1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019

Transkript

1 Váhy 1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019 Vážením na rovnoramenných vahách zjistíme, která strana je těžší, resp. že jsou obě stejně těžké. Na misky vah můžeme dávat i více než jeden předmět. Předměty stejných tvarů váží stejně. Seřaďte je podle váhy. Fíla do vrcholů pravidelného šestiúhelníka umístil závažíčka s vahami 1, 2, 3, 4, 5 a 6 gramů (v tomto pořadí vedle sebe). Zlotřilá Hedvika ale v nestřeženém okamžiku dvě závažíčka prohodila a přiznala mu jen, že vyměnila nějaká v protilehlých vrcholech. Fíla by rád pomocí svých rovnoramenných vah zjistil která, ale zároveň je velmi líný, a tak chce vážit pouze jednou. Jak to má udělat? Rado má 2 n medailí zabalených ve stejných neprůhledných obalech. Polovina medailí je stříbrných a polovina je zlatých. Všechny medaile stejného typu váží stejně, přičemž zlaté jsou těžší. Michal by rád viděl nějakou zlatou medaili, ale Rado nechce otevřít víc než jeden obal. Jak ji může s jistotou najít na n vážení na rovnoramenných vahách? Úloha 4. Martin má N > 1 sušenek. Všechny sušenky jsou stejně těžké až na jednu, která je otrávená a váží jinak, není ale známo, zdali více, nebo méně. Martin ji hledá pomocí rovnoramenných vah. Verča ho ovšem pozoruje a kdykoliv si je z dosavadního měření jistá, že nějaká sušenka není otrávená, okamžitě ji sní a Martin ji pak už nemůže používat k vážení. Martin chce najít otrávenou sušenku a zjistit, zdali je lehčí, nebo těžší než běžné sušenky. Pro která N umí postupovat tak, že se mu to i přes Verčino obžerství a libovolnou dávku smůly vždy podaří?

2 Úloha 5. Tonda má rovnoramenné váhy a 100 stejně vypadajících hůlek, z nichž přesně 30 je kouzelných. Každá kouzelná hůlka je lehčí než každá nekouzelná, ale hůlky stejného typu nemusí vážit stejně. Určete nejmenší N takové, že Tonda umí najít alespoň jednu zaručeně kouzelnou hůlku pomocí nanejvýš N vážení. Úloha 6. Áďa našla 2000 plechovek, z nichž 1000 je plných a 1000 prázdných. Všechny plné váží 500 g a všechny prázdné 100 g. Na kolik nejméně vážení na rovnoramenných vahách lze vždy vytvořit dvě stejně početné hromady plechovek (není potřeba použít všechny plechovky), aby každá hromada měla jinou váhu? Úloha 7. Pavel má pět mincí, každou jinak těžkou, a kouzelné váhy se třemi miskami. Ty pro každou uspořádanou trojici mincí řeknou, jestli jsou uspořádané podle hmotnosti od nejlehčí po nejtěžší, nebo ne. Ukažte, že když bude mít Pavel smůlu, nebude schopen na devět vážení seřadit mince podle hmotnosti. Úloha 8. Kuba má 3 2n mincí, mezi nimiž je jedna falešná lehčí než ostatní, které všechny váží stejně. Dále má troje rovnoramenné váhy, z nichž dvoje fungují normálně a jedny ukazují náhodné výsledky. Ukažte, že Kuba umí na 3n + 1 vážení najít falešnou minci.

3 Pravděpodobnost II 2. seriálová série Termín odeslání: 4. února 2019 Stádečko 250 PraSátek se rozhodlo uspořádat filmovou noc. Začala tím, že vyrobila seznam 100 filmů a z nich nyní chtějí vybrat nějaké, které pak budou promítat. Každé PraSátko má přitom seznam deseti filmů, které se mu líbí, a seznam deseti filmů, které se mu nelíbí (jednotlivé seznamy se mohou libovolně překrývat). (a) Dokažte, že můžeme vybrat nějaké filmy tak, že každé PraSátko uvidí alespoň jeden film ze seznamu těch, které se mu líbí, ale nejvýše devět filmů ze seznamu těch, které se mu nelíbí. (b) Dokažte, že je to možné, i pokud přidáme podmínku, že vybraných filmů musí být nejvýše 50. (2 body) Noe vzal na archu n dvojic zvířat. Když po několika dnech začal být hladový, rozhodl se, že vybere k náhodných zvířat a sní je. Jaká je střední hodnota počtu různých druhů zvířat, která Noe vybral? 1 Na Matfyzu se sešlo n informatiků a matematiků, přičemž každý matematik zná alespoň jednoho informatika. Ukažte, že můžeme vybrat takovou skupinu matfyzáků o velikosti alespoň n/2, aby uvnitř ní každý matematik znal lichý počet informatiků. 1 Pokud například Noe vybral lva, lvici a jednorožce, jedná se o dva různé druhy.

4 Tečny 2. jarní série Termín odeslání: 4. března 2019 Petr si do sešitu namaloval takovýto obrázek tvořený třemi jednotkovými kružnicemi a jejich společnými tečnami, které procházejí jedním bodem. Všiml si, že krajní kružnice se dotýkají prostřední kružnice. Jakou velikost má vyznačený úhel? E.T. nakreslil do roviny tři jednotkové kružnice a tři přímky tak, aby žádné dvě kružnice ani žádné dvě přímky nesplývaly a každá přímka se dotýkala všech tří kružnic. Nalezněte nějaký možný obsah trojúhelníku vytvořeného ze středů těchto kružnic. Nechť ABCD je lichoběžník s AB CD. Kružnice opsaná trojúhelníku BCD protne přímku DA v bodě E různém od D. Ukažte, že CB je tečna ke kružnici opsané trojúhelníku ABE. Úloha 4. Na straně AC trojúhelníku ABC leží bod X. Na stranách AB a BC nalezneme takové body P a Q, aby P X byla tečna ke kružnici opsané XBC a QX byla tečna ke kružnici opsané XBA. Ukažte, že přímka P Q je rovnoběžná s AC. Úloha 5. Kružnice k a l se protínají ve dvou bodech, jeden z nich označme B. Tečna ke kružnici l procházející bodem B protíná kružnici k podruhé v bodě A. Analogicky tečna ke kružnici k procházející bodem B protíná kružnici l podruhé v bodě C. Označme M druhý průsečík kružnice k a přímky AC a N druhý průsečík kružnice l a přímky AC. Ukažte, že pokud body leží na přímce AC v pořadí A, N, M, C, pak platí 2 MN < AC.

5 Úloha 6. V trojúhelníku ABC protíná osa úhlu BAC stranu BC v bodě K. Označme M střed oblouku 1 BAC. Druhý průsečík přímky MK s kružnicí opsanou ABC označíme D. Tečny ke kružnici opsané ABC z bodů A a D se protínají v bodě T. Nechť R je průsečík kolmice na AK v bodě A s kolmicí na DK v bodě D. Ukažte, že body T, R a K leží na jedné přímce. Úloha 7. Hedvika našla v rovině kružnici k a bod P vně k. Z bodu P nakreslila dvě tečny ke k, body dotyku pojmenovala A a B. Bod Q umístila tak, aby A byl střed úsečky P Q. Následně přišel Tonda a na úsečce AB nakreslil bod L. Kružnice opsaná trojúhelníku P LB protla k podruhé v bodě T. Ukažte, že ať už byl Tonda jakkoli zákeřný, vždy platí P BT = QLA. Úloha 8. Buď ABC trojúhelník splňující 2 ABC = BCA. Označme ω kružnici jemu opsanou. Nechť tečna k ω z bodu A protíná přímku BC v bodě E. Buď Ω kružnice procházející bodem B, které se přímka AC dotýká v bodě C. Nechť přímka AB podruhé protíná Ω v bodě F. Z bodu E vedeme tečnu k Ω s bodem dotyku K tak, aby body A a K byly na různých stranách od přímky BC. Označme M střed oblouku BC na ω neobsahujícího A. Ukažte, že AF MK je tětivový čtyřúhelník. 1 Obloukem BAC myslíme oblouk s koncovými body B a C procházející bodem A.