Heuristiky ve výuce matematiky
|
|
|
- Iveta Veselá
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Heuristiky ve výuce matematiky Petr Eisenmann Univerzita J. E. Purkyně Ústí nad Labem, Přírodovědecká fakulta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 1 / 60
2 Autoři Tato prezentace popisuje výsledky projektu, jehož hlavními řešiteli byli: Petr Eisenmann Jiří Přibyl Přírodovědecká fakulta UJEP v Ústí nad Labem a Jarmila Novotná Pedagogická fakulta UK Praha Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 2 / 60
3 Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60
4 Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60
5 Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Kopka, J. (2013). Umění řešit matematické problémy. Praha Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60
6 Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Kopka, J. (2013). Umění řešit matematické problémy. Praha Kuřina, F. (2011). Matematika a řešení úloh. České Budějovice. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60
7 Základní vymezení Dlouhodobý experiment Gymnázium Jana Nerudy, Praha, 20 žáků ve věku let Gymnázium Václava Hraběte, Hořovice, 24 žáků ve věku let Základní škola Pod Vodojemem, Ústí nad Labem, 18 žáků ve věku let Základní škola Na Slovance, Praze, 16 žáků ve věku let Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 4 / 60
8 Základní vymezení Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
9 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
10 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
11 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
12 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
13 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
14 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
15 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
16 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Zobecnění a konkretizace Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
17 Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Zobecnění a konkretizace Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60
18 Analogie Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 6 / 60
19 Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60
20 Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60
21 Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? 3 4 > 2 3 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60
22 Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? Větším zlomkem je zlomek > 2 3 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60
23 Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60
24 Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60
25 Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? = 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60
26 Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? = = 6,9 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60
27 Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? = = 6,9 Průměrná spotřeba auta na 100 km činí 6,9 litrů. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60
28 Úloha č. 3 Analogie Je dána pravidelný osmistěn a přímka p ležící vně osmistěnu. Určete rovinu, která prochází přímkou p a rozdělí daný osmistěn na dvě shodné části. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 9 / 60
29 Úloha č. 3 Analogie Je dána pravidelný osmistěn a přímka p ležící vně osmistěnu. Určete rovinu, která prochází přímkou p a rozdělí daný osmistěn na dvě shodné části. Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 9 / 60
30 Úloha č. 3 Analogie Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 10 / 60
31 Úloha č. 3 Analogie Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 10 / 60
32 Úloha č. 3 Analogie Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Rovina musí vést středem pravidelného osmistěnu. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 10 / 60
33 Zavedení pomocného prvku Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 11 / 60
34 Pomocný prvek přímka Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 12 / 60
35 Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60
36 Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60
37 Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y 1 x + 2 y = 1 3 x 1 y = 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60
38 Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y 1 x + 2 y = 1 3 x 1 y = 4 u = 1 x v = 1 y Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60
39 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x x = x x Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60
40 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x x = x Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. + x Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60
41 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x x = x Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. x x = x x x Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60
42 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x x = x Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. x x = x x x x x = x x Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60
43 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x x x x = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60
44 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x x (x + 12) x ( x + 12 = 0 4 ) = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60
45 Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x x (x + 12) x ( x = 12 x + 12 = 0 4 ) = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60
46 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Je dán libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD. Spojte středy M, N stran AD a BC. Zjistěte, jaký je vztah mezi MN a 1 2( AB + CD ). Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 16 / 60
47 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Je dán libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD. Spojte středy M, N stran AD a BC. Zjistěte, jaký je vztah mezi MN a 1 2( AB + CD ). Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 16 / 60
48 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Je dán libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD. Spojte středy M, N stran AD a BC. Zjistěte, jaký je vztah mezi MN a 1 2( AB + CD ). Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 17 / 60
49 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
50 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
51 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
52 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN < MS + SN Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
53 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN < MS + SN = 1 2 AB CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
54 Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN MS + SN = 1 2 AB CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60
55 Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku Vypočítejte obsah kapky, jestliže její obvod tvoří kružnicové oblouky. Údaje na obrázku jsou uvedeny v centimetrech. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 19 / 60
56 Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 20 / 60
57 Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 20 / 60
58 Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku S = 12 6 = 72 cm 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 20 / 60
59 Vypuštění podmínky Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 21 / 60
60 Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Je dán trojúhelník ABC. Vepište do tohoto trojúhelníku čtverec KLMN tak, aby strana KL ležela na straně AB, vrchol M na straně BC a vrchol N na straně AC. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 22 / 60
61 Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 23 / 60
62 Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 24 / 60
63 Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 25 / 60
64 Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 26 / 60
65 Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60
66 Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = x 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60
67 Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = x y x + y 1 119,25 120, , , ,5 119, ,375 97, x 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60
68 Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = x y x + y 1 119,25 120, , , ,5 119, ,375 97, x 8 V divadle prodali 63 lístků po 11 Kč a 34 lístků po 8 Kč. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60
69 Systematické experimentování Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 28 / 60
70 Úloha č. 1 Systematické experimentování Máme připravit 50 kg bonbónové směsi v ceně 120 Kč za jeden kilogram. K dispozici máme dva druhy bonbónů, první v ceně 90 Kč za jeden kilogram, druhý v ceně 140 Kč za jeden kilogram. Kolik každého druhu je třeba smíchat? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 29 / 60
71 Úloha č. 1 Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 30 / 60
72 Úloha č. 1 Systematické experimentování K přípravě směsi je třeba smíchat 20 kg prvního druhu a 30 kg druhého druhu. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 30 / 60
73 Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např , se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60
74 Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např , se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? , 94749, 8338, 565, 44, 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60
75 Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např , se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? , 94749, 8338, 565, 44, , 1001, 2992 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60
76 Systematické experimentování Úloha č. 2 Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např , se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? , 94749, 8338, 565, 44, , 1001, = = = Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60
77 Úloha č. 2 Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 32 / 60
78 Úloha č. 2 Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 33 / 60
79 Úloha č. 3 Systematické experimentování Určete, zda je posloupnost x n = 20n n! monotónní. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 34 / 60
80 Systematické experimentování Úloha č. 3 Určete, zda je posloupnost x n = 20n n! monotónní. x 1 = 20 x 2 = 200 x 3 = 1333,3... x 4 = 6666,6... Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 34 / 60
81 Úloha č. 3 Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 35 / 60
82 Pokus ověření korekce Pokus ověření korekce Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 36 / 60
83 Úloha č. 1 Pokus ověření korekce Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 37 / 60
84 Úloha č. 1 Pokus ověření korekce Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 37 / 60
85 Úloha č. 2 Pokus ověření korekce Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 38 / 60
86 Úloha č. 2 Pokus ověření korekce Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 38 / 60
87 Užití falešného předpokladu Užití falešného předpokladu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 39 / 60
88 Úloha č. 1 Užití falešného předpokladu Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60
89 Úloha č. 1 Užití falešného předpokladu Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? 60 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60
90 Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? ,2 60 = Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60
91 Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? ,2 60 = = 120 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60
92 Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? Hledaným číslem je číslo ,2 60 = = 120 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60
93 Úloha č. 2 Užití falešného předpokladu Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60
94 Úloha č. 2 Užití falešného předpokladu Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60
95 Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč = : 2 = 135 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60
96 Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč = : 2 = = 600 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60
97 Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč = : 2 = 135 Původně kniha stála 600 Kč = 600 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60
98 Úloha č. 3 Užití falešného předpokladu Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60
99 Úloha č. 3 Užití falešného předpokladu Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? 80 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60
100 Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? = = 45 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60
101 Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? = = = 32 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60
102 Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? = = = 32 Adam měl původně 32 kuliček. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60
103 Konkretizace a zobecnění Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 43 / 60
104 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
105 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
106 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
107 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč 21 8 = 13 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
108 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč = = 162,5 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
109 Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč 13 8 Obchodníkův zisk je 162,5 % = = 162,5 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60
110 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Mějme dán libovolný trojúhelník ABC. Body P, Q, R a S dělí strany AC a BC na tři shodné části. Jaký je poměr obsahů PQSR a ABC? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 45 / 60
111 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Mějme dán libovolný trojúhelník ABC. Body P, Q, R a S dělí strany AC a BC na tři shodné části. Jaký je poměr obsahů PQSR a ABC? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 45 / 60
112 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 46 / 60
113 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 46 / 60
114 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60
115 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60
116 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v S QSC = a 1 v 3 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60
117 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v S QSC = a 1 v S PRC = a 2v 3 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60
118 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v S QSC = a 1 v S PRC = a 2v 3 2 S PQSR = 4 9 av av 2 = 1 3 av 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60
119 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 48 / 60
120 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 48 / 60
121 Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Plocha čtyřúhelníku je jedna třetina plochy trojúhelníku. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 48 / 60
122 Přeformulování problému Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 49 / 60
123 Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60
124 Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Mějme dvě stejné pizzy (shodné kruhy). První z nich rozdělíme na 125 shodných dílů, druhou rozdělíme na 126 shodných dílů. Z každé pizzy odeberme jeden díl. Ve které pizze toho zůstane více? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60
125 Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: nebo ? Mějme dvě stejné pizzy (shodné kruhy). První z nich rozdělíme na 125 shodných dílů, druhou rozdělíme na 126 shodných dílů. Z každé pizzy odeberme jeden díl. Ve které pizze toho zůstane více? > Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60
126 Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60
127 Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60
128 Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Kolik čtyřprvkových podmnožin má n prvková množina? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60
129 Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Kolik čtyřprvkových podmnožin má n prvková množina? ( ) n 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60
130 Řešitelský obrázek Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 52 / 60
131 Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jakou část obsahu většího čtverce zaujímá menší čtverec. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 53 / 60
132 Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jakou část obsahu většího čtverce zaujímá menší čtverec. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 53 / 60
133 Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 54 / 60
134 Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 54 / 60
135 Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Menší čtverec zaujímá polovinu obsahu většího čtverce. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 54 / 60
136 Vyhodnocení experimentu Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 55 / 60
137 Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60
138 Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60
139 Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Zavedení pomocného prvku Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60
140 Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Zavedení pomocného prvku Analogie Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60
141 Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60
142 Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60
143 Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60
144 Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost 3 Schopnost číst s porozuměním text Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60
145 Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost 3 Schopnost číst s porozuměním text 4 Schopnost využít stávajících znalostí v matematice Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60
146 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
147 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
148 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
149 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
150 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
151 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) více jsou schopni komunikovat s ostatními, obhájit a vysvětlit svoje řešení, reagovat na argumenty oponenta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
152 Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) více jsou schopni komunikovat s ostatními, obhájit a vysvětlit svoje řešení, reagovat na argumenty oponenta častěji jsou schopni svá řešení zapsat Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60
153 Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60
154 Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60
155 Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60
156 Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh více přemýšlejí o tom, jak odstranit pocit neúspěchu u žáků Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60
157 Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh více přemýšlejí o tom, jak odstranit pocit neúspěchu u žáků došlo k ústupu nároků na přesnost a korektnost ve vyjadřování a zápisech žáků ve prospěch porozumění postupů řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60
158 Vyhodnocení experimentu Kde najdete strategie? trilian.ujep.cz/~pribylk/ddsdm Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 60 / 60
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY
SYSTEMATICKÉ EXPERIMENTOVÁNÍ VE VÝUCE MATEMATIKY Petr Eisenmann, Jiří Přibyl PřF UJEP Ústí nad Labem Abstrakt: Náš příspěvek popisuje možnosti systematického experimentování pomocí počítače jako prostředku
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni
Využití neškolských strategií pro řešení úloh v matematice na 2. a 3. stupni Jarmila Novotná Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta 1 Úvod: Řešení úloh Všeobecně přijímáno: Základem úspěšného vyučování
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M
METODY ŘEŠENÍ ÚLOH MX2M doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D., jana.prihonska@tul.cz, linka 2370 Rozdělení úloh Podle obsahu, zadání, požadavku Podle využité řešitelské strategie Podle poznávacích procesů Podle
4.3.2 Koeficient podobnosti
4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné
Příprava na pololetní písemnou práci 9. ročník
Příprava na pololetní písemnou práci 9. ročník 1. Vypočtěte, pokud jde o zlomky, výsledek uveďte v základním tvaru, popřípadě ve tvaru smíšeného čísla: 1 7 1 a) 0, b) 0,01. 1000 + 10. c) 0,5. 0,06 0,09
Příprava na pololetní písemnou práci 9. ročník
Příprava na pololetní písemnou práci 9. ročník. Vypočtěte, pokud jde o zlomky, výsledek uveďte v základním tvaru, popřípadě ve tvaru smíšeného čísla: a) 7 0, b) 9 4 0,0 0000 0, k) 6 c) 0,0,06 0,09:0, d)
CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.
Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).
A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
heuristická strategie
Vypuštění podmínky užitečná heuristická strategie PETR EISENMANN JIŘÍ BŘEHOVSKÝ Univerzita J. E. Purkyně, Ústí nad Labem Úvod Již ve starověku matematikové začali vytvářet strategie, které by jim pomohly
Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
Čtyři body na kružnici
Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 1 / 19 Problematika čtyř bodů na kružnici důkazové úlohy matematické soutěže nedostatečná metodika v učebnicích
66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
DIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
Návody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Obrázek 101: Podobné útvary
14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body
Shodná zobrazení v rovině osová a středová souměrnost Mgr. Martin Mach
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Pořadové číslo DUM 147 Jméno autora Mgr. Romana BLÁHOVÁ Datum, ve kterém byl DUM vytvořen 26.3. 2012 Ročník, pro který je DUM určen 4. Vzdělávací oblast (klíčová slova) MATEMATIKA
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Přijímačky nanečisto - 2011
Přijímačky nanečisto - 2011 1. Vypočtěte: 0,5 2 + (-0,5) 2 (- 0,1) 3 = a) 0,001 b) 0,51 c) 0,499 d) 0,501 2. Vypočtěte: a) 0,4 b) - 0,08 c) 2 3 d) 2 3. Určete číslo s tímto rozvinutým zápisem v desítkové
všech typů a stupňů škol
všech typů a stupňů škol 1 8 Setkání učitelů matematiky všechtypůastupňůškol 2018 8. 10. listopadu 2018 Srní Pořadatelé konference Společnost učitelů matematiky, sekce JČMF suma.jcmf.cz Česká matematická
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 9 M9PID16C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
Syntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách
Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v
Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro
Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.
Úlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:
Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Železná trubka o délce 3 metry
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:
Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Ke každé z jednoduchých úloh přiřaď,
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
![Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].](/thumbs/91/104981778.jpg "Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].")
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů
Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů 1) Kolika způsoby lze zaplatit částku 50 Kč, smíme-li použít pouze mince v hodnotě 1 Kč, 5 Kč a 10 Kč? ) Umocněte: 1 7 p3 q 3 r + 7pq r 3 = 3) Přeložíme-li
SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr
2. Která z trojice úseček může a která nemůže být stranami trojúhelníku. a) b)
Konstrukce trojúhelníku z daných stran 1. Trojúhelníková nerovnost 1. Porovnejte grafický součet každých dvou stran narýsovaných trojúhelníků se stranou třetí. Strany trojúhelníků můžete obtáhnout barevně.
CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název
CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný
CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze
MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!
MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací
9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
Test Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
RNDr. Zdeněk Horák IX.
Jméno RNDr. Zdeněk Horák Datum 8. 10. 2014 Ročník IX. Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA Tematický okruh KRUH, KRUŽNICE Téma klíčová slova Opakování učiva z tematického
Klauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
I. kolo kategorie Z7
68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Na každé ze tří kartiček je napsána jedna číslice různá od nuly (na různých kartičkách nejsou nutně různé číslice). Víme, že jakékoli trojmístné
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
I. kolo kategorie Z8
68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z8 Z8 I 1 Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 38. Kdyby totéž provedli za čtyři
56. ročník Matematické olympiády
56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Úlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].
![Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].](/thumbs/50/26917486.jpg "Funkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].")
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
Matematický KLOKAN kategorie Kadet
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Kadet Úlohy za body. Hodnota kterého z výrazů je sudé číslo? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 2. Hvězda na obrázku
Matematický KLOKAN kategorie Benjamín
Matematický KLOKAN 2011 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Motocyklista ujel vzdálenost 28 km za 30 minut. Jakou průměrnou rychlostí jel? (A) 28 km/h (B) 36 km/h (C) 56 km/h
CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Úlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Návody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 9 M9PID17C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 16 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3
1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225
Úlohy domácího kola kategorie B
47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách
Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:
9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
Jméno a příjmení. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 9 M9PBD19C0T02 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 16 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, trojúhelník-podobnost Ročník 2. Datum tvorby
2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.
MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.
A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence
Přípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
53. ročník matematické olympiády. q = 65
53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři