KMS cvičení 9. Ondřej Marek

Transkript

1 KMS cvičení 9 Ondřej Marek

2 SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor fyzikálních souřadnice, r vektor amplitud fyzikálních souřadnic q - vektor modálních souřadnic, c vektor amplitud modálních souřadnic Dosazení do pohybových rovnic: Matice I a Λ jsou diagonální. Pokud je i U T BU také diagonální, pak se ze soustavy rovnic stanou skupina nezávislých rovnic o jedné neznámé lze také psát: 2!, kde " "! Ω Ω 2

3 SYSTÉM S n DOF diagonalizovatelnost U T BU Podmínka diagonální matice je v našem případě vyžadována z důvodu jednoduššího řešení a rozpadu soustavy rovnic na nezávislé rovnice o jedné proměnné. Požadavek &, kde & značí diagonální matici platí & &, protože je také diagonální ( ) tedy: ' podmínka diagonalizovatelnosti : ' ' Co vyhovuje podmínce ' '? nejjednodušší a často používaná: ) Caugheyho podmínka +, * ) ' n=: -. ). n=1: ). ) Rayleigho tlumení (proporcionální) n=2: ). ) ) ' 3

4 SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému ve fyzikálních souřadnicích: Pohybové rovnice lineárního systému v modálních souřadnicích: 2!! 2 " " " Ω Ω Ω Ω Ω Ω n nezávislých rovnic pro n nezávislých systémů řeší se každý modální tvar zvlášť (každý má svoji Ω) Z matic M, B, K se získají ekvivalentní matice pro modální popis Ω, U, ζ. pro řešení v modálních souřadnicích je třeba převést i počáteční podmínky 4 4 buď 4 ' 4 nebo Řešení: sin Ω 5 1<" 5 =.5 '>?@? 56 AB '>? C '>?@? AB 5 '>? C pokud.e e G E 5H *IB 5E G E 4

5 SYSTÉM S n DOF redukce modelu J J J J Pokud se vyhodnotí, že lze vlastní tvary U B zapomenout (rozměr U B je n x k, rozměr q B k x 1), pak lze systém s n DOF redukovat na n-k DOF. Po redukci: J J 5

6 Modální souřadnice příklad Příklad: Předepnutá hmotná struna s hmotností m s délky L se chová jako poddajná soustava. Diskretizujte kontinuum dle obrázku na soustavu s r stupni volnosti a určete vlastní frekvence systému a vlastní tvary. L=1m; r=5; m s =.2kg; P=1N P m 1 a 1 a 2 Maticový zápis K K 4 L M N PQP ) R N 1 2S ) < S ) < S ) 2S ) < S ).4 VQV 12 <6 <6 12 <6 <6 12 <6 <6 12 <6 <6 12 P L m 2 m i m n a n+1 < S ) 2S ) 6

7 Modální souřadnice příklad Maticový zápis 4 Získání matic U a Λ v Matlabu příkazem: [U,Lambda]=eig(K,M) U = Lambda = 1.e+4 * Vlastní frekvence (s jednotkou Hz) lze spočíst z diagonálních prvků matice Lambda frequencies= sqrt(diag(lambda))(2*pi) frequencies = Diagonalita matice U T BU se řešit nemusí, jelikož B je nulová matice. Maticový zápis v modálním tvaru 4 Je třeba přepočíst počáteční podmínky z fyzikálních souřadnic do modálních x = [ ] T v = [ ] T X 4 4 = [ ] T 4 = [ ] T rovnice lze řešit po jedné od první vlastní frekvence po n-tou 6 Y cosω \ sinω 6 Y. < \ Ω \. Ω 6 <.172cos63.4 7

8 Modální souřadnice příklad 2. vlastní tvar 6 Y cosω \ sinω 6 Y. 6 \ Ω \. Ω 6 3. vlastní tvar _6 Y _ cosω _ \ _ sinω 6 Y _._ <.23 _6 \ _ Ω _ \ _._ Ω 6 <.23cos173.2 Přechod zpět do fyzikálních souřadnic ab V ab d ab V ab < _ V < <.172 cos <.23 cos cos cos63.4 <.67cos cos cos63.4 <.31cos236.6 _.498cos cos cos236.6 a podobně: `6 V6.12cos

9 Průběh modálních souřadnic v čase.2 q q 2 x x dle u 3 x dle u q q q

10 Příklad (struna) - grafy x 1 x 1.4 x 1,u 2,u x 2 x 2 dle u 2.4 x 2,u 2,u x 3 x 3 dle u 3.4 x 3,u 2,u

11 Modální souřadnice příklad přidáno tlumení Uvažujme proporcionální tlumení. Použijeme tedy pohybovou rovnici v následujícím tvaru a zvolíme matici ζ 2!! Ten lze přepsat také jako: 56 '>?@? I 5 cos Ω 5 1<" 5 k 5 sin Ω 5 1<" 5 diag Pro ilustraci lze zpětně vypočíst matici B, není však třeba ji znát 2! ' 2! ' 2! B=M'*U*2*Zeta*Omega*U'*M B = Homogenní řešení j-tého tvaru má obecně tvar: sin Ω 5 1<" 5 =.5 '>?@? Z důvodu, že počáteční podmínky jsou zadány v čase t= (zpravidla bývá), sin= a e =1. 6 '> l@ l I cos Ω 1<" k sin Ω 1<" 6 I. < \ Ω 1<". \ Ω 1<" 6 <.172 '..m_` cos _6 <.23 'm.n_ cos173.1 `6 V6.12 'o.n cos

12 Průběh modálních souřadnic v čase tlumený systém.2 q q q q q

13 Rozvoj pomocí vlastních tvarů.5 x 1 x 1 x 1,u 2,u x 2.5 x 2 x 2,u 2,u x 3.5 x 3 x 3,u 2,u

14 Numerické řešení soustavy lin. diferenciálních rovnic druhého řádu 2!! function Xt = CV9_st_popis(t,X,f,U, Omega, Zeta) p p p J p q <! <2! q n=size(omega,2); Xt = [zeros(n,n) eye(n); -Omega^2-2*Zeta*Omega]*X + [zeros(n,n); eye(n)]*u'*f ; end Q = [q; qt]; % pocatecni podminky zapsany do matice T=1; % f=[;;;;]; u=u(:,1); zeta=.1 options=odeset('reltol',1e-8,'abstol',1e-8); [t,q1] = ode45((@(t,y) CV9_st_popis(t,y, f, U, Omega,Zeta)), [,T],Q,options); I... jednotková matice rozměru nxn O... nulová matice rozměru nxn Pokud je znám vektor Q, což jsou většinou počáteční podmínky Q(), pak lze dle rovnice p J p spočítat p. numerickou integrací se získá vektor Q(t + Δt) a výpočet může pokračovat stále dokola. p p s p tu p p 14