VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9

Transkript

1 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 Nestacionární vedení tepla v rovinné stěně Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 2 Obsah... 3 Řešené příklady... 3 Příklady k procvičení... 8 Použitá literatura Seznam symbolů... 12

3 3 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet teplotních polí při nestacionárním vedení tepla v rovinné desce. MOTIVACE: Ohřev a chlazení je součástí mnoha technologických operací zpracování materiálů. Průběh těchto dějů významně ovlivňuje kvalitu výsledného produktu. Úkolem inženýra je umět navrhnout optimální postup těchto operací, což je v mnoha případech obtížné a proto je potřeba provést příslušné výpočty s využitím matematických modelů, popisujících daný děj. V tomto cvičení se zaměříme na popis nestacionárního vedení tepla v materiálech tvaru rovinné desky. Cíl: Uplatnění teoretických poznatků při řešení vybraných úloh nestacionárního vedení tepla zaměřených na výpočet teplotních polí v rovinné desce. Řešené příklady Příklad 1 Deska vyrobena z polypropylenu o šířce 20 cm, tloušťce 8 mm a výšce 35 cm a počáteční teplotě 98 C se ochlazuje v prostředí o teplotě vzduchu 22 C. Deska je umístěna ve svislé poloze. a) Vypočítejte, jaká bude teplota desky v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení. b) Určete průběhy teplotních polí pro doby chlazení 3 minuty, 10 minut. 30 minut, 50 minut, 3 hodiny. Uvažujte volnou konvekci okolního vzduchu. Řešení: Výpočet teplotních polí provedeme na základě analytického řešení (1)modelu ohřevu (chlazení) rovinné desky :

4 4 p o n1 n n n qn 2 Fo * t to sin qn cos( qn X )e t ( X, Fo) 2 (1) t t q sin q cos q kde q jsou kořeny transcendentní rovnice q cot q (2) Bi Ze zadání příkladu a z tabulek určíme potřebné vlastnosti polypropylenu: Hustota PP 904 ; součinitel tepelné vodivosti PP 0, 2 ; měrná tepelná kapacita c 2 ; počáteční teplota t p 98 p PP Určíme potřebné vlastnosti okolního prostředí (vzduchu) při střední teplotě t 0,5 ( t t ) str p o t 0,5(22 98) 60 (4) str Prandtlovo kritérium Pr 0, 73 ; součinitel tepelné vodivosti 2 2,810 ; 5 kinematická viskozita 1,96 10 ; teplota prostředí t o prost 22 prost Výpočet součinitele přestupu tepla provedeme pro případ volné konvekce: Charakteristický rozměr pro svislou desku bude její výška d 0, 35 (3) Teplotní objemová roztažnost: 1 T str (5) 1 313,15 1 0,00319 K (6) Grashofovo kritérium: 3 g d ( t p to) Gr 2 (7) prost Gr 3 9,810,35 (98 22) 5 2 (1,96 10 ) (273,15 60) 2, (8)

5 5 Součin Grashofova a Prandtlova kritéria: Gr Pr 8 8 2, ,73 1, (9) Nusseltovo kritérium: Nu C( Gr Pr) n (10) 7 13 Pro součin 210 Gr Pr 110 odečteme konstanty C a n Nusseltova kritéria: C 0,135, n 1/ Nu 0,135 (1, ) 1/ 76,55 (11) Součinitel přestupu tepla: Nu d prost (12) 76,55 0,028 6,124 W.m.K 0, (13) Biotovo kritérium: b Bi PP (14) 6,124 0,004 Bi 0,122 (15) 0,2 Teplotní vodivosti polypropylenu: a PP c PP p PP PP (16) a PP 0,2 1, m.s (17)

6 6 Určení kořenů q transcendentní rovnice (2) lze provést numericky pomocí vhodného matematického softwaru (Matlab, Maple, Mathematica, Microsoft Excel, apod.), případně lze kořeny určit méně přesnější grafickou metodu. Numericky nalezené kořeny: Obr. 1 Numericky vypočítané kořeny transcendentní rovnice (2) a) Vypočet teploty desky v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) pro dobu 30 minut: a Fo 2 b (18) 7 1, ,45 Fo (19) 0,004 Bezrozměrná vzdálenost odpovídající místu 1,5 mm pod povrchem: X x b (20) 0,0025 X 0,625 0,004 (21)

7 7 Dosazením vypočtených hodnot do rovnice (1) vypočítáme bezrozměrnou teplotu v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení: t 2 0, 0025 sin(0,3430) cos0,3430 e 0,004 0,3430 sin(0,3430) cos(0,3430) 2 0, ,45 0, , ,45 sin(3,1801) cos3,1801 e 0,004 0, ,1801 sin(3,1801) cos(3,1801) (22) Převedením vypočtené bezrozměrné teploty na reálnou hodnotu určíme hledanou teplotu v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení: t t t t t * o p o (23) Pak: * t t t p to to (24) t 0, ,5 C (25) b) Výpočet průběhů teplotních polí pro doby chlazení 3 minuty, 10 minut. 30 minut, 50 minut, 3 hodiny. Pro výpočet teplotních polí využijeme matematický software (Matlab, Mathematica, Maple, Microsoft Excel, apod.). Pro vykreslení grafických závislostí naprogramuje rovnici Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. s požadovanými parametry. Při provádění výpočtu v programu Microsoft Excel provedeme výpočet teploty ve zvolených vzdálenostech materiálu a poté sestrojíme závislost teploty na vzdálenosti v materiálu.

8 8 Vypočtené grafické průběhy teplotních polí: Obr. 1 Vypočítané průběhy teplotních polí Příklady k procvičení Příklad 2 Polotovar z polyamidu 6 o tloušťce 1,5 cm, délce 1,6 m a šířce 0,2 m, o počáteční teplotě 20 C je ohříván v ustalovací komoře o teplotě vzduchu 70 C. Polotovar je v komoře umístěn ve vodorovné poloze. Určete průběhy teplotních polí pro různé doby chladnutí (5 min., 10 min., 30 min., 1 hod., 4 hod.). Pro uvedené doby vypočtěte teplotu uprostřed vzorku.

9 9 Řešení úlohy je uvedeno v následujících obr.3 aţ obr.9. Obr. 3 Výpočet součinitele přestupu tepla a Biotova kritéria Obr. 4 Kořeny transcendentní rovnice

10 10 Obr. 5 Teplotní pole po 5 minutách ohřevu Obr. 6 Teplotní pole po 10 minutách ohřevu Obr. 7 Teplotní pole po 30 minutách ohřevu

11 11 Obr. 8 Teplotní pole po 1hodině ohřevu Obr. 9 Teplotní pole po 4hodinách ohřevu Úlohy se vztahují k této otázce: Způsoby řešení úloh nestacionárního sdílení tepla vedením v tuhých látkách. Použitá literatura [1] Kolomazník, K. Modelování zpracovatelských procesů, VUT Brno, FT Zlín, 1990 [2] Kolomazník, K. Analýza dynamických systémů, VUT Brno, FT Zlín, 1988 [3] Janáčová, D. a kol. Procesní inženýrství. Fyzikální, transportní a termodynamická data, UTB AC, Zlín, 2011, ISBN

12 12 Seznam symbolů a - teplotní vodivost, [m 2.s -1 ] b - poloviční tloušťka, [m] Bi - Biotovo kritérium [1] C - konstanta Nusseltova kritéria, [1] c - měrná tepelná kapacita, [kj.kg -1.K -1 ] p d - charakteristický rozměr, [m] Fo - Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) [1] g - gravitační zrychlení, [m.s -2 ] Gr - Grashofovo kritérium, [1] n - konstanta Nusseltova kritéria, [1] Nu - Nusseltovo kritérum, [1] Pr - Prandtlovo kritérium, [1] t - teplota, [ C] t * - bezrozměrná teplota, [1] t o - teplota okolí, [ C] t -počáteční teplota materiálu, [ C] p t str - střední teplota, [ C] x - směrová souřadnice, [m] X - bezrozměrná směrová souřadnice, [1] - součinitel přestupu tepla, [W.m -2.K -1 ] - dynamická viskozita, [Pa.s] - součinitel tepelné vodivosti, [W.m -1.K -1 ] - hustota, [kg.m -3 ] - kinematická viskozita, [m 2.s -1 ] - čas, [s] Seznam indexů: PP - polypropylen, prost. - okolní prostředí.