Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )"

Transkript

1 LINEÁRNÍ ALGEBRA

2 Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic. R, R Vektor Některé veličiny nelze popsat jedním číslem (jako skalár) Zjednodušené chápání vektor je uspořádaná n-tice Reálných čísel, které zapisujeme (a, a,, a n ) (x Vektor má svojí velikost a směr, x,, x n ) Ekonomika skládající se ze výrobků V ekonomice existují ceny (P, P, P ) y A =,5,,6- Vektor graficky Orientovaná úsečka s počátečním bodem v počátku (,,) a koncovým bodem v bodě (5,,6) P P P z 6 5 x

3 Definice: Vektory a = a,, a n, b = b,, b n z V n vektorového prostoru Jsou si rovny, jestliže jsou si rovny odpovídající souřadnice těchto vektorů Definice: Součet vektorů a = a,, a n, b = b,, b n Definujeme vztahem a = (5,) b = (,6) a + b = (6,8) Odčítání stejný princip y 8 a 6 b a 5 a + b = (a + b,, a n + b n ) b 6 x y 4 Definice Reálný násobek vektoru a = Definujeme vztahem y a z 6 a 5 c. a = c. a,, c. a n. a = (,4) A =,5,,6- x a,, a n Komutativní 5 zákon Asociativní zákon Distributivní zákon stejné jako u matic

4 Lineární kombinace Definice: Nechť jsou dány vektory x = (x x k )k N. Existují-li čísla c, c k taková, že platí rovnost x = c. x + c. x + c k. x k Pak říkáme, že vektor x je lineární kombinací (LK) vektorů x x k. Čísla c, c k nazýváme koeficienty lineární kombinace. Česky: Jestli jsme schopni z nějakých vektorů vytvořit Jiný vektor, který uplácán (vytvořen z lineární kombinace) Z těch nějakých vektorů c + c = 4 c + c = c + c 6 = x =,, x =,,6 c = 4 c = c Pochopení LK důležité pro další část x = 4,, + c 6 = 4

5 Lineární kombinace x = c. x + c. x + c k. x k Triviální lineární kombinace Netriviální lineární kombinace c =c = = c k = když alespoň jedno c Množinu všech lineárních kombinací nazveme lineárním obalem Vektorový prostor (lineární prostor) Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace sčítání vektorů, násobení skalárem + některá omezením (asociativita atd.) Tím dospějeme ke struktuře zvané vektorový prostor Množina vektorů kdy pro každý vektor z této množiny jsou splněny konkrétní aritmetické operace + určitá omezení Se nazývá vektorový prostor

6 Lineární závislost a lineární nezávislost Lineární kombinace Triviální lineární kombinace c =c = = c k = Netriviální lineární kombinace když alespoň jedno c Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru Tedy jestli existují reálná čísla c,, c r z nichž alespoň jedno je různé od nuly A platí c. x + + c r. x r = x =,, c + c 6 = c + c = c + c = c + c 6 = x =,,6 c + c = 4 c + c = α + c 6 = x = 4,, c + c 6 = 4 c = c = c = 4 c =

7 Vektory jsou lineárně nezávislé (LN) když POUZE jejich triviální lineární kombinace dává nulový vektor c. x + + c r. x r = c =c = = c k = c c 6 = x = c. x + c. x + c k. x k Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru x = 5,7, x =,6, Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Potom se dá jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních Vektory jsou svázány Lineární nezávislost Vektory nejsou svázány 6 =. x =,, x =,,6 c + c 6 = Hodnost matice nám pomůže určit LZ/LN c = c =

8 Skalární součin Skalární součin vektorů x = x,, x n, y = y,, y n Je reálné číslo, které je definováno vztahem xy = x y +x y + +x n y n Pokud výsledkem skalárního součinu je NULA Vektory jsou na sebe kolmé Norma vektoru (x T. x) / = Vyjadřuje délku vektoru, neboli vzdálenost bodu určeného souřadnicemi x,,x n od počátku x Úhel svírající vektory cosα = n i= x x i. y i y x T. x. x T. y y T. y

9 Matice Definice: Maticí rozumíme uspořádaný soubor reálných či komplexních čísel O m řádcích a n sloupcích r=,,m A = (a rs ) s=,,n a řádek,sloupec Matice má rozměr m x n A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 Definice: Jestliže m=n, říkáme, že matice je čtvercová. Pokud m n, říkáme, že matice je obdélníková. (hlavní) Diagonálou matice rozumíme vektor diag A = (a, a, ) n znaků m- domácností Matice 4 x Dom. Dom. Dom. Dom. 4 B = C Y

10 Definice: Jednotkovou maticí I rozumíme takovou matici která má na diagonále jedničky a na ostatních pozicích má nuly I = A. I = I. A = A Definice: Nulovou maticí O rozumíme matici ve tvaru O = A + O = A A + ( A) = A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 O =

11 Co může představovat maticový zápis ) Může se jednat o soubor vektorů ) Symbolický zápis soustavy lineárních rovnic 9 Matice proměnných A x + y = x y = (A b) Vektor pravých stran b 8 8

12 Lineární operace s maticemi Součet, násobení matice číslem α R, násobení matic A + B = a a a a + A + B = + + ( ) b b b b = = Násobení matice číslem α R α. A = α. a α. a α. a α. a a + b a + b a + b a + b A + B = B + A Komutativní zákon α =. A = A = 4 B = 6 Pokud α, β jsou reálná čísla a A,B matice stejného typu (třeba x) pak platí α A + B = αa + αb α + β. A = αa + βa α. β. A = α. β. A = 8 8 ( + )A = 5 5 (. A) = A + O = A A + ( A) = A + A = 4 A + O = 4 +. B = O =. A = 6 9. A + B = 8 8 A + A = A = 6 8 4

13 Násobení matic Máme matici A (rozměry m x p) a matici B (rozměry p x n) Součinem získáme matici C (rozměry m x n) Neplatí komutativnost!!!ab BA!!! A. B = = 4. 6 B. A = = ( ).. + ( ) = 5 5 = 8 A. B = A = = B = =

14 a) Násobení s jednotkovou maticí IA=AI=A b) Asociativnost A(BC)=(AB)C c) α. AB = A αb (A+B).C=AC+BC A.(B+C)=AB+AC

15 !!!Upozornění!!! Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové označujeme jako horní trojúhelníkovou matici Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

16 Gaussova eliminační metoda Cílem převést matici na jiný tvar Věta: Každou matici lze převést elementárními úpravami na horní trojúhelníkový tvar tj. matici, která pod diagonálou obsahuje samé nuly Mezi elementární úpravy patří: Změna libovolných dvou řádků Vynásobení řádku nenulovým číslem Připočtení jednoho řádku k druhému Vynecháme řádek, který je LK ostatních Matici pak označujeme A Potřebuji řádek vydělit α = Vynásobím jej /α A = 7 8. ( ) ,

17 Převedení na dolní trojúhelníkový tvar nám pomůže při řešení např. soustav x + y = x y = x + y = y = Poptávka vs. Nabídka P D = 5Q P S = 5 + Q P D 5Q = P S Q = y = x = Pro matice x Průnik rovin i IS BP LM Y

18 Hodnost matice Definice: Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A Se nazývá hodnost matice A - h(a) x y z 4 4 Číslo pro které platí 6 9 d A = n h(a) Nazýváme defektem matice A řádků h A = n počet neznámých proměnných d A = = Využití u LN/LZ 6 9 h A h A = m vektory jsou lineárně nezávislé < m vektory jsou lineárně závislé Jak určit hodnost? řádků h A = d A = = Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Dá se jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních

19 h(a) min *m, n+ Věta: Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců Pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost Hodnost s pravou stranou x + x 4x = 7 x x = 4 7 Hodnost matice je číslo, které určuje maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice. Definice hodnosti je tedy platná také pro maximální počet lineárně nezávislých sloupců.

20 Regulární a singulární matice Čtvercové matice dělíme na: Regulární Singulární Definice: Čtvercovou matici A nazveme regulární právě tehdy, když h(a)=n V opačném případě mluvíme o singulární matici h(a)<n Jakákoli regulární matice má d(a)= d A = n h(a) Jakákoli singulární matice má d(a)>

21 Inverzní matice Věta: Nechť je A regulární matice o rozměru n x n (čtvercová) pak existuje matice označíme ji A O rozměru n x n, pro kterou platí AA = A A = I Tuto matici nazveme inverzní maticí k A A = 5 A I ~ (I A ) /5 /5 /5 /5 /5 /5 5 5 A = 5 5 5

22 Transponovaná matice Definice: Nechť A, která vznikne z A tak, Že zaměníme řádky za sloupce Přičemž zachováme jejich pořadí Se nazývá matice transponovaná k matici A Z matice m x n získáme matici n x m A = A T (A ) = A h A = h(a ) A = 4 B = 4 5 A = 4 B = 4 5

23 Báze a dimenze Definice: Nechť jsou dány vektory x,, x n V n. Řekněme, že tyto vektory tvoří bázi ve V n právě tehdy, když Jsou lineárně nezávislé a každý vektor z V n lze vytvořit jako jejich lineární kombinaci Dimenzí vektorového prostoru nazýváme počet vektorů, které tvoří bázi x = x = x = a + + a + + a = = Lineárně nezávislé Z každého vektoru lze vytvořit LK ostatních Dimenze =

24 Hlavní, vedlejší sloupec, zarážky Jak zjistit, které sloupcové vektory jsou lineární kombinací ostatních? Sloupce, které nejsou LK ostatních nazveme jako hlavní sloupce ( ) Ostatní sloupce označíme jako vedlejší (x) U velkých matic x možný problém Odrážky a zarážky ) Upravíme zadanou matici na horní trojúhelníkový tvar ) Po levé straně a uděláme svislou čáru ) Pokračujeme vodorovně, dokud nenarazíme na další nenulové číslo Sloupec, který neobsahuje po své levé straně ani jednu zarážku je vedlejší s. Tedy je LK některého z ostatních sloupců lineární závislost Vhodné pro určování báze, dimenze, hodnosti 4 7 A = x 4 4 B = 4

25 Soustavy lineárních rovnic Definice: Nechť jsou dána čísla a rs, b r, kde r =,,, m a s =,,, n. Pak soustavou m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme a x + a x + +a n x n = b a x + a x + +a n x n = b a m x + a m x + +a mn x n = b m Ax = b Rozšířená matice soustavy A = a a a a a n a n x = a m a m a mn x x x n b = b b b m Matice soustavy Neznámý vektor Vektor pravých stran b = homogenní soustava Ax = b nehomogenní soustava Ax = b

26 Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy 4,5 x + x + 4x = 7,5x x x = 7 ~ 4 7 5,5 x + x + 4x = 7 x x x =,5 h= hodnost matice soustavy h r = hodnost rozšířené matice soustavy h = h r = Při řešení soustavy může nastat jeden ze tří případů ) Soustava lineárních rovnic nemá řešení ) Soustava lineárních rovnic má právě jedno řešení ) Soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení 4 Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla 7 h = h r = Maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice

27 4 x + x 4x = 7 7 x t = x x = x = 5 + t x = + t x = t h = h r = Frobeniova věta n = Volíme jednu neznámou libovolné reálné číslo t Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy x +. + t 4t = 7 x = 5,, + t. (,,) x x x = 5 + t. Obecné řešení soustavy t = speciální partikulární řešení Které se nazývá základní řešení soustavy Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla Pro hodnost matice platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice x = Partikulární řešení soustavy Zvolíme konkrétní t Získáme jedno konkrétní řešení x = 5 + = 7 x = + = t = x = (7,,)

28 Řešení soustavy My již známe Gaussovu eliminaci Další možnost je použití determinantů Cramerovo pravidlo Jordanova eliminační metoda Pomocí inverzní matice Ax = b x = A. b h = h Soustavu lineárních rovnic převedeme na r = n = ekvivalentní soustavu lineárních rovnic zjednodušené 5x = x = 5 Soustavu považujeme za ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení stejné výsledky Věta: Jestliže v rozšířené matici soustavy uděláme jakékoli elementární řádkové úpravy, dostaneme matici které odpovídá ekvivalentní soustava lineárních rovnic x +. 5 = x = Česky: Elementární úpravy známe z Gaussovy eliminace Tedy věta ospravedlňuje použití Gaussovy a Jordanovy eliminační metody x = ( 4 5, 5 )

29 Homogenní soustava lineárních rovnic A = a a a a a n a n x = a m a m a mn Ax = b x x x n b = b b b m b = homogenní soustava 4 Ax = x = t x = t x = t a a a a Věta: Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy, n počet neznámých, potom platí: a) Jestliže h=n, pak má hom. soustava jediné řešení x=(,,) b) Jestliže h<n, pak má hom. soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla. Ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy!!!vždy splněna!!! x t = x +. t 4t = x = t. (,,) x x = t. x

30 Využití v ekonomii D = 5 P + P + P A = a a a a a n a n a m a m a mn S = 4 + P + P D = S x = x x x n b = b b b m D = 6 + P P + P D = S Ax = b S = + P D = + P + P 4P S = + P + P D = S A = x = P P P b = 9 7 5P + P P = 9 P + 5P P = P = P P + 7P = 7

31 Determinant matice Determinant je reálné číslo, které je jednoznačně přiřazeno Každé ČTVERCOVÉ MATICI. Značíme det A Determinant druhého řádu Determinant třetího řádu a Sarrusovo pravidlo Nezapomínat co může představovat matice A Determinant (číslo) specifikuje určité vlastnosti matice a a a a = a a a a 4 5 =.5.4 =- a a a a a a a a a a a a a a a = ( ) = 5 = a a a + a a a + a a a (a a a + a a a +a a a )

32 Laplaceova věta Využití u čtvercových matic 4x4 a více Rozvoj podle m-tého řádku / n-tého sloupce Sloupec = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6 Řádek Subdeterminant (minor) = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6

33 Užitečné věty Věta: Jsou-li A a A navzájem transponované čtvercové matice pak det A= det A Věta: Pro řádkové úpravy determinantu platí: a) Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant = = = 4 4 = b) Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko 4 c) Přičteme-li k některé řadě (sloupci) matice A libovolný násobek jiného řádku (sloupce) Determinant se nezmění Věta: Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, Pak její determinant je roven součinu prvků na diagonále = = 5 = = 4 8 = 8 8 = 6 =

34 Věta: Čtvercová matice A je regulární tehdy a jen tehdy, když Její determinant je různý od nuly Matice A je singulární tehdy a jen tehdy, když je determinant roven nule Spočítám determinant a určím typ matice Regulární Můžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LN Hodnost je =m (n) Singulární NEmůžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LZ Hodnost je <m b= (homogenní) Když det A soustava má triviální řešení - Když det A= soustava má nekonečně mnoho řešení b (nehomogenní) Když det A soustava má řešení Když det A= potom: a) h(a)=h r (A) nekonečně mnoho řešení b) h(a) h r (A) nemá řešení (FB)

35 Cramerovo pravidlo Pomáhá při řešení soustav lineárních rovnic (jiný přístup než Gaussovo eliminace) Věta: (Cramerovo pravidlo) Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x,, x n Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení Které se dá zapsat ve tvaru x j = det A j A A j matice, která vznikne z matice soustavy A Po náhradě j-tého sloupce, sloupcem pravých stran soustavy a x + a x = b a x + a x = b a a a a b b a a a a První sloupec nahradím b Druhý sloupec nahradím b x = x = b a b a a a = a a a b a a b a = a a

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Matematika I Lineární závislost a nezávislost Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu. MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar Prohlašuji,

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Optimalizace. Elektronická skripta předmětu A4B33OPT. Toto je verze ze dne 28. ledna 2016. Katedra kybernetiky Fakulta elektrotechnická

Optimalizace. Elektronická skripta předmětu A4B33OPT. Toto je verze ze dne 28. ledna 2016. Katedra kybernetiky Fakulta elektrotechnická Optimalizace Elektronická skripta předmětu A4B33OPT. Text je průběhu semestru doplňován a vylepšován. Toto je verze ze dne 28. ledna 2016. Tomáš Werner Katedra kybernetiky Fakulta elektrotechnická České

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 71 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost směr Jak je znázornit, jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí?

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Semestrální projekt. Předmět: Programování v jazyce C. Zadání: Operace s maticemi. Uživatelský manuál. ver. 1.0

Semestrální projekt. Předmět: Programování v jazyce C. Zadání: Operace s maticemi. Uživatelský manuál. ver. 1.0 Semestrální projekt Předmět: Programování v jazyce C Zadání: Operace s maticemi Uživatelský manuál ver. 1.0 Jakub Štrouf Obor: Aplikovaná informatika Semestr: 1. Rok: 2009/2010 Obsah: 1. Úvod 1.1. Technická

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

Stochastické modely: prezentace k přednášce

Stochastické modely: prezentace k přednášce Stochastické modely: prezentace k přednášce Jan Zouhar Katedra ekonometrie FIS VŠE v Praze 27. října 2015 Obsah 1 Úvod do náhodných procesů 2 MŘ s diskrétním časem a konečným počtem stavů Základní pojmy

Více

Matematika pro ekonomy

Matematika pro ekonomy Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více