MASARYKOVA UNIVERZITA. Nadaní žáci v matematice

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY Nadaní žáci v matematice Bakalářská práce Brno 2017 Vedoucí práce: PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. Vypracovala: Hana Hartová

2 Bibliografický záznam HARTOVÁ, Hana. Nadaní žáci v matematice: bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2017, Vedoucí bakalářské práce PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.

3 Anotace Bakalářská práce Nadaní žáci v matematice se zabývá teoretickými poznatky o nadaných dětech. Vymezuje základní pojmy o nadání, jako jsou definice nadání, rozdíl mezi nadáním a talentem, druhy nadání, kritéria nadání, jak se nadané děti vyznačují a jak je poznáme. Dále se práce zabývá možnostmi rozvoje nadaných dětí, motivací v matematice a ukázkou několika příkladů pro tyto žáky. Klíčová slova Nadání, žák, dítě, talent, schopnost, charakteristika, projev, identifikace, podpora, matematika, hry, příklady, zájem, soutěž

4 Annotation Bachelor thesis "Gifted pupils in mathematics" deals with theoretical knowledge about gifted children. It defines the basic concepts of gift, such as the definition of gift, the difference between gift and talent, kinds of gift, gift criteria and how can gifted pupils be distinguished and how they differ from others. The thesis deals with the possibilities of the development of gifted children, motivation in mathematics and demonstration of several examples for these pupils. Keywords Talent, pupil, children, knack, ability, characteristic, disply, identification, support, mathematics, games, excercise, interest, competition

5 Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. V Brně dne Hana Hartová

6 Poděkování Na tomto místě bych poděkovala PhDr. Jiřině Novotné, Ph.D. za vedení mé bakalářské práce, za všechny rady a připomínky při psaní této práce a za vstřícnost a ochotu při konzultacích.

7 Obsah Úvod Nadání Definice nadání Talent nebo nadání Modely nadání Renzulliho triadický model nadání Mönksův vícefaktorový model nadání Gagného diferencovaný model nadání a talentu Sternbergův triarchický model nadání Hellerův model Druhy nadání Kritéria nadání Charakteristika nadaných dětí Kognitivní charakteristiky nadaných žáků Osobnostně-sociální charakteristiky žáků Formy projevů nadaných dětí Identifikace nadaných dětí Možnosti podpory pro rozvoj nadání Organizace podporující rozvoj nadaných Nadaní žáci v matematice Motivace nadaných žáků v matematice Matematické soutěže Zajímavé příklady pro nadané žáky Seznam použité literatury Knižní zdroje Internetové zdroje Seznam obrázků a tabulek... 67

8 Úvod V současné době se hodně hovoří o nadaných dětech. Děti mohou být nadané v mnoha směrech a v odlišných mírách. Je velice těžké tyto děti rozpoznat a odlišit hranici, kdy dítě ještě nadané je a kdy není. Existuje mnoho definic, které vymezují pojem nadaní, avšak nadání je u každého jedince individuální, a proto se toto téma stále stává více diskutabilním. Práce se zabývá teoretickými poznatky obecně o nadaných žácích. Mnoho učitelů se s nadanými žáky nikdy nesetkalo nebo se domnívají, že tyto děti žádnou speciální péči nepotřebují. Cílem práce je zvýšit informovanost ohledně tématu nadaných žáků. Učitelé i ostatní lidé by měli vědět, jakým způsobem se nadaní žáci projevují, jak se jejich nadání odlišuje od talentu a v neposlední řadě, jak s takovými žáky nadále pracovat a rozvíjet jejich nadání. Další část práce informuje o identifikaci nadaných žáků. Žáci musí projít mnoha etapami identifikačního procesu, než se jejich nadání určí. Bylo založeno několik organizací, které nadaným dětem pomáhají s problematikou ve škole nebo s možnostmi jejich rozvoje. V bakalářské práci jsou uvedeny činnosti a projekty, jimiž organizace tyto děti podporují a pomáhají. Jelikož matematické nadání bývá nejčastěji diskutovaným tématem, je v práci podrobněji rozebráno. Pro nadané žáky v matematice hraje důležitou roli motivace. Motivace podmiňuje činnost a aktivitu žáků a způsobuje tak u nadaných dětí větší chuť k učení. K možnostem dalšího vzdělávání nadaných dětí patří také matematické soutěže, které pořádají některé vzdělávací instituce a organizace. Žáci se tak mohou setkat s jinými nadanými žáky a porovnat své nadání. Tato práce uvádí výčet soutěží i s ukázkami příkladů, aby si čtenář mohl vytvořit alespoň malou představu o náročnosti podobných úloh. 7

9 1. Nadání Nadání je nejčastěji chápáno jako dar, který člověka umožňuje posunovat výše, než jsou výkony ostatních lidí. Lidé s nadáním většinou vynikají nad ostatními, a to i přes to, že daný jedinec nemusí vynakládat významné úsilí. Nadání se může projevovat v mnoha směrech. Nejčastěji bývá nadání spojováno s uměním, sportem a poté až s rozumovým nadáním. Je velice těžké rozpoznat hranici nadání. U mnoha případů je velice diskutabilní, zda je dítě ještě nadané nebo už nadané není. Podle Franze J. a kol. existují různé formy nadání. Nadání se může projevit ve čtyřech různých oblastech: oblast duševních schopností, intelektuálních výkonů, oblast tvořivosti a produktivnosti, oblast umění (ve výtvarných a múzických uměních), oblast sociální (vůdcovské kvality) Definice nadání Pokud chceme obecně definovat nadání, není to tak snadné, jak by se mohlo na první pohled zdát. Každý autor definuje pojem nadání jinak a v průběhu historie se tyto definice mění. Některé definice se dokonce prolínají. Příčinou je, že každý člověk je jiný a jiné je i jeho nadání. Každý jedinec se jinak projevuje, a i úroveň a směr jeho nadání jsou jiné. Podle H. J. Eysencka a P. T. Barreta je pojem nadání definován třemi způsoby. První definice nadání je spojována s vysokým IQ, jehož výsledky se zkoumají podle inteligenčních testů. Existuje mnoho členění nadání podle vysokého IQ. Například F. Gagné rozpracoval základní stupně nadání: mírně nadaní (IQ vyšší než 120, 10% celkové populace), středně nadaní (IQ 135, 1% celkové populace), vysoce nadaní (IQ vyšší než 145, 0,1% populace), výjimečně nadaní (IQ 155, 0,01% populace), extrémně nadaní (IQ nad 164 a tvoří pouze 0,001% celkové populace). 8

10 Dalším vymezením je, že se pojem nadání spojuje s kreativitou. Kreativita je chápána jako rys osobnosti nebo jako znak sociálně hodnotného výkonu. Třetím způsobem autoři vymezují pojem nadání jako vysoký stupeň rozvoje speciálních schopností. Další definicí, která pochází ze zasedání Columbus Group z roku 1991 je definice, která říká: Nadání je nerovnoměrný vývoj, ve kterém se kombinují zrychlené rozumové schopnosti a zvýšená intenzita k vytvoření vnitřních zkušeností a povědomí, které jsou svou kvalitou odlišné od normy. Tato nerovnoměrnost se zvyšuje spolu s vyšší intelektovou kapacitou. Tento fakt činí nadané obzvláště zranitelnými a vyžadují tak změny v rodičovské výchově, školním vzdělávání i poradenské činnosti, aby se mohli optimálně rozvíjet. Další soubor definic uvedl v 60. letech autor L. J. Lucito. Ze 113 definic pojmu nadání vytvořil toto schéma: ex-post-facto definice tyto definice vznikaly na základě proslulosti a charakteristice historicky geniálních osobností, IQ definice vznikly při vytvoření testů inteligence, nadání se vymezovalo jako hodnota IQ přesahující hranici 130, sociální definice vznikly na základě lidských činností a oblastí, ve kterých jedinec podával vysoký výkon, procentuální definice vyjadřuje pomocí procent, kolik jedinců populace se spojuje s nadanými, kreativní definice důraz na tvořivost, které si přisuzuje vyšší hodnota než inteligenci, definice nadání opíraly se o Guilfordův model struktury intelektu (jádrem nadání zde byly považovány myšlenkové operace). Mönks a Ypenburgová (2002) rozlišují čtyři různá pojetí modelů vysvětlujících nadání: Modely založené na schopnostech zdůrazňují kognitivní nebo osobnostní potenciál. Vycházejí z domněnky, že duševní (intelektuální) schopnosti lze 9

11 zjistit už v časném věku a že se v průběhu života v podstatě nemění, tzn. schopnosti jsou vrozené a stabilní. Modely kognitivních složek zaměřují se především na procesy zpracování informací. Hledají se kvalitativní rozdíly vznikající mezi informačními procesy. Mnozí navrhují místo IQ používat pojem QI (kvalita zpracování informací). Modely orientované na výkon činí rozdíl mezi vlohami a realizací vloh. Zdůrazňují činitele potřebné pro manifestaci nadání. Samotné vlohy a potenciál pro vysoký výkon nepovažují za dostatečný znak nadání. Zaměřují se na projevy neobyčejných, vysokých výkonů. Socio-kulturně orientované modely souvisejí s odlišnými hodnotami různých kultur. Vycházejí z předpokladu, že talent se může realizovat jen za vhodného spolupůsobení individuálních a sociálních faktorů. Zmíněná dělení se navzájem ovlivňují, jsou spolu propojena a některé modely není možné zařadit pouze do jedné skupiny. Nicméně alespoň rámcově dávají představu o zaměření možných definic a modelů nadání Talent nebo nadání V předchozí kapitole jsme se zabývali definicí nadání. Definice pojmu nadání, vysoké nadání a talent se často pletou nebo zaměňují. Někteří autoři užívají tyto pojmy jako synonyma. (Davis, Rimmová, 1998). Dočkal a mnozí další vysvětlují pojem vysoké nadání jako označení mimořádné schopnosti v intelektuální oblasti. Pojem talent pak vyznačují jako schopnosti ve slovesném umění, sportu, hudbě nebo ve výtvarném umění. Někteří autoři tyto pojmy zásadně odlišují. Podle jejich názoru znamená pojem vysoké nadání speciální nadání ve více oblastech a směrech, zatímco pojem talent vysvětlují jako vynikání jedince pouze v jedné z těchto oblastí (Musil, 1989). Jiní 10

12 autoři pak tyto dva pojmy rozlišují podle výsledků testů inteligence. Podle této teorie patří mezi vysoce nadané ti, kteří dosáhli nejlepších výsledků mají tak tedy nejrozvinutější stupně schopností (IQ). Ostatní, kteří těchto výsledků nedosahují a mají nižší, avšak nadprůměrné hodnoty, se pokládají za talentované (Monks, Yperburgrová, 2002). Mezi další teorie, které tyto dva pojmy rozlišují, patří i Gagného teorie, kdy hovoří o tom, že nadání je vrozená schopnost, neboli vloha, zatímco talent definuje jako získanou dovednost, která se rozvíjí díky vlivu okolí. Za společné znaky těchto dvou pojmů se považuje především to, že oba dva pojmy jsou definovány jako předpoklady na straně osobnosti, které podmiňují mimořádně úspěšnou činnost, výkon a produktivitu v určité oblasti nebo směru. Dále jsou užívány k označení krajních případů v normálním rozložení předpokladů. Jsou také většinou vztahovány ke schopnostem a dalším vlastnostem osobnosti. (Musil, 1989) Autor dále říká, že mezi těmito pojmy existují kvalitativní a kvantitativní rozdíly. Kvantitativní rozdíl spočívá v tom, že talent je většinou definován jako vysoký stupeň nadání. Zatímco kvalitativní rozdíly rozlišuje podle: geneticky-vývojového hlediska nadání je vrozené, zatímco talent je považován jako výsledek vývojové interakce s prostředím, obsahového hlediska nadání se spojuje s přírodními vědami, zatímco talent se spojuje s humanitními obory, stupně všeobecnosti nadání je spojováno s všeobecnými předpoklady (všeobecná inteligence), talent se pojímá jako úzce vymezené schopnosti (Hříbková, 2009). 2. Modely nadání Dříve bylo nadání dáváno do souvislosti především s intelektovými schopnostmi. V současné době je nadání chápáno jako komplexní jev, v němž je věnována pozornost celé osobnosti člověka. V literatuře jsou popsány modely od těch jednodušších až po skutečně multidimenzionální. Některé z těchto modelů zásadně ovlivnily teoretické i praktické zkoumání intelektových a neintelektových schopností. Po speciálních 11

13 obměnách a přizpůsobení se mohou využívat u různých oblastí talentu a specifických skupin nadaných dětí. V tomto případě se jedná například o handicapované děti. Mohou také pomoci odhalit možnou příčinu vzniklého handicapu u těchto dětí (Machů, 2006) Renzulliho triadický model nadání Renzulliho model tří kruhů patří k jednodušším modelům nadání a podle dělení Mönkse a Ypenburgové (2002) spadá do kategorie modelů orientovaných na výkon. J. Renzulli v tomto modelu vychází z intelektového nadání. Vypracoval model nadání, ve kterém vyčlenil tři základní skupiny charakteristik osobnosti, které musí dosahovat určitého stupně rozvoje a vzájemné souhry, aby se staly předpokladem pro podávání mimořádného a tvořivého výkonu (Hříbková, 2009). Jedná se zde o nadprůměrnou schopnost, angažovanost v úkolu a tvořivost. Tyto tři komponenty tvoří harmonickou činnost. Je důležité upozornit, že ani jedna z těchto komponent samostatně nadání netvoří. Teprve jejich vzájemné propojení a interakce může vést k nadprůměrnému výkonu. Nadprůměrné schopnosti tvoří podle Renzulliho obecné a specifické schopnosti. Mezi tyto schopnosti patří získávat informace a sjednocovat zkušenosti. Patří sem verbální a numerické usuzování, prostorové vztahy, paměť a slovní plynulost. Tyto schopnosti jsou většinou měřeny testy obecných schopností nebo obecnými testy inteligence. Angažovanost v úkolu je další složkou v tomto modelu. Angažovanost v úkolu můžeme vysvětlit jako energii soustředěnou na specifický problém nebo specifickou oblast. K často používaným vlastnostem, které nejčastěji obsahuje pojem angažovanost v úkolu, patří vytrvalost, trpělivost, sebedůvěra, víra ve vlastní schopnosti zvládnout obtížný úkol, vnímavost a lepší schopnost identifikovat významné problémy. Tvořivost je poslední komponentou tohoto modelu. Tvořivost je zde pojímána jako soubor schopností důležitých pro divergentní myšlení. Je charakteristická originálním a tvůrčím myšlením a vynalézavostí (Matůšů, 2010). 12

14 Obr. č. 1: Renzulliho triadický model nadání (Machů, 2006) 2.2. Mönksův vícefaktorový model nadání Renzulliho modelem nadání se nechal inspirovat holandský psycholog F. J. Mönks a tento model později sám pozměnil tak, že navrhl začlenit trojici osobnostních faktorů a trojici faktorů prostředí. Mít pro něco zvláštní vlohy ještě ale samo o sobě nestačí. Každá vloha průměrná nebo mimořádná vyžaduje sledování a podporování, aby se mohla rozvinout. Nejpřirozenější a nejnepostradatelnější živnou půdou je sociální prostředí. (Mönks, Ypenburgová, 2002, str. 21). Mezi osobnostní faktory řadí vysoké intelektuální schopnosti (na rozdíl od Renzulliho nadprůměrných schopností), tvořivost a Renzulliho pojem angažovanost v úkolu nahrazuje pojmem motivace. Faktory sociálního prostředí, které v Renzulliho modelu chybí jsou: rodina, škola a přátelé (Machů, 2006). Pokud pak do sebe všech šest zmíněných faktorů vzájemně zapadá a optimálně spolu působí, můžeme hovořit o nadání a jeho rozvoji. Pokud jeden z faktorů sociálního prostředí neodpovídá potřebám dítěte, je možné, že potom dítě nemá ideální podmínky pro svůj rozvoj a jeho schopnosti jsou pak na nižší úrovni, než jaké by mohly být při ideálním působení okolního prostředí (Matůšů, 2010). 13

15 Obr. č. 2: Mönksův vícefaktorový model (Mönks, Ypenburgová, 2002) 2.3. Gagného diferencovaný model nadání a talentu Françoys Gagné (Kanada) je autor, který rozlišuje pojmy nadání a talent. Nadání vysvětluje jako přirozené, nesystematicky rozvíjené schopnosti a talent jako systematicky rozvíjené schopnosti (Machů, 2006). Rozlišuje čtyři základní skupiny obecného nadání: vlohy intelektové, tvořivé, socioafektivní a senzomotorické, které se dále mohou realizovat ve specifických schopnostech. Uprostřed je pak umístěn komplex katalyzátorů. Tyto katalyzátory mohou kladně nebo i záporně napomáhat k projevení talentu. Mezi intelektové vlastnosti patří fluidní inteligence (indukce/dedukce), krystalická inteligence, verbální paměť, prostorová paměť, smysl pro pozorování a usuzování. Do tvořivých vlastností spadá invence (řešení problémů), imaginace (představivost) a originalita neboli umění. Sociální inteligence, vnímavost, komunikace, mezi kterou řadíme i empatii a dostatek taktu, a nakonec vliv (vůdcovství a přesvědčování) patří do skupiny socioafektivních vlastností. 14

16 V poslední skupině jsou schopnosti senzomotorické, mezi které se řadí schopnosti vizuální, auditivní, taktilní a olfaktorické. Dále jsou zde také schopnosti motorické, mezi které patří síla, výdrž, reflexy a koordinace. (Matůšů, 2010) Obr. č. 3: Gagného diferencovaný model nadání a talentu (Portešová, 2010) 2.4. Sternbergův triarchický model nadání Odlišný pohled na podstatu nadání má R. J. Sternberg. Sternberg je autorem teorie, která bývá nazývána jako triarchická teorie inteligence. Domnívá se, že testy inteligence objektivně neměří skutečné schopnosti jedince, ale pouze jednu z více složek inteligence. Přizpůsobení jedinců v neznámých situacích se podle Sternberga nedá hodnotit těmito testy inteligence. Inteligenci popisuje jako schopnost učit se ze zkušeností, dobře uvažovat, pamatovat si podstatné informace a dobře zvládat požadavky každodenního života (Machů, 2006). 15

17 Na základě této teorie autor uvádí tři druhy nadání: analytické, syntetické a praktické. Aby se dosáhlo úspěchu, musí mezi těmito třemi složkami být vyvážená kombinace. U nadání analytického by se mělo dosahovat úspěšnosti v klasických inteligenčních testech. Pro lidi s tímto nadáním by neměl být problém rozebírat problémy a rozumět jeho částem. Nadání syntetického si lze všimnout u lidí, kteří dobře zvládají adaptaci v nových situacích. Nemusí mít vynikající výkony v inteligenčních testech, ale jejich řešení problému bývají neobvyklá a nekonvenční a tito lidé často vnímají i hlubší souvislosti (Matůšů, 2010). Aplikace jakýchkoli syntetických a analytických schopností a užití jich v praxi se přiřazuje praktickému nadání (Machů, 2006). Obr. č. 4: Sternbergův triarchický model nadání (Machů, 2006) Sternberg se dále zajímal o intelektové nadání. Podle jeho teorie je v průběhu života možné zvyšovat úroveň intelektových schopností jedince. Na základě výzkumů později zjistil, že není důležitá přítomnost jednoho, dvou nebo všech tří druhů nadání (tak jak byly popsány výše), ale pro úspěch je především důležitá interakce mezi jedincem, konkrétním úkolem a tím, do jaké míry tyto prvky zapadají do společnosti. Proto později svůj model přehodnotil a stanovil pět kritérií, na jejichž základě je možné označit jedince za nadaného (Matůšů, 2010). Tato kritéria jsou následující: Kritérium výtečnosti: jedinec, který je označen jako výtečný. Je nadprůměrný ve srovnání s vrstevníky. 16

18 Kritérium výjimečnosti: jedinec má výjimečné schopnosti, které se u vrstevníků vyskytují jen málokdy. Kritérium produktivity: pokud je jedinec nadprůměrný, musí být veden k produktivitě nebo alespoň potenciální produktivitě. Kritérium předveditelnosti: nadprůměrná schopnost nebo schopnosti jedince musí být prokazatelné za pomoci validních a reliabilních hodnotících nástrojů. Kritérium hodnoty: v hodnotných a užitečných oblastech pro daného jedince nebo pro společnost musí jedinec vykázat nadprůměrný výkon. Obr. č. 5: Pentagonální model nadání R. J. Sternberga (Portešová, 2001) 2.5. Hellerův model Podle Machů a kol. (2013) je dalším modelem Mnichovský model nadání. Tento model je vytvořen na základě základních myšlenek předchozích modelů. Model je podle německého tvůrce Kellera rozsáhlou studií rozdělující faktory nadání na intelektuální schopnosti, kreativitu, sociální kompetence, hudebnost a psychomotoriku. Rozsah nadání je důležitý pro výkony v jedné nebo více oblastech: matematika, abstraktní myšlení, přírodní vědy, jazyky Výkony u talentovaných žáků závisí i na faktorech prostředí (klima třídy, rodiny ) a na personálních znacích (strach, zvládání stresu ). Z mnichovského modelu vyplývá, že na výkon působí 17

19 mnoho faktorů, s kterými by měl být člověk seznámen, protože žák může být nadaný, ale nemusí umět projevit svůj potenciál výkonu (např. ve třídě), protože na něj mohou působit rušivé elementy. (Čermáková, 2009) Obr. č. 6: Hellerův Mnichovský model mimořádného nadání (Matůšů, 2010) 3. Druhy nadání Podle Webba se nadání projevuje v určitých směrech a v různých aktivitách. Jedná se o několik oblastí, které se pak mohou dělit na konkrétnější kategorie. Někteří autoři pak spojují nadání právě s těmito konkrétními aktivitami. K základním oblastem se nejčastěji řadí: 18

20 Intelektové schopnosti zahrnují všeobecné činnosti. Patří mezi ně početní, prostorové, verbální, paměťové schopnosti a dále podněty k uvažování v rámci základních mentálních funkcí. Na základě těchto schopností se pak můžou vyvíjet a rozšiřovat další druhy talentů. Specifické akademické vlohy jsou rozšířením intelektových schopností. Tyto schopnosti se pak rozlišují ve specifických oblastech. Jedná se například o matematické nadání, nadání pro přírodní vědy a další nadání v konkrétních oblastech. Kreativní nadání je spojené s kreativitou. Jedinec má stále nové nápady, vymýšlí nové produkty a další využití pro různé materiály a objekty. Vědecké schopnosti jsou kombinací intelektových a kreativních schopností. U těchto schopností se často užívá vědeckých metod a postupů. Dělí se na matematické, technické, jazykové a jiné nadání. Vůdcovství ve společnosti jedinec má schopnosti při vedení osob a v komunikaci mezi nimi. Zručné (mechanické) schopnosti jsou spojovány se schopností manipulace, prostorové představivosti, všímání a vnímání rozdílů, detailů a podobností. Jsou to schopnosti, které souvisí s talentem v umění, vědě a strojírenství. Talent v krásném umění spočívá v umění výtvarném, hudebním, hereckým a tanečním. Psychomotorická schopnost pohybové schopnosti. Zahrnuje nadání na různé druhy sportů nebo umělecké pohybové aktivity. Nemůžeme vytyčit jasnou hranici mezi druhy nadání a talentu. Nestojí osamoceně, nýbrž se navzájem doplňují a ovlivňují (Machů, 2006). 19

21 Stejně jako definice nadání nebo nadání celkově, existují v některých literaturách odlišné rozdělení druhů nadání. Podle Hříbkové je možné druhy nadání rozlišit dle dvou klasifikací. Při horizontální klasifikaci vyčleňujeme různé typy nadání a pak i konkrétnější oblasti nadání. Při této klasifikaci rozlišujeme nadání podle druhů činnosti, ve které se nadání projevuje. Jedná se potom o nadání hudební, výtvarné, jazykové, matematické, sportovní a další, které se zase rozšiřují do užších oblastí. Při vertikální klasifikaci nadání se hovoří o rozlišení nadání podle stupně aktualizace. Dělíme ho na latentní (potenciální) a manifestové (aktuální). Výkony a projevy podávané v současné době se řadí mezi aktuální nadání. Potencionální nadání je možností, které lze dosáhnout při vhodných podmínkách v budoucnosti 4. Kritéria nadání Nadání se u každého jedince může projevovat jinak, každý je nadaný v jiné oblasti, a ne všichni disponují v nadání všemi složkami. Nadání se vyvíjí se již od ranného věku až k dospělosti. Sternberg vymezuje úroveň i existenci nadání pěti kritérii. Prvním kritériem excelentnost. Je jím rozuměna existence vynikajícího potenciálu a výkonu u jedince. Oproti průměrným vrstevníkům se jedinec vyznačuje vynikajícími schopnostmi a dovednostmi v určité oblasti, nebo i v několika oblastech zároveň. Druhým kritériem je kritérium rarity, neboli vzácnost. Jedná se o posouzení jedince z kvantitativního hlediska. Vychází z teorie, že nadání se vyskytuje vzácně, protože ne každý jedinec vykazuje známky nadání. Podle definic se počet talentů pohybuje od dvou do dvaceti procent lidské populace. Dalším kritériem je kritérium produktivity. Jedná se o tvořivou činnost. V tomto případě vykazuje jedinec v oblasti svého nadání určité produkty činnosti, nebo k nim alespoň směřuje. Čtvrtým kritériem je prokazatelnost. Je to schopnost, kdy jedinec své nadání určitým způsobem dokazuje demonstruje. Jedná se o opakované činnosti. Ve výsledném výkonu se ale nesmí odrážet role náhody. 20

22 Posledním kritériem je užitečnost. Je to nadání tak, jak ho vidí okolí. Za nadané toto kritérium považuje pouze ty, kteří svou vlastní pílí a snahou dokáží rozvádět svou osobnost a tím i celou společnost. 5. Charakteristika nadaných dětí Při charakteristice nadaných dětí je jasné, že všichni nadaní jedinci nemusí disponovat stejnými vlastnostmi a projevy. Projevy se mohou lišit na základě odlišnosti věkových období nebo konkrétních osobnostních rysů. Při vyhledávání nadaných žáků si pak můžeme všímat několika projevů. Seznam charakteristik se dělí na kognitivní a osobnostně-sociální projevy Kognitivní charakteristiky nadaných žáků Mezi základní kognitivní charakteristiky patří bohatá slovní zásoba. Tohoto projevu si lze všimnout již v předškolním věku. Dítě používá složité věty, nedělají mu problém cizojazyčné významy slov nebo se rychle dokáže učit gramatice. Jedinec může v tomto případě i disponovat vynikajícím způsobem vyjadřování. Dalším projevem v této kategorii je schopnost abstrakce a generalizace. Tyto projevy jsou znatelné spíše ve školním období. Všímáme si, že jedinec je schopen na základě základních a mnohdy i zdánlivě nesouvisejících informací tvořit celky. Dokáží si spojovat složité myšlenky a vyvozovat zevšeobecňující pravidla. Pokud jedinci mají v určitém směru rozvinout kreativitu, mohou pak vymýšlet vlastní produkty. V přírodovědných oborech děti vymýšlí různé experimenty nebo mění obyčejné věci ve své vlastní vynálezy. Třetím projevem patřícím mezi charakteristiky nadaných dětí jsou metakognitivní schopnosti. Nadaní žáci jsou neobvykle uvědomělí ve svých vlastních strategiích řešení problémů a učení. Tyto schopnosti mohou dětem pomoci v plánování, monitorování a hodnocení jejich myšlení. Pokud nadaní disponují vlastnostmi jako je nespokojenost s danými informacemi, pochybnost o nich a snaha vyhledávat vlastní informace a zdroje informací, jedná se o projev kritického myšlení. 21

23 Žáci přemýšlející o svých vlastních krocích a činech a hledající originální způsoby řešení různých úkolů, mají projevy flexibility a originality myšlení. Jedinci mají bujnou představivost a bohatou fantazii. Vynikají v neopakovatelnosti jejich práce a jedinečnosti. Dalším zajímavým projevem je smysl pro humor. Nejedná se o běžný smysl pro humor, kterým oplývá většina dětí a populace. Smysl pro humor, který mají nadaní je kvalitativně odlišný od běžného humoru. Tato vlastnost vychází ze skvělé verbální inteligence a schopnosti generalizovat poznatky. Důležitým projevem v kognitivních charakteristikách je brzká schopnost čtení. Jak už název napovídá, jedná se o schopnost dětí, která se projevuje již od ranného věku, kdy se děti ještě nenaučily číst, psát a mnohdy i mluvit. Tyto děti mají velký zájem o čísla a písmena, ovládají abecedu a spojují si písmena ve slova. Základní vlastností pro nadané žáky, která se vyznačuje dlouhodobou pamětí a dobrou pozorovatelností, je paměť. Přestože mají vynikající paměť, preferují spíše logickou paměť. Dalším projevem jsou znalosti. Schopnosti se zde projevují tak, že děti mají hluboké znalosti, avšak většinou jen v oborech, které je zajímají. V budoucnu si tyto informace dokáží lehce vybavit a nemají problém spojit si je i se složitějšími informacemi. V ostatních oborech, ve kterých už neprojevují takový zájem, bohužel většinou selhávají. Záliby a koníčky. Tyto děti spíše preferují odlišné zájmy a koníčky než ostatní děti téhož věku. Mají složitější myšlení, takže například při výběru hraček se přiklání spíše k takovým, jako jsou knihy, encyklopedie, atlasy, počítače, šachy a podobné. Schopnost dlouhodobé koncentrace pozornosti je typická pro rozumově nadané děti (Porter, 1999). Dokáží se maximálně soustředit a soustředěnost jim může vydržet i po několik hodin. Za správné motivace se doba soustředěnosti může zvyšovat. Tato schopnost se u některých dětí projevuje již v útlém věku. Posledním projevem patřícím mezi kognitivní charakteristiky nadaných žáků je pracovní tempo. Nadaní žáci se odlišují svým tempem jak kladně, tak záporně. Pokud se jedná o vybavování, aplikaci znalostí nebo vyvozování, dokáží pracovat daleko 22

24 rychleji než ostatní žáci. Naopak při používání kritického myšlení, nebo řešení různých problematik, dokončují úkoly až mezi posledními Osobnostně-sociální charakteristiky žáků Prvním projevem této kategorie je denní snění. Tato charakteristika je pro dítě považována za konstruktivní. Druhým projevem je motivace. Většinou zde převažuje motivace vnitřní nad motivací vnější. Při dostatečné motivaci jsou děti zaujaty hledáním nových informací a tato duševní činnost pro ně není unavující. Mají různé zájmy a záliby a s dostatečnou motivací je nepřestávají bavit. Dalším projevem nadaných dětí je zvýšená aktivita. Děti jsou neunavitelné a vynikají svou neobyčejnou živostí a aktivitou. Jsou nadšené do různých aktivit a objevování. Pokud vykonávají nějakou aktivitu, která je opravdu baví, pracují s obrovským nasazením. Vybírají si spíše náročnější úlohy a činnosti které je nezajímají, pro ně nejsou důležité. Čtvrtým projevem je přecitlivělost a smyslová vnímavost. Bývají hodně přecitlivělé, pokud se jedná o nějaké problémy nebo estetiku. Vnímají maximálně věci ve svém okolí, a to i věci, které ostatní nevidí. Jako poslední je zde uveden perfekcionismus. Tyto děti jsou přehnaně ctižádostivé a musí být vždy bezchybné. Jejich výkony nebo výsledky musí být vynikající a musí přesahovat výsledky ostatních jedinců. Často jsou zklamáni ze svých, ve srovnání s ostatními, vynikajících výsledků. (Machů a kol., 2013) 23

25 6. Formy projevů nadaných dětí Jak již bylo zmíněno každé dítě má svou individualitu a může se projevovat jinými způsoby. Učitelé si často nemusí ve třídách nadaných žáků všimnout, protože existuje spoustu forem projevů a celkově typů nadaných žáků. Eva Machů rozděluje formy projevů do sedmi základních skupin. Charakteristiky žáků se můžou mezi skupinami různě prolínat a žáci tak mohou zapadat i do více skupin zároveň. Úspěšně nadaný žák se projevuje jako nadprůměrný jedinec. Je tak chápán svými vrstevníky i dospělými. Dosahuje většinou výborných studijních výsledků, přesahuje požadavky, snadno chápe a rychle odpovídá. Pro učitele není problém tyto žáky identifikovat. Náročný nadaný žák je nadmíru tvrdohlavý a sebejistý. Výuka ho nudí, má svůj vlastní názor, který lze těžce změnit. Ruší své okolí, aby dal najevo, že zná správné odpovědi. Někdy se výuky vůbec neúčastní. Neuznává autority a neustále vyžaduje pozornost. Pro učitele je důležitá připravenost na tyto žáky formou nějakých úkolů nebo činností navíc. Utajený nadaný žák se těžce identifikuje. Je plachý a nevýrazný. Je nesmělý a nerad vyčnívá z třídního kolektivu. Bojí se reakce a posměšků ostatních, proto většinou své vlohy pro nadání skrývá. Učitelé tyto žáky odhalují těžce. Nadaný odpadlík je dítě, kterému se nedostává dostatek pochopení jeho talentu ze stran učitele i kolektivu. Stává se negativním činitelem a ve škole trpí. U těchto dětí se dostává častým emočním reakcím a záchvatům. Děti nespolupracují, rezignují, neplní úkoly a dávají všem svůj postoj najevo. Nadaný dvakrát výjimečný (twice exceptional) je žák, který je intelektově nadprůměrný. Má velice nízké sebevědomí. Podléhá různým handicapům, emočním stavům nebo poruchám učení. Je frustrovaný, bezmocný a kolektivem často nepřijímaný. Je těžké všimnout si jeho nadání přes všechny handicapy, kterými trpí. Samostatný nadaný nevyhledává pomoc ve svém okolí. Jedná samostatně a školu bere jako samozřejmost. Hodně se věnuje mimoškolním aktivitám. 24

26 Vysoce tvořivé dítě je dítě, které neustále vymýšlí nové věci, věnuje se různým experimentům a obtížně se přizpůsobuje školnímu systému. Má problémy se sebeovládáním, opravuje dospělé a často má velice konfliktní chování. Například v zadání vidí hlubší spojitosti a nedokáže přijmout fakt, že existuje jen jedna správná odpověď. 7. Identifikace nadaných dětí Cílem identifikace je vyhledávání dosud neobjevených nadaných a jejich umístění do speciálního programu, který bude svým svěřencům co nejefektivněji pomáhat využívat výjimečné schopnosti a dovednosti. Odborníci, kteří se zabývají dlouhodobým výzkumem nadání, došli k závěru, že kdyby měly všechny děti šanci na úplný rozvoj svých schopností, dokázalo by dvacet až pětadvacet procent z nich vyniknout v některé z oblastí lidské činnosti. (Vondráková, 2001) Proces identifikace nadaných žáků je velice dlouhý. Nejedná se o jednorázovou činnost, ale o proceduru složenou z několika na sebe navazujících etap, do kterých se děti můžou opakovaně hlásit. Například Clark (2013) navrhuje složení procesu identifikace minimálně z těchto tří fází: Nominace plošná identifikace je v tomto případě nerealizovatelná, proto se nominace provádí nominační fází, která spočívá v tom, že výjimečné schopnosti dítěte zpozoruje někdo z jeho blízkého okolí. Následně jej navrhne jako kandidáta pro vstup do edukační specializované nabídky. Nejčastěji tak dítě navrhují rodiče, učitelé nebo spolužáci. Screening skupina dětí, která byla svým blízkým okolím navržena za kandidáty, se podrobí různým testováním. Jedná se o testy formou dotazníků, pohovorů, testů inteligence a kreativity a také pouhým pozorováním daných jedinců. Selekce poslední fáze identifikačního procesu vychází z výsledků testů, které probíhaly v předchozí fázi. Posuzují a srovnávají se výsledky všech jedinců. Poté se výsledná skupina potencionálně nadaných zúží na posledních pár 25

27 jedinců, kteří se dále podrobují konkrétnějším testům, a zjišťuje se celkový obraz dítěte. Existují i jiné identifikační metody. Etapy těchto procesů jsou z prvního pohledu jiné, ale ve srovnání se jedná o stále stejný princip, přičemž se může měnit například pořadí etap. Při těchto procesech se mohou využívat i různé metody a jejich kombinace. Tři základní metody uvádí Hříbková. Jako první se jedná o metodu psychologickou. Při použití této metody se užívá například inteligenčních testů, testů zaměřených na kreativitu nebo výkonových testů. Další metodou je pedagogicko-psychologická metoda. Dochází k pozorování dítěte a různým rozhovorům, při kterých se zjišťují zájmy a povaha dítěte. Dítě opět prochází různými testy, které se zaměřují spíše hlavně na jejich motivaci. Mezi příklady pedagogických metod paří didaktické testy, analýzy portfolia, úspěšné absolvování soutěží a nominace. Nominaci opět navrhují učitelé, rodiče nebo spolužáci. Obr. č. 7: Identifikačně výběrový proces (Machů a kol., 2013) 26

28 8. Možnosti podpory pro rozvoj nadání Pro potřeby nadaných žáků bylo založeno několik institucí, které napomáhají rozvíjet talent těchto žáků. Jejich práce je založena na několika základních legislativních dokumentech, které se týkají vzdělávání nadaných žáků. V návaznosti na Školský zákon byly vydány dvě zásadní prováděcí vyhlášky, a to: Vyhláška č. 72/2005 Sb. o poskytování poradenských služeb ve školách a školských poradenských zařízeních. Vyhláška č. 73/2005 Sb. o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. Na základě této vyhlášky vznikl podrobný dokument, který se zabývá vzděláváním nadaných a také a také částečně identifikace a vedení dokumentace o nadaných. Tento dokument se nazývá Informace ke vzdělávání dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. Podle Šťávy a kol. ukládá především Školský zákon princip práva na individuální přístup k žákům a zároveň braní ohledu na vzdělávací potřeby jednotlivců. Uvedené právní předpisy dále stanovují povinné podmínky všestranného rozvoje nadaných žáků. Vychází ze základů inkluzivního vzdělávání a současně respektuje některá specifika pro práci s nadanými žáky, kteří vyžadují vysokou míru kreativity a didaktických schopností pedagogů Organizace podporující rozvoj nadaných Pedagogicko-psychologické poradny (PPP) Mezi základní činnosti pedagogicko-psychologických poraden patří obecně pomoc dětem ve školství, pomoc rodičům i pomoc učitelům. Důležitou činností je hlavně diagnostika nadaných žáků. Těchto poraden je v České republice několik. Většinou jsou ve větších městech, aby byly dostupné co nejvíce lidem. Dětem od tří let (a jejich rodičům) poskytuje poradna psychologické a speciálně pedagogické služby, jako je například posouzení vývojové úrovně dítěte, posouzení 27

29 laterality ( praváctví či leváctví ), posouzení školní zralosti, pomoc při adaptačních problémech v mateřských školách, pomoc při emočních a výchovných problémech v rodině a v mateřských školách a pomoc s rozvojem dílčích schopností a dovedností. Dětem mladšího i staršího školního věku (a jejich rodičům) poradny nabízí pomoc při zvládání nejrůznějších obtíží spojených se vzděláváním a výchovou. Mezi tyto činnosti patří například pomoc při řešení výukových obtíží, pomoc při zvládání výchovných obtíží, pomoc při volbě další vzdělávací cesty, pomoc při řešení adaptačních a vztahových problémů v třídních kolektivech a péče o mimořádně nadané žáky. Do péče o mimořádně nadané žáky patří identifikace nadání, poradenství pro rodiče nebo třeba i konzultace individuálních vzdělávacích plánů. Poradny nabízí i pomoc s péčí o dospívající (a jejich rodiče). Tato pomoc může být spojena se zvládáním obtíží spojených se vzděláváním a výchovou nebo při řešení osobnostních a vztahových problémů v období dospívání. Mezi další typy podpory patří pomoc při řešení výukových obtíží,, pomoc při volbě další vzdělávací nebo například pomoc při řešení adaptačních a vztahových problémů v třídních kolektivech. Mimo tyto aktivity nabízejí poradny i pomoc učitelům a školám. Jedná se o konzultační pomoc, kdy se řeší především výukové či výchovné problémy žáků. Tyto problémy se začínají řešit s poradnou až na základě žádosti učitele nebo rodičů žáka. Dále se zabývají informační a metodickou pomoc (vzdělávací programy pro učitele, pomoc speciálního pedagoga při vypracování individuálních vzdělávacích plánů, metodické vedení školních psychologů, školních speciálních pedagogů, školních metodiků prevence. ( Institut pedagogicko psychologického poradenství (IPPP) Hlavní náplní tohoto institutu je, že se soustřeďuje a zpracovává informace o službách pedagogicko-psychologického, speciálně pedagogického, výchovného a kariérového poradenství ve školství. Má na starost koordinaci pedagogicko-psychologických poraden, školení psychologů a vybavováním je diagnostickými nástroji. Provádí rozbory a průzkumy související s poskytováním poradenských služeb a s pedagogickopsychologickými stránkami vzdělávání. Dále vytváří plány vyplývající z potřeb MŠMT (Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy) v oblasti poradenských služeb a organizuje aktivity dalšího vzdělávání odborných pracovníků poskytujících služby 28

30 poradenství ve školství. Mezi další důležité činnosti také patří zabezpečení přenosu odborných informací z oblasti poradenství ve školství. Z této oblasti také připravuje a vydává metodické publikace a informační materiály. ( Národní institut dětí a mládeže (NIDM) Národní institut dětí a mládeže je odborným zařízením Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy, jehož účelem je státní podpora a ochrana mládeže. Institut se zaměřuje na problematiku neformálního a zájmového vzdělávání a činnost školských zařízení v této oblasti, zabezpečuje metodickou a organizační podporu práce s dětmi a mládeží a další vzdělávání pedagogických pracovníků. Nabízí své služby především pracovníkům středisek volného času, školním klubům a družinám, nestátním neziskovým organizacím, krajským úřadům MŠMT a zahraničním partnerům. Jedním z oddělení tohoto institutu je Talentcentrum. Náplní práce zaměstnanců v tomto centru je, že v rámci svých činností vyhledávají, rozvíjejí a podporují nadané a talentované děti. Mimo jiné se podílí na realizaci online vzdělávání Talnet. Mezi další činností NIDM mimo jiné patří, že již mnoho let organizuje řadu celostátních soutěží. Kromě středoškolských odborných činností (SOČ) se jedná především o soutěže jazykové (Olympiáda v českém jazyce a Soutěže v cizích jazycích angličtina, němčina, francouzština, ruština, španělština, latina) a literární (Daniel, Náš svět, Evropa ve škole). Dlouhou tradici má Dějepisná olympiáda. Technicky nadaným je určena Soutěž v programování, nově NIDM zajišťuje také matematickou soutěž Pythagoriáda. ( Mensa České republiky Mensa je mezinárodní společenská organizace založená roku 1946 v Oxfordu. Je to nevýdělečné apolitické sdružení nadprůměrně inteligentních lidí bez rozdílu rasy a vyznání. Jednou z jejich poboček je i Mensa České republiky. Funkcí Mensy je především vytváření intelektuálního a společenského prostředí pro své členy, umožňování jejich dobrovolné seberealizace a podpora vzájemných kontaktů. Členem se může stát každý, kdo dosáhne věku 14 let a v testu inteligence schváleném mezinárodním dozorčím psychologem Mensy International výsledku mezi horními dvěma procenty celkové populace (na stupnici používané v České 29

31 republice to odpovídá IQ 130). V současné době má Mensa ČR necelých členů, z čehož více než tisícovka je tvořena členy Dětské mensy (jejímiž členy jsou děti od 5 do 16 let včetně). Členové Mensy pořádají různé akce, jako jsou přednášky, setkání, vycházky, schůzky hráčů různých her (stolní hry, Dračí doupě, kulečník) a dvakrát ročně celostátní setkání (i pro rodinné příslušníky). Nadané děti můžou dále navštěvovat i tzv. Kluby nadaných dětí (KND), které fungují pod záštitou Dětské Mensy. Pobočky těchto klubů se vyskytují po celé České republice. Činností těchto klubů je identifikace nadaných dětí ve školním věku a jejich práce na svém sebezdokonalování. Světové menzy vydávají množství časopisů na různých úrovních (mezinárodní, národní a časopisy místních skupin a SIGů), česká pobočka vydává časopis zvaný Mensa. Podstatná část života Mensy se odehrává v místních a zájmových skupinách. Mezi činnosti Mensy patří také pravidelné testování IQ pořádané po celé republice. Mensa České republiky je také zřizovatelem pražského Mensa gymnázia určeného pro nadané studenty, na jehož provozu se podílí řada aktivních mensanů a mnozí žáci jsou členy Mensy. (deti.mensa.cz) Centrum nadání Centrum nadání je občanské sdružení zaměřené na předškolní mládež a mladší školní děti. Centrum vzniklo jako důsledek činnosti skupiny odborníků pedagogů, psychologů a dalších odborných pracovníků, kteří se již delší dobu věnují péči o mimořádně nadané děti v naší republice. Zabývá se problematikou poskytování služeb skupině nadaných dětí. Poskytuje širší nabídku služeb především pro školy, které se touto problematikou hlouběji zabývají a také rodinám s nadanými dětmi. Postupně se začala činnost centra rozšiřovat na poskytování služeb přímo dětem a mládeži. Od poskytování programů a informací dětem a lidem s rozumovým nadáním se činnost postupně rozšířila na podporu intelektově prospěšných aktivit. ( Výzkumný ústav pedagogický v Praze (VÚP) Národní ústav pro vzdělávání se věnuje především školskému poradenskému zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků. Hlavním úkolem tohoto ústavu je všestranně pomáhat při rozvoji všeobecného, odborného, uměleckého 30

32 a jazykového vzdělávání. Mezi další aktivity patří podpora školy v oblasti pedagogicko-psychologického, výchovného a kariérového poradenství a dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků. Neméně důležitou činností je specifika práce s nadanými žáky ve výuce a vzdělání pedagogů. Poskytuje významnou metodickou podporu při vzdělávání mimořádně nadaných žáků. ( Národní institut dalšího vzdělávání (NIDV) Národní institut dalšího vzdělávání se podílí na rozvoji pedagogů a pracovníků věnujících se zajišťováním volnočasových aktivit dětí a mládeže. Je to přímo řízená organizace Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR. Zabezpečuje rozvoj pedagogických pracovníků škol a školských zařízení pro zájmové a další vzdělávání a dále pracovníků nestátních neziskových organizací pracujících s dětmi a mládeží v celé České republice. Pořádá vzdělávací akce pro učitele. NIDV má celostátní působnosti a velmi široké lektorské základny ( Společnost pro talent a nadání (STaN/ECHA) ECHA vznikla na základě požadavku většiny evropských zemí na koordinaci. Hlavním cílem ECHA je fungovat jako komunikační síť, podporující výměnu informací mezi lidmi, kteří se zajímají o vysoké schopnosti učiteli, vědci, psychology, rodiči i samotnými nadanými. S rostoucí sítí ECHA se zlepšuje péče o nadané a toto zlepšení je k užitku všem členům společnosti. Patří sem především vzdělávání učitelů a psychologů v práci s nadanými, ale i vzájemná komunikace rodičů a škol. Důležitou činností STaN je rozvíjení možnosti vytvářet informační sítě a komunikovat s rodiči, učiteli a dalšími odborníky i nadanými žáky a studenty z celé ČR i ze zahraničí. Činnost vychází ze skutečných potřeb školské veřejnosti. Je založena na neustále aktualizovaných znalostech, získaných studiem i spoluprací s významnými zahraničními odborníky a na dlouhodobých zkušenostech z práce s nadanými. Společnost vznikla na základě praktické potřeby a osobních zkušeností se vzděláváním nadaných dětí. ( 31

33 Centrum rozvoje nadaných dětí Centrum rozvoje nadaných dětí provozují studenti a doktorandi Katedry psychologie na fakultě Sociálních studií Masarykovy univerzity v Brně. V čele centra a výzkumných projektů stojí doc. Mgr. Šárka Portešová, Ph.D. Pracovní skupina složená ze studentů a pracovníků se snaží řešit konkrétní problémy nadaných dětí, které zpracovává v dizertačních a diplomových pracích. Šťáva a kol. uvádí že cílem tohoto centra je zvýšit odbornou informovanost o této mimořádně důležité problematice a zkoumat potřeby nadaného dítěte. Náplní jejich práce jsou rady pro psychology, učitele a rodiče. Centrum se zabývá se identifikací nadaných dětí, nabízí metody pro práci a rozvoj nadaných dětí a online dotazníky (vzdělání, styly učení, vývoje a pro učitele). Mimo jiné poskytuje psychologické poradenství a vede odborné semináře. Centrum se zabývá například psychologickými otázkami spojenými s problematikou mimořádně rozumově vyspělých. Podílí se na výzkumných pracích, soustředí se na témata sociální a emocionální adaptace nadané. ( 9. Nadaní žáci v matematice Matematické nadání je vzájemně propojeno s logicko-matematickou inteligencí. Logicko-matematická inteligence je pro psychologii velice zajímavá a vlastně stojí v pozadí matematického nadání. Celková inteligence má totiž vzájemné spojení s úrovní matematických dovedností (IQ je vzájemně spojeno s matematickým kvocientem MatQ). Podle Gardnera (1999) se může inteligence chápat mnohdy mylně. Podle jeho názoru matematicko-logickou inteligenci měří především běžné testy, které měří IQ. Gardner a další autoři uvádí že existuje mnoho druhů inteligence a každý druh by měl být rozvíjen a kultivován. Matematickou inteligenci definuje Gardner (1999) jako schopnost rozpoznat, v čem spočívá problém (odhalit jádro pudla ), a vyřešit jej. Lidé s vysoce vyvinutou logicko-matematickou inteligencí, jako by doslova cítili řešení, nebo cíl dávno před tím, než začnou s detailním řešením jednotlivých kroků. Matematická schopnost zahrnuje schopnost objevovat, usuzovat a rozumět na základě logiky, řešit nerutinní problémy, komunikovat matematicky anebo o matematice, Propojovat matematické myšlenky v rámci matematiky a mezi matematikou a ostatními mentálními 32

34 a intelektuálními aktivitami. Matematická inteligence tedy znamená takovou schopnost porozumění, která stojí daleko za prostým memorováním faktů a algoritmů. Historii matematicko-logické inteligence odvozuje Gardner již z prehistorického období. V této době museli lovci a sběrači například ze stop v krajině odvozovat složité závěry o tom, jaké události mohly způsobit právě takovou strukturu stop. Matematická inteligence je přirozenou součástí našeho života. Tuto inteligenci lidé využívají v každodenním životě, kdykoliv a kdekoliv. Například v zaměstnání, když se zvažuje výše dávek, když se plánují harmonogramy schůzek, když se něco porovnává nebo srovnává, nebo například žena v domácnosti, když plánuje rodinný rozpočet. Matematicko-logická inteligence se aktivuje při činnostech každodenního života. Její aktivace je natolik automatická, že si to ani nemusí jedinci uvědomovat. K její aktivaci dochází například kdykoliv přemýšlíme o nějakém množství, když operujeme s čísly, když počítáme peníze, určujeme čas na hodinách, počítáme, kolik nám je let, nebo kolik dní zbývá do prázdnin, když skládáme puzzle, hrajeme šachy, volíme herní strategii v počítačové hře, nebo když plánujeme strukturu slohové práce nebo dovolenou. U dětí, které jsou matematicky nadané si můžeme všímat schopností velmi rychle cokoliv srovnat například podle velikosti, jména či jiného kritéria. Dále se vyznačují schopností věci podrobně rozebírat a přemýšlet o nich, například proč je prstů pět. Tyto děti neustále hledají pro věci logické důvody, vymýšlejí různé nové hry či kvízy. Obecně jsou tyto děti nadšené pro vědecké experimenty, neustále se na něco ptají a jsou dobré v řešení komplexních úloh. Rády uvažují o abstraktních věcech a abstraktních myšlenkách a mají dobře vyvinutou schopnost pro řešení problémů. Dále se může logicko-matematická inteligence využívat k experimentům s imaginacemi, vytváření velmi složitých mentálních postupů, nebo k vytváření celých imaginárních světů. Tuto imaginaci využívá mnoho autorů děl, jako například Charles Ludwidge Dodgson a jeho kniha Alenka v říši divů. V mnoha povoláních využívají lidé svého nadání v oblasti matematicko-logické inteligence. Těchto povolání existuje opravdu mnoho, například učitel matematiky, vědec, lékař, výzkumný pracovník, inženýr, architekt, programátor, konstruktér, rozpočtář, matematik, analytik, policejní vyšetřovatel, pojišťovací agent, účetní, 33

35 ekonom, právník, nebo dokonce hazardní hráč. Příkladem vědců, kteří se vyznačují vysokou matematickou inteligencí jsou například Sir Isaac Newton, Leonhart Paul Euler, Bertrand Russell, Albert Einstein, George Gamow, Stephen Hawking, Bill Gates nebo Stephen Wolfram. Matematicko-logická inteligence zahrnuje klíčové dovednosti: operace s čísly, rozpoznávání abstraktních vzorů, schopnost počítání a třídění, nalézání vztahů mezi jevy, uplatňování pravidel a zásad. Matematicky nadané dítě a jeho znaky: rádo počítá, rádo organizuje, je velmi přesné, je dobré v řešení problémů, rozpoznává vzorce, má rádo matematické hry, v oblasti logiky rádo experimentuje, má vždy uspořádané poznámky, rádo pracuje na počítači. Podle matematických testů statistiky ukazují, že chlapci dosahují vyšších výkonů než dívky. V 70. letech 20. století se začal Roger Shepart zabývat tématem mentální rotace. Mentální rotace je lidská schopnost rychle a přesně otáčet dvojrozměrnými a trojrozměrnými obrazci v naší mysli. Zjistilo se, že muži mají pro mentální rotaci lepší dispozice, protože podávali lepší výkony než dívky. Schopnost mentální rotace má úzkou souvislost s pohlavím a výkony v matematice. Vztah, že čím lepší schopnost mentální rotace, tím vyšší výkony při řešení matematických úloh, byl potvrzen pro ženy, avšak u mužů potvrzen nebyl, protože jejich výkony dosahují vyšší variability. Matematická sebedůvěra je podmínkou rozvoje matematického nadání. Výzkumy prokázaly, že právě matematická sebedůvěra je důležitým činitelem ve vztahu mezi 34

36 pohlavím a matematickými výkony. Proto je velice důležité podporovat tuto sebedůvěru stejně jako podporovat rozvoj matematických schopností. Podpora matematicko-logické inteligence: hry s modely (Merkur), puzzle (plošné i vícerozměrné), šachy (deskové i počítačové), logické hry (deskové i počítačové), hlavolamy, hry na deduktivní myšlení, strategické hry, předpovídání, logické hádanky (Einstenův test inteligence), šifrování a kódování, využívání grafů, tabulek, diagramů a časové osy, používání rovnic, odvozování důkazů, analýza dat, referování výsledků ostatním, vizualizace číselných výsledků, vynálezy a vynalézání, projektování a stavba modelů, programování, všeobecné plánování (Havigerová, 2011) Motivace nadaných žáků v matematice Důležitým faktorem ve vzdělávání a výchově je obecně rozvinutá osobnost s aktivním vztahem k životu a světu. Ke tvořivosti a tvůrčí práci by měla žáky vést především škola. Každý žák potřebuje určité podněty ke své práci. Aby byla jeho práce kvalitní je potřeba žákovi poskytnout dostatečné důvody a stimuly. Důležitým pojmem této kapitoly je motiv. Motivy jsou určité činitele, které podmiňují a vyvolávají činnost. Novotná a kol. (2013) uvádí, že motiv se z psychologického hlediska vymezuje jako uvědomělý podmět podmiňující a vyvolávající činnost člověka, zaměřenou na uspokojení materiální nebo duchovní potřeby člověka. Tímto podmětem může být 35

37 představa, myšlenka, cit, zážitek, tedy psychický činitel. Proto jsou potom učitelé nabádáni, aby vedli žáky tím směrem, že k učení přistupují jako k něčemu obdivuhodnému a aby tak žákům vyvolali silně podnícenou chuť k učení. Poznávací motivace je tedy důležitým faktorem pro nadané žáky. Motivace v matematice je důležitá především proto, že jazyk matematiky slouží přírodovědným předmětům a vědám a také jako prostředek k dorozumívání, k formulaci a řešení jejich specifických problémů. Nejznámějším projektem, který se zabývá motivací žáků v matematice je projekt Motivuj mě v matematice a přírodovědných předmětech. Součástí tohoto projektu jsou motivační a podněcující metody v matematice a přírodovědných předmětech. Cílem toho projektu je pomoc s řešením problému nezájmu mladých lidí o studium matematiky a přírodních věd a také pomoci učitelům ve školské praxi s usnadněním přípravy těchto předmětů. Jednou z aktivit tohoto projektu bylo vytvoření seznamu vhodných vyučovacích metod, které slouží právě k motivaci žáků. Klasifikace motivačních metod: 1. Aktivní učení 2. Hodnocení k učení 3. Brainstorming (metoda shromažďování co nejvíce nápadů a myšlenek na dané téma, skupinová práce, dochází se k novým řešením). 4. Případové studie 5. Kooperativní učení 6. Učení s podporou počítače 7. Pojmová mapa 8. Diskuze a debata 9. Demonstrace v matematice a přírodních vědách 10. Zkušenostní učení 11. Práce v terénu 12. Domácí úkol 13. Samostatné učení 14. Zkoumání 15. Matematický výzkum 36

38 16. Vrstevnické učení 17. Řešení problémů 18. Hraní rolí 19. Přírodovědné a matematické texty 20. Práce v menších skupinách 21. Prezentace studentů 22. Učení na základě textů Podle dalšího výzkumu poznávací motivace nadaných žáků v přírodovědné výuce se došlo k následující klasifikaci poznávacích motivačních výukových technik. Tyto techniky se dělí na oborové a mezioborové. Mezi oborové techniky se řadí: 1. Nevědomé vnímání a experimentování 2. Modelování objektů a jevů 3. Utřídění vědomostí 4. Podobnost objektů a jevů 5. Problémové úloh a objekty 6. Jednoduché experimenty a hračky 7. Filmy, videopořady a počítačové programy 8. Paradoxy, kouzla a triky 9. Humor 10. Experimentária, muzea, výstavy a zoologické zahrady 11. Terénní činnost v přírodě 12. Didaktické hry a soutěže Do mezioborových technik patří: 1. Aplikace přírodovědných poznatků v technice a jiných oblastech 2. Přírodověda a život člověka 3. Historie objevů a osudy významných přírodovědců 4. Informační a komunikační technologie v přírodovědě 5. Vědeckofantastická literatura a film 6. Přírodověda a umění 7. Citáty významných přírodovědců 37

39 8. Filozofické aspekty přírodovědy Dalším rozdělením výukových motivačních technik je rozdělení podle specifických potřeb žáků ve výuce. Tyto techniky se dělí na výkonové, sociální a poznávací. Sociální a výkonové techniky jsou velice individuální, protože každý žák má jiné potřeby a na jejich osobnost můžou působit jiné druhy motivace. Zatímco poznávací motivační techniky dokáží při správném použití vyvolat vysoký zájem žáka. Mezi poznávací motivační techniky patří techniky oborové a mezioborové. Na základě provedených výzkumů se oborové motivační techniky klasifikují na několik kategorií. V každé kategorii se dá využít mnoha příkladů, které jsou s danou technikou spojeny. Učitelé (i rodiče) si mohou takových příkladů vymyslet několik. Pro ukázku je zde několik takových příkladů uvedeno. Problémové úlohy a problémové vyučování Příklad 1 Obrázek vznikl zjednodušením plánku části sídliště (jsou zakresleny pouze cesty). Kolika různými způsoby je možné dojít z místa A do místa C, jestliže nebloudíme, což znamená, že se pohybujeme vodorovně zleva doprava a ve směru svislém zdola nahoru. Cesty mimo vyznačenou čtvercovou síť jsou nepřístupné. Obr. č. 8: Příklad 1 (Škrabánková a kol., 2013) 38

40 Řešení: Obr. č. 9: Řešení příkladu 1 (Škrabánková a kol., 2013) Vycházíme z bodu A a pokud je to možné, můžeme se vydat buď vpravo nebo vlevo. Vznikne nám tedy několik větví stromu. Z obrázku č. 9 je zřejmé, že z bodu A do bodu C se můžeme dostat 10 různými způsoby. Projektová výuka Jedná se o typ výuky, ve které se využívá různých projektů. Využívá se zde propojenosti a souvislosti mezi předměty. Problémy se u toho typu vyučování řeší v delším časovém období a jsou spíše obecnější. Projektová výuka je založena na aktivitě žáků. Například můžeme využít propojeností s výtvarnou výchovou a hovořit o vytváření ledových soch nebo sněhových staveb. Experimenty v matematice Experimentovat v matematice je možné dvěma způsoby. Jedná se experimenty s konkrétními objekty nebo čísly. Příklad 2 Zjistěte, zda existuje takové přirozené číslo n, že n (n + 1) (n + 2) (n + 3) je druhou mocninou (čtvercem) nějakého přirozeného čísla. 39

41 Řešení: Zkusíme dosadit za n první přirozená čísla a zkoumáme souvislosti vzhledem k zadání úlohy. Výsledky zapisujeme takto: Tab. č. 1: Příklad 2 n Sn Všimneme si, že platí: = 25 = = 121 = = 361 = = 841 = = 1681 = 41 2 Dále si uvědomíme, že součin s lze upravit na druhou mocninu nějakého výrazu zmenšeného o 1. Další úpravy pak vypadají takto: (n (n + 3)). ((n + 1)(n + 2))=(n 2 + 3n)( n 2 + 3n + 2)=(( n 2 + 3n + 1) 1)( n 2 + 3n + 1) + 1)=( n 2 + 3n + 1) 2 1. Tím jsme dokázali, že neexistuje žádné přirozené číslo n, které vyhovuje zadání. Podobnost (analogie) objektů, jevů a postupů Jedná se o podobnosti mezi typy příkladů. Například dělení mnohočlenu mnohočlenem se provádí podle stejných postupů jako dělení víceciferného čísla aspoň číslem dvojciferným. Dále například věty o podobnosti trojúhelníků a věty o shodnosti trojúhelníků nebo práce s mocninami se provádí podle stejných principů jako práce s odmocninami. (Šimoník a kol., 2010) 40

42 Příklad 3 Vypočítej zpaměti: Obr. č. 10: Příklad 3 (Odvárko, Kadleček, 1999) Řešení: b) 1 4, 1 25, 1 64, 1 9, 1 16, 1 81 c) 4, 49, 64, 9, 36, Příklad 4 Obr. č. 11: Příklad 4 (Odvárko, Kadleček, 1999) Řešení: a) 4 b) 1 c) 0 d) 121 e) 0,01 f) 0,16 g) 1 16 h)

43 Paradoxy, kouzla a triky Tyto úlohy jsou pro žáky velice motivující a zajímavé. Příklad 5 Zapiš si libovolné trojciferné číslo. Vedle zapsaného čísla napiš znovu toto číslo. Obdržíš šesticiferné číslo. Vyděl toto číslo 13. Podíl vyjde beze zbytku, vyděl ho 11. Opět nevyjde žádný zbytek. Vyděl poslední podíl 7. Dělení je opět beze zbytku, vyšlo ti původní číslo, které jsi si zapsal. Jak je to možné? Řešení: Součin = 1001, když vynásobíme libovolné trojciferné číslo abc číslem 1001 obdržíme šesticiferné číslo abc abc. (Např = ) Humor Matematika může být pro žáky mnohdy nezajímavá a nezábavná. Ale i přesto je možné žákům ukázat, že matematika může být při správném podání zábavná a zajímavá. Učitelé například mohou žákům látku vysvětlovat pomocí vhodných vtipů, díky kterým si pak žáci mohou látku lépe zapamatovat. Matematické hlavolamy, úlohy z rekreační matematiky V této oblasti lze využít jakýkoliv úloh na přemýšlení a představivost. Mezi nejznámější hlavolamy patří například ježek v kleci nebo pro některé nevyřešitelná Rubikova kostka. Mezi úlohy z rekreační matematiky pak můžeme řadit sudoku nebo třeba řešení magických čtverců. (Šimoník a kol., 2010) Příklad 6 Doplň čísla do magického čverce. (Magický čtverec je čtvercová tabulka čísel, která má v každém řádku, sloupci i na obou diagonálách členy se stejným součtem. Obvykle se každé číslo smí vyskytovat v tabulce pouze jednou). (Roskovec, 2017) 42

44 Obr. č. 12: Příklad 6 ( Řešení: Obr. č. 13: Řešení příkladu 6 Motivace užitím pohádek Tento druh motivace je důležitý především na prvním stupni, ale mnohdy je i na druhém stupni motivace pomocí pohádkových příběhů používána. Příklad 7 Vítr Nezbeda rozfoukal zapomětlivému čaroději Zbabovi jeho kouzelnou formuli. Ale rozfoukaná písmenka se potom podle abecedy seřadila takto za sebe: AAAAAABBDKKRR. Pomozte Zababovi jeho kouzelnou formulku sestavit. Kolik různých slov by z nich musel Zababa sestavit, kdyby se mu smůla lepila na paty a kouzelnou formulku sestavil až jako poslední? Řešení: Zaklínadlo zní: ABRAKA DABRAKA. Kdyby měl smůlu musel by sestavit 13! : (6!. 2!. 2!. 2!) různých slov ( možností). 43

45 Finanční matematika Finanční matematika může být pro žáky důležitá, protože jim prakticky ukazuje, jak se mají chovat k financím. (Škrabánková a kol., 2013) Příklad 8 Do banky uložíme na počátku roku částku Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná? Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení). Řešení: 1. rok 100 % Kč 1 % Kč Úrok: Daň: 2 % Kč 15 % ze 160 Kč Kč Zvýšení vkladu: ( ) Kč = Kč 2. rok 100 % Kč 1 %... 81,36 Kč Úrok: 2 % ,72 Kč Daň: 15 % ze 162,72 Kč... 24,408 Kč Zvýšení vkladu: ( ,72 24,408) Kč = 8 274,312 Kč Rozdíl stavu na konci druhého roku a vkladu: (8 274, ) Kč = 274, 312 Kč Banka nám vyplatí za 2 roky úrok v částce (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč. Didaktické hry a soutěže Didaktické hry a soutěže zahrnují podle některých autorů veškeré tvořivé aktivity a vše, co poskytuje žákům možnost alespoň částečné seberealizace. (Machů, 2009). Mezi oblíbené činnosti žáků patří hádanky, rébusy, křížovky, přesmyčky, šifrované 44

46 texty nebo deskové a jiné hry podporující logické myšlení. Další možností pro žáky je účast na matematických soutěžích, jako je Matematický Klokan, Pythagoriáda a Matematická olympiáda. Každý jedinec je motivován jinou motivační oblastí, která vychází z jeho druhu nadání. Zájem žáků o matematické problémy nevyvolává pouze matematická motivace, ale motivace z oblasti matematiky, která je však propojena s jinou problematikou. Do klasifikace mezioborových poznávacích motivačních technik patří několik oblastí. motivace užitím historie matematiky, aplikace matematických poznatků v přírodovědných předmětech a v technice, matematika a život člověka, matematika a umění, informační a komunikační technologie v matematice, matematika a ekologie (Šimoník a kol., 2010). Součástí práce s nadanými je i postoj učitelů k výuce a žákům. Důležité je, aby učitel ovládal a uměl poznatky z učiva a vhodně didakticky je žákům předával. Nicméně je také důležité, aby byl zapálený pro svůj předmět a jeho pozitivní naladění. Mezi efektivní přístupy učitelů k přírodovědně nadaným žákům patří: Dát žákům prostor pro své vlastní přemýšlení, objevování a diskutování. Ukázat žákům, že i učitel se může mýlit. Používat argumenty založené na logické úvaze, zdůvodňovat své požadavky. Žákům naslouchat a přijímat od nich informace. Podporovat jejich touhu po poznávání a činnosti. Zapojovat se do společných aktivit se žáky a pracovat s nimi s nadšením. Zdůrazňovat jejich pozitivní hodnocení (kladné stránky výkonu, nikoliv chyby) (Šrabánková, 2013). 45

47 9.2. Matematické soutěže Mezi doplňkové aktivity pro žáky s nadáním na matematiku a logické uvažování patří matematické soutěže. Tyto soutěže se pořádají každý rok a existuje několik typů. První kola soutěže probíhají ve škole, kterou žák navštěvuje. Výsledky potom zpracovává její vyhlašovatel. Soutěž slouží žákům k porovnání jejich výkonů a dovedností. Pokud žáci uspějí, mohou ve většině soutěží postoupit do vyšší úrovně soutěže a soupeřit tak s větší konkurencí. Matematické soutěže poskytují nadaným žákům setkávat se s jinými nadanými žáky a možnost uvědomění si, že nejsou jediní nadaní. Umožňují žákům posílit své příznivé vztahy k matematice anebo si v ní třeba i najít zalíbení. V zadáních těchto soutěží se neustále objevují nové příklady, tak aby se žáci neustále rozvíjeli. MŠMT (Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy) vyhlašuje většinu těchto soutěží, které jsou rozděleny do dvou kategorií. Do kategorie A, kterou MŠMT vyhlašuje a zároveň i financuje, a kategorie B, na které se podílí i další vyhlašovatelé, a to i finančně. Je vyhlašována i kategorie C, na které se však MŠMT finančně nepodílí. (Vocílková, 2016) Matematický klokan Mezinárodně koordinovaná soutěž, Matematický klokan, je určena všem žákům od čtvrtých tříd až po žáky střední školy. Do soutěže se může přihlásit jakýkoliv zájemce o matematiku, nebo i ti, kteří si tyto neobvyklé úlohy chtějí pouze vyzkoušet. Hlavním cílem Klokana je navýšit zájem o matematiku a ukázat, že matematiky může v mnoha směrech zajímavá. Nabízí žákům možnost vyzkoušet si neobvyklé úlohy, se kterými se v běžné matematice nesetkají. Právě totiž úlohy, které žáky svým obsahem zaujmou, podnítí jeho aktivitu, tvořivou činnost a rozvoj jeho myšlení. Soutěž nabývá zajímavé atmosféry, protože probíhá ve všech pořadatelských zemích zároveň, a to, koncem března ve stejný den a stejnou hodinu. Pro celý svět jsou zadání matematických úloh stejné, takže všichni mají stejná pravidla. Úlohy připravují odborníci na mezinárodních pracovních seminářích. Z velkého množství navržených příkladů z různých evropských států vybírá skupina padesáti 46

48 zkušených profesorů z více než dvaceti zemí konkrétní příklady. Dalším bodem programu těchto seminářů je diskuze na téma sjednocování učebních osnov v rámci integračních evropských snah. Protože každá země věnuje tématu různou pozornost, má právo změnit nejvýše pět úloh ze společně vybraných. Soutěž je rozdělena do pěti kategorií: 1. Kategorie Klokánek je určena pro žáky 4. a 5. tříd ZŠ 2. Kategorie Benjamín pro žáky 6. a 7. tříd ZŠ a pro studenty primy a sekundy 3. Kategorie Kadet určeno pro žáky 8. a 9. tříd ZŠ a studenty tercie a kvarty 4. Kategorie Junior pro studenty 1. a 2. ročníku SŠ a kvinty a sexty 5. Kategorie Student pro studenty 3. a 4. ročníku SŠ a septimy a oktávy V testu u kategorie Klokánek je celkem čtyřiadvacet příkladů a na jeho vypracování je stanovena doba šedesáti minut. V ostatních kategoriích je úkolem žáků řešit třicet úloh v časovém rozmezí pětasedmdesáti minut. Soutěžní úlohy jsou rozděleny podle obtížnosti na úlohy za tři, čtyři a pět bodů. Každý soutěžící vstupuje do soutěže se 30 (24) body. Za správnou odpověď získává příslušný počet bodů a za špatnou odpověď 1 bod ztrácí (v nabídce je pět odpovědí). ( Pro názornost a představu je zde uvedeno několik zadání příkladů z různých kategorií. Klokánek Příklad 9 (úloha za 4 body) Adámkova tabulka má 11 políček. Do každého z osmi sousedních políček vložil po jedné minci. (Má osm mincí položených hned vedle sebe.) Kolik je políček, ve kterých jsme si jisti, že musí mince být? 47

49 Obr. č. 14: Příklad 9 ( (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Řešení: D Benjamín Příklad 10 (úloha za 5 bodů) Obvod obdélníku ABCD je 30 cm. Další tři obdélníky mají strany rovnoběžné se stranami obdélníku ABCD. Přitom jejich středy leží ve vrcholech A, B a D. Součet obvodů těchto tří obdélníků je 20 cm. Určete obvod vzniklého obrazce délku vyznačené lomené čáry. Obr. č. 15: Příklad 10 ( (A) 50 cm (B) 45 cm (C) 40 cm (D) 35 cm (E) není možno jednoznačně určit Řešení: C 48

50 Kadet Příklad 11 (úloha za 4 body) Ve třídě je 20 žáků. Sedí po dvojicích tak, že třetina chlapců sedí s dívkami a polovina dívek sedí s chlapci. Kolik je ve třídě chlapců? (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 16 (E) 18 Řešení: B Junior Příklad 12 (úloha za 5 bodů) Čtyři zaměstnanci drážní společnosti strojvedoucí, průvodčí, pokladní a výpravčí se sešli u kulatého stolu. Strojvedoucí sedí po levé ruce Andrey. Průvodčí sedí naproti Benovi. Eva a Filip sedí vedle sebe. Pokladní má po levé ruce ženu. Které povolání vykonává Eva? (A) průvodčí (B) strojvedoucí (C) pokladní (D) výpravčí (E) nelze jednoznačně určit Řešení: A Student Příklad 13 (úloha za 3 body) O úseku řeky je známo, že z každého bodu jejího břehu má nejkratší most přes řeku stejnou délku. Který z následujících obrázků neznázorňuje tento úsek? Obr. č. 16: Příklad 13 ( Řešení: A 49

51 Matematická olympiáda Na pořádání matematické olympiády se podílí Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy (MŠMT), Matematický ústav Akademie věd ČR a Jednota českých matematiků a fyziků. Soutěž je rozdělena do specifických kategorií a účastní se jí základní i střední školy. Pro soutěžící je pořádáno školní kolo, okresní kolo, pro nejvyšší kategorii i krajské kolo. Dále je kolo ústřední, kterého se však účastní pouze studenti víceletých gymnázií. Nejúspěšnější studenti z jednotlivých států potom mají možnost soutěžit i v mezinárodním kole. Školní kolo plní žáci doma (6 úloh). Za úspěšné splnění testu se považují, kteří úspěšně spočítali alespoň 4 příklady. Odpovědi potom konzultuje žák s učitelem, který potom přihlásí žáka do okresního kola. V okresním kole, se počet příkladů a časové omezení mění podle kategorií. Kategorie Z5 má tři úlohy a 90 minut, Z6, Z7 a Z8 má tři úlohy a na ně dvě hodiny a kategorie Z9 řeší čtyři úlohy, na které mají čtyři hodiny. Ti, kteří dosáhli alespoň poloviny bodů mohou dále postoupit do krajského kola, které probíhá podobně jako kolo okresní. (Vocílková, 2016) Pro představu uvedu po příkladu z každé kategorie soutěže v prvním kole. Z5 Příklad 14 Prodavač vánočních stromků prodával smrčky po 220 Kč, borovičky po 250 Kč a jedličky po 330 Kč. Ráno měl stejný počet smrčků, jedliček i boroviček. Večer měl všechny stromky prodané a celkem za ně utržil Kč. Kolik stromků toho dne prodavač prodal? Řešení: Trojice smrček, borovička a jedlička stála dohromady = 800 Kč. Prodavač takových trojic za celý den prodal : 800 = 45. Celkem tedy prodal 3 45 = 135 stromků. 50

52 Z6 Příklad 15 Čtyři rodiny byly na společném výletě. V první rodině byli tři sourozenci, a to Alice, Bětka a Cyril. V druhé rodině byli čtyři sourozenci, a to David, Erika, Filip a Gábina. V třetí rodině byli dva sourozenci, a to Hugo a Iveta. Ve čtvrté rodině byli tři sourozenci a to Jan, Karel a Libor. Cestou se děti rozdělily do skupin tak, že v každé skupině byly všechny děti se stejným počtem bratrů a nikdo jiný. Jak se mohly děti rozdělit? Určete všechny možnosti. Řešení: V každé skupině jsou jenom děti se stejným počtem bratrů a počet bratrů každého dítěte je ze zadání známý. Proto se děti mohly rozdělit jediným možným způsobem. Stačí postupně určit počty bratrů každého dítěte a utvořit odpovídající skupiny: Alice a Bětka mají jednoho bratra, Cyril žádného, Erika a Gábina mají dva bratry, David a Filip jednoho, Iveta má jednoho bratra, Hugo žádného, Jan, Karel a Libor mají dva bratry. Děti se tedy rozdělily do tří skupin: Erika, Gábina, Jan, Karel, Libor Alice, Bětka, David, Filip, Iveta Cyril, Hugo Z7 Příklad 16 Obr. č. 17: Příklad 16 ( 51

53 Řešení: Číslo je součinem prvního součinitele a druhé číslice druhého sou- činitele. Přitom = 707 7, tudíž Obr. č. 18: Příklad 16 Poslední pomocný součin je součinem 707 a první číslice druhého součinitele. Přitom tento součin je trojmístný, tudíž ona číslice může být jedině 1. Obr. č 19: Příklad 16 První pomocný součin je součinem 707 a třetí číslice druhého součinitele. Přitom tento součin je čtyřmístný, tudíž ona číslice musí být větší než 1. Po dosazení všech číslic od 2 13 do 9 a dopočítání příkladu zjišťujeme, že čtvrtá číslice ve výsledku je rovna 4, pouze když neznámá číslice je 6. Úloha má jediné řešení, a to: Obr. č. 20: Příklad 16 ( Z8 Příklad 17 Na každé stěně pravidelného osmistěnu je napsáno jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a 8, přičemž na různých stěnách jsou různá čísla. U každé stěny Jarda určil součet čísla na ní napsaného s čísly tří sousedních stěn. Takto dostal osm součtů, které také sečetl. Jakých hodnot může tento výsledný součet nabývat? 52

54 Řešení: Číslo na každé stěně je započítáno celkem ve čtyřech dílčích součtech (každá stěna se počítá jednou jako prostřední a třikrát jako sousední). Proto je také ve výsledném součtu každé z čísel započítáno čtyřikrát. Výsledný součet tedy nabývá hodnoty 4 ( ) = 4 36 = 144, a to nezávisle na tom, jak byla čísla na stěnách osmistěnu napsána. Z9 Příklad 18 Julince se zakutálel míček do bazénu a plaval ve vodě. Jeho nejvyšší bod byl 2 cm nad hladinou. Průměr kružnice, kterou vyznačila hladina vody na povrchu míčku, byl 8 cm. Určete průměr Julinčina míčku. Řešení: Následující obrázek znázorňuje řez míčku, který prochází jeho středem (bod S) a je kolmý k hladině (přímka AB). Bod C je patou kolmice z bodu S k hladině a bod D je nejvyšším bodem míčku nad hladinou. Obr. č. 21: Příklad 18 Ze zadání víme, že AC = 4 cm a CD = 2 cm. Poloměr míčku SA = SD ozna- číme r. Podle Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku ACS dostáváme: r 2 = (r 2) 2, r 2 = 16 + r 2 4r + 4, 4r = 20, r = 5. Julinčin míček měl průměr 10 cm. ( 53

55 Pythagoriáda Pythagoriáda patří mezi oblíbené matematické soutěže. Je určena všem žákům 5., 6., 7.a 8. ročníků základních škol a jim odpovídajících ročníků víceletých gymnázií, kteří mají zájem o matematiku. Časový rozpětí soutěže je 60 minut. Test obsahuje 15 úloh a úspěšným řešitelem školního kola je ten žák, který dosáhne minimálně 9 bodů, v okresním kole je hranice zvýšena na 10 bodů. 6. ročník Příklad 19 Vendův dědeček chová krásné zdravé králíky a slepice. Venda si všiml, že počet králičích nožiček je trojnásobkem počtu slepičích zobáčků. V kurníku našel děda 8 vajec a zaradoval se: Tak dneska snesla vajíčko každá! Kolik má děda králíků? Řešení: 6 králíků 7. ročník Příklad 20 Čtyři sourozenci mají dohromady Kč. Každý z nich kromě nejmladšího má o 10 Kč méně, než mají všichni jeho mladší sourozenci dohromady. Kolik Kč má nejbohatší z nich? Řešení: 760 Kč 8. ročník Příklad 21 Taneční soubor účastnící se slavného karnevalu měl v plánu tančit v útvaru s řadami po pěti. Jeden z téměř stovky tanečníků tohoto souboru se na sraz nedostavil, a proto by při seřazování po pěti zbylo v jedné z řad prázdné místo. Trenér zjistil, že v žádné řadě nebude prázdné místo, budou-li se řadit po čtyřech nebo po sedmi tanečnících. Kolik tanečníků na sraz dorazilo? 54

56 Řešení: 84 tanečníků ( Zajímavé příklady pro nadané žáky Příklad 22 Maminka potřebuje na chlaupě odměřit přesně 4 litry vody na šťávu. Bohužel má k dispozici jen dvě nádoby. Jedna je přesně na 5l, druhá přesně na 3l. Dokážeš mamince vodu odměřit? Obr. č. 22: Příklad 22 (Rosecká, 2008) Možné řešení: 1) Naplníme 2 krát za sebou nádobu třílitrovou a vodu přeléváme do nádoby pětilitrové, z naplněné pětilitrové nádoby vodu vylijeme. 2) Litr vody, který zbyl v třílitrové nádobě, přelijeme do prázdné pětilitrové nádoby. 3) Znovu naplníme třílitrovou nádobu a máme celkem 4 litry vody. 55

57 Příklad 23 Obr. č. 23: Příklad 23 (Rosecká, 2008) Řešení: Obr. č 24: Řešení příkladu 23 (Rosecká, 2008) 56

58 Příklad 24 Obr. č. 25: Příklad 24 (Rosecká, 2008) 57

59 Řešení: Obr. č. 26: Řešení příkladu 24 (Rosecká, 2008) Příklad 25 Obr. č. 27: Příklad 25 (Fořtík, Fořtíková, 2007) Řešení: D 58

60 Příklad 26 Obr. č. 28: Příklad 26 (Fořtík, Fořtíková, 2007) Řešení: A = 2, B = 3, C = 4, D = 9, E = 8, F = 1, G = 6, H = 7 Příklad 27 Obr. č. 29: Příklad 27 (Fořtík, Fořtíková, 2007) Řešení: Obr. č. 30: Řešení příkladu 27 (Fořtík, Fořtíková, 2007) 59

61 Příklad 28 Obr. č. 31: Příklad 28 (Fořtík, Fořtíková, 2007) Řešení: Obr. č. 32: Řešení příkladu 28 (Fořtík, Fořtíková, 2007) Příklad 29 V kleci bylo 5 papoušků, jejichž průměrná cena činila 600 Kč. Během čistění klece jeden z papoušků uletěl, čímž průměrná cena zbývajících čtyř papoušků klesla na 500 Kč. Kolik stál papoušek, který uletěl? Řešení: A) 100 Kč B) 200 Kč C) 550 Kč D) 600 Kč E) Kč Obr. č. 33: Řešení příkladu 29 (Hodaňová a kol., 2007) 60

62 Příklad 30 Obr. č. 34: Příklad 30 (Hodaňová a kol., 2007) Řešení: Obr. č. 35: Řešení příkladu 30 (Hodaňová a kol., 2007) 61