Angle chasing. Michal Kenny Rolínek
|
|
- Bedřich Hruška
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Angle chasing Michal Kenny Rolínek Anglechasingneboličesky počítáníúhlů jenejsilnějšígeometrickátechnikavůbec. Přestože jsou její principy jednoduché, ovládnout ji důkladně se podaří málokomu. Na přednášce si ukážeme základní strategie při řešení úloh a vyřešíme s jejich pomocí úlohy jak klasické, tak i ty nejzajímavější úlohy z posledních let. Základy angle chasing Tvrzení.(charakteristika tětivových čtyřúhelníků) Nechť ABCD je konvexní čtyřúhelník. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) ABCD je tětivový(má opsanou kružnici). (ii) ACB = ADB. (iii) ABC + ADC =180. Tvrzení.(úsekový úhel) Nechť ABCD je čtyřúhelník vepsaný do kružnice k a ppřímkaprocházejícíbodem A.Napřímce pzvolmebod Xtak,abyúhel XAB bylostrý.pakplatí,že pjetečnakružnice k,právěkdyž XAB = ACB. Definice.(antirovnoběžnost) Je dán úhel XV Y. Je-li přímka p rovnoběžná sosovýmobrazempřímky qpodleosyúhlu XV Y,pakpřímky p, qnazveme antirovnoběžné vzhledem k úhlu XV Y. Tvrzení.(Oantirovnoběžkách) Jedánúhel XV Y.Pakrůznépřímky p, qjsou v něm antirovnoběžné, právě když jejich průsečíky s rameny úhlu tvoří tětivový čtyřúhelník. Dobré rady (i) Určete, které úhly jsou v úloze dominantní. (ii) Rozmyslete si, které úhly umíte vyjádřit pomocí dominantních úhlů. (iii) Na kružnicích pracujte s velikostmi oblouků. (iv) Postupujteodpředu( Vím,že... )iodzadu( Stačilobymi... ). (v) Do obrázku kreslete s rozmyslem. (vi) Naučtese(ideálněnazpaměť!)úhlyvběžnýchsituacíchatypakvúlohách hledejte(jsou tam častěji, než si myslíte). (vii) Přeformulujte zadání tak, abyste měli v ruce co nejsilnější tvrzení. Typické příklady Příklad1. Nastranách BC, CDčtverce ABCDjsouzvolenybody P, Qtak, že QAP =45.Dálebuďte X= AP BD, Y = AQ BD.Ukažte,žebody X, Y, P, Q, Cležínajednékružnici. 20
2 Michal Kenny Rolínek:Anglechasing Příklad2.(Lemmaodvoukružnicích) Jsoudánykružnice k, l,kteréseprotínajívbodech A, BNakružnici kzvolmebod Xasestrojme Y jakoprůsečík přímky XBskružnicí l.ukažte,ženezávislenavolběbodu X mátrojúhelník AXY vždy stejné vnitřní úhly. Příklad 3.(Brocard point) Je dán trojúhelník ABC. Sestrojme kružnici, která sedotýkástrany ABvbodě Aaprocházíbodem C.Analogicky(cyklickouzáměnou) sestrojme další dvě kružnice. Ukažte, že tyto kružnice se protínají v jednom bodě. Příklad4.(Simsonline) Jedántrojúhelník ABCabod Dnajehokružnici opsané.zbodu Dspustíme(!)kolmicenastrany BC, CA, AB ajejichpaty označíme P, Q, R.Dokažte,že P, Q, Rležívpřímce. Příklad 5.(O přetržené kružnici) Uvnitř rovnoběžníka ABCD je dán bod P takový,žeplatí APB + CPD =180.Dokažte PBC = PDC. Příklad6. Jsoudánykružnice k, l,kteréseprotínajívbodech A, B.Označme K, Lpořadědotykovébodyjejichspolečnétečnyzvolenétak,žebod Bjevnitřním bodemtrojúhelníku AKL.Nakružnicích ka lzvolmepořaděbody Na Mtak, abybod Abylvnitřnímbodemúsečky MN.Dokažte,žečtyřúhelník KLMNje tětivový, právě když přímka M N je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. (MO A-60-I) Lehké příklady Příklad7. Jedántětivovýčtyřúhelník ABCD.Označme P= AB CD, Q= = BC DA.Dokažte,žeosyúhlů APDa BQDjsounasebekolmé. Příklad 8. Je dán pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C. Osy úhlů BACa ABCprotnoustrany BCa CApostupněvbodech P a Q.Patykolmic vedenýchzbodů Pa Qnapřímku ABoznačmepostupně M, N.Určetevelikost úhlu MCN. (BritskáMO1995) Příklad 9. Čtverec ABCD je vepsaný do kružnice k. Na kratším oblouku AB kružnice kzvolmebod P.Dálebuďte X= PD AB, Y = PC BD.Dokažte,že XY BD. Příklad 10. Průsečík úhlopříček lichoběžníku ABCD vepsaného do kružnice k sestředem O ABoznačme E.Nalezněmebod Ftak,aby AOEFbylrovnoběžník.Ukažte,že AP = PD. (KMS09/10) Příklad 11. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník. Sestrojme body K, L, M, N tak, aby ABM N a LBCK byly shodné pravoúhelníky připsané zvenčí ke stranám ABa BC.Dokažte,žepřímky AL, NK, MCprocházejíjednímbodem. 21
3 Dobrá Voda 10 Příklad 12. Čtverec ABCD je vepsaný do kružnice k. Na kratším oblouku CD kružnice kzvolmebod L.Dálebuďte K = AL CD, M = AD CLaN = = MK BC.Dokažte,žebody B, L, M, Nležínajednékružnici. (MOA-54-III) Středně obtížné příklady Příklad 13.(Miquel point of quadrilateral) Je dán tětivový čtyřúhelník ABCD abody P= AB CD, Q=AD BC.Dokažte,žekružniceopsanétrojúhelníkům ABQ, CDQ, ADP, BCP procházejí jedním bodem. Příklad 14. Nechť I je střed kružnice vepsané ABC. Dále zvolme E AI tak, aby BE AI.Ukažte,žebod Eležínaspojnicibodůdotykukružnicevepsané se stranami AC, BC. Příklad 15. Nechť K jebodnastraně AB trojúhelníka ABC.Přímka CK protne kružnici opsanou podruhé v bodě L. Kružnice opsané trojúhelníkům AKL a BKLoznačmepostupně k 1, k 2.Dokažtenásledujícítvrzení: (i) ACjetečnou k 1,právěkdyž BCjetečnou k 2. (ii) Nechť ACprotne k 1 podruhévbodě P(P A)aBCprotne k 2 podruhé vbodě Q(Q B).Ukažte,žebody P, Q, Kležívpřímce. Příklad16. Vtrojúhelníku ABCoznačme A 0 patuvýškyzvrcholu A.Ukažte, žepatykolmicvedenýchzbodu A 0 nazbyléstranytrojúhelníkaazbylévýškyleží vpřímce. Příklad 17. Nechť AK, BL, CM jsou výšky v ostroúhlém trojúhelníku ABC a Hjehoortocentrum.Označme S= BL KM, Pstředúsečky AHa T= LP AM. Ukažte,že TS BC. Příklad 18. Kružnice k 1 a k 2 sestředy O 1, O 2 seprotínajívbodech A, B. Polopřímka O 1 Bprotne k 2 podruhévbodě F apolopřímka O 2 Bprotne k 1 podruhévbodě E.RovnoběžkasEFprocházejícíbodem Bprotne k 1, k 2 postupně vbodech M, N.Ukažte,žeplatí MN= AE+ AF. (Rusko1995) Příklad 19. Kružnice k má střed na straně AB tětivového čtyřúhelníka ABCD, přičemž zbylé strany tohoto čtyřúhelníka jsou tečny kružnice k. Ukažte, že platí AD + BC = AB. (IMO1985) Příklad 20. Dvě kružnice se protínají v bodech A, B. Bodem B veďme přímku, kteráprotneprvníkružnicivbodě Cadruhouvbodě D.Tečnakprvníkružnici vedenábodem Cprotnetečnukedruhékružnicivedenoubodem Dvbodě M. RovnoběžkasCM procházejícíprůsečíkem AM a CD protne AC vbodě K. Ukažte, že BK je tečna druhé kružnice. Příklad21. Nechť AD, BE, CFjsouvýškyvostroúhlém ABC.Dále P, Q, Rjsoupostupněstředyúseček EF, FD, DE.Ukažte,žekolmicevedenézbodů 22
4 Michal Kenny Rolínek:Anglechasing P, Q, Rpostupněnapřímky BC, CA, ABprocházejíjednímbodem. Příklad 22. Rovnoramennému trojúhelníku ABC ( AC = BC ) je vepsána kružnice,kterásedotýkájehostran AB, BCpostupněvbodech Da E.Přímka procházející bodem A různá od AE protíná kružnici vepsanou postupně v bodech F a G.Přímka ABprotíná EF a EGpostupněvK a L.Ukažte,že DK = = DL. (MEMO 2008) Příklad23. Dvězrcadlatvoříúhel XV Y.Zbodu Auvnitřtohotoúhluvyšleme paprsek světla, který se odrazí v bodech B, C ležících postupně na přímkách V Xa V Y apaksevrátíopětdo A.Ukažte,žestředkružniceopsané V BCleží na přímce V A. (KMS 09/10) Příklad24. Kružnice k, lseprotínajívbodech A, B.Společnátečna tsejich dotýkápostupněvbodech K, L.Dáletečnakekružniciopsané KLAvedená bodem Aprotne tvbodě H.Ukažte,že Hležínaspojnicistředů ka l. Těžké příklady Příklad 25. V tětivovém čtyřúhelníku ABCD existuje na úhlopříčce AC takový bod E,žeplatí AD = AE a CB = CE.Dálebuď Mstředkružnice kopsané trojúhelníku BDE.Kružnice kprotne ACpodruhévbodě F.Ukažte,žepřímky FM, AD, BCprocházejíjednímbodem. (MEMO2010) Příklad 26. Úhlopříčky lichoběžníka ABCD se protínají v bodě P. Bod Q leží mezirovnoběžkami BCa ADtak,že AQD = CQB apřímka CDodděluje body Pa Q.Dokažte,že BQP = DAQ. (IMOshortlist2007) Příklad 27. Označme D střed strany BC rovnoramenného trojúhelníka ABC ( AB = AC ).Bod Eležívnětrojúhelníka ABCtak,aby CE ABa BE = = BD.Buď M středúsečky BEabod F naleznemenakratšímoblouku AD kružniceopsanétrojúhelníku ABDtak,aby MF BE.Dokažte,že ED FD. (China girls MO 2010) Příklad 28. Konvexní pětiúhelník AXY ZB je vepsaný do půlkružnice s průměrem AB.Označme P, Q, R, S patykolmiczbodu Y postupněnapřímky AX, BX, AZ, BZ.Dokažte,žeostrýúhelmezipřímkami PQaRSmápoloviční velikost než úhel XOZ, kde O je střed úsečky AB. (USAMO 2010) Příklad 29. Kružnice k 1 a k 2 sestředy O 1, O 2 seprotínajívbodech A, B. Přímkavedenábodem Aprotnepodruhékružnice k 1, k 2 pořaděvbodech Y, Z. Nechťsetečnyvedenébody Y a Zpostupněkekružnicím k 1, k 2 protnouvbodě X a P = Y O 1 ZO 2.Označmeještě Ostředkružniceopsané ktrojúhelníku O 1 O 2 Ba Qjejídruhýprůsečíkspřímkou XB.Dokažte,že PQjeprůměrkružnice k. (China 1991) 23
5 Dobrá Voda 10 Příklad 30. Je dán rovnoběžník ABCD a bod E takový, že čtyřúhelník BCED je tětivový.bodem Aveďmepřímku lajejí průsečíkysúsečkami DC a BC označmepostupně Fa G.Předpokládejme,žeplatí EF = EG = EC.Dokažte, že l je osa úhlu DAB. (IMO 2007) Příklad 31. Nechť ABC je trojúhelník, v němž průsečíky strany BC s osou úhlu BACatěžnicízvrcholu Aoznačímepostupně N a M.Dálebuďte P a Qbody,vnichžkolmicekAN vedenábodem N protnepostupně MAaBA. Konečně OjeprůsečíkkolmicekABvedenébodem Papřímky AN.Dokažte,že OQ BC. (APMO 2000) Příklad32.(Pascaltheorem) Body A, B, C, D, E, F ležínajednékružnici. Ukažte,žebody P= AE BF, Q=BD CE, R=AD CFležínapřímce. Příklad 33. Označme O střed kružnice opsané ABC. Přímka vedená bodem Oprotne AB, ACpostupněvbodech Ma N.Označme RaSstředy CMa BN. Ukažte, že ROS = BAC. (KMS 09/10-γ) Příklad 34. Na kratším oblouku BC kružnice opsané trojúhelníku ABC zvolme bod K.Kružnice k, lmajíoběvnitřnídotykskružnicíopsanouvbodě K.První znichsedotýkástrany ABvbodě Madruhásedotýká ACvbodě N.Dokažte, žestředkružnicevepsané ABCležína MN. Příklad 35. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník, jehož strany jsou všechny různědlouhé.označme M, N a P postupněstředystran BC, CAaAB.Osy stran ABa BCprotínajípřímku AMpostupněvbodech DaE.Konečněbuď F = BD CE boduvnitř ABC.Dokažte,žebody A, N, F, P ležínajedné kružnici. (USAMO 2008) Literatura a zdroje [1] Fórum Mathlinks 24
Antirovnoběžnost. Michal Kenny Rolínek. Ocojde?
Antirovnoběžnost Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Příspěvekvysvětlujeprincipantirovnoběžnostinamnohaúloháchzčeských i zahraničních soutěží. Ukazuje i využití antirovnoběžnosti v moderní geometrii trojúhelníka.
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceGeometrie trojúhelníka Martin Töpfer
Geometrie trojúhelníka Martin Töpfer Abstrakt. Přehled známých vlastností trojúhelníka ilustrovaný na mnoha úlohách, které pochází hlavně z matematických olympiád posledních let. Cílem této přednášky je
VíceGeometrie trojúhelníka
Geometrie trojúhelníka Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Přednáškadůkladněseznamujeseznámýmivlastnostmitrojúhelníka. Též ukazuje, jak se dá rovnou ze zadání geometrické úlohy poznat, které postupy bude třeba
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceGeometrická zobrazení
Geometrická zobrazení Franta Konopecký Geometrická zobrazení jsou nádherná kapitola matematiky, do které když proniknete, tak už neuniknete. Pro lepší představu v tomto příspěvku najdete stručný přehled,
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceIvan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006
Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických
VíceČtyři body na kružnici
Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 1 / 19 Problematika čtyř bodů na kružnici důkazové úlohy matematické soutěže nedostatečná metodika v učebnicích
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceKruhová inverze. Pepa Tkadlec
Kruhová inverze Pepa Tkadlec ØÖ Øº Příspěvekseznamujesezákladnímivlastnostmi kruhovéinverzeana úlohách ze světových soutěží ilustruje, kdy je vhodné inverzi při řešení použít. Obsahuje jeden řešený příklad
Více1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019
Váhy 1. jarní série Termín odeslání: 4. února 2019 Vážením na rovnoramenných vahách zjistíme, která strana je těžší, resp. že jsou obě stejně těžké. Na misky vah můžeme dávat i více než jeden předmět.
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo
VíceNávody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B
Návody k úlohám domácí části I kola 59 ročníku MO kategorie B Soutěžní úloha 1 Na stole leží tři hromádky zápalek: v jedné 009, ve druhé 010 a v poslední 011 Hráč, který je na tahu, zvolí dvě hromádky
Více2. Která z trojice úseček může a která nemůže být stranami trojúhelníku. a) b)
Konstrukce trojúhelníku z daných stran 1. Trojúhelníková nerovnost 1. Porovnejte grafický součet každých dvou stran narýsovaných trojúhelníků se stranou třetí. Strany trojúhelníků můžete obtáhnout barevně.
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Čtyřúhelníky PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra matematiky. Brno Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Čtyřúhelníky Diplomová práce Brno 2008 Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc. Autor práce: Mgr. Marta Mrázová 1 Prohlášení Prohlašuji, že
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. O posloupnosti (a n ) n=1 víme, že pro všechna přirozená čísla n platí a n+1 = a 2 n a 2 n 4a n + 6. a) Najděte všechny hodnoty a 1, pro které je tato posloupnost
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceSpirální podobnost. k = b a. b O. Franta Konopecký
Spirální podobnost Franta Konopecký ØÖ Øº bsáhlýasouhrnnýelaborátospirálnípodobnosti(tj.složenístejnolehlosti a otočení), určený jednak jako ucelený studijní materiál využitelný i pro samostudium, druhak
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VícePovídání ke 3. podzimní sérii
Povídání ke 3. podzimní sérii Třetí série je věnována kružnicím. Každý ví, jak taková kružnice vypadá je to množina bodů se stejnou vzdáleností r od nějakého středu S. Kružnice však mají i další vlastnosti,
VíceMagická krása pravidelného pětiúhelníka
MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Magická krása pravidelného pětiúhelníka J. Nečas Abstract. The article presents various interesting relations in a regular pentagon and then expresses the values of goniometric
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
Vícez přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky
ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VícePomocný text. Kruhová inverze
Pomocný text Kruhová inverze Co je to kruhová inverze? Pod pojmem kruhová inverze se rozumí geometrické zobrazení, jehož vlastnostem se nyní budeme věnovat. Nechť je dána rovina, v ní ležící bod O, který
VíceÚlohy domácího kola kategorie A
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. V urně jsou jen bílé a černé kuličky, jejichž počet zaokrouhlen na stovky je 1 000. Pravděpodobnost vytažení dvou černých kuliček je
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Více1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině
1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma
Více9.5. Kolmost přímek a rovin
9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceMaturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceZajímavé matematické úlohy
Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceM - Planimetrie pro studijní obory
M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
Vícepřístupu k řešení dané úlohy je nutnost uvedení poměru na základní tvar.
nejspíš nějaké řešení mít měla a oni by ve svém výpočtu chybnou úvahu odhalili a opravili ji. ystrý čtenář už určitě nahlédl, že základním problémem při druhém přístupu k řešení dané úlohy je nutnost uvedení
VíceEU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost
ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceTrojpoměr v geometrii
Trojpoměr v geometrii Anša Lauschmannová Co to ten trojpoměr vlastně je? Definice. Trojpoměrem 6 bodu Cpřímky ABvzhledemkbodům A, Bnazýváme číslo(abc) definované takto: (i) leží-li Cnaúsečce AB,je(ABC)=
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
Více65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016
65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,
Více