Pružnost. Pružné deformace (pružiny, podložky) Tuhost systému (nežádoucí průhyb) Kmitání systému (vlastní frekvence)

Transkript

1 Pružnost Pružné deformace (pružiny, podložky) Tuhost systému (nežádoucí průhyb) Kmitání systému (vlastní frekvence) R. Hook: ut tensio, sic vis (1676) 1

2 2

3 3

4 Pružnost 1) Modul pružnosti 2) Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 4

5 Modul pružnosti Elastické charakteristiky materiálu Měření elastických charakteristik Hodnoty modulu E Téma 1 5

6 Zobecněný Hookův zákon Anisotropní materiál (Anisotropie = závislost fyzikálních vlastností látek na směru, ve kterém se měří) Elastické koeficienty Tenzor deformací ε ε ε γ γ γ x y z yz zx xy = * σ x σ y σ z τyz τ zx τ xy Tenzor napětí Matice sice obsahuje 36 prvků, ale díky symetrii indexů je pouze 21 nezávislých 6

7 1 µ yx µ,, E x E y E z µ xy 1 µ,, E x E y E µ µ xz yz 1,, E x E y E 1 0,0,0,,0,0 G yz 1 0,0,0,0,,0 G zx 1 0,0,0,0,0, G xy zx zy z z,0,0,0,0,0,0,0,0,0 Orthotropní materiál Monokrystal, textura Kompozit matrice + vlákno ε ε γ x y Zobecněný Hookův zákon e zvyšováním symetrie (zavádíme osy x,y,z) se snižuje počet nezávislých elastických koeficientů xy Orthotropie = pravoúhlá anisotropie (zanedbáváme osu z ) 1 µ yx, E x Ey µ xy 1, E x E 1 0,0, Gxy y,0,0 = * σ σ τ x y xy 7

8 Zobecněný Hookův zákon Orthotropní materiál monokrystaly a) Al (lom. napětí) b) Al (tažnost) c) Al (E) d) Fe (E) e) Fe (G) f) Mg (E) 8

9 Isotropní materiál Isotropie = vlastnosti jsou na směru nezávislé (opak anisotropie) 1 E, µ, E µ, E 0,0,0, 0,0,0,0, 0,0,0,0,0, µ µ,,0,0,0 E E 1 µ,,0,0,0 E E µ 1,,0,0,0 E E 1,0,0 G 1,0 G 1 G Zobecněný Hookův zákon Polykrystalické materiály kov, keramika částečně i polymery Amorfní látky sklo, některé polymery JEN DVĚ NEZÁVILÉ CHARAKTERITIKY 1 ε x = x ( y + E [ σ µ σ σ ] 1 ε y = y ( x + z E 1 ε z = σ z µ ( σ x + σ y E [ ] σ µ σ σ [ ] z γ = xy γ = yz γ = zx G = τ xy G τ yz G τ G E 2 (1 + µ ) zx 9

10 Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé σ = E ε modul v tahu τ = G γ modul ve smyku V p = K objemový modul V µ Poissonův poměr 10

11 Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé E K = = 2G ( 1+ µ ) ( 2µ ) 3 1 E µ = E 2G 1 11

12 Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé Isotropní materiál: µ a E Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných deformací. Hodnota µ vyjadřuje pružnou stlačitelnost tělesa t t. j. schopnost zmenšovat (při i stlačen ení), nebo zvětšovat (při i tahu) svůj j objem během b pružné deformace. Otázka zvědavého studenta Proč se pro oceli uvádí vždy hodnota µ = 0,33? 12

13 Definice µ d d d0 d0 ε µ = = = 2 = l l ε1 l l 0 0 ε ε 3 1 ε = ε = µε

14 Jaké hodnoty µ nabývá? Definice µ ( 1 + V ) = ( 1 + ε )( 1 + ε )( 1 + ε ) ( 1 + ε )( 1 µε )( 1 µε ) { } zanedbáme členy s ε 2, ε 3 = ε 1 ( 1 2µ ) Objem roste 1 Objem je konstantní µ 2 = µ = > 0,5 3 = 0 µ < 0,5 14

15 K je u kovů prakticky rovno E Vztah mezi K a E 15

16 Jakých hodnot nabývá µ u kovů? K = E 3 (1 2µ ) E K 1 = ( 2µ ) 3 1 µ = 0, 33 E = MPa = 200 GPa G = 3 8 E E K = 3 (1 2µ ) G = 7, MPa = 75 GPa 16

17 Měření elastických charakteristik Kvazistatické metody (pomalé) Dynamické metody nízkofrekvenční vysokofrekvenční 17

18 Kvazistatické metody Poissonův poměr z definice; tenzometry příp. snímače podélného prodloužení a příčného zúžení Modul E zkouška tahem zkouška ohybem Modul G zkouška krutem 18

19 Kvazistatické metody 19

20 Poissonova konstanta µ [ - ] , čas t [ s ] Poissonova konstanta µ [ - ] Kvazistatické metody 0,303 0,296 0, čas t [ s ] 0,299

21 Kvazistatické metody 21

22 Kvazistatické metody C epoxy243_3 epoxy115_ C epoxy243_3 epoxy115_ Load [N] 1500 tress [MPa] Time [s] train [%] C epoxy115_2 epoxy315_5 epoxy243_ C epoxy243_4 epoxy315_5 epoxy115_2 Load [N] tress [MPa] Time [s] 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 train [%] 22

23 Kvazistatické metody 15 Young's modulus [GPa] _3 115_3 Z_3 243_2 315_4 failed during cycling 315_1 115_1 X_4 X_3 243_1 X_5 115_4 243_5 315_5 115_2 243_4 315_3 115_ Temperature [ C] Poisson's ratio [-] _3 failed during cycling Z_3 315_4 243_2 X_5 X_4 X_3 115_1 243_1 315_1 315_5 243_4 115_2 115_5 243_5 115_4 315_ _ Temperature [ C] 23

24 Torzní kyvadlo Dynamické metody G = 128π.Ja.l.f /d 2 4 d - průměr vzorku l - délka vzorku Ja - osový moment setrvačnosti f - vlastní frekvence kmitů kyvadla 24

25 v D = (E/ρ) ½ rychlost šíření podélných vln Dynamické metody - vysokofrekvenční Pro těleso délky l 0, vlastní frekvencí kmitů f a n-tou harmonickou vlnu platí: v Dn = 2l 0 f n /n, (n = 2,3,4 ) Potom: E = 4.l 2 0.ρ.f 2 /n 2 n Grindosonic 25

26 Měření elastických charakteristik Mezi hodnotami E určenými při pomalém a rychlém zatěžování jsou rozdíly (asi 10% u kovů, keramiky; u plastů může být i několik řádů) 26

27 Moduly pružnosti materiálů KOMPOZITY POLYMERY KOVY KERAMIKA 27

28 Moduly pružnosti materiálů KAUČUK 10 MPa DIAMANT MPa 28

29 Moduly pružnosti materiálů 29

30 Moduly pružnosti materiálů kovy, keramika, skla ( až10 )MPa plasty ( 4 1až10 )MPa elastická deformace závislost modulu na - vazbách mezi atomy - uspořádání atomů v prostoru 30

31 Pružnost Modul pružnosti 2) Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 31

32 Vazby mezi atomy primární (T m 1000K až 5000K) sekundární (T m 100K až 500K) Vazby mezi atomy U m = < n A r m + B r n 32

33 Vazby mezi atomy Díky vazbám vzniká kondenzovaný stav látek Kovová - ionty kovů v moři elektronů, těsné uspořádání = největší hustota Iontová - využití oktaedrických a tetraedrických poloh Kovalentní - komplikovaná mřížka, nejpevnější 33

34 Vazby mezi atomy 34

35 Kondenzované stavy tav Vazby K E Rozrušené Pevné 1 Kapalina * Velké Nula 2 Tekutý krystal * Velké Malé 0 3 Pryž ekundární Primární Velké E<<K 4 klo * Velké E K 5 Krystal * Velké E K 35

36 Pružnost Modul pružnosti Vazby mezi atomy 3) Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 36

37 Uspořádání atomů 37

38 Těsné uspořádání - kovy 38

39 truktura hcp Mg, Zn,, Co, a - Ti hexagonal - close packed structure 39

40 Těsné uspořádání - kovy 40

41 truktura fcc Al, Cu, Au, Ag, Pt, Ni, γ-fe face centred cubic structure 41

42 truktura bcc α-fe, Mo, W, Ta body centred - cubic structure Polymorfie změna mřížky s teplotou, železo α γ δ (910/1400) C 42

43 Iontová vazba - keramika 43

44 Iontová vazba - keramika 44

45 Kovalentní vazba - keramika Diamant Mřížka se vzdaluje od těsného uspořádání Křemen 45

46 Kovalentní vazba - sklo Křemenné sklo teplota tavení 1200 C Na, Ca, Fe terminátoři 700 C 46

47 Kovalentní vazba polymery (plasty) Termoplasty PE, PP, P, PMMA Termosety (reaktoplasty( reaktoplasty) Elastomery (pryže, gumy) 47

48 Etylén H H C = C monomér H H Počet monomérů (n) teplota měknutí C charakter při +20 C plyn kapalina tuk vosk pevná látka tupeň polymerizace

49 Polymery (plasty) H H H H H H H H C - C - C - C - C - C - C - C H R H R H R H R R ---- H polyetylén (odpadní trubky, isolátory) R ---- CH3 polypropylén (odolnější vůči světlu, auto) R ---- Cl polyvinylchlorid (střešní a podlahové krytiny) R ---- C6H5 polystyrén (gram desky, příbory, izolace) 49

50 Tvary molekul plastů Polymery (plasty) 50

51 Krystaly plastu - sferolity Polymery (plasty) 51

52 Pružnost Modul pružnosti Vazby mezi atomy Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) Fyzikální základ modulu pružnosti 5) (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací) 52

53 Fyzikální podstata modulu pružnosti tuhost vazby 0 = d 2 dr U 2 r = r 0 53

54 Tuhost vazby Modul pružnosti Typ vazby 0 [N/m] E 0 r 0 [MPa] C-C E 0 0 r0 iontová Na-Cl 9-21 (0,3 0,7) kovová Cu-Cu (0,3-1,5) H - můstek Van der Waals Teorie platí u kovů a keramiky; modul pružnosti některých plastů (kaučuk, pryž) je až o tři řády nižší ve srovnání s teorií. 54

55 Polymery v závislosti na teplotě kelná oblast 55

56 Polymery v závislosti na teplotě Oblast skelného přechodu -T g ekundární vazby začínají tát 56

57 Polymery v závislosti na teplotě Kaučukovitá oblast Pryže - pružná deformace, kde µ = 0,5 57

58 Polymery v závislosti na teplotě Příklady teplotní závislosti E 58

59 Materiál složený ze dvou materiálů, který má lepší vlastnosti než jednotlivé složky Částicové kompozity Polyetylén + živice WC + Co ic + Al Modul pružnosti kompozitu Vláknové kompozity GFRP glass fiber reinforced polymer CFRP carbon BFRP boron Mg + vlákna Al2O3 (blok motoru) Celulóza + lignin ic (Nicalon)/glass 59

60 napětí působí rovnoběžně s vlákny deformace vláken f i matrice m je stejná E komp komp = V f. E f σ = V. σ + (1 V ). σ σ = E. ε = V. E. ε + (1 V ). E. ε f f f + (1 V f f ). E napětí působí kolmo na vlákna - vlákna i matrice přenáší stejné napětí σ E E komp komp = = V f V E f f σ E f + + (1 V (1 V E Modul pružnosti kompozitu m f f ) ) 1 m σ E m f f m f Vláknové kompozity m ε = V. ε + (1 V ). ε f f 60 m

61 kelná matrice s vlákny (hott( Glass Meinz) borosilikátové sklo (DURAN) vlákna ic (NICALON) Young s modulus [GPa] Poisson s ratio Thermal exp. coeff. [K -1 ] Tensile strength [MPa] Fracture toughness [MPam 0.5 ] Glass matrix DURAN Fibre ic Nicalon ?? Composite ~ 26 61

62 kelná matrice s vlákny 62

63 63