Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR

Transkript

1 Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Helena Říhová FBMI 12. listopadu 2010 Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

2 Obsah 1 Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Definice SLAR Frobeniova věta Homogenní soustavy Nehomogenní soustavy Cramerovo pravidlo Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

3 Definice SLAR Definice Necht A je matice typu(m, n) x je jednosloupcová matice typu (n, 1), a b je jednosloupcová matice typu(m, 1). Pak maticovou rovnost Ax=b nazýváme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých. A je matice soustavy, b T jesloupecpravých stran, (A b)typu(m,n+1)je rozšířenámatice soustavy. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

4 Definice SLAR Definice ŘešenímsoustavyAx=bjetakovývektorx=α, prokterýplatí: A α 1. α n = b 1. b m Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

5 Frobeniova věta Věta(Frobeniova) SoustavaAx=bmářešeníprávě tehdy,když h(a) = h(a b) Definice Máme soustavy Ax=b m rovnic o n neznámých a Cx=d k rovnic o n neznámých Řekneme, že soustavy jsou ekvivalentní, mají-li stejnou množinu řešení. Poznámka: Gaussova eliminace převádí danou soustavu na soustavu s ní ekvivalentní. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

6 (Ne)homogenní soustavy Věta Ke každé soustavě A x = b lze najít ekvivalentní soustavu C x = d, kde C je horní trojúhelníková matice. (Hledá se pomocí GE.) Definice Existuje-li ve vektoru pravých stran b alespoň jeden prvek nenulový, nazýváme soustavu A x = b nehomogenní, soustava Ax=o je homogenní. Věta Množina všech řešení homogenní soustavy o n neznámých Ax=o tvoří lineární podprostorprostorur n. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

7 Homogenní soustavy Důsledek MusíexistovatLNZvektory u 1,...,u k, kde k=n h(a), Au i = o proi=1,...,k a libovolné řešeníu, Au=o sedávyjádřit vetvaru u= k k i u i, k i R. i=1 usenazývá obecnéřešeníhomogennísoustavy,vektory u 1,...,u k tvoří bázi prostoru řešení. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

8 Homogenní soustavy Věta Necht M o je lineární prostorvšech řešenísoustavyo nneznámých Ax=o. Pak dimm o = n h(a). Důsledek Je-li h(a) = n, soustava má pouze triviální řešení. Je-li h(a) < n, soustava má nekonečně mnoho řešení. Definice Necht Ax=b, b o. jenehomogenníslaro nneznámých a v R n je nějakékonkrétnířešení.pak honazýváme partikulární řešení nehomogenní soustavy. Soustava A x = o. je přidružená homogenní soustava k soustavě A x = b. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

9 Nehomogenní soustavy Věta 1) Necht v je partikulární řešení nehomogenní soustavy A x = b a u jelibovolné řešení Ax=o. Potomw=u+v řeší Ax=b. 2) Necht v, wjsoupartikulární řešeníax=b,pak u=v w jeřešení Ax=o. Věta Necht x p jepartikulární řešenísoustavy Ax=b a M o je LP všech řešení soustavy přidružené A x = o. Pak množina všech řešení soustavy Ax=b je M={x=x p +x h, x h M o }. Tj.obecnéřešení soustavyax=b je x=x p +x h, kde x p je partikulární řešenísoustavyax=b, x h je obecnéřešenísoustavyax=o. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

10 Cramerovo pravidlo pro čtvercovou soustavu Ax=b Je-li deta 0, pak másoustavajedinéřešení.pro b=o je x=o, prob o je x=a 1 b. Cramerovo pravidlo Máme-li soustavu A x = b, s regulární čtvercovou maticí A (deta 0), pakmá soustavajedinéřešeníx=(x 1,...,x n ),kde x i = detb i deta, přičemžmatice B i vznikne zmatice A nahrazením i-téhosloupce a i sloupcempravých stran b. Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11

11 Příklad: Cramerovým pravidlem vyřešte soustavu x 1 x 2 x 3 = Řešení: deta= 2, detb 1 = = 18, detb 2= 19, detb 3 = 0. Soustava má jediné řešení x =( 9, 19/2, 0) Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu / 11