VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ÚSTAV KONSTRUOVÁNÍ INSTITUTE OF MACHINE AND INDUSTRIAL DESIGN ANIMACE FUNKCE KLUZNÉHO LOŽISKA ANIMATION OF SLIDE BEARING FUNCTION BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Lukáš Halama prof. Ing. Martin Hartl, Ph.D. BRNO 2017

2

3

4

5 Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá tvorbou animací, které pomohou při objasňování základních principů funkce radiálního kluzného ložiska s hydrodynamickým mazáním. Animace budou následně využity pro vzdělávací účely. Klíčové slova Kluzné ložisko, segment, animace, rychlostní profil, rozložení tlaku, nosnost. Abstract This bachalor thesis deals with creation of animation, which illustrates basic facts about radial slide bearing with hydrodynamic lubrication. Animation will be used for education purpose. Key words Slide bearing, pad, animation, velocity profile, pressure distribution, load capacity. 5

6 6

7 Bibliografická citace HALAMA, L. Animace funkce kluzného ložiska. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, XY s. Vedoucí bakalářské práce prof. Ing. Martin Hartl, Ph.D. 7

8 8

9 Poděkování Tímto bych rád poděkoval prof. Ing. Martinovi Hartlovi, Ph.D. za odborné konzultace a pomoc při tvorbě bakalářské práce. Čestné prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci na téma Animace funkce kluzného ložiska vypracoval samostatně, pod odborným dohledem prof. Ing. Martina Hartla, Ph.D., s použitím odborné literatury a zdrojů uvedených v příslušném seznamu této práce. 9

10 10

11 OBSAH OBSAH ÚVOD 12 1 PŘEHLED SOUČASNÉHO POZNÁNÍ Režimy mazání kluzných ložisek Závislost součinitele tření na rychlosti Stabilní mazání Základní předpoklady hydrodynamiky Teorie laminárního proudění v klínové mezeře Zjednodušení trojrozměrné Reynoldsovy rovnice Předpoklad nulové posuvné rychlosti Aproximace stálou tloušťkou mazacího filmu Aproximace konstantní viskozitou Aproximace pro nekonečně dlouhé ložisko Aproximace pro krátké ložisko 25 2 ANALÝZA PROBLÉMU A CÍL PRÁCE 27 3 METODY 28 4 VÝSLEDKY Animace č. 1 - Princip složení rychlostního profilu proudění oleje Animace č. 2 - Funkce součinitele tření a únosnosti na změně úhlu sklonu α Animace č. 3 - Závislost tlakového a rychlostního profilu na změně směru a pohybu třecích ploch 31 5 DISKUZE 33 6 ZÁVĚR 34 7 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ 35 8 SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK, SYMBOLŮ A VELIČIN 37 9 SEZNAM POUŽITÝCH OBRÁZKŮ, GRAFŮ SEZNAM POUŽITÝCH TABULEK 39 11

12 ÚVOD ÚVOD Pro správné pochopení činnosti kluzných ložisek je důležité ovládat základy teorie hydrodynamického mazání. Matematicky je obtížné popsat proudění viskózní kapaliny v tenké vrstvě mezi klínovými povrchy, kvůli velkému počtu neznámých veličin i jejich vzájemné závislosti. Doposud se nepodařilo teoreticky vyjádřit fyzikální jevy a jejich podstatu související s hydrodynamickým mazáním. Z tohoto důvodu se popis jednotlivých jevů zjednodušuje a idealizuje, což má za následek určitou nepřesnost. U hydrodynamického mazání jsou třecí povrchy odděleny tlustým mazacím filmem, kdy nedochází k jejich vzájemnému styku. Při tomto typu mazání je nezbytné, aby byla dodržena nepřetržitá dodávka maziva do kluzného spoje. Tlak v mazacím filmu je vytvářen relativním pohybem třecích povrchů, kdy mazivo ulpívá na těchto površích a je unášeno do zúženého prostoru, ve kterém vzniká klínová vrstva maziva. Při dosažení určité rychlosti třecích povrchů, dochází k vytvoření protitlaku, který umožňuje mazacímu filmu přenášet zatížení působící na třecí povrchy. [11], [13], [15], [16] Pro dimenzování a správné využití vhodného kluzného ložiska je potřeba objasnit děje, které probíhají při hydrodynamickém mazání. V literatuře najdeme pouze statický popis základních principů hydrodynamického mazání, a ten ne vždy vede k správnému pochopení této problematiky. Je nutné si uvědomit, že u hydrodynamického mazání jsou veličiny vzájemné závislé. Mění se i v závislosti na vnějších podmínkách, které jsou proměnlivé v čase, např. teplota. Ve své bakalářské práci se zabývám shrnutím teoretických poznatků týkajících se hydrodynamického mazání a tvorbou animací, které vizualizují základní principy hydrodynamického mazání. Animace budou následně sloužit jako doplněk výukového procesu. Jsou zaměřené na popis tvorby rychlostního profilu v klínové mezeře, funkční závislosti součinitele tření a únosnosti na změně sklonu klínové mezery α, závislosti tlakového a rychlostního profilu na změně směru pohybu třecích povrchů. 12

13 1 Přehled současného poznání 1 PŘEHLED SOUČASNÉHO POZNÁNÍ První kapitola objasňuje základní teoretické poznatky o hydrodynamickém mazání kluzných ložisek, teorii laminárního proudění v klínové mezeře. Zabývá se také odvozením obecné dvourozměrné Reynoldsovy rovnice a jejím následným zjednodušením pro využití při praktických výpočtech parametrů kluzného ložiska. 1.1 Režimy mazání kluzných ložisek Podstatou mazání kluzných ložisek je snižovat tření vznikající ve spojích, snižovat opotřebení a provádět chlazení stykových ploch. Ze statistického průzkumu vyplývá, že nejčastějším důvodem selhání ložisek je špatné mazání nebo únavové porušení.[11], [13], [14] Obr. 1-1 Důvody selhání ložisek [12] Z tohoto důvodu se na mazání ložisek klade značný důraz. Rozlišujeme pět základních režimů mazání kluzných ložisek: mazání tuhými mazivy, mezné mazání, elastohydrodynamické mazání, hydrostatické mazání, hydrodynamické mazání. Režim mazání tuhými mazivy se využívá v technických aplikacích, pro které je charakteristická extrémní provozní teplota. Při těchto provozních podmínkách tradiční mazání olejem ztrácí své mazací vlastnosti. Ztráta mazacích vlastností oleje vede až k zadření kluzného spoje a zničení třecích povrchů. Z těchto důvodů se olej nahrazuje tuhými mazivy (grafitem, disulfidem molybdeničitým). [11], [14] Obr. 1-2 Tuhé mazivo [14] Mezné mazání se používá v případech, kdy u hydrodynamického mazání dochází ke snížení rychlosti třecích povrchů, při poklesu množství dodávaného maziva, při 13

14 1 Přehled současného poznání zvýšení zatížení ložiska a nárůstu teploty. Souvislý mazací film je protržen a povrchové nerovnosti jsou odděleny mazacím filmem o tloušťce několika molekul. Od hydrodynamického mazání k mazání meznému dochází pozvolnou změnou tloušťky mazacího filmu. Nejprve dochází ke smíšenému mazání, které je kombinací hydrodynamického a mezného mazání. Při následném zmenšení tloušťky mazacího filmu, se stává mezné mazání dominantním režimem mazání. U mezného mazání nemá viskozita maziva žádnou roli, ale záleží zde na chemickém složení a chemických vlastnostech třecích povrchů. [11], [13], [14] Obr. 1-3 Smíšené a mezné mazání [13] Elastohydrodynamické mazání je režim mazání, při kterém dochází k vtahování maziva mezi třecí plochy, které se po sobě vzájemně odvalují. Tento režim se využívá převážně u spoluzabírajících ozubených kol nebo u valivých ložisek. Pro matematický popis tohoto režimu mazání se využívá Hertzova teorie styku elastických těles a Reynoldsovy teorie hydrodynamického mazání. [11], [14] O hydrostatické mazání se jedná tehdy, pokud je mazivo přiváděno mezi třecí plochy vnějším zdrojem při dostatečně vysokém tlaku, což má za následek oddělení třecích ploch tlustým mazacím filmem. V tomto režimu není vyžadován relativní pohyb třecích povrchů. [11], [14] Při hydrodynamickém mazání jsou třecí plochy odděleny tlustým mazacím filmem, kdy nedochází k jejich vzájemnému styku. Hydrodynamické mazání nevyžaduje dodávku mazivo pod tlakem, ale musí být zajištěna jeho nepřetržitá dodávka. Tlak mazacího filmu se vytváří při relativním pohybu třecích povrchů, kdy je mazivo unášeno do zúženého prostoru, ve kterém vzniká klínová vrstva maziva. Pokud bude relativní rychlost dostatečně velká, dochází k vytvoření protitlaku, který umožňuje mazacímu filmu přenášet zatížení působící na třecí povrchy.[11], [14] Hydrostatické mazání Hydrodynamické mazání Obr. 1-4 Hydrostatické a hydrodynamické mazání [18] 14

15 1 Přehled současného poznání 1.2 Závislost součinitele tření na rychlosti Je-li mezi třecími povrchy přítomno mazivo, vzniká v něm při relativním pohybu tlak p, který způsobuje vzájemné oddělení třecích povrchů. Při velmi malých relativních rychlostech vzniká suché tření. Při suchém tření se třecí povrchy stýkají vrcholky svých nerovností. Při větších relativních rychlostech nastává tření smíšené. Při smíšeném tření dochází ještě k dotyku vrcholků nerovnosti, ale část zatížení je přenášena mazacím filmem. Pokud tlak v mazacím filmu dosáhne hodnoty, kdy celé zatížení přenese mazací film, vzniká kapalinné tření. [15] 1.2 Obr. 1-5 Druhy tření [15] Stabilní mazání Rozdíl mezi mezným a hydrodynamickým mazáním lze určit ze Stribeckovy křivky. Stribeckova křivka vyjadřuje závislost součinitele tření f na charakteristickém čísle η n pm. Kde dynamickou viskozitu označíme η, frekvence otáčení čepu n a ložiskový tlak p m. [11], [16], [17] Obr. 1-6 Stribeckova křivka [16] 15

16 1 Přehled současného poznání Stribeckova křivka má praktický význam, protože ukazuje, kde dochází k stabilnímu mazaní a kde se už pohybujeme v nestabilním mazání. Stabilní mazání předpokládá výskyt tlustého mazacího filmu, kdy nedochází ke kontaktu nerovnosti třecích ploch. Bod C na Stribeckově křivce představuje možný počátek vzájemného styku třecích povrchů. Poloha bodu B odpovídá hodnotě η n p m = , tato hodnota značí hranici, při které je ještě zaručeno oddělení třecích povrchů tlustým mazacím filmem. V praxi se tato hodnota volí Pokud kluzné spojení pracuje v režimu hydrodynamického mazání a dojde-li ke změně provozních podmínek např. zvýšení teploty maziva, dochází ke snížení viskozity oleje a tím i snížení charakteristického čísla η n p m, což vede ke snížení součinitele tření. Se snižujícím se součinitelem tření zároveň klesá teplo předané mazivu, což má za následek snížení teploty maziva. Tato automatická regulace je charakteristická pro stabilní mazání tlustým mazacím filmem, kdy se po určité době provozní stav navrací na své původní provozní hodnoty.[11], [17] Dojde-li ke změně provozních podmínek v režimu s tenkým mazacím filmem, dochází ke zvýšení teploty maziva a následně ke snížení viskozity oleje. Změna viskozity oleje vede k nárůstu tření mezi třecími povrchy. Změna tření vede ke zvýšení teploty maziva. Konečným důsledkem je ztráta mechanických vlastností oleje a tím i větší pravděpodobnost kontaktu mezi nerovnostmi třecích ploch. [11], [17] 16

17 1 Přehled současného poznání 1.3 Základní předpoklady pro odvození Reynoldsovy rovnice 1.3 Tab. 1-1 Základní zjednodušující předpoklady [4] předpoklady zanedbání vnějších silových účinků na kapalinu platnost platí vždy, na kapalinu nepůsobí žádné vnější silové pole s výjimkou magnetohydrodynamické kapaliny i jejich aplikací platí vždy, pokud tloušťka mazacího filmu je řádově v mikrometrech platí vždy, pokud rychlost olejové vrstvy sousedící s hranicemi je totožná jako na hranicích tlak je konstantní v průřezu mazacím filmem rychlost kapaliny u povrchu segmentu je totožná jako rychlost segmentu chování Newtonské kapaliny neplatí pro některé výjimky (polymerní oleje) laminární proudění neplatí pro velké ložiska (turbíny) setrvačnost kapaliny je zanedbána platí pro malé rychlosti a velká zatížení, pokud se předpokládá jiná kombinace vstupních podmínek, musí se provádět podrobnější analýza hustota kapaliny je konstantní platí vždy, kdy je teplotní dilatace zanedbatelná viskozita je konstantní v průřezu mazacího filmu nutný předpoklad pro zjednodušení výpočtové analýzy, i když není založen na pravdě, protože viskozita maziva není konstantní v průběhu mazacího filmu 17

18 1 Přehled současného poznání Teorie laminárního proudění v klínové mezeře Klínová mezera se dá představit pomocí dvou rovinných ploch, které mezi sebou svírají úhel sklonu α. Tato představa přibližuje zjednodušené schéma funkce jednoho segmentu radiálního kluzného ložiska s hydrodynamickým mazáním, Obr. 1-7 Schéma klínové mezery [4] kde x je vzdálenost od místa s minimální výškou klínové mezery, B šířka jednoho segmentu, h 0 minimální výška klínové mezery, h 1 maximální výška klínové mezery, h výška klínové mezery ve vzdálenosti x, α úhel sklonu klínové mezery, U relativní rychlost spodního segmentu. Pro odvození základní Reynoldsovy rovnice, pro proudění kapaliny klínovou mezerou, se využije elementární objem mazací kapaliny o infinitezimálních rozměrech dx, dy, dz. Základním zjednodušujícím předpokladem je působení sil na elementární objem pouze v ose x. Při pohybu elementárního objemu mazací kapaliny klínovou mezerou dochází ke vzniku tlakových a třecích sil. Třecí síly jsou způsobeny třením kapaliny v místech třecích povrchů. Tyto síly, které působí na elementární objem kapaliny, jsou v rovnováze dle rovnice (1-1) p dy dz + (τ x + τ x z dz) dx dy = (p + p x dx) dy dz + τ x dx dy, (1-1) Obr. 1-8 Rovnovážné působení sil na elementární objem kapaliny [4] kde p je tlak a τ x smykové napětí v ose x. Po upravení a zjednodušení rovnice (1-1), dostáváme rovnici (1-2) τ x z p dx dy dz = dx dy dz. (1-2) x Pro infinitezimální velikosti elementárního objemu kapaliny platí, že dxdydz 0. Z tohoto důvodu může dojít k podělení obou stran rovnice (1-2) výrazem dxdydz. 18

19 1 Přehled současného poznání Po této matematické úpravě se dostane k rovnici (1-3), vyjadřující podmínku pro síly, působící na elementární objem kapaliny v ose x τ x z = p x. (1-3) Po obdobných operacích se dá dojít k podobné rovnici jako (1-3) i pro rovnovážné působení sil na elementární objem kapaliny v ose y τ y z = p y, (1-4) kde τ y je smykové napětí v ose y. Ve směru osy z se předpokládá konstantní tlak v průběhu mazacího filmu a proto tlakový gradient je roven nule. p z = 0. (1-5) Z rovnic (1-3) a (1-4) vyplývá, že smyková napětí τ x a τ y se liší svou hodnotou. Smykové napětí se dá vyjádřit pomocí Newtonova zákona pro viskozitu τ x = ƞ u h = ƞ u z, (1-6) kde ƞ je dynamická viskozita oleje a u je rychlost proudění oleje ve směru osy x. Rychlost proudění oleje u ve směru osy x je odlišná od rychlosti proudění oleje v ve směru osy y. Smykové napětí v ose y se dá vyjádřit Newtonovým zákonem (1-7) τ y = ƞ v h = ƞ v z. (1-7) Pro silová působení v jednotlivých osách je možné využít rovnic (1-6), (1-3) a (1-7), (1-4). Po dosazení se získají rovnice (1-8) a (1-9) p x = z p y = z u (ƞ ), (1-8) z v (ƞ ). (1-9) z Při odvození Reynoldsovy rovnice se využívá zjednodušující předpoklad, kdy se dynamická viskozita oleje ƞ v průřezu mazacího filmu v klínové mezeře nemění ƞ f(z). Rovnice (1-8) a (1-9) se integrují. Po jejich úpravě se získá rovnice (1-10). Integrace rovnice (1-8) separace proměnných p x z + C 1 = ƞ u z, následná druhá integrace ( p x z + C 1) = ƞ du, 19

20 1 Přehled současného poznání p 2 x z2 2 + C 1 z + C 2 = ƞ u, (1-10) kde jsou C 1, C 2 integrační konstanty. Jelikož dochází k nespojitosti rychlosti a skluzu na hranicích mezi olejem a třecím povrchem, zavádí se okrajové podmínky u = U 2 v z = 0, u = U 1 v z = h. Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (1-10) se vyjádří integrační konstanty C 1 a C 2 C 1 = (U 1 U 2 ) ƞ h p x h 2, C 2 = ƞ U 2. Integrační konstanty C 1 a C 2 se dosadí zpětně do výchozí rovnice (1-10) p 2 x z2 2 + (U 1 U 2 ) ƞ h p x h 2 z + ƞ U 2 = ƞ u. Po matematické úpravě této rovnice je dosaženo obecné rovnice rychlosti proudění oleje u ve směru osy x (1-11) u = ( z2 z h ) p + (U 2 ƞ x 1 U 2 ) z + U h 2. (1-11) Stejným způsobem se dá dokázat, že obecná rovnice rychlosti proudění oleje ve směru osy y, má tvar (1-12) v = ( z2 z h ) p + (V 2 ƞ y 1 V 2 ) z + V h 2. (1-12) V obecných rovnicích (1-11) a (1-12) vystupují 3 samostatné členy, které společně reprezentují rozložení rychlostního profilu v průběhu mazacího filmu v klínové mezeře. 20

21 1 Přehled současného poznání Obr. 1-9 Schéma rychlostního profilu v ose x [4] Na obr. 1-9 je schéma rychlostního profilu, na kterém lze vidět skládání a vliv jednotlivých členů z rovnice (1-11). Nachází se zde parabolický člen, závislý především na gradientu tlakového profilu ve směru osy x p, dynamické viskozitě η, x výšce klínové mezery h a proměnné výšce z. Lineární člen je závislý hlavně na rozdílu relativních rychlostí segmentů (U 1 U 2 ). Člen konstantní vyjadřuje relativní rychlost spodního segmentu U 2. Po odvození obecné rovnice rychlosti proudění oleje, udávající rychlostní profil v určitém místě klínové mezery, se zohlední vliv horizontálního průtoku oleje klínovou mezerou. Obr Rovnice kontinuity v klínové mezeře [4] Kde rychlost pohybu spodní části klínové mezery směrem nahoru označíme w 0, rychlost pohybu horní části klínové mezery směrem nahoru w h, objemový průtok ve směru osy x q x a objemový průtok ve směru osy y q y. Průtok oleje horizontálním směrem proudícím do elementárního objemu má hodnoty q x a q y. Průtok proudící kapaliny ven z elementárního objemu nabývá hodnot q x + q x x dx a q y + q y y dy. 21

22 1 Přehled současného poznání Objemové průtoky se vztahují na jednotku šířky a délky. Ve vertikálním směru proudí olej dovnitř s hodnotou w 0 dx dy. Z elementárního objemu vytéká olej s hodnotou w h dx dy. Základním principem kontinuity proudění oleje v klínové mezeře je předpoklad, že objemový průtok oleje do elementárního objemu musí být roven objemovému výtoku. Vzhledem ke konstantní hustotě oleje se rovnice kontinuity dá zapsat rovnici (1-13) q x dy + q y dx + w 0 dx dy = (q x + q x x dx) + (q y + q y y dy) + w h dx dy. (1-13) Po matematické úpravě dojde k zjednodušení rovnice (1-13) q x x dx dy + q y y dx dy + (w h w 0 ) dx dy = 0. (1-14) Pokud předpokládáme dx dy 0, lze ji upravit do následujícího tvaru q x x + q y y + (w h w 0 ) = 0. (1-15) Rovnici (1-15) označujeme jako obecnou rovnici proudění oleje v klínové mezeře. Hodnotu objemového průtoku q x a q y, lze získat integrací rychlosti proudění oleje u skrz celou tloušťku mazacího filmu h q x = u dz 0 h q y = v dz 0, (1-16). (1-17) Při dosazení obecné rovnice rychlosti proudění oleje ve směru osy x do rovnice (1-16) q x = ( z3 z2 h ) p + (U ƞ x 1 U 2 ) z2 + U h 2 h 2 z 0 a její další úpravě, se získá hodnota objemového průtoku ve směru osy x q x = h3 12 ƞ p x + (U 1 U 2 ) h 2. (1-18) Obdobný postup se využívá i při odvození rovnice pro hodnotu objemového průtoku ve směru osy y. Místo rovnice (1-11) se využije rovnice rychlosti proudění oleje v (1-12) q y = h3 12 ƞ p y + (V 1 V 2 ) h 2. (1-19) Do rovnice kontinuity (1-15) se dosadí výše odvozené rovnice objemových průtoků (1-18) a (1-19) x h3 [ p + (U 12 ƞ x 1 U 2 ) h ] + h3 [ p + (V 2 y 12 ƞ y 1 V 2 ) h ] + (w 2 h w 0 ) = 0. 22

23 1 Přehled současného poznání Zavedou se substituce U = U 1 + U 2 a V = V 1 + V 2, za předpokladu, že zde nedochází ke změně relativních rychlosti U f(x) a V f(y) x h3 ( p ) + U h + h3 ( p ) + V h + (w 12 ƞ x 2 x y 12 ƞ y 2 y h w 0 ) = 0. (1-20) Přeskupením a zjednodušením rovnice (1-20) je získána trojrozměrná Reynoldsova rovnice x (h3 ƞ p x ) + y (h3 p ƞ y ) = 6 (U h x + V h y ) + 12 (w h w 0 ). (1-21) 1.5 Zjednodušení trojrozměrné Reynoldsovy rovnice Trojrozměrná Reynoldsova rovnice je příliš složitá pro praktické využití při návrhu kluzných spojů. V technických aplikacích se využívají aproximace a zjednodušující předpoklady, které snižují složitost dané problematiky na úkor nepřesnosti výsledků Předpoklad nulové posuvné rychlosti Ve strojírenských systémech se vyskytuje velmi málo případů, kdy kluzné ložisko klouže podél rotujícího hřídele. Schéma tohoto netypického případu je znázorněno na obr [3] Obr Kluzné ložisko klouzající podél rotující hřídele [4] Za předpokladu, že V = 0, dojde ke zjednodušení Reynoldsovy rovnice na tvar x (h3 ƞ p x ) + y (h3 p ƞ y h ) = 6 U + 12 (w x h w 0 ). (1-22) Aproximace stálou tloušťkou mazacího filmu Dalším zjednodušujícím předpokladem bývá zanedbání vertikálního průtoku v průběhu mazacího filmu (w h w 0 = 0). Aby tento předpoklad mohl být brán v úvahu, je žádoucí, aby během procesu vzdálenost mezi dvěma povrchy byla konstantní. Touto aproximaci se vnáší do výpočtu jistá nepřesnost, protože převážná část kluzných spojů vibruje. Vibrace mají za následek cyklickou změnu vzdálenosti mezi dvěma povrchy [3]. Po této aproximaci rovnice (1-22) se dá rovnice přepsat do formy x (h3 ƞ p x ) + y (h3 p ƞ y h ) = 6 U. (1-23) x

24 1 Přehled současného poznání Aproximace konstantní viskozitou V mnoha strojírenských aplikacích se předpokládá, že viskozita v průběhu mazacího filmu má konstantní hodnotu ƞ = konst. Za tohoto předpokladu dochází k zanedbání působení teplotních dilatací. Při aplikaci předpokladu na rovnici (1-23), dojde k dalšímu zjednodušení rovnice (1-24) x (h3 p ) + x y (h3 p h ) = 6 U ƞ. (1-24) y x Rovnice (1-24) bývá nejčastější citovanou formou Reynoldsovy rovnice v odborné literatuře, zabývající se hydrodynamickým mazáním kluzných ložisek. [3] Aproximace pro nekonečně dlouhé ložisko Zjednodušená Reynoldsova rovnice (1-24) je dvourozměrná, ale její numerické řešení má nekonečně mnoho řešení, ale ne všechny jsou správná pro danou aplikaci. Pro nekonečně dlouhé ložisko se považuje tlakový gradient p v ose y za zanedbatelně malý oproti tlakovému gradientu p x y v ose x. Z tohoto důvodu se tlakový gradient v ose y zanedbává p = 0 a h f(y). Touto úpravou se převádí y dvourozměrná Reynoldsova rovnice (1-24) na jednorozměrnou rovnici (1-25) [3], [4] x (h3 p x h ) = 6 U ƞ. (1-25) x Jednorozměrná Reynoldsova rovnice může být jednoduše integrována h 3 dp = 6 U ƞ h + C. (1-26) dx Obr Rozložení tlaku nekonečně dlouhého ložiska [16] V místě nejvyššího tlaku je tlakový gradient nulový dp = 0. Bod maximální tlaku se nachází v místě, kde klínová mezera má okamžitou výšku h. Tento bod bude využit pro vytvoření okrajové podmínky, která povede k řešení integrované rovnice (1-26) dx 24

25 1 Přehled současného poznání dp dx = 0 v h = h. Dosazením okrajové podmínky do rovnice (1-26) je získána integrační konstanta C C = 6 U ƞ h. Následně se integrační konstanta dosadí do rovnice (1-26) dp dx = 6 U ƞ h+h h 3. (1-27) Rovnice (1-27) bývá označována jako finální forma jednorozměrné Reynoldsovy rovnice pro nekonečně dlouhé ložisko. Konvenčně platí, že relativní rychlost segmentu U je záporná [3], [4] Aproximace pro krátké ložisko Krátké ložisko se vyznačuje tím, že tlakový gradient v ose x je mnohem menší než tlakový gradient v ose y ( dp dp ). dx dy Obr Schéma krátkého ložiska [16] Aproximace pro krátké ložisko vyžaduje, aby L B a dp dp dx dy. Z toho plyne, že u dvourozměrné Reynoldsovy rovnice (1-24) je možné zanedbat výraz x (h3 p x ) Z toho vyplývá, že h f(y) Po první integraci y (h3 p y h ) = 6 U ƞ. (1-28) x d 2 p dy 2 = 6 U ƞ h 3 dh dx. dp = 6 U ƞ dh y + C dy h 3 dx 1, (1-29) 25

26 1 Přehled současného poznání po druhé integraci p = 3 U ƞ h 3 dh dx y2 2 + C 1 y + C 2. (1-30) Pro vyřešení dané rovnice (1-30) musí být zavedeny okrajové podmínky p = 0 v y = ± L 2, dp dy = 0 v y = 0. Dosazením okrajových podmínek do rovnic (1-29) a (1-30) jsou získány hodnoty integračních konstant (C 1 a C 2 ) C 1 = 0, C 2 = 3 U ƞ h 3 dh dx L2 4. Po dosazení integračních konstant do rovnice (1-30) p = 3 U ƞ h 3 dh dx (y2 L2 4 ), (1-31) kde L je délka jednoho segmentu, y vzdálenost ve směru osy. Rovnice (1-31) se označuje jako diferenciální rovnice tlakového profilu v klínové mezeře. Využití aproximace pro nekonečně dlouhé ložisko je přípustné pro L B > 3, zatímco aproximaci krátkého ložiska se využívá pro L < 3. Pro případy, které do B těchto kategorii nespadají, se používá aproximace pro konečně dlouhé ložisko. [3], [4], [8] 26

27 2 ANALÝZA PROBLÉMU A CÍL PRÁCE 2 ANALÝZA PROBLÉMU A CÍL PRÁCE V odborné literatuře se nachází pouze teoretický popis základních jevů a principů spjatých s funkcí kluzného ložiska s hydrodynamickým mazáním. Pouhý teoretický popis není vždy dostačující a názorný pro správné pochopení daného fyzikálního jevu. Na technických vysokých školách studují i studenti, kteří jsou absolventi gymnázií a ti se během svého studia nesetkali s praktickými ukázkami činnosti ložisek. Pro ně i pro jiné studenty je výuka s pomocí animací přínosnější než prosté memorování a popisování fyzikálních jevů. Cílem práce je tvorba animací, které pomohou k lepší vizuální představě problematiky kluzných ložisek a k pochopení fyzikálních jevů doprovázejících kluzné spojení. Součástí práce je i shrnutí obecných teoretických poznatků vztahující se k dané problematice, bez kterých nelze animacím správně porozumět. Obsahové zaměření jednotlivých výukových animací: Princip složení rychlostního profilu z jednotlivých členů Reynoldsovy rovnice pro nekonečně dlouhé ložisko. Fyzikální důsledky spjaté se změnou sklonu klínové mezery α. Závislost tlakového a rychlostního profilu na změně směru relativních rychlostí třecích povrchů U 1 a U

28 3 METODY 3 3 METODY Schéma tvorby animací od základů až po finální výstup na obrázku 3-1. Obr. 3-1 Schéma tvorby animace Pro vytvoření animací byl využit program Cinema 4D R18. Technické postupy a návody jak pracovat v tomto programu byly nalezeny na [8], [9], [10]. Pro tvorbu plnohodnotné animace je vhodné postupovat systematicky. Prvním krokem byla tvorba grafů a doprovodných výpočtů základních parametrů kluzného ložiska v softwaru Mathcad 14. Z tohoto programu byly vyexportovány grafy tlakového profilu a také jednotlivé členy rychlostního profilu, které při vektorovém součtu tvoří rychlostní profil proudění oleje v klínové mezeře. Posléze se v prostředí Cinema 4D vymodelovala základní geometrie klínové mezery. Geometrie se zde doplnila o texty. Po nastavení geometrie se přistoupilo k tvorbě vizualizace proudění. Tento krok byl nejnáročnější kvůli synchronizaci pohybu jednotlivých šipek na proudnicích s pohybem vykreslení grafů. Dalším podstatným krokem bylo nastavení a ukotvení snímající kamery. Následně se přistoupilo k práci s časovou osou. Práce spočívala v nastavení etap pro jednotlivé pohyby prvků a vykreslování grafů. Poté se přistoupilo k vytvoření geometrie, která vystupovala pouze na některých snímcích a nastavování její viditelnosti během animace. Tímto byly přípravy animace dokončené a přistoupilo se k nastavení formátu renderu výsledné animace. Správné nastavení renderu ovlivňuje čas potřebný pro tvorbu klíčových snímků, ale také kvalitu animace. Rozlišení: 1600x1200 Formát obrazu: 4:3 Počet snímků za sekundu: 30 Formát výstupu: MP4 Na obrázku 3-2 je ukázka základního prostředí Cinema 4D R18. Oblast označená číslem 1 je pracovní prostor, v kterém je vidět celý model. Tady je možné měnit typ pohledu (perspektiva, horní, dolní, atd.) nebo také ovládat možnosti kamerového snímání, přidat vedlejší kameru, osvětlení scény, jeřábové kamery Najdeme tu i možnosti promítat v drátěných nebo objemových modelech. Oblast druhá je oblasti souhrnnou, kde se nachází strom jednotlivých prvků. Zde se zaznamenávají příkazy použité na vymodelovaná tělesa a křivky. Ve třetí oblasti se nachází pomocná lišta, kde hlavním prvkem je přepínání editace textury, prvků, hran nebo bodů. Ve čtvrté oblasti se nachází časová osa se základními funkcemi nahrávání klíčových snímků animace. V pravém spodním rohu této oblasti se nachází panel, který snímá polohu upravovaného bodu v globálním kartézském souřadném systému. 28

29 3 METODY V levém dolním rohu se nachází zásobník textur. Oblast pátá dovoluje uživateli podrobně měnit vlastnosti a textury zvoleného prvku. Poslední šestou oblast tvoří základní příkazy potřebné pro modelování objemového tělesa, kreslení křivek nebo správu vlastnosti výstupních statických obrázků. Obr. 3-2 Pracovní prostředí softwaru Cinem4D 29

30 4 VÝSLEDKY VÝSLEDKY Předchozí kapitoly shrnují teoretický základ, který byl využit pro tvorbu animací. Tato kapitola obsahuje podrobnější přehled a fyzikální popis jednotlivých animací. 4.1 Animace č. 1 - Princip složení rychlostního profilu proudění oleje První animace popisuje tvorbu rychlostního profilu proudění oleje klínovou mezerou. Rychlostní profil se skládá z parabolického, lineárního a konstantního členu. Při dosažení vrcholu na tlakovém profilu, kdy gradient tlaku p ve směru osy x je x nulový, dochází k vynulování parabolického členu, který je časově proměnlivý. Kvůli časové proměnlivosti parabolického členu se křivka rychlostního profilu proudění oleje s časem mění z konvexního průběhu na lineární. Lineární průběh nastává pouze při nulovém tlakovém gradientu, poté se pozvolna mění na konkávní průběh. V pravé horní části obrázku 4-1 se nachází matematický popis těchto členů a základní parametry charakterizující klínovou mezeru. Obr. 4-1 Princip složení rychlostního profilu proudění oleje Animace č. 2 - Funkce součinitele tření a únosnosti na změně úhlu sklonu α Druhá animace poukazuje na vhodnou volbu správného úhlu sklonu klínové mezery α, který ovlivňuje velikost součinitele tření, únosnost ložiska a velikost maximálního tlaku, který vzniká v klínové mezeře. Při vhodné volbě úhlu α se dá dosáhnout minimální hodnoty součinitele tření a zároveň maximální únosnosti ložiska. V pravé části animace se nachází graf reprezentující pozvolnou změnu tlakového profilu. Při zvyšujících se hodnotách úhlu sklonu α se hodnota maximálního tlaku posouvá k nižším hodnotám a zároveň se přesouvá blíže k okraji segmentu s výškou h 0. V levé části obr. 4-2 se nachází údaje o velikosti úhlu sklonu α, minimální výšky klínové 30

31 4 VÝSLEDKY mezery h 0, maximální výšky klínové mezery h 1, relativní rychlosti třecích povrchů U 1, U 2 a dynamické viskozity oleje η. Obr. 4-2 Funkce součinitele tření, únosnosti na změně úhlu sklonu α 4.3 Animace č. 3 - Závislost tlakového a rychlostního profilu na změně směru pohybu třecích ploch Při protichůdném pohybu třecích ploch dochází v tvorbě nenulového tlakového profilu a časově proměnného rychlostního profilu proudění oleje klínové mezery. Rychlostní profil je složen z několika členů - parabolického, lineárního a konstantního. Pokud se třecí povrchy pohybují vůči sobě souběžně, dochází k tvorbě konstantního rychlostního profilu proudění oleje v klínové mezeře při nulovém tlaku. Při této konfiguraci dochází k vynulování parabolického a lineárního členu. Rychlostní profil tvoří pouze konstantní člen U

32 4 VÝSLEDKY Obr. 4-3 Nesouběžný pohyb třecích povrchů Obr. 4-4 Souběžný pohyb třecích povrchů 32

33 5 DISKUZE 5 DISKUZE Výuka na vysokých školách se v poslední době přizpůsobuje novým trendům moderního a efektivního vzdělávání. Jedním z nich je i používání vizuálních pomůcek různých prezentací, výukový filmů, animací. Využití animací ve vzdělávacích procesech se ukázalo být velmi účinné, neboť vizuální představa dokáže lépe vtáhnout studenta do dané problematiky než doprovodný text. Dobrá animace dokáže studentům urychlit proces pochopení učiva, upoutá pozornost posluchačů a dokáže oživit nezáživné dlouhé texty. Pokud by se animace a jiné podpůrné metody staly nedílnou součástí vyučovacího procesu, vedly by k zatraktivnění a zkvalitnění výuky. Tato bakalářská práce shrnuje základní poznatky z oblasti kluzných ložisek s hydrodynamickým mazáním. Její stěžejní částí je tvorba 3 typů animací, které vizualizují teoretické poznatky a tím přibližují a objasňují studentům podstatu daných fyzikálních dějů. První animace poukazuje na postupné skládání rychlostního profilu ze tří konkrétních složek, které vystupují v Reynoldsově rovnici a na změnu tlakového profilu v závislosti na poloze v klínové mezeře. Druhá animace spočívá v proměnlivosti úhlu sklonu klínové mezery, kdy jeho změnou se mění i hodnoty konvergentního poměru, součinitele tření a únosnosti ložiska. Tyto poznatky vedou k optimalizaci ložisek a snaze snižovat součinitele tření při co nejvyšší únosnosti. Třetí animace zviditelňuje fakt, že směr otáčení třecích ploch významně ovlivňuje velikost hodnoty maximálního tlaku. Při určitých podmínkách může dojít až k vynulování maximálního tlaku. Větší část výuky na technických vysokých školách je na teoretické bázi, která nemusí být dostačující pro správné pochopení fyzikálních jevů a principů. Mnoho z nich se těžko představuje a tady vidím místo pro mé animace, které pomohou studentům k porozumění podstaty a k vytvoření představy o funkci kluzného spojení. Jsem přesvědčen o tom, že používání komentovaných animací ve výuce povede k rychlejšímu a lepšímu porozumění probíraného učiva. 5 33

34 6 ZÁVĚR 6 6 ZÁVĚR Použití animací ve vzdělávacím procesu má řadu výhod. Zatraktivňují a zkvalitňují výuku, umožňují lepší popis fyzikálních dějů, u kterých se vyskytují dynamické prvky, které nelze zachytit statickým obrázkem. Na technických vysokých školách je mnoho možností, kdy využít ve výuce výukové animace nebo jiné podpůrné metodické materiály pro objasnění základních technických principů. Z těchto důvodů i z vlastní zkušenosti jsem vytvořil animace, které budou sloužit pro studenty jako vizuální podpora výuky k objasnění principů klínové mezery u kluzných ložisek s hydrodynamickým mazáním. První část této práce shrnuje teoretické poznatky o režimech mazání kluzných ložisek a popisuje odvození Reynoldsovy rovnice pro určení rychlostního profilu proudění oleje. Druhá část analyzuje problém a vytyčuje cíl práce. Třetí část specifikuje použité metody k tvorbě animací a popisuje postup tvorby animací s použitým softwarem. Stěžejní část práce je samotná tvorba animací. V další části se zaměřuji na fyzikální popis jednotlivých dějů probíhajících v animacích. Diskuze pojednává o výhodách využití animací ve výukovém procesu. Cíl bakalářské práce mohu považovat za splněný. Vytvořené animace mohou být použity jako metodický materiál v předmětu 5KS na Fakultě strojního inženýrství Vysokého Učení Technického v Brně. 34

35 7 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ 7 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ 7 [1] ČERVEŇÁKOVÁ, Tereza Uložení, účel, rozdělení, kluzná ložiska. In: COPTEL Mechatronika [online]. Zlín [cit ]. Dostupné z: [2] ING. NĚMEČEK, Josef. Ložiska. In: Encyklopedie - Drtič kamene [online]. Zlín [cit ]. Dostupné z: [3] NORTON R. L. Worcester Polytechnic Institute, Worcester, Massachusetts. Machine design: an integrated approach. Fifth edition. Boston: Prentice Hall, ISBN X. [4] STACHOWIAK, G. W. a A. W. BATCHELOR. Engineering tribology. Fourth edition. Oxford: Elsevier/Butterworth-Heinemann, ISBN [5] PROF. ING. HOSNEDL, CSC., Stanislav. Části a mechanismy strojů 1. Plzeň. Podklady k přednáškám. Západočeská univerzita v Plzni. [6] ŠLEGER, Vladimír a Pavel VRECION Mathcad: příručka k matematickému programu Mathcad 7 [online]. [cit ]. Dostupné z: [7] ING. HLAVÁČKOVÁ, PH.D., Milada Počítačová podpora zpracování týmových projektů - Mathcad: Mathcad návody do cvičení. Ostrava. Studijní materiály. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava. [8] Produktový design, Vimeo [online]. [cit ]. Dostupné z: [9] Tutoriarts: Tutoriály CiNEMA 4D, Tutoriarts: Tutoriály CiNEMA 4D [online].[cit ].dostupné z: [10] GRAFIKA: Vše o počítačové grafice, GRAFIKA: Vše o počítačové grafice [online]. [cit ].dostupné z: [11] SHIGLEY, Joseph Edward, Charles R. MISCHKE a Richard G. BUDYNAS, VLK, Miloš (ed.). Konstruování strojních součástí. Překlad Martin Hartl. V Brně: VUTIUM, Překlady vysokoškolských učebnic. ISBN [12] SKF podpora vzdělávání. Materiály pro výuku. Praha: duben [13] BLOUDÍČEK, Petr, Mazání valivých ložisek [online]. Brno [cit ]. Dostupné z: Prezentace. [14] SVOBODOVÁ, Magdalena, Druhy tření, mazání ložisek: Součásti točivého a přímočarého pohybu [online]. Brno [cit ]. Dostupné z: ACE_14-02.pdf. Prezentace. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 [15] DUŠÁNKOVÁ, Ivana, Ložiska I [online]. Most [cit ]. Dostupné z: Prezentace. SPŠ a SOŠGS Most. [16] PROF. ING. HARTL, Martin, Ph.D., Přednáška 11: Konstruování strojů, strojní součásti [online]. Brno [cit ]. Dostupné z: ednaska11_nahled.pdf. Podklady pro přednášku. Vysoké Učení Technické v Brně. 35

36 7 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ [17] VAŠÍŘ, Jakub, Studie tribologických vlastností povrchu dutiny formy. Zlín. Bakalářská práce. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Vedoucí práce Ing. Ondřej Bílek. [18] Ložiska [online], [cit ]. Dostupné z: 36

37 8 SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK, VELIČIN ASYMBOLŮ 8 SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK, VELIČIN A SYMBOLŮ 8 h 0 [m] - minimální výška klínové mezery h 1 [m] - maximální výška klínové mezery C 1 [-] - integrační konstanta C 2 [-] - integrační konstanta U 1 [m/s] - relativní rychlost v ose x, v místě maximální výšky U 2 [m/s] - relativní rychlost v ose x, na pouzdře ložiska V 1 [m/s] - relativní rychlost v ose y, v místě maximální výšky V 2 [m/s] - relativní rychlost v ose y, na pouzdře ložiska q x [m 2 /s] - objemový průtok ve směru osy x vztažen na jednotku délky q y [m 2 /s] - objemový průtok ve směru osy y vztažen na jednotku šířky w 0 [m/s] - rychlost pohybu spodní části klínové mezery směrem nahoru w h [m/s] - rychlost pohybu horní části klínové mezery směrem nahoru τ x [Pa] - smykové napětí v ose x τ y [Pa] - smykové napětí v ose y B [m] - šířka jednoho segment F [N] - třecí síla h [m] - výška klínové mezery v určité vzdálenosti x L [m] - délka jednoho segmentu n [s -1 ] - frekvence otáčení čepu p [Pa] - tlak p m [Pa] - ložiskový tlak. U [m/s] - rychlost proudění oleje u [m/s] - rychlost proudění oleje ve směru osy x v [m/s] - rychlost proudění oleje ve směru osy y W [Pa/m 2 ] - únosnost x [m] - vzdálenost od místa s minimální výškou klínové mezery y [m] - vzdálenost ve směru osy y τ [Pa] - smykové napětí α [ ] - úhel sklonu klínové mezery η [Pa.s] - dynamická viskozita μ [-] - součinitel tření 37

38 9 SEZNAM POUŽITÝCH OBRÁZKŮ, GRAFŮ 9 9 SEZNAM POUŽITÝCH OBRÁZKŮ, GRAFŮ Obr. 1-1 Důvody selhání ložisek [12] 13 Obr. 1-2 Tuhé mazivo [14] 13 Obr. 1-3 Smíšené a mezné mazání [13] 14 Obr. 1-4 Hydrostatické a hydrodynamické mazání [18] 14 Obr. 1-5 Druhy tření [15] 15 Obr. 1-6 Stribeckova křivka [16] 15 Obr. 1-7 Schéma klínové mezery [4] 18 Obr. 1-8 Rovnovážné působení sil na elementární objem kapaliny [4] 18 Obr. 1-9 Schéma rychlostního profilu v ose x [4] 21 Obr Rovnice kontinuity v klínové mezeře [4] 21 Obr Kluzné ložisko klouzající podél rotující hřídele [4] 23 Obr Rozložení tlaku nekonečně dlouhého ložiska [16] 24 Obr Schéma krátkého ložiska [16] 25 Obr. 3-1 Schéma tvorby animace 28 Obr. 3-2 Pracovní prostředí softwaru Cinem4D 29 Obr. 4-1 Princip složení rychlostního profilu proudění oleje 30 Obr. 4-2 Funkce součinitele tření, únosnosti na změně úhlu sklonu α 31 Obr. 4-3 Nesouběžný pohyb třecích povrchů 32 Obr. 4-4 Souběžný pohyb třecích povrchů 32 38

39 10 SEZNAM POUŽITÝCH TABULEK 10 SEZNAM POUŽITÝCH TABULEK 10 Tab. 1-1 Základní zjednodušující předpoklady [4] 17 39