Numerické řešení rovnice f(x) = 0
|
|
- Tomáš Hruda
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením rovnice f(x) = 0. Jsou uvedeny metody, které vyžadují separaci (lokalizaci) kořenů: metoda půlení intervalu a metoda regula falsi (sečen) a metody, které vyžadují dobrý odhad počáteční aproximace: prostá iterační metoda a Newtonova metoda. Použití metod, jejich výhody a nevýhody jsou demonstrovány na několik příkladech. 1 Úvod V praxi se často setkáváme s úlohou řešit rovnici f (x) = 0 (1) kde f(x) je reálná funkce proměnné x. Řešit rovnici (1) znamená nalézt všechna ξ, pro která platí f (ξ) = 0 (2) ξ nazýváme kořenem či řešením rovnice (1). Jen málo rovnic typu f(x) = 0 lze řešit analyticky (např. algebraické rovnice do 3. řádu). Většinou však musíme použít numerické (přibližné) metody pro řešení rovnic f(x) = 0 [1]. 1
2 Řešit rovnici (1) numericky znamená navrhnout algoritmus přibližného řešení, při kterém získáme posloupnost aproximací x 0, x 1,..., x k,... (3) takovou, že lim x k = ξ (4) k 2 Teorie Numerické metody pro řešení rovnice f(x) = 0 lze rozdělit na metody, které vyžadují separaci (lokalizaci) kořenů a metody, které vyžadují dobrý odhad počáteční aproximace x 0. Separovat kořeny znamená nalézt interval < a, b >, pro který platí: f(a)f(b) < 0, funkce f(x) je v intervalu spojitá a v intervalu leží jen jeden kořen ξ. 2.1 Metoda půlení intervalu Tato metoda vyžaduje separaci kořenů, t.j. znalost intervalu < a 0, b 0 >, ve kterém se nachází hledaný kořen. Pro krajní body intervalu musí platit f(a 0 )f(b 0 ) < 0 (5) t.j. funkce v krajních bodech intervalu nabývá opačných znamének. V prvním kroku rozdělíme interval na dvě části - střední hodnotu označme x 1 : x 1 = a 0 + b 0 2 Poté testujeme, zda x 1 neodpovídá hledanému řešení: (6) f(x 1 ) < p (7) 2
3 kde p je požadovaná přesnost. Není-li tato podmínka splněna, testujeme zda f(a 0 )f(x 1 ) < 0 (8) V takovém případě se kořen nachází v intervalu < a 0, x 1 >. V opačném případě kořen leží v intervalu < x 1, b 0 >. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud není řešení nalezeno s požadovanou přesností. 2.2 Metoda regula falsi (sečen) Tato metoda též patří mezi metody vyžadující separaci kořenů. Je podobná metodě půlení intervalu - opět vymezíme interval < a, b >, ale bod x získáváme jako průsečík sečny spojující oba krajní body s osou x. Rovnice této sečny je f(b) f(a) y = (x a) + f(a) (9) b a Aproximace řešení x k se získá z rovnice (9), položíme-li y = 0: x k = a k 1f(b k 1 ) b k 1 f(a k 1 ) f(b k 1 ) f(a k 1 ) (10) Metoda sečen obvykle konverguje rychleji, než metoda půlení intervalu. 2.3 Prostá iterační metoda Prostá iterační metoda nevyžaduje separaci kořene, na druhou stranu se neobejde bez dobrého odhadu počáteční aproximace x 0. Funkci f(x) je dále nutné upravit na tvar x = ϕ(x) (11) V k-tém kroku iterace potom provedeme odhad kořene jako Prostá iterační metoda nemusí vždy konvergovat. x k = ϕ(x k 1 ) (12) 3
4 2.4 Newtonova metoda Jde opět o metodu iterační vyžadující odhad počáteční aproximace x 0. Aproximace řešení x k+1 se získá jako průsečík tečny v bodě [x k, f(x k )] s osou x x k+1 = x k f(x k) f (x k ) (13) Někdy může být problémem nutnost analytického výpočtu derivace. V tom případě lze použít upravenou verzi Newtonovy metody, která používá derivaci numerickou. Tečnu v bodě x k nahradíme přímkou procházející body x k a x k 1. Je-li x 0 počáteční aproximací, hodnotu x 1 určíme podle vztahu x 1 = x 0 (1 + ɛ) (14) kde ɛ je dostatečně malé číslo (např. 0.01). V dalších krocích (k = 2, 3,...) provede odhad podle vztahu (13) (stejně jako u klasické Newtonovy metody) s tím, že hodnotu f (x) nahradíme výrazem f (x) f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 (15) Ve srovnání s prostou iterační metodou konverguje Newtonova metoda rychleji. Nemusí konvergovat vždy, ale často funguje i v případě, kdy prostá iterační metoda selhává. 3 Výsledky a diskuze Numericky jsme řešili rovnice: 8x 3 6x 1 = 0 (16) x sin x π 4 = 0 (17) Výpočet jsme provedli pomocí výše zmíněných metod: metodou půlení intervalu, metodou sečen (regula falsi), prostou iterační metodou a Newtonovou metodou. U Newtonovy metody jsme zkoumali dvě verze s analytickým výpočtem derivace f (x) a s jeho numerickým přiblížením podle vzorce (15). Přesnost výpočtu byla nastavena na hodnotu ɛ = a výpis programů v jazyce Fortran je v Příloze. 4
5 3.1 Metoda půlení intervalu Metodou půlení intervalu byly nalezeny tyto kořeny: Funkce f 1 (x) = 8x 3 6x 1 = 0 poč. interval x f 1 (x) počet iterací < 1, 0.5 > < 0.5, 0 > < 0.5, 1.5 > Funkce f 2 (x) = x sin x π 4 = 0 poč. interval x f 2 (x) počet iterací < 0, 3.14 > Shrnutí Metoda půlení intervalu je velmi jednoduchá metoda s relativně pomalou konvergencí k hledanému kořeni v našem testu byla metoda půlení intervalu nejpomalejší. Při správně provedené separaci kořene však vždy konverguje k přesnému řešení. 3.2 Metoda regula falsi (sečen) Metodou regula falsi byly nalezeny tyto kořeny: Funkce f 1 (x) = 8x 3 6x 1 = 0 poč. interval x f 1 (x) počet iterací < 1, 0.5 > < 0.5, 0 > < 0.5, 1.5 > Funkce f 2 (x) = x sin x π 4 = 0 poč. interval x f 2 (x) počet iterací < 0, 3.14 >
6 Shrnutí Metoda regula falsi konverguje ve srovnání s metodou půlení intervalu o poznání rychleji. Určitý problém však může nastat ve vzorci (10), objeví-li se ve jmenovateli příliš malé číslo a může dojít k eventuálnímu dělení nulou. 3.3 Prostá iterační metoda Funkce f 1 (x) = 8x 3 6x 1 = 0 Obě funkce jsme upravili podle vzorce (11). U funkce f 1 (x) jsme testovali dva tvary rovnice (11): x = 8x3 1 (18) 6 x = 1 3 6x + 1 (19) 2 S použitím funkce (18) jsme došli k následujícímu řešení: poč. odhad x f 1 (x) počet iterací Použijeme-li funkci (19), metoda konvergovat nebude. Funkce f 2 (x) = x sin x π 4 = 0 Funkci f 2 (x) jsme upravili na tvar x = sin(x) + π 4 (20) Výsledek výpočtu: poč. odhad x f 2 (x) počet iterací
7 Shrnutí Jde o jednoduchou metodu, která ne vždy bude konvergovat ke správnému řešení. V našem případě se u funkce f 1 (x), nepodařilo najít takový odhad, aby metoda konvergovala k jinému než k výše uvedenému kořeni. 3.4 Newtonova metoda Při použití Newtonovy metody byly nalezeny tyto kořeny: Funkce f 1 (x) = 8x 3 6x 1 = 0 poč. odhad x f 1 (x) počet iterací Funkce f 2 (x) = x sin x π 4 = 0 poč. odhad x f 2 (x) počet iterací Newtonova metoda s numerickou derivací Po úpravě vzorce (13) pomocí vztahu (15) jsme dostali následující výsledky: Funkce f 1 (x) = 8x 3 6x 1 = 0 poč. odhad x f 1 (x) počet iterací Funkce f 2 (x) = x sin x π 4 = 0 poč. odhad x f 2 (x) počet iterací
8 Shrnutí Newtonova metoda opět nemusí vždy konvergovat. Pokud však konverguje, konverguje velmi rychle (šlo o nejrychlejší metodu v testu). Nevýhodou klasické Newtonovy metody je nutnost analyticky derivovat vstupní funkci. Tuto nevýhodu však lze eliminovat náhradou derivace f (x) jejím numerickým přiblížením tato verze Newtonovy metody potřebuje k dosažení výsledku jen o několik (v našem případě o 1 až 2) iterace více, což v praxi nebude pravděpodobně hrát významnou roli. 4 Závěr S využitím výše popsaných metod se podařilo najít všechny kořeny studovaných rovnic. Jak ilustrují výše uvedené tabulky, úspěch při numerickém řešení rovnice f(x) = 0 závisí na dobré separaci kořenů či na dobrém odhadu počáteční iterace. Rozdíl v počtu provedených kroků se v praxi (vzhledem k výkonu počítače) neprojevil. Nejrychleji byl však výpočet proveden pomocí Newtonovy metody. Tato metoda se také ukázala v našem konkrétním případě jako nejspolehlivější: s její pomocí jsme s požadovanou přesností určili všechny kořeny studovaných rovnic. Reference [1] M. Vicher, Numerická matematika (2003). 8
9 Příloha: Programy v jazyce Fortran Separační metody (metoda půlení intervalu a metoda sečen) subroutine separace(funkce,a0,b0,metoda,vysl,err) external funkce real(8) :: funkce real(8), intent(in) :: a0, b0 integer, intent(in):: metoda real(8), intent(out) :: vysl integer, intent(out) :: err real(8) :: a,b,x,fx,fa,fb integer :: citac_it integer :: citac_tisk! poc. interval! pouzita metoda,! 0=puleni, 1=secny! nalez. koren! 0=vypocet OK! 1=prekrocen max.! pocet it.! 2=deleni nulou real(8),parameter::presnost = 1e-10 integer,parameter::max_pocet_it = 10000! max. pocet iter. integer,parameter::tisk = 1! --- inicializace --- a = a0; b = b0 citac_it = 0; err = 0 x = 0.! --- tisk hlavicky --- if(tisk > 0) print *,"c.kroku, x, f(x)"! --- hl. cyklus --- do 9
10 citac_it = citac_it+1 citac_tisk = citac_tisk+1 fa = funkce(a) fb = funkce(b)! --- deleni intervalu podle zvol. metody --- if(metoda == 1) then! puleni x = (a + b) / 2.0 else! secny if(abs(fb - fa) < PRESNOST) then! ve jmenovateli je 0 print *,"chyba: deleni nulou!" err = 2 exit x = (a * fb - b * fa) / (fb - fa) fx = funkce(x)! --- je nalezen koren? --- if(abs(fx) < PRESNOST) exit! --- nastaveni mezi pro dalsi krok --- if(fx*fa < 0.0) then b = x else a = x! --- tisk mezivysledku (pokud je nastaveno) --- if(tisk > 0.and. citac_tisk == TISK) then print *,citac_it,x,fx! tisk mezivysledku citac_tisk = 0! --- ukonceni vyp., je-li presazen max. pocet it. --- if(citac_it == MAX_POCET_IT) then! chyba: max. pocet it. 10
11 print *,"chyba: prekrocen max. pocet iteraci!" err = 1 exit! --- dalsi krok --- end do vysl = x print *,"Pocet iteraci:",citac_it end subroutine separace Prostá iterační metoda subroutine iterace(funkce,g_funkce,x_vstup,vysl,err) external funkce real(8) :: funkce external g_funkce! upravena funkce real(8) :: g_funkce real(8),intent(in) :: x_vstup real(8),intent(out) :: vysl integer,intent(out) :: err real(8) :: x,x0,fx integer :: citac_it integer :: citac_tisk real(8),parameter::presnost = 1e-10 integer,parameter::max_pocet_it = integer,parameter::tisk = 1! --- inicializace --- x0 = x_vstup citac_it = 0; err = 0 11
12 ! --- tisk hlavicky --- if(tisk > 0) print *,"c.kroku, x, f(x)" do citac_it = citac_it+1 citac_tisk = citac_tisk+1! --- je nalezen koren? --- fx = funkce(x0) if(abs(fx) < PRESNOST) exit! --- tisk mezivysledku --- if(tisk > 0.and. citac_tisk == TISK) then print *,citac_it,x0,fx! tisk mezivysledku citac_tisk = 0! --- ukonceni vyp., je-li presazen max. pocet it. --- if(citac_it == MAX_POCET_IT) then print *,"chyba: prekrocen max. pocet iteraci!" err = 1 exit! --- dalsi krok --- x0 = g_funkce(x0) end do vysl = x0 print *,"Pocet iteraci:",citac_it end subroutine iterace 12
13 Newtonova metoda s analytickou derivací subroutine newton(funkce,derivace,x_vstup,vysl,err) external funkce real(8) :: funkce external derivace! f (x) real(8) :: derivace real(8),intent(in) :: x_vstup real(8),intent(out) :: vysl integer,intent(out) :: err real(8) :: x,x0,fx integer :: citac_it integer :: citac_tisk real(8),parameter::presnost = 1e-10 integer,parameter::max_pocet_it = integer,parameter::tisk = 1! --- inicializace --- x0 = x_vstup citac_it = 0; err = 0! --- tisk hlavicky --- if(tisk > 0) print *,"c.kroku, x, f(x)" do! --- odhad korene --- x = x0 - funkce(x0)/derivace(x0) citac_it = citac_it+1 citac_tisk = citac_tisk+1 13
14 ! --- je nalezen koren? --- fx = funkce(x) if(abs(fx) < PRESNOST) exit! --- tisk mezivysledku --- if(tisk > 0.and. citac_tisk == TISK) then print *,citac_it,x,fx! tisk mezivysledku citac_tisk = 0! --- ukonceni vyp., je-li presazen max. pocet it. --- if(citac_it == MAX_POCET_IT) then print *,"chyba: prekrocen max. pocet iteraci!" err = 1 exit! --- dalsi krok --- x0 = x end do vysl = x print *,"Pocet iteraci:",citac_it end subroutine newton Newtonova metoda s numerickou derivací subroutine newton2(funkce,x_vstup,vysl,err) external funkce! funkce f(x), jejiz koreny real(8) :: funkce! hledam real(8),intent(in) :: x_vstup real(8),intent(out) :: vysl integer,intent(out) :: err! poc. odhad korene! nalezeny koren! chyba (0.. OK,! 1.. prekrocen max. pocet 14
15 real(8) :: x,x0,x1,fx,fx0,fx1,n_derivace integer :: citac_it integer :: citac_tisk! kroku) real(8),parameter::presnost = 1e-10! pozad. presnost real(8),parameter::krok = 0.01! x1 - x0 integer,parameter::max_pocet_it = 10000! po kolika krocich se! ma automat. ukoncit vypocet integer,parameter::tisk = 1! po kolika krocich tisk! vysledku (0 = bez tisku! mezivysl.)! --- inicializace --- x0 = x_vstup x1 = x_vstup + KROK citac_it = 0; err = 0! --- tisk hlavicky --- if(tisk > 0) print *,"c.kroku, x, f(x)" do! --- provadim k-ty krok ---! x... x(k)! x0... x(k-1)! x1... x(k-2)! --- odhad korene --- fx0 = funkce(x0) fx1 = funkce(x1) n_derivace = (fx1-fx0)/(x1-x0) x = x0 - funkce(x0)/n_derivace citac_it = citac_it+1 citac_tisk = citac_tisk+1! odhad derivace 15
16 ! --- je nalezen koren? --- fx = funkce(x) if(abs(fx) < PRESNOST) exit! --- tisk mezivysledku --- if(tisk > 0.and. citac_tisk == TISK) then print *,citac_it,x,fx! tisk mezivysledku citac_tisk = 0! --- ukonceni vyp., je-li presazen max. pocet it. --- if(citac_it == MAX_POCET_IT) then print *,"chyba: prekrocen max. pocet iteraci!" err = 1 exit! --- dalsi krok --- x0 = x1 x1 = x end do vysl = x print *,"Pocet iteraci:",citac_it end subroutine newton2 Hlavní program program num_reseni implicit none 16
17 integer :: vst_funkce,vst_metoda character :: vst_pokrac logical :: pokracuj integer :: chyba real(8) :: vysledek,h_mez,d_mez,odhad external f real(8) :: f external g real(8) :: g external f2 real(8) :: f external g2 real(8) :: g external df real(8) :: df external dg real(8) :: dg real(8) :: PI PI = acos(-1.0) vysledek = 0.0 pokracuj =.true. do while(pokracuj ==.true.) print *,"Kterou funkci chcete resit?" print * print *,"[1] f(x)=8x^3-6x-1" print *,"[2] f(x)=x-sin(x)-pi/4" print * read *,vst_funkce print * print *,"S pouzitim jake metody?" print * print *,"[1] separace - puleni intervalu" print *,"[2] separace - metoda secen" 17
18 print *,"[3] Newtonova metoda" print *,"[4] Newtonova metoda s numerickou derivaci" print *,"[5] jednoducha iteracni metoda" print * read *,vst_metoda! --- vstup poc. hodnot --- if(vst_metoda == 1.or. vst_metoda == 2) then print * print *,"Dolni mez intervalu?" read *,d_mez print * print *,"Horni mez intervalu?" read *,h_mez else print * print *,"Pocatecni odhad reseni?" read *,odhad print *! --- vypocet --- select case(vst_metoda) case(1,2) if(vst_funkce == 1) then call separace(f,d_mez,h_mez,vst_metoda,vysledek,chyba) else call separace(g,d_mez,h_mez,vst_metoda,vysledek,chyba) case(3) if(vst_funkce == 1) then call newton(f,df,odhad,vysledek,chyba) else call newton(g,dg,odhad,vysledek,chyba) 18
19 case(4) if(vst_funkce == 1) then call newton2(f,odhad,vysledek,chyba) else call newton2(g,odhad,vysledek,chyba) case(5) if(vst_funkce == 1) then call iterace(f,f2,odhad,vysledek,chyba) else call iterace(g,g2,odhad,vysledek,chyba) case default print *,"Spatne zadane cislo metody!" end select! --- vypis nalezeneho vysledku --- if(chyba == 0) then print *,"nalezeno x = ",vysledek else print *,"Koren nenalezen."! --- pokracovat? --- print * print *,"Novy vypocet? (a/n)" read *,vst_pokrac if(vst_pokrac == "N".or. vst_pokrac == "n") pokracuj =.false. end do end program num_reseni Zadané funkce function f(x) 19
20 implicit none real(8),intent(in) :: x real(8) :: f f = 8.0 * x** * x end function f function g(x) implicit none real(8) :: PI real(8),intent(in) :: x real(8) :: g PI = acos(-1.0) g = x - sin(x) - PI/4.0 end function g! --- upravy funkci pro prostou it. metodu --- function f2(x) implicit none real(8),intent(in) :: x real(8) :: f2 f2 = (8.0 * x** ) / 6.0 end function f2 function g2(x) implicit none real(8) :: PI real(8),intent(in) :: x real(8) :: g2 PI = acos(-1.0) g2 = sin(x) + PI/4.0 20
21 end function g2! --- derivace funkci pro Newtonovu metodu --- function df(x) implicit none real(8),intent(in) :: x real(8) :: df df = 24 * x** end function df function dg(x) implicit none real(8) :: PI real(8),intent(in) :: x real(8) :: dg PI = acos(-1.0) dg = 1 - cos(x) end function dg 21
metoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceDůvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo
0.1 Numerická matematika 1 0.1 Numerická matematika Důvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo π. = 22/7 s dovětkem, že to pro praxi stačí. Položme
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceBřetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,
VíceDělení. Demonstrační cvičení 8 INP
Dělení Demonstrační cvičení 8 INP Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceModerní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA NUMERICKÉ ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC RIGORÓZNÍ PRÁCE Mgr. Michal Šmerek Brno 2005 ii Prohlášení: Prohlašuji, že předložená práce je mým původním autorským
VíceMatematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceODR metody Runge-Kutta
ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Studijní program: Studijní obory: Matematika MMUI Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (25 bodů Navrhněte deterministický konečný
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMatematika pro informatiku 4
Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VícePRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceK OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy
Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceA 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VícePrůběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
VíceNumerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Extrémy funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Více dimenzí Kombinatorika Lineární programování Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Snažíme se najít extrém funkce, at už jedné
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceNumerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceNumerická integrace a derivace
co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat funkce různými metodami (lichoběžníkové pravidlo, Simpson,..) počítat vícenásobné integrály počítat integrály podél křivky a integrály komplexních funkcí
VíceVyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceNumerické metody řešení nelineárních rovnic
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce Numerické metody řešení nelineárních rovnic Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Matematika - ekonomie Brno 2011 Lukáš Jagoš
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VíceCVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Více3. Přednáška: Line search
Úloha: 3. Přednáška: Line search min f(x), x R n kde x R n, n 1 a f : R n R je dvakrát spojitě diferencovatelná. Iterační algoritmy: Začínám v x 0 a vytvářím posloupnost iterací {x k } k=0, tak, aby minimum
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více2.1 Podmínka typu case Cykly Cyklus s podmínkou na začátku Cyklus s podmínkou na konci... 5
Obsah Obsah 1 Řídicí struktury 1 2 Podmínka 1 2.1 Podmínka typu case......................... 2 3 Příkaz skoku 3 4 Cykly 4 4.1 Cyklus s podmínkou na začátku................... 4 4.2 Cyklus s podmínkou
VíceOPTIMALIZACE. (přehled metod)
OPTIMALIZACE (přehled metod) Typy optimalizačních úloh Optimalizace bez omezení Nederivační metody Derivační metody Optimalizace s omezeními Lineární programování Nelineární programování Globální optimalizace
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VícePedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:
753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
Více