Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
|
|
- Jaroslav Vopička
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA
2 Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic. R, R Vektor Některé veličiny nelze popsat jedním číslem (jako skalár) Zjednodušené chápání vektor je uspořádaná n-tice Reálných čísel, které zapisujeme (a, a,, a n ) (x Vektor má svojí velikost a směr, x,, x n ) Ekonomika skládající se ze výrobků V ekonomice existují ceny (P, P, P ) y A =,5,,6- Vektor graficky Orientovaná úsečka s počátečním bodem v počátku (,,) a koncovým bodem v bodě (5,,6) P P P z 6 5 x
3 Definice: Vektory a = a,, a n, b = b,, b n z V n vektorového prostoru Jsou si rovny, jestliže jsou si rovny odpovídající souřadnice těchto vektorů Definice: Součet vektorů a = a,, a n, b = b,, b n Definujeme vztahem a = (5,) b = (,6) a + b = (6,8) Odčítání stejný princip y 8 a 6 b a 5 a + b = (a + b,, a n + b n ) b 6 x y 4 Definice Reálný násobek vektoru a = Definujeme vztahem y a z 6 a 5 c. a = c. a,, c. a n. a = (,4) A =,5,,6- x a,, a n Komutativní 5 zákon Asociativní zákon Distributivní zákon stejné jako u matic
4 Lineární kombinace Definice: Nechť jsou dány vektory x = (x x k )k N. Existují-li čísla c, c k taková, že platí rovnost x = c. x + c. x + c k. x k Pak říkáme, že vektor x je lineární kombinací (LK) vektorů x x k. Čísla c, c k nazýváme koeficienty lineární kombinace. Česky: Jestli jsme schopni z nějakých vektorů vytvořit Jiný vektor, který uplácán (vytvořen z lineární kombinace) Z těch nějakých vektorů c + c = 4 c + c = c + c 6 = x =,, x =,,6 c = 4 c = c Pochopení LK důležité pro další část x = 4,, + c 6 = 4
5 Lineární kombinace x = c. x + c. x + c k. x k Triviální lineární kombinace Netriviální lineární kombinace c =c = = c k = když alespoň jedno c Množinu všech lineárních kombinací nazveme lineárním obalem Vektorový prostor (lineární prostor) Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace sčítání vektorů, násobení skalárem + některá omezením (asociativita atd.) Tím dospějeme ke struktuře zvané vektorový prostor Množina vektorů kdy pro každý vektor z této množiny jsou splněny konkrétní aritmetické operace + určitá omezení Se nazývá vektorový prostor
6 Lineární závislost a lineární nezávislost Lineární kombinace Triviální lineární kombinace c =c = = c k = Netriviální lineární kombinace když alespoň jedno c Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru Tedy jestli existují reálná čísla c,, c r z nichž alespoň jedno je různé od nuly A platí c. x + + c r. x r = x =,, c + c 6 = c + c = c + c = c + c 6 = x =,,6 c + c = 4 c + c = α + c 6 = x = 4,, c + c 6 = 4 c = c = c = 4 c =
7 Vektory jsou lineárně nezávislé (LN) když POUZE jejich triviální lineární kombinace dává nulový vektor c. x + + c r. x r = c =c = = c k = c c 6 = x = c. x + c. x + c k. x k Definice: Vektory x,, x r se nazývají lineárně závislé Jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace Která je rovna nulovému vektoru x = 5,7, x =,6, Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Potom se dá jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních Vektory jsou svázány Lineární nezávislost Vektory nejsou svázány 6 =. x =,, x =,,6 c + c 6 = Hodnost matice nám pomůže určit LZ/LN c = c =
8 Skalární součin Skalární součin vektorů x = x,, x n, y = y,, y n Je reálné číslo, které je definováno vztahem xy = x y +x y + +x n y n Pokud výsledkem skalárního součinu je NULA Vektory jsou na sebe kolmé Norma vektoru (x T. x) / = Vyjadřuje délku vektoru, neboli vzdálenost bodu určeného souřadnicemi x,,x n od počátku x Úhel svírající vektory cosα = n i= x x i. y i y x T. x. x T. y y T. y
9 Matice Definice: Maticí rozumíme uspořádaný soubor reálných či komplexních čísel O m řádcích a n sloupcích r=,,m A = (a rs ) s=,,n a řádek,sloupec Matice má rozměr m x n A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 Definice: Jestliže m=n, říkáme, že matice je čtvercová. Pokud m n, říkáme, že matice je obdélníková. (hlavní) Diagonálou matice rozumíme vektor diag A = (a, a, ) n znaků m- domácností Matice 4 x Dom. Dom. Dom. Dom. 4 B = C Y
10 Definice: Jednotkovou maticí I rozumíme takovou matici která má na diagonále jedničky a na ostatních pozicích má nuly I = A. I = I. A = A Definice: Nulovou maticí O rozumíme matici ve tvaru O = A + O = A A + ( A) = A = a a a a a n a n a m a m a mn A = 4 O =
11 Co může představovat maticový zápis ) Může se jednat o soubor vektorů ) Symbolický zápis soustavy lineárních rovnic 9 Matice proměnných A x + y = x y = (A b) Vektor pravých stran b 8 8
12 Lineární operace s maticemi Součet, násobení matice číslem α R, násobení matic A + B = a a a a + A + B = + + ( ) b b b b = = Násobení matice číslem α R α. A = α. a α. a α. a α. a a + b a + b a + b a + b A + B = B + A Komutativní zákon α =. A = A = 4 B = 6 Pokud α, β jsou reálná čísla a A,B matice stejného typu (třeba x) pak platí α A + B = αa + αb α + β. A = αa + βa α. β. A = α. β. A = 8 8 ( + )A = 5 5 (. A) = A + O = A A + ( A) = A + A = 4 A + O = 4 +. B = O =. A = 6 9. A + B = 8 8 A + A = A = 6 8 4
13 Násobení matic Máme matici A (rozměry m x p) a matici B (rozměry p x n) Součinem získáme matici C (rozměry m x n) Neplatí komutativnost!!!ab BA!!! A. B = = 4. 6 B. A = = ( ).. + ( ) = 5 5 = 8 A. B = A = = B = =
14 a) Násobení s jednotkovou maticí IA=AI=A b) Asociativnost A(BC)=(AB)C c) α. AB = A αb (A+B).C=AC+BC A.(B+C)=AB+AC
15 !!!Upozornění!!! Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové označujeme jako horní trojúhelníkovou matici Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
16 Gaussova eliminační metoda Cílem převést matici na jiný tvar Věta: Každou matici lze převést elementárními úpravami na horní trojúhelníkový tvar tj. matici, která pod diagonálou obsahuje samé nuly Mezi elementární úpravy patří: Změna libovolných dvou řádků Vynásobení řádku nenulovým číslem Připočtení jednoho řádku k druhému Vynecháme řádek, který je LK ostatních Matici pak označujeme A Potřebuji řádek vydělit α = Vynásobím jej /α A = 7 8. ( ) ,
17 Převedení na dolní trojúhelníkový tvar nám pomůže při řešení např. soustav x + y = x y = x + y = y = Poptávka vs. Nabídka P D = 5Q P S = 5 + Q P D 5Q = P S Q = y = x = Pro matice x Průnik rovin i IS BP LM Y
18 Hodnost matice Definice: Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A Se nazývá hodnost matice A - h(a) x y z 4 4 Číslo pro které platí 6 9 d A = n h(a) Nazýváme defektem matice A řádků h A = n počet neznámých proměnných d A = = Využití u LN/LZ 6 9 h A h A = m vektory jsou lineárně nezávislé < m vektory jsou lineárně závislé Jak určit hodnost? řádků h A = d A = = Věta : Pokud jsou vektory lineárně závislé Dá se jakýkoliv z těchto vektorů vyjádřit jako lineární kombinace těch ostatních
19 h(a) min *m, n+ Věta: Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců Pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost Hodnost s pravou stranou x + x 4x = 7 x x = 4 7 Hodnost matice je číslo, které určuje maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice. Definice hodnosti je tedy platná také pro maximální počet lineárně nezávislých sloupců.
20 Regulární a singulární matice Čtvercové matice dělíme na: Regulární Singulární Definice: Čtvercovou matici A nazveme regulární právě tehdy, když h(a)=n V opačném případě mluvíme o singulární matici h(a)<n Jakákoli regulární matice má d(a)= d A = n h(a) Jakákoli singulární matice má d(a)>
21 Inverzní matice Věta: Nechť je A regulární matice o rozměru n x n (čtvercová) pak existuje matice označíme ji A O rozměru n x n, pro kterou platí AA = A A = I Tuto matici nazveme inverzní maticí k A A = 5 A I ~ (I A ) /5 /5 /5 /5 /5 /5 5 5 A = 5 5 5
22 Transponovaná matice Definice: Nechť A, která vznikne z A tak, Že zaměníme řádky za sloupce Přičemž zachováme jejich pořadí Se nazývá matice transponovaná k matici A Z matice m x n získáme matici n x m A = A T (A ) = A h A = h(a ) A = 4 B = 4 5 A = 4 B = 4 5
23 Báze a dimenze Definice: Nechť jsou dány vektory x,, x n V n. Řekněme, že tyto vektory tvoří bázi ve V n právě tehdy, když Jsou lineárně nezávislé a každý vektor z V n lze vytvořit jako jejich lineární kombinaci Dimenzí vektorového prostoru nazýváme počet vektorů, které tvoří bázi x = x = x = a + + a + + a = = Lineárně nezávislé Z každého vektoru lze vytvořit LK ostatních Dimenze =
24 Hlavní, vedlejší sloupec, zarážky Jak zjistit, které sloupcové vektory jsou lineární kombinací ostatních? Sloupce, které nejsou LK ostatních nazveme jako hlavní sloupce ( ) Ostatní sloupce označíme jako vedlejší (x) U velkých matic x možný problém Odrážky a zarážky ) Upravíme zadanou matici na horní trojúhelníkový tvar ) Po levé straně a uděláme svislou čáru ) Pokračujeme vodorovně, dokud nenarazíme na další nenulové číslo Sloupec, který neobsahuje po své levé straně ani jednu zarážku je vedlejší s. Tedy je LK některého z ostatních sloupců lineární závislost Vhodné pro určování báze, dimenze, hodnosti 4 7 A = x 4 4 B = 4
25 Soustavy lineárních rovnic Definice: Nechť jsou dána čísla a rs, b r, kde r =,,, m a s =,,, n. Pak soustavou m lineárních rovnic o n neznámých rozumíme a x + a x + +a n x n = b a x + a x + +a n x n = b a m x + a m x + +a mn x n = b m Ax = b Rozšířená matice soustavy A = a a a a a n a n x = a m a m a mn x x x n b = b b b m Matice soustavy Neznámý vektor Vektor pravých stran b = homogenní soustava Ax = b nehomogenní soustava Ax = b
26 Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy 4,5 x + x + 4x = 7,5x x x = 7 ~ 4 7 5,5 x + x + 4x = 7 x x x =,5 h= hodnost matice soustavy h r = hodnost rozšířené matice soustavy h = h r = Při řešení soustavy může nastat jeden ze tří případů ) Soustava lineárních rovnic nemá řešení ) Soustava lineárních rovnic má právě jedno řešení ) Soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení 4 Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla 7 h = h r = Maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice
27 4 x + x 4x = 7 7 x t = x x = x = 5 + t x = + t x = t h = h r = Frobeniova věta n = Volíme jednu neznámou libovolné reálné číslo t Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy x +. + t 4t = 7 x = 5,, + t. (,,) x x x = 5 + t. Obecné řešení soustavy t = speciální partikulární řešení Které se nazývá základní řešení soustavy Věta: Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení. Dále h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení b) Jestliže h<n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení kdy za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla Pro hodnost matice platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice x = Partikulární řešení soustavy Zvolíme konkrétní t Získáme jedno konkrétní řešení x = 5 + = 7 x = + = t = x = (7,,)
28 Řešení soustavy My již známe Gaussovu eliminaci Další možnost je použití determinantů Cramerovo pravidlo Jordanova eliminační metoda Pomocí inverzní matice Ax = b x = A. b h = h Soustavu lineárních rovnic převedeme na r = n = ekvivalentní soustavu lineárních rovnic zjednodušené 5x = x = 5 Soustavu považujeme za ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení stejné výsledky Věta: Jestliže v rozšířené matici soustavy uděláme jakékoli elementární řádkové úpravy, dostaneme matici které odpovídá ekvivalentní soustava lineárních rovnic x +. 5 = x = Česky: Elementární úpravy známe z Gaussovy eliminace Tedy věta ospravedlňuje použití Gaussovy a Jordanovy eliminační metody x = ( 4 5, 5 )
29 Homogenní soustava lineárních rovnic A = a a a a a n a n x = a m a m a mn Ax = b x x x n b = b b b m b = homogenní soustava 4 Ax = x = t x = t x = t a a a a Věta: Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy, n počet neznámých, potom platí: a) Jestliže h=n, pak má hom. soustava jediné řešení x=(,,) b) Jestliže h<n, pak má hom. soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla. Ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy Když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy!!!vždy splněna!!! x t = x +. t 4t = x = t. (,,) x x = t. x
30 Využití v ekonomii D = 5 P + P + P A = a a a a a n a n a m a m a mn S = 4 + P + P D = S x = x x x n b = b b b m D = 6 + P P + P D = S Ax = b S = + P D = + P + P 4P S = + P + P D = S A = x = P P P b = 9 7 5P + P P = 9 P + 5P P = P = P P + 7P = 7
31 Determinant matice Determinant je reálné číslo, které je jednoznačně přiřazeno Každé ČTVERCOVÉ MATICI. Značíme det A Determinant druhého řádu Determinant třetího řádu a Sarrusovo pravidlo Nezapomínat co může představovat matice A Determinant (číslo) specifikuje určité vlastnosti matice a a a a = a a a a 4 5 =.5.4 =- a a a a a a a a a a a a a a a = ( ) = 5 = a a a + a a a + a a a (a a a + a a a +a a a )
32 Laplaceova věta Využití u čtvercových matic 4x4 a více Rozvoj podle m-tého řádku / n-tého sloupce Sloupec = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6 Řádek Subdeterminant (minor) = ( ) +.. +( )+.. +( )+.. = 6
33 Užitečné věty Věta: Jsou-li A a A navzájem transponované čtvercové matice pak det A= det A Věta: Pro řádkové úpravy determinantu platí: a) Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant = = = 4 4 = b) Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko 4 c) Přičteme-li k některé řadě (sloupci) matice A libovolný násobek jiného řádku (sloupce) Determinant se nezmění Věta: Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, Pak její determinant je roven součinu prvků na diagonále = = 5 = = 4 8 = 8 8 = 6 =
34 Věta: Čtvercová matice A je regulární tehdy a jen tehdy, když Její determinant je různý od nuly Matice A je singulární tehdy a jen tehdy, když je determinant roven nule Spočítám determinant a určím typ matice Regulární Můžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LN Hodnost je =m (n) Singulární NEmůžeme určit A - Řádky a sloupce jsou LZ Hodnost je <m b= (homogenní) Když det A soustava má triviální řešení - Když det A= soustava má nekonečně mnoho řešení b (nehomogenní) Když det A soustava má řešení Když det A= potom: a) h(a)=h r (A) nekonečně mnoho řešení b) h(a) h r (A) nemá řešení (FB)
35 Cramerovo pravidlo Pomáhá při řešení soustav lineárních rovnic (jiný přístup než Gaussovo eliminace) Věta: (Cramerovo pravidlo) Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x,, x n Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení Které se dá zapsat ve tvaru x j = det A j A A j matice, která vznikne z matice soustavy A Po náhradě j-tého sloupce, sloupcem pravých stran soustavy a x + a x = b a x + a x = b a a a a b b a a a a První sloupec nahradím b Druhý sloupec nahradím b x = x = b a b a a a = a a a b a a b a = a a
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceMatice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceMatematika I Lineární závislost a nezávislost
Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceLineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů
Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VícePředmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.
MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
Vícepředmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
VíceMaticový a tenzorový počet
Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceLineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008
Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceOperace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
VíceÚvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceEduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.
Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceKapitola 1. Tenzorový součin matic
Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry Tomáš Matoušek Tělesa, vektorové prostory Definice. Tělesem nazveme množinu M, na které jsou definována zobrazení, : M M M(binární operace) splňující následující axiomy: (1) (
Více