrálů snadno vyjde: 3 20 ] 4.4 Spočítejte práci vektoru F = (e x y 2 + z) i + 2ye z j + x k podél křivky : x = ln t, y = t 2, z = t, která je orientovaná z počátečního bodu A = [0, 1, 1] do koncového bodu B = [ln 2, 4, 2]. [obrázek nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] 4.5 Určete hodnotu integrálu 4xydx + xdy dz, kde : r(t) = sin t i + sin(2t) j + e t k, t 0, π. 13

14 [přímým dosazením do integrálu a rozepsáním sin(2t) =..., cos(2t) =... vyjde: π 1 3 e π ] 4.6 Spočítejte integrál ydx xdy, kde x + : 2 jsou konstanty. [parametrizace elipsy, ihned vyjde: 2πab ] a 2 + y2 b 2 = 1, kde a > 0, b > Spočítejte práci vektrového pole F = (x + y) i + 2x j podél kladně orientované kružnice + se středem v počátku a poloměrem r. [také lehký příklad, parametrizace kruřnice, vyjde: πr 2 ] 4.8 Spočítejte práci vykonanou vektorem síly F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j po křivce : x 2 +y 2 = 1 od počátečního bodu A = [1, 0] do koncového bodu B = [0, 1]. [obr. a parametizace kružnice jednoduché, obvyklými goniometrickými substitucemi vyjde: 2 ] 14

15 4.2 Nezávislost na integrační cestě Ověřte podmínky nezávisloti na integrační cestě v daném potenciálovém poli F = (P, Q) resp. F = (P, Q, R), najděte potenciál V a pro zadané body A, B případně interval parametru t spočítejte práci konanou při pohybu bodu z počátečního bodu A do koncového bodu B. 4.9 F = (1 2xy y 2 ) i + (1 2xy x 2 ) j, A = [0, 2], B = [1, 0]. [ V (x, y) = x x 2 y y 2 x + y + c, W = 1 ] 4.10 xz2 dx + y 3 dy + x 2 zdz, A = [ 1, 1, 2], B = [ 4, 2, 1]. [ V (x, y, z) x2 z y c, W = 4, spočítejte si také integrací po orientované úsečce AB!] 4.11 F = y2 1+x 2 y 4 i + 2xy 1+x 2 y 4 j, : r(t) = t i + t 2 j, t 0, 1. [tento příklad si spočítejte více způsoby vychází velice jednoduše integrací a) po zadané křivce gamma (subst. t 5 = u) b) orientované úsečce AB (A = [0, 0], B = [1, 1]) c) lomené orientované křivce = AC CB, kde C = [1, 0] V (x, y) = arctg(xy 2 ) + c, W = π 4 ] 4.12 F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k, A = [1, 2, 3], B = [0, 0, 0]. [V (x, y, z) = x2 +y 2 +z xyz + c, W = 13] 4.13 F = 2xy i + x 2 j 1 k, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, z 2 t π, π. 2 [V (x, y, z) = x 2 y + 1 z + c, W = 1 π, komplikovaný vypočet, když počítáme přímým výpočtem po křivce ] 4.14 F = e x yz i + (1 + e x z) j + e x z k, : r(t) = t i + (t 1) j 3t k, A = [1, 0, 3], B = [ 1, 2, 3]. [V (x, y, z) = yz e x + y + c, W = 6 e 2, spočítejte si také přímým dosazením] 4.15 F = 1 z i + 1 z j x+y z k, : r(t) = t 2 i 3t j + t 3 k, t 1, 2. [V (x, y, z) = x+y z + c, W = 7 4, velice pěkně vyjde i bez výpočtu V přímým dosazením] 15

16 4.16 F = (3x 2 y 2 2z 4 ) i + 2x 3 y j 8xz 3 k, spočítejte kmenovou funkci V. [V (x, y, z) = x 3 y 2 2xz 4 + c] 4.17 F = y i + x j + 2z k, A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 2]. [V (x, y, z) = xy + z 2 + c, W = 5] 4.18 F = 1 y i + y2 x y 2 j, A = [1, 1], B = [ 6, 3]. (předpokládáme, že y 0). [V (x, y) = x y + y + c, W = 1] 4.19 F = cos(2y) i 2x sin(2y) j, A = [1, π 6 ], B = [2, π 4 ]. [V (x, y) = x cos(2y) + c, W = frac12] 4.20 Zjistěte, zda výraz (2x cos y y 2 sin x) dx + (2y cos x x 2 sin y) dy je totálním diferenciálem a určete potenciál V. [tedy opět ověříme podmínky nezávislosti a spočítáme V (x, y) = x 2 cos y + y 2 cos x + c] 4.21 F = (yz y + z + 3) i + (xz x + 1) j + (xy + x + 2z) k, A = [0, 1, 2], B = [3, 2, 5]. [V (x, y, z) = xyz xy + xz + 3x + y + z 2 + c, W = 70] 4.22 F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j, : x 2 + y 2 = 1 A = [1, 0] do konc B = [0, 1]. [V (x, y) = x 3 + 2xy 2 y 3 + c, W = 2, spočítejte si také přímou integrací po ] 16

17 4.3 Greenova věta Ověřte podmínky použitelnosti Greenovy věty a užijte ji k výpočtu následujícího integrálu (cirkulace vektorového pole F ) po zadané křivce : 4.23 (x+y) 2 dx (x y) 2 dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená obloukem grafu funkce y = sin x a úsečkou na ose x pro x 0, π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu jsou jednoduché (per partes), vyjde: 4π] 4.24 F = (1 x 2 ) i + x (1 + y 2 ) j, + : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j, t 0, 2π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu je snadný (transformace do polárních souřadnic), bez problémů vyjde: π, zkuste si také spočítat přímým výpočtem bez Greenovy věty - vychází to pěkně] 4.25 F = (xy + x + y) i + (xy + x y) j, + : x 2 + y 2 = y [parametrizace posunuté kružnice (polární souřadnice), v intergrandu je rozdíl dvou funkcí a rozdělíte-li si integrál na dva, bude druhý z nich nulový (proč?), pak už hned vyjde π 8 ] + (e x sin y 16y) dx+(e x cos y 16) dy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; x 2 + y 2 = ax, x 0, y 0}, kde a > 0 je konstanta. [opět posunutá kružnice, polárními souřadnicemi s posunem, nebo bez posunu do počátku, vyjde okamžitě 2πa 2 (výsledek lze také uhodnout, protože integrand je konstanta)] y 2 dx x 2 dy, kde + je kladně orientovaná kružnice se středem S = [1, 1] a poloměrem r = 1. [polárními souřadnicemi nutně s posunem do počátku x = 1 + ρ cos ϕ y = 1 + ρ sin ϕ, konst. meze ρ, ϕ; vyjde snadno 4π (vychází pěkně i přímým výpočtem bez použití Greenovy věty)] ( 4.28 x 2 y 2) dx + ( x 2 + y 2) dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená půlkružnicí y = r 2 x 2 a úsečkou na ose x. 17

18 4.29 [ obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, bez problémů vyjde 4 3 r3 ] ( 6x cos y y 3 ) dx+ ( x 3 3x 2 sin y ) dy, kde + je kladně orientovaná kružnice x 2 + y 2 = [také obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, velice jednoduchý integrál, výsledek 3π 2 (bez použití Greenovy věty vychází nepěkně)] (x + y) 2 dx (x y) 2 dy, kde + je kladně orientovaná křivka tvořená obloukem paraboly y = x 2 a úsečkou na přímce y = x. [bez problémů ihned vyjde 1 3 ] 4.31 F = 1 y i 1 x j, + je trojúhelník ABC s vrcholy A = [1, 1], B = [2, 1], C = [2, 2] [také jednoduchý příklad bez transformace do polárních souřadnic, vyjde 1 2 ] ( ) xy + x 2 dx + x 2 ydy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; 0 x y 1}. [snadné s Greenovou větou i bez Greenovy věty, integrací polynomu vyjde 1 12 ] 4.33 F = (1 + xy)e xy i + x 2 (1 + e xy ) j, + obdélník ABCD s vrcholy A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1]. [integrand vychází velice jednoduše, lehce vyjde: 4] 4.34 F = x arctan y i y 2 j, + je trojúhelník KLM s vrcholy K = [ 1, 0], L = [0, 0], M = [0, 1]. [těžší příklad: nejdříve substituce x+1 = t potom per partes u = arctg t, v = t 1; pak už bez problémů vyjde 1 2 (1 ln 2)] Obrácenou Greenovou větou spočítejte obsah rovinného obrazce D: 4.35 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x}. [parametrizace + = 1 2 snadná, bez problémů vyjde 1 6 věty ješte kratší)] (bez Greenovy 18

19 4.36 D = {[x, y] R 2 ; y ln x, x + 1 y 1}. [také nutný obrázek, parametrizace + = není obtížná, vyjde e 3 2 ] 4.37 D = {[x, y] R 2 ; e x y e π, x 0}. (Pozor: e π je konstanta!) [opět parametrizace + = 1 2 3, užitím per partes vyjde e π (π 1) + 1 (bez Greenovy věty je výpočet kratší zkuste si spočítat)] 19

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),

f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y), Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0]. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Číslo mate riálu Datum Třída Téma hodiny Ověřený materiál - název Téma, charakteristika Autor Ověřil 1. 2.5. 2012 VI.B I. Sestavení

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více