APLIKACE. 1.1 Částice v jednorozměrném silovém poli

Transkript

1 Martin Lísal listopad 2003 APLIKACE 1 Paralelní tempering Paralelní tempering je způsob jak zefektivnit, urychlit či zlepšit vzorkování v Monte Carlo (MC) metodě. 1 Ukážeme si princip paralelního temperingu na jednoduchém případu částice v jednorozměrném silovém poli. 1.1 Částice v jednorozměrném silovém poli Představme si, že máme částici v jednorozměrném silovém poli. Částice má teplotu T a silové pole je charakterizované potenciálem U(x): U(x) =, x < 2 = 1 [1 + sin (2πx)], 2 x 1.25 = 2 [1 + sin (2πx)], 1.25 x 0.25 = 3 [1 + sin (2πx)], 0.25 x 0.75 (1) = 4 [1 + sin (2πx)], 0.75 x 1.75 = 5 [1 + sin (2πx)], 1.75 x 2 =, x > 2 Průběh U(x) je graficky zobrazen na obr. 1. Potenciál U(x) je charakterizován čtyřmi lokálními minimy oddělenými bariérami vzrůstající velikosti ve směru kladné osy x. 1.2 Monte Carlo metoda Pohyb částice v intervalu x < 2; 2 > (vzorkování fázového prostoru) budeme realizovat pomocí MC metody. MC metoda používá následující algoritmus: 1. Nechť se částice nachází v poloze x o a má zde hodnotu potenciálu U(x o ). 1 Význam anglického výrazu tempering je zřejmý z dalšího výkladu. 1

2 2. Vygenerujme novou pozici x n příkazem x n = x o + (2ζ 1 1) x max (2) kde ζ 1 je náhodné číslo z intervalu (0; 1) a x max je maximální posunutí ve směru x. Současně spočtěme hodnotu potenciálu v x n, U(x n ). 3. Spočtěme faktor a proveďme test zda exp { β [U(x n ) U(x o )]} (3) exp { β [U(x n ) U(x o )]} ζ 2 (4) V rovnicích (3) a (4) β = 1/(k B T ), k B je Boltzmannova konstanta a ζ 2 je opět náhodné číslo z intervalu (0; 1). Pokud je podmínka (4) splněna, pak nahradíme starou pozici x o novou pozicí x n. Pokud podmínka (4) není splněna, pohyb se nepřijme a pozice x o se nezmění. Výše popsaný postup se opakuje dostatečně dlouho než dojde k náležitému proměření fázového prostoru. MC procesem spočteme pravděpodobnost nalezení částice v místě x, P (x), pro různé teploty T. P (x) určíme následujícím způsobem: 1. Nadefinujeme velikost BIN u pro histogram, x. 2. Příkazem BIN = INT ((x o x min )/ x) + 1 (5) spočteme pořadí BINu v histogramu. V rovnici (5) je BIN deklarován jako INTEGER, x min je minimální hodnota x, kterou částice může dosáhnout (v našem případě x min = 2) a INT je vnitřní FORTRANská funkce, jež převádí čísla typu REAL na čísla typu INTEGER. 3. Akumulujeme histogram příkazem histogram(bin) = histogram(bin) + 1 (6) 4. Po skončení MC procesu normalizujeme histogram celkovým počtem MC pokusů. 2

3 MC program pro částici v jednorozměrném silovém poli může vypadat následovně: A Single Particle on a 1D Potential with Multiple Local Minima program SerPT implicit none integer,parameter :: maxhist=1000 real(8),parameter :: x_min=-2.0d0,x_max=2.0d0 integer :: idum,ncyclus,nprint, & nacp_loc,ntri_loc,nc,ih, & histogram(maxhist) real(8) :: temp,beta, & dxmax,x,ux, & dx,rat_loc Auxiliary Variables dxmax=0.1d0 dx=0.025d0 Init idum idum=-471 Input print*," # MC Cyclus:" read(*,*) ncyclus print*," Print Frequency:" read(*,*) nprint Iput Values (Hard Wired) x=-1.2d0 Initial x (1st valley) temp=2.00d0 kb.t beta=1.0d0/temp 1/(kB.T) 3

4 Zero Accumulators nacp_loc=0 ntri_loc=0 histogram=0 Initial Potential call potential(x,ux) Begin Loop Over Cyclus do nc=1,ncyclus Local Updates call update_loc(beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux, dx,histogram,idum,nacp_loc) ntri_loc=ntri_loc+1 Output Every nprint Steps if(mod(nc,nprint) == 0) then rat_loc=dble(nacp_loc)/dble(ntri_loc) print*," # MC Cylus =",nc," Rat_Loc =",rat_loc print*," x =",x," U(x) =",Ux enddo Final Output x=x_min+(dx/2.0d0) do ih=1,maxhist write(10,"(1x,e13.5,1x,e13.5)") x,dble(histogram(ih))/dble(ntri_loc) x=x+dx if(x > x_max) exit enddo 4 &

5 stop " SerPT: End of Calc" end program SerPT Local Updates subroutine update_loc(beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux, dx,histogram,idum,nacp_loc) implicit none integer :: idum,nacp_loc,bin, & histogram(*) real(8) :: random real(8) :: beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux,dx, & x_new,ux_new,delux,beta_delux Accumulate Histogram bin=int((x-x_min)/dx)+1 histogram(bin)=histogram(bin)+1 Move Particle x_new=x+(2.0d0*random(idum)-1.0d0)*dxmax Check Boundaries if(x_new < x_min) return if(x_new > x_max) return Calculate a New Value of Potential call potential(x_new,ux_new) Check for Acceptance DelUx=Ux_new-Ux beta_delux=beta*delux if(dexp((-1.0d0)*beta_delux) > random(idum)) THEN & 5

6 Bookkeeping Ux=Ux_new x=x_new nacp_loc=nacp_loc+1 end subroutine update_loc Potential subroutine potential(x,ux) implicit none real(8) :: pi,x,ux pi=dacos(-1.0d0) Calculate Potential at x if(x <= -1.25d0) then Ux=1.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= -0.25d0) then Ux=2.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= 0.75d0) then Ux=3.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= 1.75d0) then Ux=4.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else Ux=5.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) end subroutine potential RANDOM GENERATOR FUNCTION RANDOM(IDUM) Long period (>2x10e18) RANDOM number generator of L Ecuyer with Bays-Durham shuffe and added safeguards. Returns a uniform RANDOM deviate between 0.0 and 1.0 (exclusive of the endpoint 6

7 values). Call with idum a negative integer to initialize; thereafter, do not alter idum between successive deviates in a sequence. RNMX should approximate the largest floating value that is less than 1. real(8) :: RANDOM INTEGER(4) :: IM1,IM2,IMM1,IA1,IA2,IQ1,IQ2,IR1,IR2,NTAB,NDIV REAL(8) :: AM,EPS,RNMX PARAMETER (IM1= ,IM2= ,AM=1./IM1,IMM1=IM1-1, & IA1=40014,IA2=40692,IQ1=53668,IQ2=52774,IR1=12211, & IR2=3791,NTAB=32,NDIV=1+IMM1/NTAB,EPS=1.2e-7,RNMX=1.-EPS) INTEGER(4) :: idum2,j,k,iv(ntab),iy SAVE iv,iy,idum2 DATA idum2/ /, iv/ntab*0/, iy/0/ Initialize if(idum.le.0) then Be sure to prevent idum = 0 idum=max(-idum,1) idum2=idum Load the shuffe table (after 8 warm-ups) do j=ntab+8,1,-1 k=idum/iq1 idum=ia1*(idum-k*iq1)-k*ir1 if(idum.lt.0) idum=idum+im1 if(j.le.ntab) iv(j)=idum enddo iy=iv(1) Start here when not initializing k=idum/iq1 7

8 Compute idum=mod(ia1*idum,im1) without overflows by Schrage s method idum=ia1*(idum-k*iq1)-k*ir1 if(idum.lt.0) idum=idum+im1 k=idum2/iq2 Compute idum2=mod(ia2*idum2,im2) likewise idum2=ia2*(idum2-k*iq2)-k*ir2 if(idum2.lt.0) idum2=idum2+im2 Will be in the range 1:NTAB j=1+iy/ndiv Here idum is shuffed, idum and idum2 are combined to generate output iy=iv(j)-idum2 iv(j)=idum if(iy.lt.1) iy=iy+imm1 RANDOM=min(AM*iy,RNMX) return END FUNCTION RANDOM Částice by měla navštívit všechna čtyři lokální minima přibližně stejně často, neboť se nacházejí v nulové potenciálové hladině. Obr. 2 ukazuje P (x) získané z MC pokusů. V MC procesu bylo použito x max = 0.1 a x = 0.025, MC proces začal s částicí v x ini = 1.2 a byl proveden pro tři teploty: k B T = 2, k B T = 0.3 a k B T = Z obr. 2 je vidět, že částice navštěvuje všechna čtyři lokální minima pouze pro nejvyšší teplotu k B T = 2. Pro nižší teploty částice vzhledem k bariérám není schopna dosáhnout všechna čtyři lokální minima a navštěvuje jen např. 1. a 2. lokální minimum v případě k B T = 0.3 či zůstává jen v 1. lokálním minimum v případě k B T =

9 1.3 Metoda paralelního temperingu Použitím principu paralelního temperingu lze zefektivnit MC vzorkování při nízkých teplotách. Uvažujeme, že provádíme paralelně MC procesy při různých teplotách. Jednotlivé MC procesy C 1, C 2,..., C n seřadíme tak, že T 1 > T 2 >... > T n (β 1 < β 2 <... < β n ) Základní myšlenkou paralelního temperingu je provádět vedle standardních MC pohybů ( lokálních pohybů) vzájemnou výměnu studenějších a chladnějších konfigurací ( globální pohyby). To se provede následujícím způsobem: 1. V kopiích {C i } n i=1 probíhá standardní MC proces ( lokální pohyby). 2. Po určitém počtu MC kroků se proces zastaví a provede se pokus o globální pohyb: vybere se náhodně jedna konfigurace C i z {C i } n 1 i=1 ; když exp ( ) ζ (7) provede se výměna konfigurací C i C i+1. V rovnici (7) je = β U (8) β = β i+1 β i (9) U = U i+1 U i (10) Paralelizace globálních pohybů pomocí MPI lze provést následujícím způsobem: 1. Proces s pořadím myrank == 0 vygeneruje náhodně jednu konfiguraci C i z {C i } n 1 i=1 příkazem i = INT (ζ(n 1)) + 1 (11) kde n odpovídá počtu paralelních procesů nprocs. 2. Proces s pořadím myrank==0 rozešle i na ostatní procesy příkazem MPI BCAST. (MPI BCAST zároveň provede synchronizaci všech MC procesů.) 9

10 3. Procesy s pořadím myrank/=i 1 a myrank/=i pokračují dále v lokálních pohybech. 4. Proces s pořadím myrank==i pošle na proces s myrank==i 1 U(C i+1 ) pomocí příkazů MPI SEND a MPI RECV. 5. Na procesu s pořadím myrank==i 1 se provede test exp ( ) ζ a výsledek testu se pošle na proces s pořadím myrank==i opět pomocí příkazů MPI SEND a MPI RECV. 6. Pokud je podmínka v předchozí rovnici splněna, provede se výměna konfigurací C i C i+1 t.j. x(c i ) x(c i+1 ) a U(C i ) U(C i+1 ) mezi procesy s pořadím myrank==i a s pořadím myrank==i 1 pomocí příkazů MPI SEND a MPI RECV. Program pro paralelní tempering částice v jednorozměrném silovém poli může vypadat následovně: A Single Particle on a 1D Potential with Multiple Local Minima program ParPT implicit none include mpif.h preprocessor directive integer :: nprocs, & # of processes myrank, & my process rank ierr integer,parameter :: maxhist=1000,maxtemp=10,nptemp=50 real(8),parameter :: x_min=-2.0d0,x_max=2.0d0 integer :: idum,ncyclus,nprint,nc,ih,notemp,iunit, & nacp_loc,ntri_loc,nacp_pt,ntri_pt, & histogram(maxhist) real(8) :: temp,beta, & dxmax,x,ux, & dx,rat_loc,rat_glo, & 10

11 tempar(maxtemp) character(len=7) :: cnfile character(len=7),dimension(maxtemp) :: outfil File Names outfil(1) ="f01.out";outfil(2) ="f02.out";outfil(3) ="f03.out" outfil(4) ="f04.out";outfil(5) ="f05.out";outfil(6) ="f06.out" outfil(7) ="f07.out";outfil(8) ="f08.out";outfil(9) ="f09.out" outfil(10)="f10.out" start up MPI call MPI_INIT(ierr) find out how many processes are being used call MPI_COMM_SIZE(MPI_COMM_WORLD,nprocs,ierr) if(nprocs > maxtemp) stop "ParPT: # of processes > max # of temperatures" get my process rank call MPI_COMM_RANK(MPI_COMM_WORLD,myrank,ierr) Define File Unit and Open Ooutput Files iunit=10+myrank*5 cnfile=outfil(myrank+1) open(unit=iunit,file=cnfile,status="unknown") Input if(myrank == 0) then print*," # MC Cyclus:" read(*,*) ncyclus print*," Print Frequency:" read(*,*) nprint 11

12 broadcast input call MPI_BCAST(ncyclus,1,MPI_INTEGER,0,MPI_COMM_WORLD,ierr) call MPI_BCAST(nprint,1,MPI_INTEGER,0,MPI_COMM_WORLD,ierr) Temperatures kb.t; T1 > T2 >... > Tn notemp=4 tempar(1)=2.00d0 tempar(2)=0.30d0 tempar(3)=0.10d0 tempar(4)=0.05d0 if(nprocs /= notemp) stop "ParPT: # of processes /= # of temperatures" Auxiliary Variables dxmax=0.1d0 dx=0.025d0 Assign Actual Temperature temp=tempar(myrank+1) Init idum idum=-471 Iput Values (Hard Wired) x=-1.2d0 Initial x (1st valley) beta=1.0d0/temp 1/(kB.T) Zero Accumulators nacp_loc=0 nacp_pt=0 ntri_loc=0 12

13 ntri_pt=0 histogram=0 Initial Potential call potential(x,ux) Begin Loop Over Cyclus do nc=1,ncyclus Local Updates call update_loc(beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux, dx,histogram,idum,nacp_loc) ntri_loc=ntri_loc+1 Parallel Tempering After nptemp Cyclus if(mod(nc,nptemp) == 0) then call update_global(nprocs,myrank, idum,beta,x,ux,tempar,nacp_pt,ntri_pt) Output Every nprint Steps if(mod(nc,nprint) == 0) then rat_loc=dble(nacp_loc)/dble(ntri_loc) if(ntri_pt == 0) ntri_pt=1 rat_glo=dble(nacp_pt)/dble(ntri_pt) write(iunit,fmt="(1x,a,i15)") " # MC Cylus =",nc write(iunit,fmt="(1x,2(a,e13.5))") " Rat_Loc =",rat_loc, " Rat_glo =",rat_glo write(iunit,fmt="(1x,2(a,e13.5))") " x =",x," U(x) =",Ux enddo Final Output & & & 13

14 x=x_min+(dx/2.0d0) do ih=1,maxhist write(iunit,"(1x,e13.5,1x,e13.5)") x,dble(histogram(ih))/dble(ntri_loc) x=x+dx if(x > x_max) exit enddo close (unit=iunit) shut down MPI call MPI_FINALIZE(ierr) stop " ParPT: End of Calc" end program ParPT Local Updates subroutine update_loc(beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux, & dx,histogram,idum,nacp_loc) implicit none integer :: idum,nacp_loc,bin, & histogram(*) real(8) :: random real(8) :: beta,dxmax,x,x_min,x_max,ux,dx, x_new,ux_new,delux,beta_delux Accumulate Histogram bin=int((x-x_min)/dx)+1 histogram(bin)=histogram(bin)+1 Move Particle x_new=x+(2.0d0*random(idum)-1.0d0)*dxmax Check Boundaries 14 &

15 if(x_new < x_min) return if(x_new > x_max) return Calculate a New Value of Potential call potential(x_new,ux_new) Check for Acceptance DelUx=Ux_new-Ux beta_delux=beta*delux if(dexp((-1.0d0)*beta_delux) > random(idum)) THEN Bookkeeping Ux=Ux_new x=x_new nacp_loc=nacp_loc+1 end subroutine update_loc Potential subroutine potential(x,ux) implicit none real(8) :: pi,x,ux pi=dacos(-1.0d0) Calculate Potential at x if(x <= -1.25d0) then Ux=1.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= -0.25d0) then Ux=2.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= 0.75d0) then Ux=3.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else if(x <= 1.75d0) then 15

16 Ux=4.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) else Ux=5.0d0*(1.0d0+sin(2.0d0*pi*x)) end subroutine potential Global Updates subroutine update_global(nprocs,myrank, idum,beta,x,ux,tempar,nacp_pt,ntri_pt) implicit none include mpif.h preprocessor directive integer :: nprocs, & # of processes myrank, & my process rank ierr integer :: status(mpi_status_size) integer :: idum,nacp_pt,ntri_pt,ii,ip1,itag,iacpt real(8) :: random real(8) :: beta,x,ux,ux1, & Delta_beta,Delta_U,acp_pt, & tempar(*) real(8) :: vectrn0(2),vectrn1(2) Choose i Randomly on "mastr" and then Broadcast if(myrank == 0) THEN ii=int(dble(nprocs-1)*random(idum))+1 call MPI_BCAST(ii,1,MPI_INTEGER,0,MPI_COMM_WORLD,ierr) ii=ii-1 synchronize with myrank i+1 ip1=ii+1 if((myrank /= ii).and.(myrank /= ip1)) return Send Potential from i+1 on i & 16

17 itag=10 if(myrank == ip1) then call MPI_SEND(Ux,1,MPI_REAL8,ii,itag,MPI_COMM_WORLD,ierr) else if(myrank == ii) then call MPI_RECV(Ux1,1,MPI_REAL8,ip1,itag,MPI_COMM_WORLD,status,ierr) Check for Acceptance on i : min[1,exp(deltabeta.deltau)] (Delta = i+1 - i ) if(myrank == ii) then Delta_beta=(1.0d0/tempar(ip1+1))-beta Delta_U=Ux1-Ux acp_pt=dexp(delta_beta*delta_u) if(acp_pt > random(idum)) then iacpt=1 nacp_pt=nacp_pt+1 else iacpt=0 ntri_pt=ntri_pt+1 Send iacpt from i on i+1 itag=20 if(myrank == ii) then call MPI_SEND(iacpt,1,MPI_INTEGER,IP1,itag,MPI_COMM_WORLD,ierr) else if(myrank == IP1) THEN call MPI_RECV(iacpt,1,MPI_INTEGER,ii,itag,MPI_COMM_WORLD,status,ierr) if(iacpt == 0) return Exchange Replicas between i and i+1 Send Replica from i on i+1 17

18 itag=30 if(myrank == ii) then vectrn0(1)=x vectrn0(2)=ux call MPI_SEND(vectrn0,2,MPI_REAL8,ip1,itag,MPI_COMM_WORLD,ierr) else if(myrank == ip1) then call MPI_RECV(vectrn0,2,MPI_REAL8,ii,itag,MPI_COMM_WORLD,status,ierr) Send Replica from i+1 on i itag=40 if(myrank == ip1) then vectrn1(1)=x vectrn1(2)=ux call MPI_SEND(vectrn1,2,MPI_REAL8,ii,itag,MPI_COMM_WORLD,ierr) else if(myrank == ii) then call MPI_RECV(vectrn1,2,MPI_REAL8,ip1,itag,MPI_COMM_WORLD,status,ierr) Update Information if(myrank == ii) then on i x=vectrn1(1) Ux=vectrn1(2) else if(myrank == ip1) then on i+1 x=vectrn0(1) Ux=vectrn0(2) end subroutine update_global RANDOM GENERATOR 18

19 FUNCTION RANDOM(IDUM) Long period (>2x10e18) RANDOM number generator of L Ecuyer with Bays-Durham shuffe and added safeguards. Returns a uniform RANDOM deviate between 0.0 and 1.0 (exclusive of the endpoint values). Call with idum a negative integer to initialize; thereafter, do not alter idum between successive deviates in a sequence. RNMX should approximate the largest floating value that is less than 1. real(8) :: RANDOM INTEGER(4) :: IM1,IM2,IMM1,IA1,IA2,IQ1,IQ2,IR1,IR2,NTAB,NDIV REAL(8) :: AM,EPS,RNMX PARAMETER (IM1= ,IM2= ,AM=1./IM1,IMM1=IM1-1, & IA1=40014,IA2=40692,IQ1=53668,IQ2=52774,IR1=12211, & IR2=3791,NTAB=32,NDIV=1+IMM1/NTAB,EPS=1.2e-7,RNMX=1.-EPS) INTEGER(4) :: idum2,j,k,iv(ntab),iy SAVE iv,iy,idum2 DATA idum2/ /, iv/ntab*0/, iy/0/ Initialize if(idum.le.0) then Be sure to prevent idum = 0 idum=max(-idum,1) idum2=idum Load the shuffe table (after 8 warm-ups) do j=ntab+8,1,-1 k=idum/iq1 idum=ia1*(idum-k*iq1)-k*ir1 if(idum.lt.0) idum=idum+im1 if(j.le.ntab) iv(j)=idum enddo 19

20 iy=iv(1) Start here when not initializing k=idum/iq1 Compute idum=mod(ia1*idum,im1) without overflows by Schrage s method idum=ia1*(idum-k*iq1)-k*ir1 if(idum.lt.0) idum=idum+im1 k=idum2/iq2 Compute idum2=mod(ia2*idum2,im2) likewise idum2=ia2*(idum2-k*iq2)-k*ir2 if(idum2.lt.0) idum2=idum2+im2 Will be in the range 1:NTAB j=1+iy/ndiv Here idum is shuffed, idum and idum2 are combined to generate output iy=iv(j)-idum2 iv(j)=idum if(iy.lt.1) iy=iy+imm1 RANDOM=min(AM*iy,RNMX) return END FUNCTION RANDOM Obr. 3 ukazuje P (x) získané z MC pokusů v každé kopii s pokusem o výměnu konfigurací každých 50 MC pokusů. V MC procesech bylo opět použito x max = 0.1 a x = a MC procesy začaly s částicí v x ini = 1.2. MC procesy probíhaly při čtyřech teplotách: k B T = 2, k B T = 0.3, 20

21 k B T = 0.1 a k B T = Z obr. 3 je patrné, že částice navštěvuje všechna čtyři lokální minima přibližně stejně často pro všechny teploty. 21

22 Obrázek 1: Průběh potenciálu U(x). Obrázek 2: Pravděpodobnost nalezení částice v místě x, P (x), pro teploty: k B T = 2, k B T = 0.3 a k B T = 0.05; k B je Boltzmannova konstanta. P (x) byla získána z Monte Carlo pokusů, v MC procesu bylo použito x max = 0.1 a x = a Monte Carlo proces začal s částicí v x ini = 1.2. Obrázek 3: Pravděpodobnost nalezení částice v místě x, P (x), pro teploty: k B T = 2, k B T = 0.3, k B T = 0.1 a k B T = 0.05; k B je Boltzmannova konstanta. P (x) byla získána z Monte Carlo pokusů v každé kopii s pokusem o výměnu konfigurací každých 50 MC pokusů. V MC procesech bylo použito x max = 0.1 a x = a Monte Carlo procesy začaly s částicí v x ini =

23 U(x) x Obr. 1

24 0.3 P(x) k B.T=2.0 k B.T=0.3 k B.T=0.05 x Obr. 2

25 0.10 P(x) k B.T=2.0 k B.T=0.3 k B.T=0.1 k B.T=0.05 x Obr. 3