Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Transkript

1 Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 19

2 Logika II. Tautologie. Kontradikce. Splnitelná formule. Tautologický důsledek. Logicky ekvivalentní formule. Základní zákony výrokové logiky. Vzájemná převoditelnost logických spojek RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 19

3 Tautologie, kontradikce Definice FormuleA je tautologie, právě když pro každé ohodnocení v je v(a) = 1. Formule A je kontradikce, právě když pro každé ohodnocení v je v(a) = 0. Formule A je splnitelná, právě když alespoň pro jedno ohodnocení v je v(a) = 1. Příklady: 1 A A 2 A A 3 A 4 A B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 19

4 Tautologie, kontradikce, splnitelnost Tvrzení Negace tautologie je kontradikce. Příklady: Negace kontradikce je tautologie. Tautologie je splnitelná. Kontradikce není splnitelná. 1 A A 2 (A A) 3 A A 4 (A A) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 19

5 Tautologie, kontradikce, splnitelnost Definice Do jazyka výrokové logiky zavedeme nové symboly T pro tautologii a pro kontradikci. Tvrzení Pro jakoukoli formuli A platí: A A T Dokažte! (A T ) A (A T ) T (A ) (A ) A RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 19

6 Logicky ekvivalentní formule, tautologický důsledek Definice Formule A, B jsou logicky ekvivalentní, jesliže pro každé ohodnocení v je v(a) = v(b). Formule B je tautologickým důsledkem formule A, jestliže pro každé ohodnocení v, pro které v(a) = 1, je i v(b) = 1. Píšeme A = B Například: A B = A B, A B = B A, A B, B A jsou logicky ekvivalentní formule. A B A B B A B A A B Ale také B = A B, A = A B, A B = B RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 19

7 Logicky ekvivalentní formule, tautologický důsledek Věta Formule A, B jsou logicky ekvivalentní, právě když A B je tautologie. A = B, právě když A B je tautologie. A = B, právě když A B je kontradikce. Dokažte! (A B) (A B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 19

8 Logicky ekvivalentní formule, tautologický důsledek Věta Jestliže v dané formuli A nahradíme její podformuli formuĺı s ní logicky ekvivalentní, dostaneme formuli logicky ekvivalentní s A. Například: (A B), ( B A) jsou logicky ekvivalentní formule. (A (C D)), ( (C D) A) jsou též logicky ekvivalentní. Cvičení. Rozhodněte, zda a kde je mezi následujícími formulemi vztah tautologického důsledku A, B, A B, A B, T,. = A B = A = A B = T. = A B = B = A B = T. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 19

9 Logické zákony I. Věta Následující formule jsou tautologie. A A - zákon vyloučeného třetího (A A) - vyloučení sporu A A - zákon dvojí negace Například: Spím nebo nespím. - S S Není pravda, že zároveň spím a nespím. - (S S) Není pravda, že nespím. Spím. - S S - logicky ekvivalentní výroky RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 19

10 Logické zákony II. (Algebraické vlastnosti spojek) Věta Následující formule jsou tautologie. (A A) A (A A) A (A B) (B A) - komutativní zákon pro (A B) (B A) - komutativní zákon pro ((A B) C) (A (B C)) - asociativní zákon pro ((A B) C) (A (B C)) - asociativní zákon pro ((A B) C) ((A C) (B C)) - distributivní zákony ((A B) C) ((A C) (B C)) (A (A B)) A - zákony absorpce (A (A B)) A RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 19

11 Závorky a asociativní zákon Asociativní zákony (A (B C)) ((A B) C) (A B C) (A (B C)) ((A B) C) (A B C) Ve formuĺıch, v nichž se vyskytují konjunkce nebo disjunkce v po sobě následujících úrovních, můžeme závorky vynechat. Například též: (A (B (C D))) (A B (C D)) Avšak nikoli zde: (A (B (C D))) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 19

12 Distributivní zákon Distributivní zákony ((A (B C)) ((A B) (A C)) ((A (B C)) ((A B) (A C)) ((A B) (C D)) ((A (C D)) (B (C D))) ((A C) (A D) (B C) (B D)) ((A 1 A 2... A n ) (B 1 B 2...B m )) ((A 1 B 1 ) (A 1 B 2 )... (A n B m )) ((A B) (C D)) ((A (C D)) (B (C D))) ((A C) (A D) (B C) (B D)) ((A 1 A 2... A n ) (B 1 B 2...B m )) ((A 1 B 1 ) (A 1 B 2 )... (A n B m )) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 19

13 Logické zákony III. Věta Následující formule jsou tautologie. (A B) ( A B) - de Morganovy zákony (A B) ( A B) (A B) ( B A) - zákon kontrapozice (A B) ( A B) - implikace pomocí disjunkce (A B) (A B) - implikace pomocí konjunkce (A B) ((A B) (B A)) - význam ekvivalence RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 19

14 Implikace Platí pro implikaci asociativní zákon? Je to tautologie? (A (B C)) ((A B) C) Nikoliv, zkusme v(a) = 0, v(b) = 1, v(c) = 0)). Tvrzení Následující formule jsou logicky ekvivalentní. 1 A B 2 A B 3 (A B) 4 B A Například toto jsou logicky ekvivalentní formule: Jestli se stala vražda, pak vrahem je zahradník. Nestala se žádná vražda nebo je vrahem zahradník. Není pravda, že se stala vražda a vrahem není zahradník. Jestliže zahradník není vrahem, pak se nestala vražda. (V Z) ( V Z) (V Z) ( Z V ). RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 19

15 Ekvivalence Je ekvivalence asociativní, mohu vynechat závorky? ((A B) C) (A (B C)) (A B C) Ano, je. Tvrzení Následující formule jsou logicky ekvivalentní. 1 (A B) 2 (A B) (B A) 3 (A B) ( A B) 4 (A B) ( A B) 5 (A B) ( A B) Důkaz: (A B) ((A B) (B A)) (( A B) ( B A)) (( A B) ( A A) (B B) (B A)) ((A B) ( A B)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 19

16 Logické zákony IV. Věta Následující formule jsou tautologie. ((A B) A) B - Modus ponens ((A B) B) A - Modus tollens (((A B) (B C)) (A C) - hypotetický sylogismus ((A B) A) B - disjunktivní sylogismus ((A B) (C D) (A C)) (B D) - konstruktivní dilema ((A B) (C D) ( B D)) ( A C) - destruktivní dilema RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 19

17 Vzájemná převoditelnost logických spojek Vyjádření ostatních spojek pomocí, : (A B) ( A B) (A B) ( A B) (A B) ( ( A B) (A B)) Vyjádření ostatních spojek pomocí, : (A B) (A B) (A B) ( A B) (A B) ( (A B) (B A)) Vyjádření ostatních spojek pomocí, : (A B) ( A B) (A B) (A B) (A B) ( (A B) (B A)) Dokažte! RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 17 / 19

18 Shefferův symbol a Peirceova šipka Tvrzení Všechny logické spojky lze vyjádřit pomocí Shefferova symbolu NAND. (A B) (A B) ( A B) A ( A A) (A A) (A B) ( A B) ( A B) ((A A) (B B)) (A B) ( A B) ( A B) ( A B) ((A B) (A B)) digitální elektronika, NAND flash memory, stavba procesorů. Úkol na cvičení: Napište a zdůvodněte, jak se vyjádří ostatní logické symboly pomocí Peirceovy šipky NOR! (A B) (A B) ( A B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika II. BI-MLO, ZS 2011/12 18 / 19