15. Goniometrické funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "15. Goniometrické funkce"

Transkript

1 @ Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě.

2 @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků stupně každý stupeň rozdělíme na 60 dílků minuty každou minutu rozdělíme na 60 dílků vteřiny 1 o ~ jeden stupeň 1 ~ jedna minuta 1 ~ jedna vteřina Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má radiánů. převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit) stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 70 o 360 o radiány 0 /6 /4 /3 / 3/

3 @16

4 @164a

5 @164b Goniometrické funkce obecně

6 @164c

7 @167 Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky, kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu? cos 150 o = - cos(180 o 150 o ) = - cos 30 o = - 3/

8 @170 Určete následující hodnoty a) sin 150 o = sin(180 o o ) = sin 30 o = 1/ b) cos 10 o = - cos(180 o - 10 o ) = - cos 60 o = - 1/ c) sin 300 o = - sin(360 o o ) = - sin 60 o = - / d) cos 315 o = cos(360 o o ) = cos 45 o = / e) sin 5 o = - sin(5 o o ) = - sin 45 o = / f) cos 40 o = - cos(40 o o ) = - cos 60 o = - 1/ Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory hodnot. výsledek

9 @173 Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) = 0 cos(1575 o ) = - / sin(-385 o ) = / cotg(-3030 o ) = 3 sin(1380 o ) = - 3/ cos(-160 o ) = - 1 Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani druhé. výsledek

10 @176 průběh funkce tg a cotg

11 @179 Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý. Příklad: Dokažte, že platí (cos x 0) 1 + tg x = cos - x Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu. sin L 1 tg x 1 cos x x cos x sin cos x x 1 cos x cos x P Příklad: Dokažte, že platí (cos t 0, sin t 1) cost 1 sin t 1 sin t cost Řešení: cost cost 1 sin t cost(1 sin t) L 1 sin t 1 sin t 1 sin t 1 sin t cost(1 sin t) 1 sin t P cos t cost Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl) a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x e) tg t. cos t + cos t = 1 výsledek

12 @18 Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta. Věta: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin důkaz

13 @185a Ověření podle iv) a známých hodnot cos(x - /) = cos x cos / + sin x sin / = = cos x. 0 + sin x. 1 = sin x Zaveďme substituci = x + / tj. x = / Z právě dokázaného plyne sin x = sin( - /) = cos(x - /) = cos( - / - /) = cos( - ) = = cos cos + sin sin = = cos. (-1) + sin. 0 = - cos Úkol: Z platnosti cos(x - /) = sin x a sin(x - /) = - cos x dokažte platnost i) sin(+ ) = sin cos + sin cos výsledek

14 @185b L = sin(+ ) = cos(+ - /) = cos(+ (- /)) = = cos cos(- /) - sin sin( - /) = = cos sin - sin (-cos ) = = cos sin + sin cos = P Tím je dokázána identita i) sin(+ ) = sin cos + sin cos Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu ii) sin(- ) = sin cos - sin cos výsledek

15 @189 Platí cos(x + /) = -sinx? Ano, platí! L = cos(x + /) = cosx cos(/) sinx sin(/) = cosx. 0 sinx. 1 = -sinx = P Věta: Vzorce pro poloviční úhel Pro každé platí sin cos 1 cos 1 cos Důkaz: Víme: pro každé x platí cos x + sin x = 1 a cos x sin x = cosx Použijeme substituci x = /, abychom do vzorců dostali poloviční úhel sečteme odečteme cos (/) + sin (/) = 1 cos (/) sin (/) = cos cos (/) = 1 + cos sin (/) = 1 - cos a nyní stačí vydělit a odmocnit Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota? výsledek

16 @193 Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin sin cos = = sin cos= P ATD. Zaveďme substituci x = + a y = součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme = (x+y)/ a = (x-y)/ Tedy předchozí identitu lze také psát takto: x sin x sin y sin y x cos y Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty. výsledek

17 @196 Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). Tedy úhel je ve III. kvadrantu a je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit tg tg tg ) tg( ( )) 1 tg tg ( (změna znamének, tg je lichá) Potřebujeme tedy určit tg a tg, k čemuž užijeme vztahy tg = 1/cotg = 5/1 a tg = sin /cos. sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos + sin = 1 cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-15/17)(1 + 15/17) = 8 /17 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -8/17 => tg = sin /cos = (15/17)/(-8/17) = -15/8 Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit tg( ) = 0/1 Úkol: Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). výsledek

18 @158 Úkol: Dokažte, že platí sin + cos = 1. výsledek

19 @160a Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).

20 @160b

21 @160c

22 @160d

23 @160e

24 @160f

25 @160g

26 @160h Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále

27 @163 Orientovaný úhel Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0 o do 360 o stupňů včetně. V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola. Takový úhel se nazývá orientovaný. Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola

28 @165 V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky souřadnic u a v. Úkol: Doplňte znaménka do tabulky kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x výsledek

29 @168a Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v III. kvadrantu? sin 00 o = - sin(00 o 180 o ) = - sin 0 o

30 @168b Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v IV. kvadrantu? cos 300 o = cos(360 o 300 o ) = cos 60 o = - 1/

31 @171 Funkce sin: úhel může být libovolný => definiční obor R. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce cos: úhel může být libovolný => definiční obor R 1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce tg: musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla / označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(k+1)/, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Funkce cotg: musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla / = celočíselné násobky čísla označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin, cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice. Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg. výsledek $

32 @174

33 @177 Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou cos x sin( x ) sin x cos( x )

34 @180 Dokažte, že platí a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = L = (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = = sin x +sinxcosx +cos x +sin x -sinxcosx +cos x = = (sin x + cos x) = = P b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 L = cos 4 x - sin 4 x = = (cos x + sin x)(cos x - sin x) = = 1.(cos x - (1 - cos x)) = cos x - 1 = P cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t pro cotg t ±1, sin x 0 cotg t 1 L 1 cotg t 1 sin t P cos t sin t cos 1 sin 1 cos sin t t t sin t t cos t (1 sin t) sin t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x pro cos x ±1, sin x 0 L cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x P e) tg t. cos t + cos t = 1 pro cos t 0 L tg t.cos sin t cos t cos t 1 P sin t cos t cos t t cos t

35 @183 Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem uvádět tak, jak jsme to udělali i my. V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek. Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin], C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0] Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou. AB = CD AB = (cos - cos) + (sin - sin) = = cos - coscos + cos + sin - sinsin + sin = = (cos + sin ) + (cos + sin ) - (coscos + sinsin) = = [1 - (coscos + sinsin)] CD = (cos(- ) - 1) + sin (- ) = cos (- ) - cos(- ) sin (- ) = = (cos (- ) + sin (- )) cos(- ) = [1 - cos(- )] Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv) iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických funkcí a dokažte platnost iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin výsledek

36 @186 L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin cos(-) + sin(-) cos = = sin cos - sin cos = P Tím je dokázána identita ii) sin(- ) = sin cos - sin cos Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin a cos pomocí sin a cos. Výsledek zformulujte do matematické věty. výsledek

37 @191 Protože pro každé xr platí 0 x x a nikdy jinak. Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) b) sin(/4 + x) sin(/4 x) c) sin 105 o d) cos (/1) výsledek

38 @194 Věta: Vzorce pro součty Pro každé x, y R platí x y x y i) sin x sin y sin cos x y x y ii) sin x sin y cos sin x y x y iii) cos x cos y cos cos x y x y iv) cos x cos y sin sin Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí tgx tgy tg( x y) 1 tgx tgy výsledek

39 @159

40 @161 Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty je nutné znát zpaměti. Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat. stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o radiány 0 /6 /4 /3 / 1 sin 0 cos K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve jmenovateli stále číslo a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1,, 3, 4. sin U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva. Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí výsledek cos /4 = sin /4 =

41 @164

42 @166 kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x

43 @169 Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce. a) sin 150 o b) cos 10 o c) sin 300 o d) cos 315 o e) sin 5 o f) cos 40 o výsledek

44 @17 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně opakují) p>0 xd f : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda. Funkce sin a cos mají periodu (360 o ) Funkce tg a cotg mají periodu (180 o ), sin = sin(+k) cos = cos(+k) tg = tg(+k) cotg = cotg(+k) Příklad: Určete hodnotu cos(1500 o ), tg(400 o ), cotg(-750 o ). Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných násobků periody: pro sin a cos <0 o ; 360 o ) pro tg a cotg <0 o ; 180 o ) cos(1500 o ) = cos(1500 o o ) = cos(60 o ) tg(400 o ) = tg(400 o o ) = tg(60 o ) cotg(-750 o ) = cotg(-750 o o ) = cotg(150 o )

45 Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0 o ; 90 o >, musíme již sledovat znaménka cotg(150 o ) = - cotg(30 o ) Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme. cos(1500 o ) = cos(60 o ) = - 1/ tg(400 o ) = tg(60 o ) = sin(60 o )/ cos(60 o ) = (3/)/(1/) = 3 cotg(-750 o ) = - cotg(30 o ) = - cos(30 o )/sin(30 o ) = - (3/)/(1/) = -3 Úkol: Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) cos(1575 o ) sin(-385 o ) cotg(-3030 o ) sin(1380 o ) cos(-160 o ) výsledek

46 @175 průběh funkce sin a cos

47 @178 Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce. Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin x tgx cos x cos x cotg x sin x sin x + cos x = 1 očividně platí cotg x = 1/tg x = tg -1 x => tgx. cotgx = 1 cos x sin( x ) sin x cos( x ) nebo ve stupních cos = sin( + 90 o ) sin = cos( - 90 o )

48 @181 Součtové vzorce Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy věty. 1 a1 ) ( b ) AB ( b a

49 @184 Máme dokázáno pro každé a platí cos(- ) = cos cos + sin sin a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = Tím je dokázána identita = cos cos - sin sin = P iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin Úkol: Již víme, že platí sin(x - /) = - cos x cos(x - /) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí výsledek

50 @187 Věta: dvojnásobný úhel Pro každé a platí i) sin = sincos ii) cos = cos - sin Řešení: i) L = sin = sin(+ ) = sin cos + sin cos = sincos = P ii) L = cos = cos(+ ) = cos cos - sin sin = cos - sin = P Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí sin( x ) cos x sin( x ) cos x Platí také cos( x ) sin x? cos( x ) sin x ano ne

51 @19 Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) = sin x - stačí použít součtové vzorce L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] = = sin(/6) sin x = sinx = P b) sin(/4 + x) sin(/4 x) = sinx - stačí použít součtové vzorce c) sin 105 o = (6 + )/4 - rozložíme na známé hodnoty 105 o = 60 o + 45 o L = sin 105 o = sin(60 o + 45 o ) = sin 60 o cos 45 o + sin 45 o cos 60 o = = 3/. / + /. 1/ = (6 + )/4 d) cos (/1) = ( + 6)/4 - rozložíme na známé hodnoty /3 /4 = /1 L = cos (/1) = cos(/3 /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) = = 1/. / + 3/. / = ( + 6)/4 = P NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /1 = (/6)/ a I. kvadrantu je cos(/1) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů L cos( ) 1 cos( ) 1 1 cos( 6) Tím jsme mimoděk dokázali, že platí Úkol: Dokažte, že pro každé a platí i) sin(+ ) + sin( ) = sin cos ii) sin(+ ) sin( ) = cos sin iii) cos(+ ) + cos( ) = cos cos iv) cos(+ ) cos( ) = - sin sin výsledek

52 @195 Máme dokázat, že platí tgx tgy tg x y) 1 tgx tgy (, pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné). Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin( x y) sin xcos y sin ycos x L tg( x y) cos( x y) cos xcos y sin xsin y sin xcos y sin ycos x cos xcos y( ) cos xcos y cos xcos y tgx tgy P sin xsin y cos xcos y(1 ) 1 tgx tgy cos xcos y Úkol: Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). výsledek

53 @197 Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). Tedy úhel je ve II. kvadrantu a je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit cos( - ) = cos cos + sin sin. sin = 3/5 známe, zbývá určit cos sin a cos cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-3/5)(1 + 3/5) = 4 /5 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -4/5 Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg x = cos - x, tedy cos = 1/(1 + tg ) = 1/(1 + 1/cotg ) = 1/( /8 ) = 8 /17 a proto cos = 8/17 sin = 1 cos a je v I. kvadrantu => sin = 15/17 Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet cos( ) = 13/85 KONEC LEKCE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy Číslo mate riálu Datum Třída Téma hodiny Ověřený materiál - název Téma, charakteristika Autor Ověřil 1. 2.5. 2012 VI.B I. Sestavení

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Podobnost, funkce, goniometrické funkce, lomený

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok)

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok) Opravná zkouška SD 01-01 (celý rok) 1) Přímá železniční trať má stoupání 5 a délku,5 km. Vypočítej její celkové převýšení. b) ) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 8. ma. b) ) Vypočítej obsah vybarveného

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, trojúhelníky a čtyřúhelníky, výrazy 1, hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

O teleskopických součtech a součinech

O teleskopických součtech a součinech O teleskopických součtech a součinech JAROSLAV ŠVRČEK Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Stanovení součtusoučinu) několika číselčlenů číselné posloupnosti vyhovující danému předpisu) a řešení úloh, které

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více