2. jarní série. Rovnice a soustavy

Transkript

1 Téma: Datumodeslání:. jarní série Rovnice a soustavy ½ º ÞÒ ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Kája našla na kraji svého sešitu napsanou tuto soustavu pěti rovnic: ab=, bc=, cd=, de=4, ea=6. Pomoztejíjivyřešit,tzn.najdětevšechnypěticečísel a, b, c, d, e,kterésoustavusplňují. ¾º ÐÓ Ó Ýµ Ferda, Pepův bratranec z druhého kolena, letos oslaví tolikáté narozeniny, kolik je ciferný součet roku, ve kterém se narodil. Kolikpak mu bude? Můžete předpokládat, že Ferda není starší než 00 let. º ÐÓ Ó Ýµ Najdětevšechnytrojiceprvočísel p, q, r,prokteréplatí p q +=r. Vyřešte soustavu rovnic a 5 = b+b 5, b 5 = c+c 5,. y 5 = z+ z 5, z 5 = a+a 5. Dokažte,žepokudmárovnice x + px+q=0sproměnnou xnějakékladnéreálnéřešení x 0, pak pro toto řešení musí platit 4qx 0 p. ŠnEk zadal Rasťovi netradiční soustavu nekonečně mnoha rovnic. Rasťo měl najít taková x, y R, aby rovnice π π sin a=xsin + a + ysin 6 + a bylasplněnáprokaždé a R.Dokážetemupomociasoustavuvyřešit? Po dlouhých letech na Matfyzu Franta pochopil, že algebra je ten obor, který chce studovat, a tak si cvičně vyřešil soustavu a b c =abc, a =(a+b+c),

2 kde a, b, cjsoureálnáčísla.vyřeštejiivy! Okladnýchreálnýchčíslech a, b, c, dvíme,žesplňujívztah ab+cd=(a+b)(c+d).dokažte,že potom + max(a, b, c, d) 4 (a+b+c+d). Řešení. jarní série. úloha Kája našla na kraji svého sešitu napsanou tuto soustavu pěti rovnic: ab=, bc=, cd=, de=4, ea=6. Pomoztejíjivyřešit,tzn.najdětevšechnypěticečísel a, b, c, d, e,kterésoustavusplňují. Našou úlohou je vyriešiť sústavu rovníc. Najprv vyčíslime jednu neznámu, napríklad a, a potom pomocou rovníc dopočítame hodnoty ostatných neznámych. Všetky hľadané hodnoty sú nenulové, a preto môžeme rovnice medzi sebou ľubovolne kombinovať. Vynásobime prvú, tretiu a piatu rovnicu a tento súčin následne vydelíme druhou a štvrtou rovnicou: `a = (ab)(cd)(ea) = 6 = 9 (bc)(de) 4 4. Poodmocnenízískamedvakorene a,takžecelkovodostávamedveriešenia: j h i h [a, b, c, d, e],,,,4, i ff,,,, 4.. úloha Ferda, Pepův bratranec z druhého kolena, letos oslaví tolikáté narozeniny, kolik je ciferný součet roku, ve kterém se narodil. Kolikpak mu bude? Můžete předpokládat, že Ferda není starší než 00 let. Hnednazačátkusimusímeuvědomit,žeúlohasebudeřešitzvlášťprodvapřípady,atozda seferdanarodilpřed,neboporoce000. () Letopočetmátvar9xy.Hledanývěkje00 9xy=0 0x y.rovnici0 0x y=+9+x+yupravímenatvar 00=x+y. Víme,že x, y < 0.Vidíme,žečísloxmusíbýtsudé,protojeixsudé.Protoženavíc 00 x = y <0,cožpoúpravědává x > 0 00 =7,jenutně x=8.dopočteme y=6. Rok narození Ferdy je 986, oslaví 4. narozeniny.

3 () Letopočetmátvar00z(pro00nelze).Hledanývěkje00 00z=0 z.zrovnice 0 z=+zspočteme z=4.druhýmožnýroknarozeníje004,oslavilby6.narozeniny.. úloha Najdětevšechnytrojiceprvočísel p, q, r,prokteréplatí p q +=r. Rozebermedvapřípadypodleparity r.bude-li rsudé,pak r=,protožejejedinésudé prvočíslo.zadanárovnicejepaktvaru p q =,atedynemážádnéprvočíselnéřešení. Naopak,bude-li rliché,pak p q jesudé,tedy pjesudé,neboli p=.řešímetedyrovnici q +=r.pokudbybylo q=,pakdostaneme r=5,amámejednořešení(,,5).pokudvšak bude qliché,paksedázapsatvetvaru q=k+pronějaké k {0,,,... },atedyřešíme rovnici k+ +=r. Dokážemeindukcípodle k,ževýraznalevéstranějevždydělitelnýtřemi.pro k=0máme.nynípředpokládejme,že k+ +=lpronějaké l Nadokažme,že (k+)+ +. Počítejme: (k+)+ += k+ +=4 k+ +=4( k+ +) =4(l) =(4l ). Proto (k+)+ +=r.jelikožtedyvždydělí r,musíbýt r=.pakdostaneme q=, což není prvočíslo. Jediná trojice prvočísel vyhovující zadané rovnici je(,, 5). 4. úloha Vyřešte soustavu rovnic a 5 = b+b 5, b 5 = c+c 5,. y 5 = z+ z 5, z 5 = a+a 5. Pokud všechny rovnice sečteme, získáme následující rovnost: a 5 + b 5 + +z 5 = a+b+ +z+ a 5 + b 5 + +z 5, 0=a+b+ +z. Dokážeme,žeztétorovnostiužplyne,žejedinéřešenísoustavyje a=b= =z=0. Prosporpředpokládejme,žeexistujeřešení,vekterémjealespoňjednozčísel a, b,..., z(búno třeba z,soustavajecyklická)kladné.ze z >0apředposlednírovniceplyne y 5 = z 5 + z >0, odkud dostáváme y > 0(pátá mocnina zachovává znaménko). Stejným argumentem(použitím předpředposlednírovnice)obdržímezy>0inerovnost x >0,ztézaseplyne w >0atd.atd. ažpo a > 0.Součetkladnýchčíseljeovšemkladnéčíslo(a+b+ +z > 0),cožjespor spředpokladem a+b+ +z=0.vpřípadě z <0postupujemeanalogicky zjistíme,že y <0 atd.jedinémožnéřešenísoustavyjetedy a=b= =z=0,kterérovnicímzřejměvyhovuje.

4 Jiné řešení Předpokládejme,žeje a >0,atedyjsoupodleúvahvýšeivšechnyostatníneznámékladné. Zprvnírovnice a 5 = b+b 5 plyne a 5 > b 5 (a 5 jeoproti b 5 většíokladnéčíslo b),atedyia > b. Toutéžúvahouprodruhourovnicizískámenerovnost b > c,protřetípak c > datd.atd.až zposlednírovnicezjistíme,že z > a.taktojsmesestaviliřetěznerovností a > b > > z > a, kterýovšemvedekesporu a > a.případ a <0sezaserozeberevelmipodobně.Musítedyplatit a=0,zčehožjižsnadnozískámejedinéřešení a=b= =z=0. 5. úloha Dokažte,žepokudmárovnice x + px+q=0sproměnnou xnějakékladnéreálnéřešení x 0, pak pro toto řešení musí platit 4qx 0 p. Předpokládejme,že x 0 jenějakéreálnéřešenírovnice x + px+q =0.Pakje x 0 rovněž řešenímkvadratickérovnice x 0 x +px+q=0.abymělakvadratickárovnicereálnéřešení,musí být její diskriminant větší nebo roven 0, v našem případě tedy z čehož ihned plyne dokazovaná nerovnost. D=p 4qx 0 0, 6. úloha ŠnEk zadal Rasťovi netradiční soustavu nekonečně mnoha rovnic. Rasťo měl najít taková x, y R, aby rovnice π π sin a=xsin + a + ysin 6 + a bylasplněnáprokaždé a R.Dokážetemupomociasoustavuvyřešit? Znekonečněmnoharovnicvyberemedvěspeciální.Jednuzískámedosazením a = π a druhoudosazením a= π 6.Prvnírovnicenámdávápodmínku a druhá dává podmínku =sin π = x 0+ysin π = y y= =sin π π = xsin + y 0= 6 x x=. Pokudmánějakádvojicečísel x, yřešitvšechnekonečněmnohorovnic,můžetobýtjedině tato, ale potřebujeme ještě ověřit, že nalezená dvojice skutečně řeší všechny rovnice. K tomu námbudestačitrovnostsin( π + a)=cos aaznámývztahsin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. Upravujme: π sin + a + π sin 6 + a = cos a+ «cos a+ sin a =sin a, čímž jsme ověřili, že nalezená dvojice je skutečně řešením.

5 7. úloha Po dlouhých letech na Matfyzu Franta pochopil, že algebra je ten obor, který chce studovat, a tak si cvičně vyřešil soustavu kde a, b, cjsoureálnáčísla.vyřeštejiivy! a b c =abc, a =(a+b+c), Podle Dominika Lachmana: První rovnici si upravíme do vhodného součinového tvaru. a (b+c) +b c+bc =abc, (a b c) a + a(b+c)+(b+c) +bc(b+c a)=0, / (a b c) a + b + c + ab+ac bc =0, (a b c) (a+b) +(a+c) +(b c) =0. Ze součinového tvaru je vidět, že rovnost nastane právě tehdy, je-li splněna aspoň jedna zpodmínek a=b+cnebo a=b=c.tytopodmínkyrozeberemezvlášť..podmínka: a=b+c Podosazenídodruhéhovztahuzezadánídostanemerovnici a =4a,jejížkořenyjsou0a4. Vztahy0=a=b+ca4=a=b+curčujířešení(0, c, c)a(4,4 c, c),kde c R.podmínka: a=b=c Dosazenímdodruhérovnicezezadánídostanemerovnici a = a,kterévyhovují0a. Řešenítétovětve(přiaplikování a=b=c)jsou:(0,0,0)a(,,). Zkoušky nejsou nutné, protože řešení vždy splňují některou z podmínek a = b+c nebo a=b=c,čímžvyhovujíprvnírovnicizezadání,adálesplňujíodvozenévztahy a =4anebo a = a,takževyhovujíidruhérovnici.řešení(0,0,0)jejižobsaženov(0, c, c). Závěr:množinavšechřešeníje {(,,),(0, c, c),(4,4 c, c)}, c R. 8. úloha Okladnýchreálnýchčíslech a, b, c, dvíme,žesplňujívztah ab+cd=(a+b)(c+d).dokažte,že potom + max(a, b, c, d) 4 (a+b+c+d). První řešení(podle Ivana Borsenca): SečtenímAG-nerovností(a+b) 4aba(c+d) 4cddostaneme (a+b) +(c+d) 4(ab+cd)=4(a+b)(c+d),

6 což upravíme nejdříve na rozdíl čtverců a následně na součin dvou závorek. (a+b) (c+d) (c+d) 0, (a+b) (+ )(c+d) (a+b) ( )(c+d) 0. Bezújmynaobecnostimůžemepředpokládat a+b c+d >( )(c+d),cožjeekvivalentní s tím, že pravá závorka z předchozího součinu je kladná. Tím pádem je druhá závorka nezáporná: Přepišme si nerovnost do podoby dostaneme požadovaný výsledek. + + (a+b) (+ )(c+d) 0. + (a+b) c+d.vkombinacisnerovností max(a, b, c, d) a+b max(a, b, c, d) a+b+ max(a, b, c, d) max(a, b, c, d) Druhé řešení(podle Radka Marcini): Nejprve označíme s=a+b+c+d, + + (a+b) a+b+c+d, (a+b+c+d), (a+b+c+d). f= a+b a g= c+d. Ztohotoihneddostáváme f+ g= s,aprotožejsou f,resp. garitmeticképrůměry aab, resp. cad,platínerovnost max(a, b, c, d) max(f, g). Dále využijeme dvě AG-nerovnosti. f= a+b ab a g= c+d cd, f + g ab+cd. Nyní vezmeme předpoklad (a+b)(c+d) = ab+cd ze zadání a pomocí něj a předchozí nerovnosti vytvoříme nerovnici, ve které vystupují pouze f a g. f + g ab+cd=(a+b)(c+d)=(f)(g)=4fg, (f+ g) 6fg. Dosadíme f+ g= s. s s 4 =6f f.

7 Z toho získáme po úpravě kvadratickou nerovnici 6f fs+ s 4 0 a pomocí této kvadratické nerovnice získáme vztah mezi f a s. f, = s ± 9s 6s ± = s 4 + f s 4 nebo f s 4. Druhý případ se na první pohled tváří nepříjemně, jenže z něj obratem dostaneme první případ(tentokrát v proměnné g). g= s f s s 4 Při použití nerovnosti ukázané na začátku dostáváme což jsme chtěli dokázat. = s max(a, b, c, d) max(f, g) s ,