1. seriálová série. Teorie čísel. Řešení 1. seriálové série
|
|
- Jana Horáčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. seriálová série Téma: Datumodeslání: Teorie čísel ½º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó µ Naleznětevšechna x Z,abyplatilo x 2 +1 x (mod21). ¾º ÐÓ Ó µ Nechť manjsoupřirozenáčísla.dokažte,že2 m 1a2 n 1jsounesoudělná,právěkdyž ma n jsou nesoudělná. º ÐÓ Ó µ Nechť njepřirozenéaa, bjsouceláčíslataková,žedávajístejnýzbytekpodělení n.dokažte,že a n b n (mod n 2 ). Řešení 1. seriálové série 1. úloha Naleznětevšechna x Z,abyplatilo x 2 +1 x (mod21). Nejdříve si kongruenci trochu upravíme: x 2 +1 x(mod21) x 2 x+1 0 x 2 x 20 0 (x 5)(x+4) 0 tedyvíme,žeplatí21 (x 5)(x+4).Bohužel21neníprvočíslo,takženemůžemepoužítstejný postupjakovtextuseriálu.zatopokudrozložíme21naprvočinitele,tj.21=3 7,takbudeme vědět,že3 (x 5)(x+4)i7 (x 5)(x+4)atentokráte3i7jsouprvočísla,tedykaždéznich musí dělit jednu nebo druhou závorku. Snadnonahlédneme,že3 x 5 3 x+4 x 2(mod3),stačíjenvšezapsat pomocí kongruencí a přičíst nebo odečíst nějaké násobky 3 k jedné straně. Podobněmůžemepostupovatipromodul7,tentokrátenámvšakvyjdouzbytky5a3modulo 7.Tedyvíme,že xjetvaru7k+5nebo7k+3pronějaké k.teďnajdemevšechnataková k,aby x splňovalo i kongruenci modulo 3. Takže řešíme kongruence 7k+5 2(mod3) 7k+3 2(mod3) k 0 k 2
2 Tedyvíme,ževprvnímpřípadějsouřešenímvšechny xtvaru7k+5pro ktvaru3l,tj. x=21l+5. Vdruhémpřípadě x=7(3l+2)+3=21l+17.přitomvšechnatatočíslajsouřešení,toseověří snadno dosazením do zadání.(samozřejmě k, l jsou celá čísla.) Nebonakoncimůžemepostupovatitak,žesiuvědomíme,že3dělíkaždopádněobězávorky, atedykdyžsivezmemetuzávorku,kteroudělí7,takjidělíi7 3=21.Tj.platí21 x 5nebo 21 x+4amámeřešení x 5,17(mod21).Tedyvšechnačíslatvaru21k+5nebo21k+17, pronějaké k Z. 2. úloha Nechť manjsoupřirozenáčísla.dokažte,že2 m 1a2 n 1jsounesoudělná,právěkdyž ma n jsou nesoudělná. Namísto dělení důkazu na dvě implikace, zkusme nejprve spočíst největší společný dělitel čísel 2 n 1a2 m 1.Tedyčíslo(2 n 1,2 m 1). Použijeme Euklidův algoritmus. Předpokládejme BÚNO, že m n. 2 m 1=2 m n (2 n 1)+(2 m n 1) Mámetedy(2 m 1,2 n 1)=(2 n 1,2 m n 1). V jednom kroku jsme dvojici exponentů[m, n] nahradili dvojicí[n, m n]. Opakováním tohoto postupu tedy vlastně provádíme Euklidův algoritmus pro čísla m a n! To znamená, že (2 m 1,2 n 1)=2 (m,n) 1. Nyníjižsnadnodokončímedůkazekvivalence,neboťpro(m, n)=1je(2 n 1,2 m 1)=1a pro(m, n) >1je(2 n 1,2 m 1) >2 1 1=1.Tedyčísla m, njsounesoudělná,právěkdyž jsounesoudělnáčísla2 n 1a2 m úloha Nechť njepřirozenéaa, bjsouceláčíslataková,žedávajístejnýzbytekpodělení n.dokažte,že a n b n (mod n 2 ). Řešení podle šneka Podívejmesenavýraz a n b n,okterémchcemedokázat,žejedělitelný n 2.Dleznáméhovzorce platí: a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b+ +b n 1 ) Přitomvíme,že n a b.apokudsenámpovededokázat,že ndělíidruhouzávorku,tak budememíthotovo.znovuzopakujemeargument,že a b(mod n),tedymůžemevkongruenci za b dosadit a dostáváme: a n 1 + a n 2 b+ +b n 1 = a n 1 + a n 2 a+ +a n 1 na n 1 0 (mod n) Atedy ndělíprvníidruhouzávorkuatedy n 2 dělíjejichsoučin.
3 Řešení podle Kennyho Víme,že n a b.ekvivalentněexistuje k Z,prokteréplatí a=nk+ b.podívejmesenynína rozdíl a n b n,dosadímeza aarozepíšemepodlebinomickévěty: n n a n b n =(nk+b) n b n = n n k n + n 1 n 1 k n nkb n 1 + b n b n n 1 Vidíme,žeposlednídvačlenysenámodečtou.Všechnyostatníjsouvšakdělitelné n 2,neboť vprvníchčlenechse nvyskytujepřímovalespoňdruhémocniněavečlenu ` n n 1 nkb n 1 můžemeještědosaditzakombinačníčíslo ` n =namámeopět n 1 nvdruhémocnině,tudíž n 2 dělíúplněvšechnyzbývajícíčleny,tedyirozdíl a n b n. Téma: Datumodeslání: 2. seriálová série Teorie čísel ½ º ÒÓÖ ¾¼¼ Nechť p je prvočíslo a b celé číslo. Dokažte, že b p2 1 1(mod p 2 ), právě když b p 1 1 (mod p 2 ). Dokažte,žezposloupnosti a n=2 n 3lzevybratnekonečněmnohočíseltak,abykaždádvě z nich byla nesoudělná. KennyašnEkchystajínaFrantunějakouvylomeninu(teďvziměhoasibudouchtítspíšzkoulovat,nežhoditdoVltavy).Frantaotomdobřeví,dokoncesedozvěděl,žetobudevpátek,ale pořádnevívkolikhodin natomsemusíkennysešnekemještědomluvit(ideálnětak,abyse Franta nic nedozvěděl). Jenže Kennymu zrovna přestal fungovat internet a šnek zase zapomněl mobil ve vlaku, a proto se můžou dorozumívat jen přes nástěnku na Matfyze. Rozhodnou se, že budou komunikaci šifrovat. Nejdříve si Kenny vymyslí klíče a veřejný klíč pověsínanástěnku.frantasiklíčenanástěncevšimne,taksihorychleopíše: n=55, d=17. OpíšesihoišnEk,zakódujehodinupomocítohotoklíčeananástěnkupakpověsínicneříkající číslo24.frantavšaknezaváháaopíšesihotaké.nakonecsikennyčíslopřečteadešifruje,takže užví,kdysenafrantuněcochystá. Pomožte Frantovi: Kenny se šnekem používají algoritmus RSA. Zlomte ho (tj. nalezněte soukromý Kennyho klíč) a dešifrujte předanou zprávu. Řešení 2. seriálové série 4. úloha Nechť p je prvočíslo a b celé číslo. Dokažte, že b p2 1 1(mod p 2 ), právě když b p 1 1 (mod p 2 ).
4 Zadanouekvivalencisimůžemerozdělitnadvěimplikace. 1 Nejprvesepustímedotéjednodušší: b p 1 1 (mod p 2 ) = b p2 1 1 (mod p 2 ) Při důkazu této implikace si vystačíme s tvrzením, že kongruence můžeme násobit. Pak nám stačí užjen(p+1)-krátvynásobitkongruenci b p 1 1(mod p 2 )samusebou(nebolijiumocnímena (p+1)-tou)adostanemekýženoukongruenci b p2 1 1 p+1 1(mod p 2 ). Implikaci b p2 1 1 (mod p 2 ) = b p 1 1 (mod p 2 ) vyřešíme pomocí Eulerovy věty. Nazačáteksiuvědomíme,žeprokaždéprvočísloplatí ϕ(p 2 )=p(p 1).Tentofaktlzejednoduše nahlédnout z definice Eulerovy funkce. S druhou mocninou prvočísla jsou totiž soudělné jen násobky tohoto prvočísla. Dálepotřebujemevyloučitpřípad,kdy bap 2 jsousoudělné.zprvočíselnosti pvyplývá,že tentopřípadnastávápouzeprotaková b,kterájsounásobkem p.pakalenemůžeplatit b p2 1 1 (mod p 2 ),protože b p2 1 0(mod p 2 )(p 2 1jezřejměvětšínež2,aprotodostávámenalevé straněčíslodělitelné p 2 ). Nyní máme splněné podmínky pro Eulerovu větu, do které dosadíme b a p 2. Dostáváme tedynovouplatnoukongruenci b p2 p 1(mod p 2 ).Oběstranyvynásobíme b p 1 adostáváme b p2 1 b p 1 (mod p 2 ).Kdokončeníužsistačíjenuvědomit,ževýraznalevéstranějekongruentnís1,adopracovalijsmesetímkhledanékongruenci1 b p 1 (mod p 2 ). 5. úloha Dokažte,žezposloupnosti a n=2 n 3lzevybratnekonečněmnohočíseltak,abykaždádvě z nich byla nesoudělná. Vybranou posloupnost budeme konstruovat indukcí, přičemž první člen zvolíme libovolně. Uvažmenyní,žejižmámevybránačísla x 1, x 2,..., x k 1.Prvočísla,kterádělíalespoňjedno znich,označme p 1, p 2... p m.všechnačísla x i jsoulichá,takžečíslo2mezivybranýmiprvočísly není. Položme x k =2 (p 1 1)(p 2 1)...(p m 1) 3. Totočíslojezřejměvybránozposloupnosti a nanavícjest x k 2 (mod p i ) pro i=1,2,..., m jaksnadnoověřímezmaléfermatovyvěty.noadíkytomu,žečísla p i jsoulichá,tak p i x k pro žádné iačíslo x k jenesoudělnésčísly x 1,..., x k 1.Atonámjižkdůkazustačí. 6. úloha KennyašnEkchystajínaFrantunějakouvylomeninu(teďvziměhoasibudouchtítspíšzkoulovat,nežhoditdoVltavy).Frantaotomdobřeví,dokoncesedozvěděl,žetobudevpátek,ale pořádnevívkolikhodin natomsemusíkennysešnekemještědomluvit(ideálnětak,abyse Franta nic nedozvěděl). Jenže Kennymu zrovna přestal fungovat internet a šnek zase zapomněl mobil ve vlaku, a proto se můžou dorozumívat jen přes nástěnku na Matfyze. 1 Tedymusímedokázat,žezprvníkongruenceplynedruháanaopak.
5 Rozhodnou se, že budou komunikaci šifrovat. Nejdříve si Kenny vymyslí klíče a veřejný klíč pověsínanástěnku.frantasiklíčenanástěncevšimne,taksihorychleopíše: n=55, d=17. OpíšesihoišnEk,zakódujehodinupomocítohotoklíčeananástěnkupakpověsínicneříkající číslo24.frantavšaknezaváháaopíšesihotaké.nakonecsikennyčíslopřečteadešifruje,takže užví,kdysenafrantuněcochystá. Pomožte Frantovi: Kenny se šnekem používají algoritmus RSA. Zlomte ho (tj. nalezněte soukromý Kennyho klíč) a dešifrujte předanou zprávu. Úkolem je rozlousknout RSA, známe veřejný klíč(n, d), potřebujeme zjistit soukromý, označme hotřeba(n, e).číslo nužznáme,tosevyskytujevobouklíčích.hledámetedyjenčíslo e,aby prolibovolnouzprávu mplatilo m de m(mod n).přitomvíme,žepokud de 1(mod φ(n)), taktotobudeplatitzeulerovyvěty.hodilobysenámtedyspočítat φ(n). Ktomupotřebujemerozkladčísla nnaprvočinitele pokudbudemeznát φ(n),takzněj rozklad nmůžemezpátkyspočítat.vskutkuvíme,žeje-li n=pq,tak φ(55)=(p 1)(q 1)= = pq (p+q)+1=n+1 (p+q).znalibychomtedysoučetisoučindvoučísel paqapakuž neníproblémjespočítat(jsoutoprávěřešeníkvadratickérovnice x 2 +(φ(n) n 1)x+n). Dobře,taktedyuhodnemerozklad55=5 11 tímjsmeprovedlijedinýnetriviálníkrok.teď užstačíjenpostupovatpodletextuseriáluadopočítatdruhýklíč.máme φ(55)=4 10=40. Hledámetedy e,že17e+40k=1pronějakéceléčíslo k.toumímezeuklidovaalgoritmu: a zpětným chodem 40= = =5+1 1=6 5=3 6 17= dostáváme,že (mod40).Ovšemna 7secelkemšpatněumocňuje,nezbydenám tedynežpřičístmodul40,tedy e=33.amámesoukromýklíč(55,33). Vrhněmesenadešifrovánízprávy24.Chcemespočítat24 33 = mod , , , , (mod55) (mod55) Dešifrovalijsmezprávu19,nezbývánámtedynežzavolatFrantoviaříctmu,ževsedmhodin večersenanějněcochystá(nebosepřidatvtutodobukešnekoviakennymu;-)). 3. seriálová série Téma: Datumodeslání: Teorie čísel ½ º Ù Ò ¾¼¼ Najdi všechny dvojice celých čísel a, b, která splňují a 3 = b 3 +4b 2 +4b+2.
6 Najdi všechny trojice x, y, z celých čísel, které řeší rovnici x 2 + y 2 =11z 2. Najdi všechna celočíselná řešení a, b, c rovnice a 2 +2b 2 =3c 2. Řešení 3. seriálové série 7. úloha Najdi všechny dvojice celých čísel a, b, která splňují a 3 = b 3 +4b 2 +4b+2. Idea řešení tkví v použití Tvrzení o po sobě jdoucích mocninách, o němž jste se dočetli v posledním díle seriálu. Nuže zkoumejme tedy, pro která b platí nerovnosti (b+1) 3 < b 3 +4b 2 +4b+2 <(b+2) 3. Protaková bnebudevýraz b 3 +4b 2 +4b+2zcelajistětřetímocninouceléhočísla.Prvnínerovnost je ekvivalentní s nerovností b 2 + b+1 >0, která platí pro každé b, jak se snadno sami přesvědčíte. Druhá nerovnost po roznásobení a ekvivalentních úpravách přejde v b 2 +4b+3 >0, kteráplatípro b (, 3) ( 1, ). Ukázalijsme,žejediněpokud b { 3, 2, 1},můžemítdanárovniceřešení.Tytopřípady ručně prozkoušíme a získáme dvě řešení(1, 1),( 1, 3). 8. úloha Najdi všechny trojice x, y, z celých čísel, které řeší rovnici x 2 + y 2 =11z 2. Jesnadnévidět,že x=y= z=0jeřešení.dálevyloučímevšechnaostatnířešenínekonečným sestupem. Všimnisi,žeje-li z=0,taknutněužjedinétakovéřešenímusíbýtdřívepopsanétriviální. Tedyvšechnaostatnířešenímají z 0.Dáleprosporpředpokládejme,že x, y, zjeřešeníúlohy, že z 0.Bezújmynaobecnostimůžemenavícpředpokládat,že x, yazjsounezáporná.
7 Podívejme se na zadanou rovnici modulo 4. Víme, že možné kvadratické zbytky modulo 4 jsoujedině0a1.tedypravástranamáhodnotu0nebo3(modulo4).vpřípadě z 2 1(mod4) řešíme rovnici x 2 + y 2 3 (mod4), která zřejmě nemá řešení, protože z kvadratických zbytků může levá strana nabývat pouze hodnot 0,1nebo2.Tedynutněplatí4 z 2,tj.2 z.řešímekongruenci x 2 + y 2 0 (mod4). Tamázpodobnéhodůvodujakovýšejedinéřešenímodulo4,ato x 2 y 2 0(mod4),tj. 2 x, y.nechťtedy x=2x 1, y=2y 1 a z=2z 1,pakpodělenímpůvodníkongruencečtyřmi: (2x 1 ) 2 +(2y 1 ) 2 =11(2z 1 ) 2 x y2 1 =11z2 1 dostanememenšířešení x 1, y 1 a z 1.Taktomůžemepostupovatindukcí,čímždostanemeostře klesajícínekonečnouposloupnostřešení(x n, y n, z n) n=1.avšaktřeba(xn) n=1 jenekonečnáostře klesající posloupnost přirozených čísel. Taková nemůže existovat, a tedy dostáváme spor. Úlohamátedyjediné(triviální)řešení x=y= z=0. Určitě tě zarazila na první pohled volba modulu. Proč vzít zrovna 4? Důvod není skoro žádný, stejný postup by fungoval třeba i pro 11, jen by se muselo rozebírat více kvadratických zbytků. Naprotitomu4jepřecejennejlepšímodulprotutoúlohu 2,protožeceléřešenífungujenejenpro rovnici x 2 + y 2 =11z 2,aleiprolibovolnourovnicitvaru x 2 + y 2 =(4k+3)z 2,kde kjedané celé číslo. 9. úloha Najdi všechna celočíselná řešení a, b, c rovnice a 2 +2b 2 =3c 2. Budeme postupovat podobně jako při řešení vzorové úlohy v poslední sekci seriálu, místy ale budeme postupovat již trochu svižněji než předtím.(: Pokud by ti toto řešení přišlo nesrozumitelné, může ti pomoci, pokud si napřed přečteš řešení zmíněné vzorové úlohy. Pokud c=0,dostávámejedinéřešení(0,0,0);dálepředpokládejme,že c 0.BÚNOmůžeme předpokládat, že čísla a, b, c jsou po dvou nesoudělná když najdeme všechna nesoudělná řešení, budekaždéřešenítvaru(ka, kb, kc)pronějaké k Nanesoudělnéřešení(a, b, c)(rozmyslisi, žetotižnsd(a, b, c) = NSD(a, b) = NSD(b, c)).budeme-liuvažovatik < 0,můžemenavíc předpokládat,že c >0.Označme x=a/c, y=b/c;vidíme,že(x, y)jeracionálníbodelipsy x 2 +2y 2 =3. A=(1,1)jeracionálníbodnatétoelipse,všechnyracionálníbodypakdostaneme jako průsečíky elipsy s racionálními přímkami procházejícími bodem A. Rovnicepřímkyjetvaru x=q, q Qnebo y=kx+l, k, l Q.Vprvnímpřípaděmáme q=1(abybod Aleželnapřímce),kroměbodu Ajejedinýprůsečíkbod(1, 1). 2 Souvisítosesoučtemdvoudruhýchmocnin:kdybysespokoušelřešitrovnici x 2 + y 2 = a sparametrem a N,pakbysbrzopřišelnato,žetuvýznamnourolihrajeprávěmodul4,který tiukáže,žepročísla atvaru4k+3danárovnicenemážádnéceločíselnéřešení.
8 Vedruhémpřípaděmusíbýt l =1 k.dosadíme-lihodnotu y = kx+1 kdorovnice elipsy,poúpravědostaneme,že x-ovésouřadniceprůsečíkůsplňujírovnici(2k 2 +1)x 2 +4k(1 k)x+(2k 2 4k 1)=0.Jedenzkořenůodpovídáznámémuprůsečíku A,tedy x=1.druhý kořen rpaksnadnodopočítámezviètovýchvztahů: 3 xr= 2k2 4k 1 2k 2,čili r= 2k2 4k k 2.Druhá +1 souřadnicehledanéhoprůsečíkujepak s=kr+1 k= 2k2 2k+1 2k Zjistili jsme tedy, že množina všech racionálních bodů na kružnici k je j 2k 2 «ff 4k 1 M= 2k 2, 2k2 2k k 2 : k Q {(1, ±1)}. +1 Těmto bodům zpětně odpovídají řešení zadané rovnice, pojďme je tedy spočítat! k je racionálníčíslo,můžemehotedynapsatvetvaruzlomku k=u/v,kde u Z, v N,(u, v)=1.pak a c = x= 2k2 4k 1 2k 2 = 2u2 4uv v u 2 +v 2 a b c = y= 2k2 2k+1 2k 2 = 2u2 2uv+v u 2 +v 2.Užužbychomchtěli říct,že a=2u 2 4uv v 2, b= 2u 2 2uv+ v 2 a c=2u 2 + v 2,tobyalebylachyba nesmíme totiž zapomenout na to, že nás zatím zajímají jenom nesoudělná řešení. Zkusmetedyurčitnejvětšíhospolečnéhodělitele Dčísel a 0 =2u 2 4uv v 2 a c 0 =2u 2 +v 2. Pokud D 1,existujeprvočíslo p,kterédělí D,atedyia 0 a c 0. ppakmusídělitisoučettěchto dvoučísel,cožje4u(u v).tedy p 4nebo p unebo p u v. Vprvnímpřípadězjevně p=2. Pokud p u,paktaké pdělí v 2 (protože p c 0 =2u 2 + v 2 ),atedy pmusídělit v,cožjespor snesoudělností uav. Konečněpokud p u v,máme u v (mod p),atedyvztah p c 0 můžemepřepsatjako 3u 2 2u 2 + v 2 0(mod p).tedy p 3u 2.Podlepředchozíhoodstavce pnedělí u,tudížnutně p 3ap=3. Zjistilijsme,že Dmohoudělitpouzeprvočísla2a3;nechť D=2 m 3 n pro m, n N.Vidíme, že2dělí D,právěkdyž2dělí v.kdyby4dělilo D,pakbybylo vsudéac 0 0(mod4).Pak ale umusíbýtliché(u, vjsoutotižnesoudělná)aplatí c 0 =2u 2 + v =2(mod4), cožodporuje c 0 0(mod4).Zjistilijsme,žepokudje vliché,je m=0apokudje vsudé,je m=1. Posviťme si ještě na zoubek trojce z prvočíselného rozkladu čísla D: Při zkoumání obecného pjsmeviděli,že p=3 Dsemůžestát,jenpokud u v (mod3).pokudtotoplatí,taknaopak opravdu3dělí a 0 a c 0.Protožejsou u, vnesoudělná,nemohoubýtobědělitelná3.zbýváještě zjistitexponent nvtomtopřípadě.předpokládejme,že9dělí D.Pak9dělí a 0 + c 0 =4u(u v). Jelikož3nedělí4u,je9nesoudělnés4u,takženutně9dělí u v.vidíme,žedokonce u v (mod9).pakalemáme0 c 0 =2u 2 + v 2 3u 2 (mod9),tedy9 3u 2,neboli3 u 2,cožnení možné,protože3nedělí u.můžemetentoodstavecuzavřítzjištěním,žepokud u v (mod3), je n=0,apokud u v( 0)(mod3),je n=1. Spočetlijsmetedyhodnotu Dvzávislostina uav: D=1,pokudje vlichéau v (mod3); D=2,pokudje vsudéau v (mod3); D=3,pokudje vlichéau v (mod3); D=6,pokudje vsudéau v (mod3). PodlepoznámkyvzávorcevdruhémodstavcivyjdeNSD(b 0, c 0 )úplněstejně.všechnanesoudělnářešenítedyjsou a=(2u 2 4uv v 2 )/D, b=( 2u 2 2uv+v 2 )/Dac=(2u 2 +v 2 )/D, 3 Promatematickéblahočtenářovotentokrátepoužívámedruhýzevztahůnamístotoho,jenž jsme použili v seriálu.
9 kde u Z, v N,(u, v)=1adzávisína u, vtak,jakjsmepředchvílíspočítali.nemělibychom samozřejmězapomenoutaninařešení a=1, b=±1, c=1odpovídajícíbodům(1, ±1). Úplně všechna řešení pak jsou a = k(2u 2 4uv v 2 )/D, b = k( 2u 2 2uv+v 2 )/D a c=k(2u 2 + v 2 )/D,kde u Z, v N,(u, v)=1, k Z,aa=k, b=±k, c=k, k Z(pro k=0 dostáváme triviální řešení(0, 0, 0)). Amámetozasebou.(:Nazávěrjižjenotázkaprozvídavéčtenářky:Kdejsmevřešení použili počáteční předpoklad, že c > 0?
Jak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
Více1. podzimní série. KdyžseLenkatuhleozkouškovémnudila,přišlanato,žepokudproreálnáčísla a, b, cplatí nerovnosti
1. podzimní série Téma: Triky Datumodeslání: ½½º Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Miško vymyslel trik! Nejdříve požádá Tomáška, ať si vybere osmičku nebo devítku. Potom mu řekne, aby zvolené číslo vynásobil jakýmkoliv
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Více3. série. Nerovnosti. Téma: Termínodeslání:
Téma: Termínodeslání: 3. série Nerovnosti º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Óݵ Nechť a, b jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníka, c buď délka jeho přepony. Dokažte, že prokaždépřirozenéčíslo nvětšíneždvaplatí c
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 31. října 2011: Hlubší věty o počítání modulo 1/18 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceMFF UK Praha, 22. duben 2008
MFF UK Praha, 22. duben 2008 Elektronický podpis / CA / PKI část 1. http://crypto-world.info/mff/mff_01.pdf P.Vondruška Slide2 Přednáška pro ty, kteří chtějí vědět PROČ kliknout ANO/NE a co zatím všechno
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceDůkazové metody v teorii čísel
Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách
Více2. série. Prvočísla. Téma: Datumodeslání: Dokažte,žekaždéprvočíslovětšínež5jdepsátvetvaru6k+1nebo6k 1,kde kjenějaké přirozené číslo.
2. série Téma: Datumodeslání: Prvočísla º Ð ØÓÔ Ù ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Dokažte,žekaždéprvočíslovětšínež5jdepsátvetvaru6k+1nebo6k 1,kde kjenějaké přirozené číslo. ¾º ÐÓ Ó Ýµ Mějme libovolné přirozené číslo n,
VíceÚlohy II. kola kategorie A
5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného
VícePrincipy indukce a rekurentní rovnice
Principy indukce a rekurentní rovnice Jiří Velebil: X01DML 22. října 2010: Indukce 1/15 Příklad Místností rozměru n budeme rozumět šachovnici rozměru 2 n 2 n, ze které je jedno (libovolné) pole vyjmuto.
VíceTrocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA
O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA Prezentace pro přednášku v rámci ŠKOMAM 2014. Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože Dělitelnost na množině celých
VíceJihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı
Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................
Více1. série. Iracionální čísla. Téma: Datumodeslání: Dokažte, že 0, (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální.
Téma: Datumodeslání: 1. série Iracionální čísla ¾½º Ò ½ ½º ÐÓ Ó µ Dokažte, že 0,12345678910111213... (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální. ¾º ÐÓ Ó µ Dokažte,že 2+ 3+ 4+ 5jeiracionálníčíslo.
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
Více8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem. doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc.
Bezpečnost 8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů
Více2. jarní série. Rovnice a soustavy
Téma: Datumodeslání:. jarní série Rovnice a soustavy ½ º ÞÒ ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Kája našla na kraji svého sešitu napsanou tuto soustavu pěti rovnic: ab=, bc=, cd=, de=4, ea=6. Pomoztejíjivyřešit,tzn.najdětevšechnypěticečísel
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceAlgebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant
Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VíceRelativní Eulerova funkce
MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Relativní Eulerova funkce J. Nečas Abstract. The article deals with the sequence of ratios between values of the Euler function of the natural number n and that number n. Klíčová
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. Určete počet cest délky 14, které vedou po hranách sítě na obrázku z bodu do bodu. élka každé hrany je jedna.. Je dán rovnoběžník,
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
VícePokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie RSA doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů Informatika pro
VíceZbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22
Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky 2009 23. 27.2.2009 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky 23. 27.2.2009 1 / 22 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceČínská věta o zbytcích RSA
Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 11:20 Obsah
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MA) Miroslav Vlček, Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. čtvrtek 21.
Čínská věta o zbytcích Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MA) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MA čtvrtek 21. října 2010 verze:
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VíceŘetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve
Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat
VíceN Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že
Jak rozeznáváme nekonečné množiny. Nejprve něco o zobrazeních: Nášvýkladbudezaložennaintuitivnípředstavězobrazení f: A Bjakoněčeho,cokaždému prvku a Apřiřazujenějakýprvek f(a) B. Mějmezobrazení f: A B.Řekneme,že
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceAlgebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant
Algebra 2 Teorie čísel Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Abstrakt. Na této přednášce se
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
Více1. seriálová série. 2. seriálová série
. seriálová série Téma: Kongruence Termínodeslání: ½¾º Ð Ò ½ ½º ÐÓ Nechť pjelichéprvočísloa0 < k < p,pak(p k)!(k )! ( ) k (mod p).dokažte. ¾º ÐÓ Nechť(m, n)=.pak m ϕ(n) + n ϕ(m) (mod mn).dokažte. º ÐÓ
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceV každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2
Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Více1. podzimní série. Zlomky
. podzimní série Téma: Datumodeslání: Zlomky º Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Třem malým PraSátkům, Myregovi, Vejtkovi a Šavlíkovi, se zjevil sáček plný bonbonů. Dohodli se,žesijerozdělí,avšichništěstímspokojeněusnuli.vnociseprvnívzbudilmyreg.když
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :01
Čínská věta o zbytcích Mocnění Eulerova funkce Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG ponděĺı
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
Více1. série. Různá čísla < 1 44.
série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Víceonline prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online
Více3. podzimní série. ... {z }
3. podzimní série Téma: Kombinatorika Datumodeslání: º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Monča potřebuje zatelefonovat Pepovi, avšak nemá u sebe svůj telefonní seznam PraSátek. Zná však předvolbu 723 a vzpomněla si,
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Každé pole tabulky 68 68 máme obarvit jednou ze tří barev (červená, modrá, bílá). Kolika způsoby to lze učinit tak, aby každá trojice
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme
VícePovídání ke třetí sérii
Povídání ke třetí sérii Třetí série je věnována diofantickým rovnicím. To jsou zkrátka rovnice, u kterých hledáme řešení jen mezi celými čísly. 1 Diofantickou rovnicí n-tého stupně rozumíme rovnici P(x
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Vícez nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).
0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceHypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VícePokud není řečeno jinak, pro zápis čísel používáme desítkovou soustavu. V celé sérii jsou proměnné
Cifry 3. jarní série Termín odeslání: 10. dubna 2017 Pokud není řečeno jinak, pro zápis čísel používáme desítkovou soustavu. V celé sérii jsou proměnné k a n přirozená čísla. Úloha 1. Nechť S(k) značí
Více