SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg č CZ107/2200/280021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky Mgr Radka SMÝKALOVÁ, PhD smyky@seznamcz

2 MT MATEMATIKA Soustavy lineárních rovnic 2 Cvičení 1 Řešte soustavy lineárních rovnic sčítací metodou 1 x+y = 10 2 x+y = 10 3 x+y = 10 x y = 2 x+y = 2 2x+2y = 20 DEFINICE (Soustava lineárních rovnic) Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic Základní pojmy a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m x 1,x 2,,x n - neznámé a ij R - koeficienty b i R - absolutní členy Když jsou všechny absolutní členy rovny nule (b i = 0), soustava se nazývá homogenní DEFINICE (Matice soustavy) Matice se nazývá matice soustavy DEFINICE (Rozšířená matice soustavy) Matice se nazývá rozšířená matice soustavy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b n A r = a m1 a m2 a mn b m Svislá čára uvnitř matice je pouze značka tam, kde je rovná se

3 MT MATEMATIKA Soustavy lineárních rovnic 3 Maticový zápis soustavy m lineárních rovnic o n neznámých: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = b 2 a m1 a m2 a mn x n b m x 1 x 2 x = - vektor neznámých x n b 1 b m b 2 b = - vektor absolutních členů rovnice DEFINICE (Řešení soustavy lineárních rovnic) Řešení soustavy lineárních rovnic je každá uspořádaná n-tice reálných čísel c 1,c 2,,c n, kterou když dosadíme za neznámé x 1,x 2,,x n na levých stranách rovnic, tak dostaneme absolutní členy na pravých stranách rovnic Počet řešení soustavy lineárních rovnic Soustava má jedno řešení (jedna uspořádaná n-tice reálných čísel) nekonečně mnoho řešení (nekonečně mnoho uspořádaných n-tic reálných čísel) žádné řešení (neexistuje n-tice reálných čísel, která vyhovuje rovnicím)

4 MT MATEMATIKA Soustavy lineárních rovnic 4 FROBENIOVA VĚTA (Kdy má soustava lineárních rovnic řešení) Soustava m lineárních rovnic o n neznámých má řešení, když Hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy se rovnají Soustava m lineárních rovnic o n neznámých nemá řešení, když Hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy se nerovnají h(a) = h(a r ) h(a) h(a r ) Když má soustava řešení a h(a) = h(a r ) = n (hodnost se rovná počtu neznámých), pak má soustava jedno řešení Když má soustava řešení a h(a) = h(a r ) < n (hodnost je menší než počet neznámých), pak má soustava nekonečně mnoho řešení Gaussova metoda řešení soustavy 1 rozšířenou matici soustavy A r převedeme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na matici schodovitou 2 pomocí Frobeniovy věty zjistíme, zda má soustava řešení a pokud ano, zjistíme, kolik má řešení (jedno nebo nekonečně mnoho) 3 matici ve schodovitém tvaru zpátky přepíšeme do soustavy rovnic a řešíme soustavu od poslední rovnice k první Cvičení 2 Vypočítejte soustavy rovnic: 1 2x 1 x 2 +x 3 x 4 = 1 2x 1 x 2 3x 4 = 2 3x 1 x 3 +x 4 = 3 2x 1 +2x 2 2x 3 +5x 4 = 6 2 x 1 +2x 2 +3x 3 x 4 = 1 3x 1 +2x 2 +x 3 x 4 = 1 2x 1 +2x 2 +2x 3 x 4 = 1 3 2x 1 +x 2 x 3 +x 4 = 1 3x 1 2x 2 +2x 3 3x 4 = 2 5x 1 +x 2 x 3 +2x 4 = 1 2x 1 x 2 +x 3 3x 4 = 4 4 5x 1 +4x 3 +2x 4 = 3 x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 = 1 4x 1 +x 2 +2x 3 = 1 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 0

5 MT MATEMATIKA Soustavy lineárních rovnic 5 5 x 1 +2x 2 5x 3 +x 4 = 2 3x 1 +x 2 4x 3 +6x 4 = 2 x 1 +2x 2 x 3 +x 4 = 6 x 2 +3x 3 4x 4 = 1 6 x 1 +3x 2 2x 3 +x 4 = 0 2x 1 +5x 2 3x 3 +3x 4 = 0 x 1 +2x 3 2x 4 = 9 4x 1 +10x 2 6x 3 +6x 4 = x 1 2x 2 +3x 3 x 4 +2x 5 = 2 3x 1 x 2 +5x 3 3x 4 x 5 = 6 2x 1 +x 2 +2x 3 2x 4 3x 5 = 8 x 1 +3x 2 +5x 3 4x 4 = 1 x 1 +3x 2 +2x 3 2x 4 +x 5 = 1 x 1 2x 2 +x 3 x 4 x 5 = 3 x 1 4x 2 +x 3 +x 4 x 5 = 3 x 1 +2x 2 +x 3 x 4 +x 5 = 1 2x 1 +3x 2 4x 3 +6x 4 +2x 5 = 5 4x 1 x 2 3x 4 +6x 5 = 13 2x 2 +6x 3 4x 4 13x 5 = 10 2x 1 +5x 2 +2x 3 +2x 4 11x 5 = 5