7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici
|
|
- Barbora Jandová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi a ty pak vyřešíme), nebo pomocí grafické nadstavby Matlabu právě pro účely modelování dynamických systémů - SIMULINK Řešení diferenciálních rovnic Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici 5x + 4x= 11 K tomu je nutné napsat funkci, která vrací derivaci, tedy upravíme rovnici na 1 x = ( x) function y = JednoduchaDR(t,x) % jednoducha ilustracni funkce na ODE % 5x_dot + 4x = 11 % prevedu rovnici kde na leve strane je derivace % x_dot = 1/5 * (11-4x) y = [1/5 * (11-4*x(1))]; A tuto funkci využijeme při volání řešiče diferenciálních rovnic (obyčejných - ODE) clear all; cas = [0 10]; % v sekundach, odkud kam pocatecni_hodnoty = [10]; % pocatecni hodnota x [t,y] = ode45(@jednoduchadr,cas,pocatecni_hodnoty); plot(t,y(:,1)); xlabel('cas'); ylabel('x'); Řešičů je v Matlabu celá řada, v příkladu je použitý často využívaný řešič ODE45. Příklad na DR druhého řádu Představme si parašutistu, který skáče s padákem. Uvažujme nejprve jednoduchý případ, kdy letí kolmo dolů, zajímá nás tedy jen jedna osa. Na parašutistu působí gravitace a odporová síla, která je závislá na rychlosti (prozatím předpokládejme že se padák otevře hned). Zaveďme souřadnicový systém xy, působení gravitace bude proti směru osy y (dolů), působení odporové síly dejme prozatím ve směru osy y. Tedy: my = mg + cy 2
2 Tohle je diferenciální rovnice druhého řádu. Matlab umí řešit jen rovnice prvního řádu, nebo soustavy rovnic prvního řádu. Využijeme tedy malý trik, kdy rovnici druhého řádu převedeme na dvě rovnice prvního řádu. function y = Parasutista(t,x) % jednoducha ilustracni funkce na ODE % y_dotdot * m = -Mg + const*v^2 % prevedu na dve rovnice, x_dot je rychlost, x_dotdot je zrychleni % x = (x,xdot) % y = (xdot, xdotdot) g = 10; % m/s^2 m = 80; % kg c = 4/15; % konstanta u rychlosti y1 = x(2); y2 = -g + c*x(2).^2/m; y = [y1;y2]; Tato funkce má jako vstupy čas a vektor x, který má nyní dva prvky, první odpovídá poloze a druhý rychlosti. Výstupy jsou opět dva, jeden odpovídá rychlosti (první derivace) a druhý zrychlení (druhá derivace). Trik je na řádku y1 = x(2); kdy rychlost (vstup dva) jednoduše vrátím jako první výstup (rychlost). Použití je obdobné jako v prvním případě, jen okrajové podmínky jsou již dvě: clear all; cas = [0 15]; % v sekundach, odkud kam pocatecni_hodnoty = [600 0]; % 600m, pocatecni rychlost je nula [t,y] = ode45(@parasutista2,cas,pocatecni_hodnoty); plot(t,y(:,1),t,abs(y(:,2).*5)); xlabel('cas'); ylabel('poloha, rychlost * 5'); legend('poloha','rychlost'); A můžeme se podívat jak se mění poloha rychlost parašutisty v čase
3 poloha rychlost 400 poloha, rychlost * cas Je zde pěkně vidět jak rychlost narůstá, se zvětšující se rychlostí roste i odpor a tak se rychlost limitně blíží k určité hranici. Je zde ale fyzikální problém - parašutista spokojeně pokračuje v pádu i pod zemí. Potřebujeme tedy simulaci zastavit tehdy, když dojde k dosažení určité hodnoty některé z proměnných. K tomu musíme v Matlabu definovat takzvanou událost: function [udalost stop direction] = para_udalost(t,x) % funkce definujici udalost ktera zastavi provadeni simulace udalost(1) = x(1); % udalost (kdy je dana velicina rovna nule) % kdyz bychom chteli aby se simulace zastavila metr pod zemi, bylo by to % udalost = x(1)+1 stop(1) = 1; % zastavit simulaci direction(1) = 0; % podle toho z ktere strany se blizime k nule (nastaveni na 0 znamena ze je to jedno) A handle na tuto funkci musí být obsažen ve volbách řešiče: clear all; cas = [0 15]; % v sekundach, odkud kam pocatecni_hodnoty = [600 0]; % 600m, pocatecni rychlost je nula options = odeset('events',@para_udalost); [t,y] = ode45(@parasutista2,cas,pocatecni_hodnoty,options); plot(t,y(:,1),t,abs(y(:,2).*5)); xlabel('cas'); ylabel('poloha, rychlost * 5'); legend('poloha','rychlost'); Nyní již bude simulace ukončena korektně:
4 poloha rychlost 400 poloha, rychlost * Parametry cas Občas je užitečné do funkce, která vrací derivace vložit nějaký parametr, například u našeho parašutisty by to mohla být jeho hmotnost, odpor těla, odpor padáku a doba volného pádu. Uděláme to jednoduše: do funkce popisující derivace přidáme jeden parametr. Do funkce volající rešič také přidáme parametr (který předem naplníme). A pozor, parametr musíme přidat i do funkce události (i když jej nevyužijeme). function y = Parasutista_parametry(t,x,parametry) % jednoducha ilustracni funkce na ODE - vlozeni parametru % parametry budou ve forme struktury: % parametry.hmotnost - hmotnost parasutisty % parametry.volnypad - doba volneho padu ve vterinach % parametry.odportela - odpor samotneho tela % parametry.odporpadaku - odpor padaku g = 10; % m/s^2 m = parametry.hmotnost; % kg c1 = parametry.odportela; % konstanta u rychlosti pri volnem padu c2 = parametry.odporpadaku; % konstanta u rychlosti s padakem y1 = x(2); if (t < parametry.volnypad) y2 = -g + c1*x(2).^2/m; else y2 = -g + c2*x(2).^2/m; end y = [y1;y2];
5 a funkce volání: % test parasutisty clear all; cas = [0 15]; % v sekundach, odkud kam pocatecni_hodnoty = [600 0]; % 600m, pocatecni rychlost je nula options = odeset('events',@para_udalost); parametry.hmotnost = 80; parametry.volnypad = 8; parametry.odportela = 1/15; parametry.odporpadaku = 5/15; [t,y] = ode45(@parasutista_parametry,cas,pocatecni_hodnoty,options,parametry); plot(t,y(:,1),t,abs(y(:,2).*5)); xlabel('cas'); ylabel('poloha, rychlost * 5'); legend('poloha','rychlost'); A je to poloha rychlost 400 poloha, rychlost * cas
6 7.2. Simulink Co to je a jak to funguje Simulink je nadstavba Matlabu na modelování, simulaci a analýzu dynamických systémů (systémů proměnných v čase). Pracovat můžeme se systémy lineárními i nelineárními, modelovanými spojitě nebo diskrétně. Model vytváříme pomocí grafického rozhraní, spustit ho lze jak z rozhraní tak přímo z Matlabu (to je výhodné pro spouštění série simulací). Použití se skládá ze dvou základních kroků. Nejprve vytvoříme model. Model popisuje vztahy mezi vstupy, stavy a výstupy systému. Poté spustíme simulaci. Simulace je v zásadě použití numerického řešiče který pomocí numerické integrace počítá aktuální stavy systému. Model se skládá z bloků. Každý blok obsahuje množinu vstupů, stavů a výstupů. Výstup je funkcí vstupů a stavů. Tato funkce závisí na typu bloku. Stav je proměnná která ovlivňuje výstup bloku a její aktuální hodnota je funkcí předchozí hodnoty stavu a vstupu. Blok tudíž musí hodnotu stavu ukládat, a bloky se stavy se označují také jako bloky s pamětí. u (vstupy) x (stavy) y (vstupy) Některé bloky stavy nemají, například blok Gain (zesílení) pouze vezme vstupní signál a vynásobí ho konstantní hodnotou zesílení kterou dále pošle na výstup. Gain tudíž nemá žádný (vnitřní) stav. Tak je tomu vždy když výstupní hodnota závisí přímo na vstupní. Každý blok obsahuje několik funkcí, které určují vztahy mezi vstupy, stavy a výstupy v závislosti na čase. Vždy je to: Výstupní funkce (funkce času, vstupu a stavu) Derivace (spojité systémy) vrací derivaci stavů, závisí na čase, vstupu a stavu Update funkce (diskrétní systémy) vrací novou hodnotu stavů v závislosti na čase, vstupu a stavu První jednoduchý pokus Spustíme simulink a vytvoříme si nový, prozatím prázdný model (v Matlabu na příkazové řádce napíšeme simulink. Otevře se okno Simulink library browser. V něm zadáme v menu File / New / Model). Při tvorbě modelu přenášíme jednotlivé bloky z knihovny do našeho okna, různě je spojujeme, až je model hotov. Nejprve zkusíme jednoduchý model s bloky Simulink/Sources/SinWave, Simulink/Continuous/Integrator a Simulink/Sinks/Scope. Jednotlivé bloky natáhneme z knihovny (držíme levé tlačítko myši). Spojíme je dle obrázku (každý blok má vstupní a výstupní šipku. Mezi nimi natáhneme spojnici levým tlačítkem myši):
7 Model uložíme. Nyní můžeme spustit simulaci, v menu Simulation/Run. Po ukončení simulace otevřeme Scope ve kterém vidíme výslednou křivku. Při otevření ostatních bloků můžeme měnit jejich parametry. Vyzkoušejte změnu amplitudy a frekvence sinusovky. Parametry simulace (např. délku) můžeme měnit příkazem Simulation/ConfigurationParameters. Zkusme pozorovat jak sinusovku tak výsledek její integrace. Možností je několik, rozdvojení signálu provedeme pravým tlačítkem myši. Připojení dalšího Scope bloku Paralelizace signálu blokem Simulink/SignalRouting/Mux Troška podrobností o blocích a řešičích Bloky mohou být spojité nebo diskrétní. Spojité bloky odpovídají na změny ve vstupech spojitě, zatímco diskrétní bloky reagují na změny ve vstupech pouze v násobcích fixního časového intervalu zvaného délka vzorku (sample time). Meze jednotlivými vzorky jsou
8 výstupy diskrétních bloků konstantní. Každý diskrétní blok má parametr sample time, který určuje délku vzorku. Některé bloky mohou pracovat spojitě i diskrétně (např. Gain). Takový blok má implicitní vzorkování, to znamená že pokud je některý ze vstupů spojitý, pracuje i blok spojitě. Pokud jsou všechny vstupy diskrétní, nastaví se taková délka vzorku která odpovídá nejmenšímu ze vstupů. Simulink umožňuje tvorbu subsystémů, kdy každý z nich představuje vlastní schéma. Vnořování subsystémů není omezeno. Je možné vytvářet vlastní bloky, nebo celé jejich knihovny. Můžete to udělat buď graficky pomocí již existujících bloků, nebo přímo programově vytvořením M-souboru který obsahuje příslušné funkce bloku. Takový M-soubor se pak označuje jako S-funkce. Vytváření S-funkcí tvoří samostatnou kapitolu. Matlab obsahuje celou řadu numerických řešičů (nastavení v Simulation / ConfigurationParameters). Řešiče mohou být s fixním nebo proměnným krokem. Řešiče s proměnným krokem mění délku integračního kroku v závislosti na rychlosti změn stavů (při rychlé změně stavu pracují s jemnějším krokem). Řešiče jsou k dispozici jak spojité tak diskrétní, na model obsahující oba stavy je nutné použít spojitý řešič. Během simulace Simulink kontroluje v každém kroku nespojitosti stavových proměnných. Pokud je nespojitost detekována, je určen přesný čas kdy k ní došlo a výpočet je zpřesněn před a po tomto čase. Je tomu tak proto že nespojitost souvisí s podstatnou změnou chování dynamické soustavy, například poloha poskakující kuličky je nespojitá v okamžiku dopadu na podložku. Tato událost musí být proto určena přesně, jinak by výsledkem mohla být změna rychlosti ve vzduchu, nikoliv přímo na podložce. Algebraické smyčky
9 1. Demo Bouncing Ball Model - poskakující kulička Gumová kulička je vymrštěna vzhůru rychlostí 15 m/s ve výšce 10 m. Elastické vlastnosti způsobí že při dopadu je rychlost odrazu snížena o 20 %. Jedinou vnější silou je gravitace: mx && = mg && x= g poč. podm. x& = 15 m/ s; x = 10m [ 0] [ 0] Model v Simulinku: Gravitační zrychlení zadáno blokem Konstanta. Rychlost se získá integrací zrychlení, poloha integrací rychlosti. Počáteční podmínka u polohy je vložena přímo do bloku. Integrátor polohy je omezen směrem dolů (poloha nemůže být záporná, kulička nemůže vletět do podlahy). Integrátor rychlosti má externí počáteční podmínku, která je na počátku rovna 15, v průběhu simulace je rovna vždy stavu bloku při jeho resetu (náraz kuličky na zem) vynásobeno elastickou konstantou (snížení rychlosti) a -1 (změna orientace). Stav bloku odpovídá výstupu bloku v momentu resetu (na počáteční podmínku). Externí reset je přiveden z bloku polohy. Příklad používá Scope s více bloky je možno upravovat (pravé tlačítko, Signal & Scope Manager).
10 2. Bungee jumping Chceme zjistit jaké lano použít. Síly působící na skokana: Tíhová síla G kx pro x > 0 Fe = 0 pro x < 0 Newtonův 2. poh. zákon: F = ma G O Fe= ma = mg, odpor vzduchu 1 && x = mg k x& k x& kx m 2 ( 1 2 ) 2 dx O= kv 1 + k2 v, kdev=, síla od lana dt
11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceMechanika - kinematika
Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb
VíceBřetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceVytvoření modelu dvojitého kyvadla
Vytvoření modelu dvojitého kyvadla Text je určen pro začátečníky v používání simulinku, vytvořeno v simulinku verze 7.6 (R2010b) 1. Spustíme MATLAB 2. V Command Window MATLABu spustíme příkaz: >> simulik
Více2. Mechanika - kinematika
. Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu
VíceŘÍZENÍ FYZIKÁLNÍHO PROCESU POČÍTAČEM
VYSOKÁ ŠKOLA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ V PRAZE FAKULTA CHEMICKO-INŽENÝRSKÁ Ústav počítačové a řídicí techniky MODULÁRNÍ LABORATOŘE ŘÍZENÍ FYZIKÁLNÍHO PROCESU POČÍTAČEM Programování systému PCT40 v Simulinku
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
Více[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.
5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami
VíceSignálové a mezisystémové převodníky
Signálové a mezisystémové převodníky Tyto převodníky slouží pro generování jednotného nebo unifikovaného signálu z přirozených signálů vznikajících v čidlech. Často jsou nazývány vysílači příslušné fyzikální
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MODELOVÁNÍ MATLABEM
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MODELOVÁNÍ MATLABEM Jméno: Petr Thür Os. číslo: A04236 E-mail: petr.thur@post.cz Zadání: 8-D Datum vypracování: 7. 5. 2005 Zadání: Sestavte program (funkční M-soubor) pro vykreslení
VíceDynamika hmotného bodu
Mechanika příklady pro samostudium Dynamika hmotného bodu Příklad 1: Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost 20 m/s během 10s. Dáno: m = 1000 kg,
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.
Více2.4.8 Další příklady s grafy funkcí s absolutní hodnotou
..8 Další příklady s grafy funkcí s absolutní hodnotou Předpoklady: 0-07 Pedagogická poznámka: Následující dva příklady je většinou nutné studentům dovysvětlit. Prohlížení vlastních poznámek jim většinou
VíceVzájemné působení těles
Vzájemné působení těles Podívejme se pozorně kolem sebe. Na parapetu stojí květináč, na podlaze je aktovka, venku stojí auto Ve všech těchto případech se dotýkají dvě tělesa. Květináč působí na parapet,
VíceModelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink
Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink Lachman Martin, Mendřický Radomír Elektrické pohony a servomechanismy 27.11.2013 Struktura programu MATLAB-SIMULINK 27.11.2013 2 SIMULINK
VíceAlgoritmus Minimax. Tomáš Kühr. Projektový seminář 1
Projektový seminář 1 Základní pojmy Tah = přemístění figury hráče na tahu odpovídající pravidlům dané hry. Při tahu může být manipulováno i s figurami soupeře, pokud to odpovídá pravidlům hry (např. odstranění
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceFourierova transformace
Fourierova transformace Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Jeho obdivovatel (nedatováno) Opáčko harmonických signálů Spojitý harmonický signál ( ) = cos( ω + ϕ ) x t C t C amplituda ω úhlová frekvence
Více1.8.3 Hydrostatický tlak
.8.3 Hydrostatický tlak Předpoklady: 00802 Z normální nádoby s dírou v boku voda vyteče, i když na ni netlačí vnější síla. Pokus: Prázdná tetrapacková krabice, několik stejných děr v boční stěně postupně
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
Více( LEVEL 2 něco málo o matematickém popisu, tvorbě simulačního modelu a práci s ním. )
( LEVEL 2 něco málo o matematickém popisu, tvorbě simulačního modelu a práci s ním. ) GRATULUJI! Pokud jste se rozhodli pro čtení této části proto, abyste se dostali trochu více na kloub věci, jste zvídaví
VíceI N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í
DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou
Více3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru
3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceZavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově
Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícesf_2014.notebook March 31, 2015 http://cs.wikipedia.org/wiki/hudebn%c3%ad_n%c3%a1stroj
http://cs.wikipedia.org/wiki/hudebn%c3%ad_n%c3%a1stroj 1 2 3 4 5 6 7 8 Jakou maximální rychlostí může projíždět automobil zatáčku (o poloměru 50 m) tak, aby se navylila voda z nádoby (hrnec válec o poloměru
Více2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
VíceManuál programu HPSim
Manuál programu HPSim Základní informace o programu HPSim Program si můžete zdarma stáhnou z domovské stránky tohoto programu na adrese: http://www.winpesim.de. Tento software je volně šiřitelný pro potřeby
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceGyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2
Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové
VíceK přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014
K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ. Katedra elektromechaniky a výkonové elektroniky. Regulace jednofázového napěťového střídače
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Katedra elektromechaniky a výkonové elektroniky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Regulace jednofázového napěťového střídače vedoucí práce: Ing. Vojtěch Blahník,
VíceNÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI
NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI Petr Vojčinák, Martin Pieš, Radovan Hájovský Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra měřicí a
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceM ě r n á t e p e l n á k a p a c i t a p e v n ý c h l á t e k
M ě r n á t e p e l n á k a p a c i t a p e v n ý c h l á t e k Ú k o l : Určit měrné tepelné kapacity vybraných pevných látek pomocí kalorimetru. P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním
VíceDiferenciální rovnice kolem nás
Diferenciální rovnice kolem nás Petr Kaplický Den otevřených dveří MFF UK 2012 Praha, 29. 11. 2012 Petr Kaplický (KMA MFF UK) Diferenciální rovnice kolem nás 1 / 24 Plán 1 Let Felixe B. 2 Pád (s odporem
VíceSedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:
Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceTeorie množin. kapitola 2
Teorie množin kapitola 2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat
Více3 Elektromagnetické vlny ve vakuu
3 Elektromagnetické vlny ve vakuu Od mechanických vln s pružinkami a závažími se nyní přesuneme k vlnám elektromagnetickým. Setkáváme se s nimi na každém kroku radiové vlny, mikrovlny, světlo nebo třeba
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VícePříklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2
Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Více10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI
0a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI Úvod: Klasický síťový transformátor transformátor s jádrem skládaným z plechů je stále běžně používanou součástí
VícePřijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A
Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční
VíceZdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele
Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro
VíceJednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.
1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceAnotace. Dynamické programování, diskrétní simulace.
Anotace Dynamické programování, diskrétní simulace. Problémy, které byly Přednášející jde tentokrát do M1, počet platných uzávorkování pomocí n párů závorek, počet rozkladů přirozeného čísla na součet
VíceRadiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VícePOHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ
POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje
VíceLaboratorní úloha č. 5 Faradayovy zákony, tíhové zrychlení
Laboratorní úloha č. 5 Faradayovy zákony, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Měření na digitálním osciloskopu a přenosném dataloggeru LabQuest 2. 2. Ověřte Faradayovy zákony pomocí pádu magnetu skrz trubici
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceTechnisches Lexikon (cz.) 16/10/14
Technický lexikon Pojmy z techniky měření sil a točivých momentů a d a tových listů GTM Technisches Lexikon (cz.) 16/10/14 Úvod V tomto Technickém lexikonu najdete vysvětlení pojmů z techniky měření síly
VíceIng. Stanislav Jakoubek
Ing. Stanislav Jakoubek Číslo DUMu III/2-3-3-01 III/2-3-3-02 III/2-3-3-03 III/2-3-3-04 III/2-3-3-05 III/2-3-3-06 III/2-3-3-07 III/2-3-3-08 Název DUMu Elektrický náboj a jeho vlastnosti Silové působení
VíceObsah. Začínáme pracovat v InventorCAMu - frézování. 1995-2009 SolidCAM WWW.INVENTORCAM.CZ. All Rights Reserved.
Obsah Začínáme pracovat v InventorCAMu - frézování WWW.INVENTORCAM.CZ 1995-2009 SolidCAM All Rights Reserved. 1 2 2 Obsah Obsah 1. Přehled modulů InvnetorCAMu... 11 1.1 2.5D Frézování... 12 1.2 Obrábění
VíceKULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima
KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených
VíceMQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com. -5 Smyčky & Rozhodnutí Část 2
MQL4 COURSE By Coders guru www.forex-tsd.com -5 Smyčky & Rozhodnutí Část 2 Vítejte v šesté lekci mého kurzu MQL 4. Doufám, že se vám předchozí lekce líbily. V předchozí lekci jsme se bavili o smyčkách.
VíceKINEMATIKA 13. VOLNÝ PÁD. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0213
KINEMATIKA 13. VOLNÝ PÁD Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0213 Volný pád První systematické pozorování a měření volného pádu těles prováděl Galileo Galilei (1564-1642) Úvodní pokus: Poslouchej, zda
VíceStudentská tvůrčí činnost. O letu volejbalového míče při podání
Studentská tvůrčí činnost O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Vedoucí práce : Prof. Ing. Pavel Šafařík, CSc O letu volejbalového míče při podání Jan Dumek Abstrakt Práce se zabývá pozorováním
VíceDerivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
VíceZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ
INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 1. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 ZÁKLADY ŘÍZENÍ ENERGETICKÝCH STROJŮ
VíceNeřízené usměrňovače reálné vlastnosti
Počítačové cvičení BNEZ 1 Neřízené usměrňovače reálné vlastnosti Úkol 1: Úkol 2: Úkol 3: Úkol 4: Úkol 5: Pomocí programu OrCAD Capture zobrazte voltampérovou charakteristiku diody 1N4007 pro rozsah napětí
VíceLED_007.c Strana: 1/5 C:\Michal\AVR\Výukové programy\archiv\ Poslední změna: 4.10.2011 8:01:48
LED_007.c Strana: 1/5 Nyní již umíme používat příkazy k větvení programu (podmínky) "if" a "switch". Umíme také rozložit program na jednoduché funkce a používat cyklus "for". Co se týče cyklů, zbývá nám
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceAnalýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo
Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo Jakub Nedbálek Abstrakt: Cílem práce je ukázat možnost využití Monte Carlo simulace pro studium úloh z oblasti spolehlivosti. V našem případě máme
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta dopravní BAKALÁŘSKÁ PRÁCE VYUŽITÍ MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ V LOGISTICKÝCH ŘETĚZCÍCH.
České vysoké učení technické v Praze Fakulta dopravní BAKALÁŘSKÁ PRÁCE VYUŽITÍ MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ V LOGISTICKÝCH ŘETĚZCÍCH Karel Kůs 2013 Prohlášení Nemám závažný důvod proti užívání tohoto školního
VíceLaboratorní měření 1. Seznam použitých přístrojů. Popis měřicího přípravku
Laboratorní měření 1 Seznam použitých přístrojů 1. Generátor funkcí 2. Analogový osciloskop 3. Měřící přípravek na RL ČVUT FEL, katedra Teorie obvodů Popis měřicího přípravku Přípravek umožňuje jednoduchá
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Příklady v MATLABu Přednáška 10 30. listopadu 2009 Řídící instrukce if else C Matlab if ( podmínka ) { } else { } Podmíněný příkaz if podmínka elseif podmínka2... else
VíceRozšíření modelů technologických procesů
Rozšíření modelů technologických procesů Pavel Sousedík Vedoucí: František Gazdoš, Ing. PhD. 2009 ABSTRAKT V práci je představena knihovna modelů reálných procesů. Tyto modely jsou vytvářeny v programovém
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceŘešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4)
Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas 1,, ), V. Vícha 4) 1.a) Mezi spodní destičkou a podložkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
VíceVývojové práce v elektrických pohonech
Vývojové práce v elektrických pohonech Pavel Komárek ČVUT Praha, Fakulta elektrotechnická, K 31 Katedra elektrických pohonů a trakce Technická, 166 7 Praha 6-Dejvice Konference MATLAB 001 Abstrakt Při
VíceTest jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso
DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost
VíceJEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt
SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting
Více1.5.9 Zákon zachování mechanické energie III Předpoklady: Dokonale pružný centrální ráz dvou koulí Pedagogická poznámka:
.5.9 Zákon zacování mecanické energie III Předpoklady: 58 Dokonale pružný centrální ráz dvou koulí v v m m Speciální typ srážky, situace známá z kulečníku: dokonale pružný: při srážce se neztrácí energie,
Více3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel
3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)
VíceNetlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině
Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento
VícePoznámky k cvičením z termomechaniky Cvičení 3.
Vnitřní energie U Vnitřní energie U je stavová veličina U = U (p, V, T), ale závisí pouze na teplotě (experiment Gay-Lussac / Joule) U = f(t) Pro měrnou vnitřní energii (tedy pro vnitřní energii jednoho
VíceKonfigurace řídicího systému technikou Hardware In The Loop
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Konfigurace řídicího systému technikou Hardware In The Loop Szymeczek Michal Elektrotechnika, Študentské práce 20.10.2010 Bakalářská práce se zabývá konfigurací
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ LEVITAČNÍ ELEKTROMAGNET BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV VÝKONOVÉ ELEKTROTECHNIKY A ELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION
VícePŘEVODNÍK SNÍMAČE SIL NA USB PRO ZOBRAZENÍ V PC DSCUSB. KRÁTKÁ PŘÍRUČKA PRO OBSLUHU A KONFIGURACI Revize červenec 2014
PŘEVODNÍK SNÍMAČE SIL NA USB PRO ZOBRAZENÍ V PC DSCUSB KRÁTKÁ PŘÍRUČKA PRO OBSLUHU A KONFIGURACI Revize červenec spol. s.r.o. Ostrovačice OBSAH 1 ZÁKLADNÍ INFORMACE... 2 1.1 Parametry převodníku DSCUSB...
Více7. Gravitační pole a pohyb těles v něm
7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceZápadočeská univerzita. Lineární systémy 2
Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,
Více1.4.1 Inerciální vztažné soustavy, Galileiho princip relativity
1.4.1 Inerciální vztažné soustavy, Galileiho princip relativity Předpoklady: 1205 Pedagogická poznámka: Úvodem chci upozornit, že sám považuji výuku neinerciálních vztažných soustav na gymnáziu za tragický
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS
EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3
Více