Povídání ke 3. podzimní sérii

Transkript

1 Povídání ke 3. podzimní sérii Třetí série je věnována kružnicím. Každý ví, jak taková kružnice vypadá je to množina bodů se stejnou vzdáleností r od nějakého středu S. Kružnice však mají i další vlastnosti, které už zdaleka tak zřejmé být nemusí. Všechny dále uvedené věty smíš v řešeních používat bez důkazu. Věta. (Kružnice trojúhelníku vepsaná) Střed kružnice trojúhelníku vepsané leží v průsečíku os úhlůpřijehovrcholech.propoloměrtétokružniceplatí r= 2S,kde Sjeobsahtrojúhelníka a+b+c a a, b, cdélkyjehostran. Věta. (Kružnice trojúhelníku opsaná) Střed kružnice trojúhelníku opsané leží v průsečíku os jehostran.propoloměrtétokružniceplatí R= abc 4S. I S O kružnicích lze vyslovit i další zajímavá tvrzení, z nichž ta nejdůležitější si zde bez důkazu uvedeme. Pokud tě geometrie zajímá, můžeš další informace najít (krom chytrých knížek,jakojsoutřebatyzediceškolamladýchmatematiků)vnašemwebovémarchivuaknihovničce se staršími matematickými texty na a Věta. (Oobvodovémastředovémúhlu)Nechť kjekružnicesestředem Sa jejítětiva.pak velikost úhlu O se nemění, probíhá-li O některý z oblouků kružnice k určených tětivou. Navícje O = 1 S,kdeúhlem Srozumímevnějšíúhelvečtyřúhelníku OS. 2 Poznámka. Z předchozí věty plyne, že stejně dlouhým tětivám odpovídají stejně velké obvodové úhly. Platí dokonce i opačná implikace: Pokud jsou úhly příslušné dvěma tětivám téže kružnice stejně velké, jsou tyto tětivy stejně dlouhé. Věta. (Mocnostbodukekružnici)Nechť kjekružnicesestředem Sa Mbod.Nechťpřímka p procházíbodem Maprotíná kvbodech a.pakčíslo M M nezávisínavolběpřímky p ajerovnohodnotě m2 r 2,kde m= MS arjepoloměr k.číslo m 2 r 2 senazývámocnost bodu Mkekružnici k.speciálněpokud MležívněkružniceaMTjetečnake ksbodemdotyku T,pakjemocnostrovnaihodnotě MT 2. S O S M T

2 Definice. Čtyřúhelníku D budeme říkat tětivový, pokud body,,, D leží všechny na společné kružnici. Tětivové čtyřúhelníky mají mnoho zajímavých vlastností, z nichž aspoň tři si zformulujeme: (i) Úhel svíraný jednou stranou a úhlopříčkou je rovný úhlu svíranému protilehlou stranou a druhou úhlopříčkou. (ii) Součet úhlů při protilehlých vrcholech je 180 stupňů. (iii) Proprůsečík Mpřímek a D(pokudexistuje)platí M M = M MD. Přitom libovolná z těchto podmínek stačí na to, aby čtyřúhelník už tětivový být musel. α α α 180 α

3 3. podzimní série Téma: Kružnice Datumodeslání: º ÔÖÓ Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ To takhle Pepa jednou nad průměrem nakreslil červenou půlkružnici. Pak přišel Šavlík, průměr rozdělilna5stejnýchdílůanadkaždýmznichnakreslilpůlkružnicimodrou.oje teď delší červená čára, nebo všechny modré dohromady? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Mišo tvrdí Monče, že čtyři shodné šedé útvary z následujícího obrázku lze rozřezat na několik částí tak, aby jejich přeskládáním vznikl jeden velký čtverec. Monča tomu ale ani za mák nevěří. Přesvědčteji,žetoskutečněmožnéje. 1 º ÐÓ Ó Ýµ Kdesi uvnitř obdélníka D s průsečíkem úhlopříček O je dán bod P. Kružnice opsané trojúhelníkům P a DP se podruhé protnou v bodě Q. Podobně kružnice opsané trojúhelníkům Pa DPsepodruhéprotnouvbodě S.Ukažte,žekdyžještěoznačíme Robrazbodu Pve středové souměrnosti podle O, bude čtyřúhelník P QRS obdélníkem. º ÐÓ Ó µ Nakružniciopsanéostroúhlémutrojúhelníku označíme Šstředkratšíhooblouku.Dále naleznemebod P takový,že ŠP =,anavícjetrojúhelník ŠP rovnoramennýse základnou P.Dokažte,žepřímka P jekolmánaosuúhlu PŠ. º ÐÓ Ó µ Vojta sestrojil konvexní čtyřúhelník KEY a nad každou jeho stranou jeden kruh, který měl tuto stranu za průměr. Ukažte, že tyto kruhy pokrývají celý čtyřúhelník KEY. º ÐÓ Ó µ Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou. Na jeho ramenech, zvolíme po řaděbody X, Y tak,abyplatilo X = Y.Dokažte,žekružniceopsanátrojúhelníku XY prochází středem kružnice opsané trojúhelníku. 1 Výslednýčtverecnesmímítdíry,všechnyčástisemusípoužítažádnédvěsenesmípřekrývat.

4 º ÐÓ Ó µ V ostroúhlém trojúhelníku ( = ) označme písmeny D, E paty kolmic vedených zbodů, naosuúhluuvrcholu.označmedále Mstředstrany a 0 patuvýškyzbodu nastranu.ukažte,žebody D, E, Ma 0 ležínajednékružnici. º ÐÓ Ó µ Uvnitřkružnice mjsoudánykružnice k, l,kterémajísmvnitřnídotykvbodech K,resp. L asamyseprotínajívbodech,.označme X libovolnýprůsečíkpřímky akružnice m. Přímka XK protne kružnici k podruhé v bodě U. Obdobně přímka XL protne podruhé kružnici lvbodě V.Dokažte,žepřímka UV jespolečnoutečnoukružnic k, l.

5 Řešení 3. podzimní série 1. úloha To takhle Pepa jednou nad průměrem nakreslil červenou půlkružnici. Pak přišel Šavlík, průměr rozdělilna5stejnýchdílůanadkaždýmznichnakreslilpůlkružnicimodrou.oje teď delší červená čára, nebo všechny modré dohromady? (Pepa Tkadlec) Označme si r = /2 poloměr červené půlkružnice. Její délka je potom l 2πr c= 2 = π. 2 Délkajednémodrépůlkružniceje2πr /2,kde r = r/5= /10.Modrýchpůlkružnicjepět, celková délka modré čáry se rovná l m=5 2πr 2 =5 π 10 = π. 2 Obě čáry jsou tedy stejně dlouhé. 2. úloha Mišo tvrdí Monče, že čtyři shodné šedé útvary z následujícího obrázku lze rozřezat na několik částí tak, aby jejich přeskládáním vznikl jeden velký čtverec. Monča tomu ale ani za mák nevěří. Přesvědčteji,žetoskutečněmožnéje. 2 (Monča Pospíšilová& Miško Szabados) Způsobů, jak šedé oblasti přeskládat do čtverce, je mnoho. Jeden z nejjednodušších je znázorněn na obrázku. Tmavě šedé kruhové úseče vně čtverce vyplní bílé kruhové úseče uvnitř čtverce. 2 Výslednýčtverecnesmímítdíry,všechnyčástisemusípoužítažádnédvěsenesmípřekrývat.

6 3. úloha Kdesi uvnitř obdélníka D s průsečíkem úhlopříček O je dán bod P. Kružnice opsané trojúhelníkům P a DP se podruhé protnou v bodě Q. Podobně kružnice opsané trojúhelníkům Pa DPsepodruhéprotnouvbodě S.Ukažte,žekdyžještěoznačíme Robrazbodu Pve středové souměrnosti podle O, bude čtyřúhelník P QRS obdélníkem. (Miško Szabados) Označmeporade k D, k kružniceopísanétrojuholníkom DP a P.Stredkružnice opísanejležínaosáchstrántrojuholníka,takžestred k D,resp. k ležínaosiúsečky D,resp..Keďže Djeobdĺžnik,tietoosisplývajúvjednu,označmeju o 1. Samotné kružnice sú tiež osovo symetrické podľa tejto osi. Preto aj ich priesečník S je osovo symetrický s druhým priesečníkom P. nalogicky dokážeme osovú symetriu Q a P podľa spoločnejosi o 2 strán a D. k D k D S R D S R P O o 1 Q P O o 1 Q o 2 Osi o 1 a o 2 prechádzajúbodom O asúnasebakolmé.úsečky PS a PQsúzasekolmé nane,takžetiežzvierajúuhol SPQ = 90.Ďalejzozadaniavieme,žeúsečky OP a OR ležia na priamke a sú rovnako dlhé, takže spolu s použitím dokázaných symetrií dostávame OR = OP = OS = OQ.Pretrojuholníky PQRa PSRtedamôžemepoužiťTálesovu vetuazisťujeme,žesúpravouhlénadpriemerom PR.Týmpádommá PQRStripravéuhlya preto je to obdĺžnik. 4. úloha Nakružniciopsanéostroúhlémutrojúhelníku označíme Šstředkratšíhooblouku.Dále

7 naleznemebod P takový,že ŠP =,anavícjetrojúhelník ŠP rovnoramennýse základnou P.Dokažte,žepřímka P jekolmánaosuúhlu PŠ. (VojtaMiloš) γ P γ Š Vzhledem k tomu, že trojúhelník ŠP je rovnoramenný se základnou P, platí Š = = PŠ.Jelikož Šjestředemoblouku,jerovněž Š = Š,atedynutněi Š = PŠ, nebolitrojúhelník ŠPjerovnoramennýsezákladnou P.Nyníužjendopočítámeúhlyvobou trojúhelnících. Označme = ŠP =γ.pakzrovnoramennostitrojúhelníka ŠPplyne ŠP = = PŠ = 1 2 (180 ŠP )=90 γ.vtětivovémčtyřúhelníku Š je Š = 2 =180 γ,tedy ŠP = Š ŠP =180 2γ.Úhlypřizákladněrovnoramenného trojúhelníka ŠP pakmajívelikost PŠ = ŠP = 1 2 (180 ŠP )=γ. Platí ŠP 2 + ŠP = γ 2 + `90 γ 2 =90,neboliosaúhlu ŠPjekolmánapřímku P,cožjsmemělidokázat. Nazávěrpatříomluvaznašístrany.Zadánítotižnevylučujeještědruhoupolohubodu P,a tovněkružniceopsanétrojúhelníku.pakbysicebody, Ša P leželynajednépřímce (dokažte si!), ale i přímý úhel má svoji osu, takže takový bod P podmínky úlohy skutečně splňuje. Tvrzení úlohy pro něj ale neplatí. 5. úloha Vojta sestrojil konvexní čtyřúhelník KEY a nad každou jeho stranou jeden kruh, který měl tuto stranu za průměr. Ukažte, že tyto kruhy pokrývají celý čtyřúhelník KEY. (Pepa Tkadlec) První řešení:

8 Y Y K E E Zvrcholů E, Y veďmekolmicenaúhlopříčku K.Jejichpatyoznačmepostupně E, Y. PodleThaletovyvětyležíbod E nakružnicíchsprůměry KEa Eabod Y nakružnicích sprůměry Y a Y K.Trojúhelníky KEE, EE, Y Y, Y Y K jsoudíkytomupříslušnými kruhy zcela pokryty. elý čtyřúhelník KEY je tvořen těmito čtyřmi trojúhelníky(ne nutně všemi a ne nutně celými), a je tedy zcela pokryt kruhy nad jednotlivými stranami. Druhé řešení: Y X K E

9 Pro spor předpokládejme, že existuje bod X, který leží mimo všechny čtyři kruhy, ale uvnitř čtyřúhelníka KEY. Pokud leží vně kruhu nad průměrem KE, pak platí KXE < 90. Podobněplatí EX <90, XY <90 a Y XK <90.Jelikožjebod X vnitřním bodem konvexního čtyřúhelníka, dostáváme 360 = KXE + EX + XY + Y XK <4 90 =360, což je kýžený spor. Každý bod čtyřúhelníka KEY je tedy pokryt alespoň jedním z kruhů. 6. úloha Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou. Na jeho ramenech, zvolíme po řaděbody X, Y tak,abyplatilo X = Y.Dokažte,žekružniceopsanátrojúhelníku XY prochází středem kružnice opsané trojúhelníku. (Honza ílek) Označme Ostředkružniceopsanétrojúhelníku.Ukážeme,že XO + Y O =180, tedyžečtyřúhelník XOY jetětivový,cožznamenápřesněto,že Oležínakružniciopsané trojúhelníku XY. První řešení(obr. 1): Z rovnoramenností trojúhelníků O a plyne O = O = O. Trojúhelníky OXa OY jsoutakshodnépodlevětysus( X = Y zezadání, O = O a OX = OY ),tudíž XO = Y O.Odtudužvidíme,že XO + Y O = =180. Y Y S b S a X O X O obr. 1 obr. 2 Druhéřešení(obr.2): Označme S a,resp. S b středstrany,resp..splynou-libody X, Y sestředy S b, S a,pakje XOY jistětětivový,neboť S b O + S ao = =180.

10 Předpokládejme dále, že X neleží ve středu strany. ez újmy na obecnosti X < < 1 2.Trojúhelníky OS bxa OS ay jsoushodnépodlevětysus( S b O = S ao zesymetrie, S b X = 1 2 X = 1 2 Y = SaY a XS bo = Y S ao = 90 ). Proto S b XO = S ay O,atedy XO + Y O = úloha V ostroúhlém trojúhelníku ( = ) označme písmeny D, E paty kolmic vedených zbodů, naosuúhluuvrcholu.označmedále Mstředstrany a 0 patuvýškyzbodu nastranu.ukažte,žebody D, E, Ma 0 ležínajednékružnici. (ětkakadlecová) Úlohuřešmepro > (druhýpřípadjeúplněstejný,pokudpřeznačíme na a na D).Označme P průsečíkpřímek ae. D 0 M E P Úsečka Ejeosaúhlu Pazároveňvýškavtrojúhelníku P,tedy PjerovnoramennýaEjestřed P.Zároveň Mjestřed,proto EMjestřednípříčkavtrojúhelníku PaME P.Toaleznamená,že MEa Ejsoustřídavéúhly,čili MED = E. Dálesivšimneme,žeúhly Da 0 jsouobapravé,takžečtyřúhelník 0 D jetětivový.odtudvíme,že 0 D =180 D,aprotože M 0 Djedoplňkovýk 0 D (předpokládali jsme > ), platí E = M 0 D. Nyníužjejasné,že MED = M 0 D,ačtyřúhelník MD 0 Ejetakopravdutětivový. 8. úloha Uvnitřkružnice mjsoudánykružnice k, l,kterémajísmvnitřnídotykvbodech K,resp. L asamyseprotínajívbodech,.označme X libovolnýprůsečíkpřímky akružnice m.

11 Přímka XK protne kružnici k podruhé v bodě U. Obdobně přímka XL protne podruhé kružnici lvbodě V.Dokažte,žepřímka UV jespolečnoutečnoukružnic k, l. (Michal Kenny Rolínek) Promocnostbodu Xpostupněkekružnicím kalplatí XU XK = X X a XV XL = X X. Odtud získáme XU XK = XV XL, což podle známého tvrzení o mocnosti znamená, že KLV Ujetětivovýčtyřúhelník,aplatítedy KLX = V UX. X t Z U V l m k K L Nyníuvažmetečnu tkekružnici mvedenoubodem Xananíbod Ztak,abyleželvestejné poloroviněurčenépřímkou jakobod U.Podlevětyoúsekovémúhlupakplatí KLX = = UXZ.elkověpakdostáváme,že V UX = UXZ apřímka tjerovnoběžnásuv. Na závěr si uvědomme, že stejnolehlost se středem K, která převádí kružnici m na kružnici k,zobrazujepřímku tnapřímku UV (Ujeobrazem Xapřímkyjsourovnoběžné),takže UV je tečnou kružnice k. Zcela analogicky obdržíme, že UV je tečnou kružnice l, a jsme hotovi.