Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Transkript

1 Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

2 Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající začátku plastické deformace u tahové zkoušky, je mnohem vyšší než kritické skluzové napětí s 0 monokrystalu. Podobně je tomu s mezí pevnosti. Přitom odvozená teoretická pevnost monokrystalu odpovídá hodnotě R m G 2, polykrystalický kov monokrystal kovu což je hodnota výrazně vyšší než je skutečná pevnost. Tento jev se podařilo vysvětlit existencí poruch krystalické mřížky. 2 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

3 Vliv velikosti zrn na pevnost kovů xperimenty ukazují, že velikost napětí při jistém stupni deformace závisí na velikosti zrna. Například hodnota meze kluzu R e je tím větší, čím je průměrná velikost zrna d menší, přesněji se chová dle Hall-Petchova vztahu R e s / 2 kde s 0 je kritické skluzové napětí monokrystalu a parametr k může být funkcí teploty, rychlosti deformace a strukturních parametrů materiálu. 0 k d Deformace polykrystalů s velkým zrnem je obvykle dána hlavně deformací uvnitř zrn, na rozdíl od deformace polykrystalů s malými zrny, která se téměř nedeformují a kloužou po sobě. 3 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

4 Základní předpoklady pružnosti Pružnost kovů, jakožto schopnost nabýt po odlehčení původní tvar, lze z fyzikálního hlediska vysvětlit tak, že se uskutečňují pouze vratné změny v krystalické mřížce (mění se velikost parametrů mřížky, nedochází ke skluzu). Z pohledu strojaře je důležité zamezit při návrhu součástí vzniku trvalé deformace, což mu umožňují znalosti nauky o pružnosti a pevnosti. Základní předpoklady pružnosti a pevnosti: ) Materiál je homogenní (fyzikální vlastnosti jsou v celém objemu stejné) 2) - - je izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech totožné) 3) Deformace jsou v porovnání s rozměry tělesa velmi malé 4) Materiál je ideálně pružný 5) Závislost mezi napětím a deformací je lineární (Hookeův zákon) 4 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

5 Velikost charakteristického elementu materiálu Krystalické mřížky v jednotlivých zrnech u polykrystalů jsou náhodně orientovány. Jsou-li potom rozměry součásti o několik řádů větší (mm, cm, m) něž je průměrná velikost zrna materiálu (-00mm), je předpoklad izotropního materiálu splněn velmi dobře (pokud není materiál během výroby deformačně zpevněn protáhlejší tvar zrn, tzv. textura). U vybraných skupin materiálu lze nalézt takový rozměr charakteristického elementu, kdy lze materiál považovat za spojité kontinuum, například: ~0, mm pro kovové materiály ~ mm pro polymery ~0 mm pro dřevo ~00 mm pro betony 5 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

6 Vztah vnějších a vnitřních sil Každé těleso, vystavené účinku vnějších sil či dalších účinků (změna teploty) mění obecně svůj tvar a rozměry - deformuje se. Skutečné vnitřní síly (vazebné), které udržují těleso v pevném stavu, pružnost a pevnost nezkoumá, protože tyto nezávisí na vnějším zatížení. Zabývá se však tzv. doplňkovými vnitřními silami (dále jen vnitřní síly), které se snaží po odlehčení vnějšího zatížení vrátit těleso do původního tvaru. Mírou intenzity vnitřních sil je veličina zvaná napětí. Vztah mezi vnějšími silami, vnitřními silami a napětím lze vyjádřit graficky takto: vnější síly vnitřní síly napětí 6 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

7 Metoda řezu (uler 8.stol.) Postup lze vysvětlit na tahu: ) Uvažujme, že těleso, zatížené osamělou silou dle obrázku je v rovnováze. 2) Veďme tímto tělesem myšlený řez rovinou r, kterým jej rozdělíme na dvě části I a II. 3) Protože celé těleso je v rovnováze, musí také části I a II zůstat v rovnováze. To je splněno při uvažování vnitřních sil, působících v rovině řezu. 4) Můžeme proto pro stanovení vnitřních sil použít rovnice rovnováhy: R=F R=F S 0 STATIKA x PRUŽNOST N I II r I II N F F F 7 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

8 Základní případy namáhání Tah/tlak Ohyb U tahového namáhání působí síly (normálové napětí) ven z průřezu, u tlakového namáhání do průřezu. 8 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

9 Základní případy namáhání Smyk Krut Moduly průřezu v ohybu W o a v krutu W k jsou uvedeny ve strojnických tabulkách (vztah pro krut platí jen u kruhového a mezikruhového průřezu). 9 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

10 Napětí v bodě myšleného řezu Uvažujme elastické izotropní těleso obecného tvaru. Pak ulerovou metodou řezu získáme v bodě šikmého řezu:... obecné napětí... normálové napětí... smykové napětí 0 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

11 Napjatost na skloněné rovině - tah Namáhání tahem Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti parametrické rovnice kružnice (Mohrova kružnice, viz animace)

12 Zákon sdruženosti smykových napětí Veďme řez rovinou kolmou na r a Platí Dosazením za : Po vyjádření a dosazení Srovnáním s výrazem zjišťujeme, že smyková napětí na dvou navzájem kolmých rovinách v bodě tělesa jsou stejně velká a liší se ve znaménku. 2 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

13 Napětí v bodě tělesa Aplikujeme-li 6x ulerovu metodu řezu, získáme elementární krychli, na které lze zakreslit složky napětí v bodě tělesa. t zx t yz t zy tyx t zy t xz t xy t yz t yx t zx t xy t xz Víme, že na každé rovině působí obecně normálové a smykové napětí, tzn. 9 složek napětí, přičemž jen šest je nezávislých a stav napjatosti je dán veličinou zvanou tenzor napětí 3 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

14 Hlavní napětí a hlavní roviny V každém bodě tělesa lze vyhledat takovou polohu elementární krychličky, na jejíž stěnách jsou smyková napětí nulová, tzn. Tenzor napětí lze pak zapsat také pomocí hlavních napětí. Na stěnách této elementární krychličky působí pouze normálová napětí. Roviny, na nichž je smykové napětí rovno nule, se nazývají hlavní roviny. Normálová napětí v hlavních rovinách se nazývají hlavní napětí. Hlavní napětí budou dále označována. 4 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

15 Základní případy napjatosti Dle velikosti hlavních napětí se rozlišují tři případy napjatosti: Jednoosá (přímková) Dvojosá (rovinná) Trojosá (prostorová) Příkladem jednoosé napjatosti je tyč namáhaná tahovou či tlakovou silou. Rovinná napjatost se vyskytuje často, například u těles, u kterých jsou dva rozměry větší než třetí (tenkostěnné tlakové nádoby). Trojosý případ napjatosti je nejobecnější (např. vnitřní bod zatíženého tělesa). 5 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

16 Poměrná (relativní) deformace Působením vnějších sil mění každé těleso svůj tvar. Deformuje-li se celé těleso, deformuje se i každá jeho část. Můžeme tedy zkoumat deformaci elementu. V zásadě dojde ke změně délek (prodloužení anebo zkrácení) a ke změně pravých úhlů elementu. Změnu délek nazýváme podélnou deformací, změnu pravého úhlu zkosem. Tyto pojmy lze vyložit na případech tahu (a) a smyku (b). Du Du 6 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

17 Poměrná (relativní) deformace Podobně jako u stavu napjatosti je stav deformace v bodě tělesa dán tenzorem deformace. Normálovým složkám tenzoru napětí σ ij odpovídají poměrné deformace ε ij a smykovým složkám tenzoru napětí t ij poloviční hodnoty zkosu g ij /2. Tenzor deformace je opět symetrickým tenzorem druhého řádu a lze jej zapsat maticově Stejně jako u konceptu napětí lze definovat hlavní deformace a hlavní roviny. Hlavní poměrné deformace značíme e, e 2, e 3. V elastické oblasti jsou směry hlavních napětí a směry hlavních deformací shodné. 7 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

18 Konstituční rovnice Vztahy mezi napětím a deformací nazýváme konstituční rovnice. Pro tah: a) lastická deformace e Hookeův zákon Poissonův zákon př s e s m e m b) lasticko-plastická deformace e např. Ramberg-Osgood s s n e e p 8 Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti K s e p e e e e př Dd d

19 Princip superpozice Jsou-li splněny již formulované předpoklady pružnosti a pevnosti, je možné využít tzv. princip superpozice: Napjatost (deformace) tělesa zatíženého soustavou sil je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí (deformací), způsobených jednotlivými silami této soustavy. Př: Na prut působí dvě osamělé síly o velikosti F a F 2, pak celkové prodloužení prutu je rovno součtu prodloužení způsobených jednotlivými silami, viz obr. Analogicky lze vyjádřit poměrné podélné prodloužení prutu či napětí v příčném řezu. F (s) (e)

20 Obecný Hookeův zákon Princip superpozice lze využít pro stanovení vztahu mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru přetvoření pro elastický izotropní materiál: σ 2, ε 2 σ σ 2 σ, ε σ 3 σ 3, ε 3 Ve směru : Po dosazení a úpravě e A B C s A e e e s m B 2 s s m e s m C 3 s m A B C 2 3 e e e s m ( s s ) 2 3

21 Obecný Hookeův zákon - kompletace Analogicky lze postupovat i v osách 2 a 3: e s m( s 2 s 3) (rovnice se získají také záměnou indexů) e2 s 2 m( s s 3) Stejné odvození lze provézt také pro jinou polohu elementární krychličky. e3 s 3 m( s 2 s) t Doplněním o tři rovnice Hookeova e ( ) x s x m s y s g z xy G zákona pro smyk získáváme obecný Hookeův zákon pro elastický ( ) t e y s y m s x s z g yz Izotropní materiál: G e ( ) z s z m s y s t x g Vzhledem k tomu, že platí, xz G 2 ( m ) G potřebujeme pro popis napěťově deformačního chování elastického izotropního materiálu jen dvě konstanty (např., m, které lze určit z tahové zkoušky). xy yz xz

22 Druhy anizotropie Obecný Hookeův zákon lze zapsat i maticově: matice tuhosti Izotropní materiál - počet nezávislých prvků matice tuhosti: 2 - stejné elastické vlastnosti ve všech směrech Anizotropní materiál - počet nezávislých prvků matice tuhosti: 2 - není rovina symetrie materiálových vlastností Ortotropní materiál - počet nezávislých prvků matice tuhosti: 9-3 roviny symetrie materiálových vlastností Příčně izotropní materiál - počet nezávislých prvků matice tuhosti: 5-3 roviny symetrie materiálových vlastností (v je izotropní)

23 Teplotní zatížení Změnu tvaru tělesa může kromě zatížení způsobit také změna teploty. Nejjednodušší případ změny délky tyče při změně teploty, viz obr., můžeme vypočítat dle rovnice ( ) kde a je je koeficient teplotní roztažnosti materiálu, ΔT je změna teploty. Hookův zákon pak lze upravit takto e e e x y z s s z x y m m ( s s ) ( s s ) Pozor s teplotou se mění také mechanické vlastnosti materiálu (např. )! x α a DT a DT s m( s s ) a DT y y z z x L řez ΔT ΔL