1. Úvod do pružnosti a pevnosti

Transkript

1 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků původní tvar. Pevností nazýváme schopnost prvku (součásti či konstrukce) přenést zatížení bez porušení. Každé těleso, vystavené účinku vnějších sil či dalších účinků (změna teploty a pod.) mění obecně svůj tvar a rozměry - deformuje se. Skutečné vnitřní síly, které udržují těleso v pevném stavu, pružnost a pevnost nezkoumá, protože tyto nezávisí na vnějších vlivech. Zabývá se však tzv. doplňkovými vnitřními silami (dále jen vnitřní síly), které se snaží po odlehčení vnějšího zatížení vrátit těleso do původního tvaru. Mírou intenzity vnitřních sil je veličina zvaná napětí. Vztah mezi vnějšími silami, vnitřními silami a napětím lze vyjádřit graficky takto: vnější síly vnitřní síly napětí 1

2 2. Cíle a předpoklady pružnosti a pevnosti Rozlišujeme dva typy pevnostních výpočtů: a) PŘÍMÉ METODY - výpočet napětí - výpočet deformací a) NEPŘÍMÉ METODY - určení rozměrů průřezu tak, aby napětí nebo deformace byly menší než dovolená hodnota. Otázka 1: Jaké jsou dva nejdůležitější požadavky při návrhu strojních součástí v praxi? Otázka 2: Co o nich můžeme říct? A) BEZPEČNOST B) HOSPODÁRNOST JSOU PROTICHŮDNÉ!!! ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY PaP: 1) Materiál je homogenní (fyzikální vlastnosti jsou v celém objemu stejné) 2) - - je isotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech totožné) 3) Deformace jsou v porovnání s rozměry tělesa velmi malé (teorie malých deformací) 4) Materiál je ideálně pružný 5) Závislost mezi napětím a deformací je lineární 2

3 3. Návaznost předmětů Předmět pružnost a pevnost navazuje na předměty: Mechanika I Mechanika II Části a mech.strojů Nejdůležitější poznatky Mechaniky I z hlediska Pružnosti a pevnosti: 1) Stanovení polohy těžiště ploch 2) Metoda uvolnění, stanovení reakcí z podmínek rovnováhy 3) Určení průběhu vnitřních účinků Před rozvojem experimentálních a numerických metod pružnosti bylo možné řešení (analytické) jen určitých geometricky jednodušších těles (prut, skořepina, deska), a to ještě za použití zjednodušujících předpokladů. Nejjednodušším typem modelového tělesa je prut. Nemůžeme mezi ně počítat obecně tělesa "dlouhá a tenká", ale musí být také splněny jisté předpoklady, o kterých bude řeč později. Únosnost prutu velmi souvisí s rozložením plochy průřezu. 3

4 4. Geometrické charakteristiky ploch Základní charakteristiky: 1) Plocha průřezu [m 2 ] 2) Lineární (statický) momenty průřezu [m 3 ] 3) Kvadratické momenty průřezu [m 4 ] 4) Polární moment průřezu [m 4 ] 4

5 5. Vlastnosti kvadratických momentů ploch 1) Aditivní vlastnost Moment plochy rovinného obrazce k zvolené ose se rovná algebraickému součtu momentů ploch všech dílčích částí, vztažených k téže ose. 2) Znaménka momentů ploch Kvadratické osové momenty plochy jsou vždy kladné, kdežto deviační moment plochy může být kladný i záporný, což plyne z jejich definice. 3) Polární moment plochy - vždy odpovídá součtu osových momentů téže plochy. 4) Centrální momenty plochy Počátek souřadnic obvykle vkládáme do těžiště průřezu, pak osové momenty plochy nazýváme centrálními momenty plochy. Osy procházející těžištěm průřezu se nazývají centrální osy. 5

6 6. Kvadratické momenty základních útvarů Základní charakteristiky: 1) Obdélník 2) Mezikruží z y 6

7 7. Steinerova věta Pro souřadnice y, z platí: Steinerovy věty: 7

8 8. Hlavní kvadratické momenty průřezu Budeme-li natáčet souřadný systém v počátku, budou se měnit hodnoty momentů plochy k souřadnicovým osám. Nalezením dvou vzájemně kolmých os procházejících těžištěm, k nimž je deviační moment nulový, získáme hlavní centrální osy plochy. K nim vztažené osové momenty nabývají extrémních hodnot a nazýváme je hlavní centrální momenty plochy (I 1 = I max, I 2 = I min ). Pro symetrické plochy platí, že osa symetrie je přímo jednou hlavní centrální osou průřezu. Druhá hlavní centrální osa průřezové plochy je na ni kolmá (a prochází těžištěm). 8

9 9. Kvadratické momenty složených ploch V technické praxi se často vyskytují složitější průřezy z důvodu dokonalejšího využití materiálu. Vhodnou volbou tvaru průřezu lze totiž při zachování stejné plochy průřezu docílit značně vyšší nosnosti prutu. Složitější průřezy lze obvykle rozdělit na několik jednoduchých obrazců. Momenty složené plochy lze pak získat ze známých momentů dílčích ploch. Postup výpočtu: 1. Rozdělení průřezu na dílčí plochy 2. Stanovení polohy těžiště 3. Aplikace Steinerovy věty a aditivního zákona 9