15. Goniometrické funkce

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "15. Goniometrické funkce"

Transkript

1 @ Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě.

2 @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků stupně každý stupeň rozdělíme na 60 dílků minuty každou minutu rozdělíme na 60 dílků vteřiny 1 o ~ jeden stupeň 1 ~ jedna minuta 1 ~ jedna vteřina Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má radiánů. převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit) stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 70 o 360 o radiány 0 /6 /4 /3 / 3/

3 @16

4 @164a

5 @164b Goniometrické funkce obecně

6 @164c

7 @167 Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky, kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu? cos 150 o = - cos(180 o 150 o ) = - cos 30 o = - 3/

8 @170 Určete následující hodnoty a) sin 150 o = sin(180 o o ) = sin 30 o = 1/ b) cos 10 o = - cos(180 o - 10 o ) = - cos 60 o = - 1/ c) sin 300 o = - sin(360 o o ) = - sin 60 o = - / d) cos 315 o = cos(360 o o ) = cos 45 o = / e) sin 5 o = - sin(5 o o ) = - sin 45 o = / f) cos 40 o = - cos(40 o o ) = - cos 60 o = - 1/ Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory hodnot. výsledek

9 @173 Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) = 0 cos(1575 o ) = - / sin(-385 o ) = / cotg(-3030 o ) = 3 sin(1380 o ) = - 3/ cos(-160 o ) = - 1 Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani druhé. výsledek

10 @176 průběh funkce tg a cotg

11 @179 Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý. Příklad: Dokažte, že platí (cos x 0) 1 + tg x = cos - x Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu. sin L 1 tg x 1 cos x x cos x sin cos x x 1 cos x cos x P Příklad: Dokažte, že platí (cos t 0, sin t 1) cost 1 sin t 1 sin t cost Řešení: cost cost 1 sin t cost(1 sin t) L 1 sin t 1 sin t 1 sin t 1 sin t cost(1 sin t) 1 sin t P cos t cost Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl) a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x e) tg t. cos t + cos t = 1 výsledek

12 @18 Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta. Věta: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin důkaz

13 @185a Ověření podle iv) a známých hodnot cos(x - /) = cos x cos / + sin x sin / = = cos x. 0 + sin x. 1 = sin x Zaveďme substituci = x + / tj. x = / Z právě dokázaného plyne sin x = sin( - /) = cos(x - /) = cos( - / - /) = cos( - ) = = cos cos + sin sin = = cos. (-1) + sin. 0 = - cos Úkol: Z platnosti cos(x - /) = sin x a sin(x - /) = - cos x dokažte platnost i) sin(+ ) = sin cos + sin cos výsledek

14 @185b L = sin(+ ) = cos(+ - /) = cos(+ (- /)) = = cos cos(- /) - sin sin( - /) = = cos sin - sin (-cos ) = = cos sin + sin cos = P Tím je dokázána identita i) sin(+ ) = sin cos + sin cos Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu ii) sin(- ) = sin cos - sin cos výsledek

15 @189 Platí cos(x + /) = -sinx? Ano, platí! L = cos(x + /) = cosx cos(/) sinx sin(/) = cosx. 0 sinx. 1 = -sinx = P Věta: Vzorce pro poloviční úhel Pro každé platí sin cos 1 cos 1 cos Důkaz: Víme: pro každé x platí cos x + sin x = 1 a cos x sin x = cosx Použijeme substituci x = /, abychom do vzorců dostali poloviční úhel sečteme odečteme cos (/) + sin (/) = 1 cos (/) sin (/) = cos cos (/) = 1 + cos sin (/) = 1 - cos a nyní stačí vydělit a odmocnit Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota? výsledek

16 @193 Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin sin cos = = sin cos= P ATD. Zaveďme substituci x = + a y = součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme = (x+y)/ a = (x-y)/ Tedy předchozí identitu lze také psát takto: x sin x sin y sin y x cos y Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty. výsledek

17 @196 Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). Tedy úhel je ve III. kvadrantu a je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit tg tg tg ) tg( ( )) 1 tg tg ( (změna znamének, tg je lichá) Potřebujeme tedy určit tg a tg, k čemuž užijeme vztahy tg = 1/cotg = 5/1 a tg = sin /cos. sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos + sin = 1 cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-15/17)(1 + 15/17) = 8 /17 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -8/17 => tg = sin /cos = (15/17)/(-8/17) = -15/8 Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit tg( ) = 0/1 Úkol: Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). výsledek

18 @158 Úkol: Dokažte, že platí sin + cos = 1. výsledek

19 @160a Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).

20 @160b

21 @160c

22 @160d

23 @160e

24 @160f

25 @160g

26 @160h Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále

27 @163 Orientovaný úhel Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0 o do 360 o stupňů včetně. V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola. Takový úhel se nazývá orientovaný. Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola

28 @165 V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky souřadnic u a v. Úkol: Doplňte znaménka do tabulky kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x výsledek

29 @168a Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v III. kvadrantu? sin 00 o = - sin(00 o 180 o ) = - sin 0 o

30 @168b Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v IV. kvadrantu? cos 300 o = cos(360 o 300 o ) = cos 60 o = - 1/

31 @171 Funkce sin: úhel může být libovolný => definiční obor R. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce cos: úhel může být libovolný => definiční obor R 1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce tg: musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla / označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(k+1)/, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Funkce cotg: musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla / = celočíselné násobky čísla označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kc} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin, cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice. Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg. výsledek $

32 @174

33 @177 Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou cos x sin( x ) sin x cos( x )

34 @180 Dokažte, že platí a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = L = (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = = sin x +sinxcosx +cos x +sin x -sinxcosx +cos x = = (sin x + cos x) = = P b) cos 4 x - sin 4 x = cos x - 1 L = cos 4 x - sin 4 x = = (cos x + sin x)(cos x - sin x) = = 1.(cos x - (1 - cos x)) = cos x - 1 = P cotg t 1 c) 1 sin t 1 cotg t pro cotg t ±1, sin x 0 cotg t 1 L 1 cotg t 1 sin t P cos t sin t cos 1 sin 1 cos sin t t t sin t t cos t (1 sin t) sin t d) 1 1 cos x 1 1 cos x sin x pro cos x ±1, sin x 0 L cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x P e) tg t. cos t + cos t = 1 pro cos t 0 L tg t.cos sin t cos t cos t 1 P sin t cos t cos t t cos t

35 @183 Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem uvádět tak, jak jsme to udělali i my. V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek. Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin], C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0] Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou. AB = CD AB = (cos - cos) + (sin - sin) = = cos - coscos + cos + sin - sinsin + sin = = (cos + sin ) + (cos + sin ) - (coscos + sinsin) = = [1 - (coscos + sinsin)] CD = (cos(- ) - 1) + sin (- ) = cos (- ) - cos(- ) sin (- ) = = (cos (- ) + sin (- )) cos(- ) = [1 - cos(- )] Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv) iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických funkcí a dokažte platnost iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin výsledek

36 @186 L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin cos(-) + sin(-) cos = = sin cos - sin cos = P Tím je dokázána identita ii) sin(- ) = sin cos - sin cos Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti: Součtové vzorce Pro každé a platí: i) sin(+ ) = sin cos + sin cos ii) sin(- ) = sin cos - sin cos iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin iv) cos(- ) = cos cos + sin sin Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin a cos pomocí sin a cos. Výsledek zformulujte do matematické věty. výsledek

37 @191 Protože pro každé xr platí 0 x x a nikdy jinak. Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) b) sin(/4 + x) sin(/4 x) c) sin 105 o d) cos (/1) výsledek

38 @194 Věta: Vzorce pro součty Pro každé x, y R platí x y x y i) sin x sin y sin cos x y x y ii) sin x sin y cos sin x y x y iii) cos x cos y cos cos x y x y iv) cos x cos y sin sin Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí tgx tgy tg( x y) 1 tgx tgy výsledek

39 @159

40 @161 Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty je nutné znát zpaměti. Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat. stupně 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o radiány 0 /6 /4 /3 / 1 sin 0 cos K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve jmenovateli stále číslo a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1,, 3, 4. sin U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva. Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí výsledek cos /4 = sin /4 =

41 @164

42 @166 kvadrant I. II. III. IV. interval (0; /) (/; ) (3/) (3/; ) sin x cos x tg x cotg x

43 @169 Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce. a) sin 150 o b) cos 10 o c) sin 300 o d) cos 315 o e) sin 5 o f) cos 40 o výsledek

44 @17 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně opakují) p>0 xd f : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda. Funkce sin a cos mají periodu (360 o ) Funkce tg a cotg mají periodu (180 o ), sin = sin(+k) cos = cos(+k) tg = tg(+k) cotg = cotg(+k) Příklad: Určete hodnotu cos(1500 o ), tg(400 o ), cotg(-750 o ). Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných násobků periody: pro sin a cos <0 o ; 360 o ) pro tg a cotg <0 o ; 180 o ) cos(1500 o ) = cos(1500 o o ) = cos(60 o ) tg(400 o ) = tg(400 o o ) = tg(60 o ) cotg(-750 o ) = cotg(-750 o o ) = cotg(150 o )

45 Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0 o ; 90 o >, musíme již sledovat znaménka cotg(150 o ) = - cotg(30 o ) Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme. cos(1500 o ) = cos(60 o ) = - 1/ tg(400 o ) = tg(60 o ) = sin(60 o )/ cos(60 o ) = (3/)/(1/) = 3 cotg(-750 o ) = - cotg(30 o ) = - cos(30 o )/sin(30 o ) = - (3/)/(1/) = -3 Úkol: Určete následující funkční hodnoty cos(70 o ) cos(1575 o ) sin(-385 o ) cotg(-3030 o ) sin(1380 o ) cos(-160 o ) výsledek

46 @175 průběh funkce sin a cos

47 @178 Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce. Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin x tgx cos x cos x cotg x sin x sin x + cos x = 1 očividně platí cotg x = 1/tg x = tg -1 x => tgx. cotgx = 1 cos x sin( x ) sin x cos( x ) nebo ve stupních cos = sin( + 90 o ) sin = cos( - 90 o )

48 @181 Součtové vzorce Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy věty. 1 a1 ) ( b ) AB ( b a

49 @184 Máme dokázáno pro každé a platí cos(- ) = cos cos + sin sin a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = Tím je dokázána identita = cos cos - sin sin = P iii) cos(+ ) = cos cos - sin sin Úkol: Již víme, že platí sin(x - /) = - cos x cos(x - /) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí výsledek

50 @187 Věta: dvojnásobný úhel Pro každé a platí i) sin = sincos ii) cos = cos - sin Řešení: i) L = sin = sin(+ ) = sin cos + sin cos = sincos = P ii) L = cos = cos(+ ) = cos cos - sin sin = cos - sin = P Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí sin( x ) cos x sin( x ) cos x Platí také cos( x ) sin x? cos( x ) sin x ano ne

51 @19 Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 x) cos(/6 + x) = sin x - stačí použít součtové vzorce L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] = = sin(/6) sin x = sinx = P b) sin(/4 + x) sin(/4 x) = sinx - stačí použít součtové vzorce c) sin 105 o = (6 + )/4 - rozložíme na známé hodnoty 105 o = 60 o + 45 o L = sin 105 o = sin(60 o + 45 o ) = sin 60 o cos 45 o + sin 45 o cos 60 o = = 3/. / + /. 1/ = (6 + )/4 d) cos (/1) = ( + 6)/4 - rozložíme na známé hodnoty /3 /4 = /1 L = cos (/1) = cos(/3 /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) = = 1/. / + 3/. / = ( + 6)/4 = P NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /1 = (/6)/ a I. kvadrantu je cos(/1) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů L cos( ) 1 cos( ) 1 1 cos( 6) Tím jsme mimoděk dokázali, že platí Úkol: Dokažte, že pro každé a platí i) sin(+ ) + sin( ) = sin cos ii) sin(+ ) sin( ) = cos sin iii) cos(+ ) + cos( ) = cos cos iv) cos(+ ) cos( ) = - sin sin výsledek

52 @195 Máme dokázat, že platí tgx tgy tg x y) 1 tgx tgy (, pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné). Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin( x y) sin xcos y sin ycos x L tg( x y) cos( x y) cos xcos y sin xsin y sin xcos y sin ycos x cos xcos y( ) cos xcos y cos xcos y tgx tgy P sin xsin y cos xcos y(1 ) 1 tgx tgy cos xcos y Úkol: Víte, že platí (; 3/), (/; ), cotg = 1/5 a sin = 15/17. Určete tg( - ). výsledek

53 @197 Víte, že platí (/; ), (0; /), sin = 3/5 a cotg = 8/15. Určete cos(- ). Tedy úhel je ve II. kvadrantu a je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit cos( - ) = cos cos + sin sin. sin = 3/5 známe, zbývá určit cos sin a cos cos = 1 sin = (1 - sin )(1 + sin ) = (1-3/5)(1 + 3/5) = 4 /5 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos = -4/5 Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg x = cos - x, tedy cos = 1/(1 + tg ) = 1/(1 + 1/cotg ) = 1/( /8 ) = 8 /17 a proto cos = 8/17 sin = 1 cos a je v I. kvadrantu => sin = 15/17 Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet cos( ) = 13/85 KONEC LEKCE

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Období: 3. období Počet hodin ročník: 165 132 132 132 Učební texty: 1 3. období A) Cíle vzdělávací

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více