Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Transkript

1 VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 009

2 PP Cvičení 7 Matematická teorie pružnosti: Diferenciální rovnice rovnováhy Cauchyho: Máme homogenní a izotropní těleso libovolného tvaru tělesa vyjmeme elementární krychli Budeme předpokládat, že třetí rovina není zatížena (kolmo k osám a y jsou všechna napětí nulová, te, atd) Této situaci se říká rovinná napjatost!, y y dz Obr Napjatost na elementární krychli Nyní sestavíme pro elementární krychli rovnice rovnováhy v ose a y (v ose z nejsou žádná napětí a te ani síly) Napětí působí na ploše ds dz, vynásobením napětí a plochy získáme sílu: F 0 dz dz dz y dz dz 0 y Po úpravě: 0 y Podobně v ose y: F 0 dz 0 dz dz dz dz 0 y Po úpravě: 0 y Obecně pro trojosou napjatost (odvození je stejné, pouze zde přibudou z-ové složky): 0 y z 0 y z 0 y z momentových složek vyplývá zákon sdruženosti smykových napětí:,, /7

3 PP Cvičení 7 Deformační rovnice (geometrické): Po zatížení se elementární krychle zdeformuje a posune z původní polohy Pro jednoduchost znovu přejdeme do roviny Budeme také předpokládat, že deformace jsou řádově menší než rozměry tělesa (malé deformace) u u y y v A A * u B * u u B * B ** v v Obr Posunutí a deformace elementární krychle Nejprve budeme sledovat změnu délky úsečky AB v ose Po zatížení se délka úsečky změní na A * B ** v ose * Nyní spočteme poměrnou deformaci v ose : u u u u u * u v w Podobně bychom mohli odvodit: a v ose z, kde w je posun v ose z y z Předpokládáme znovu malé deformace a te tg, * Nyní se pokusíme odvodit úhlovou změnu zkos, který je dán součtem úhlů, : v u u u y v v v y y v u y w u w v Podobně bychom mohli odvodit:, z y z Rovnice kompatibility: Určují závislost mezi poměrným prodloužením a zkosem, zajišťují spojitost tělesa: 3 3 v u v u y y y y y Podobně bychom mohli odvodit: z, z yz y z 3/7

4 PP Cvičení 7 Fyzikální rovnice: Vyjadřují chování matriálu Nazývají se také obecný Hookův zákon, nebo Hookův zákon pro trojosou napjatost Tyto rovnice můžeme sestavit z Hookova zákona pro jednoosou napjatost a Poissonova zákona: Obr 3 Hookův zákon a Poissonův zákon Obr 3 je zřejmé, že po sloučení obou složek získáme rovnici: Pro trojosou napjatost získáme tři rovnice v příslušných osách: Pro zkos platí jednoduché lineární vztahy:,, G G G Poznámky: Při odvození se často využívá také rovnic rovnováhy získaných z řezu: σ N() τ τ z y M() T () T () ds Obr 4 Napjatost v řezu při ohybu rovnic rovnováhy v řezu pak získáme rovnice: F 0 ds N( ) 0 F i 0 ds T ( ) 0 iy 4/7

5 PP Cvičení 7 F M Mi 0 ds T ( ) 0 iy M 0 z ds 0 iy 0 y ds M ( ) 0 iz 0 y ds z ds 0 Předpokládali jsme, že moment v rovině z je nulový a krouticí moment také Při řešení úloh matematické teorie pružnosti se snažíme splnit také okrajové podmínky: y q z b c a Obr 5 Okrajové podmínky Na Obr 5 je jednoduché těleso položené na tuhé podložce (předpokládejme např pevnou vazbu - vetknutí) zatížené na horní ploše spojitým zatížením Pro napětí a posuvy musí být splněny předpokla dané okrajovými podmínkami, např: Na šedou plochu nepůsobí žádné napětí, te: ( a, y, 0, ( a, y, 0, ( a, y, 0, na horní plochu působí spojité zatížení, te: y(, y b, q atd Dále podobně pro všechny strany tělesa, kde nejsou vazby V místech kde jsou vazby, musí platit podobná podmínka pro posunutí: u (, y 0, 0, v (, y 0, 0, w (, y 0, 0 Při analytickém řešení je často obtížné splnit všechny podmínky a rovnice, proto se snažíme splnit podmínky alespoň ve vybraných bodech nebo částech tělesa Rovněž využíváme různá zjednodušení, která umožňují řešit úlohy s dostatečnou přesností Příklad : Při zatěžování nad mezí kluzu se často využívá zjednodušení - V 0 Předpokládáme te, že těleso mění pouze svůj tvar a změna objemu je zanedbatelná dz dz Obr 6 měna objemu Na Obr 6 vidíme, že při zatížení elementární krychle v ose se krychle ve směru osy prodlouží a ve směru os y a z zkrátí Hookova a Poissonova zákona můžeme napsat: 5/7

6 PP Cvičení 7 dz,, dz Objem elementární krychle před zatížením je V0 dz a po zatížení: V dz dz Předpokládáme malé deformace te: atd, z čehož plyne, že násobky prodloužení můžeme vůči násobkům délek zanedbat: 0, dz 0, dz 0, dz 0 Objem elementární krychle po zatížení, roznásobení a úpravě bude: V dz dz dz dz Nyní spočteme změnu objemu: V V V0 dz dz dz dz dz V dz dz dz 0 dz dz dz 0 Dosadíme z Poissonova zákona a upravíme: dz dz dz Poissonovo číslo 0, 5 reprezentuje nestlačitelný materiál, te platí V 0 3 Příklad : F Dáno: Na ocelovou krychli působí síla F (na plochu S), krychle je umístěna v absolutně tuhé nádobě stejných rozměrů jako krychle, ale bez horní části Urči: stlačení hrany Krychle je umístěna v absolutně tuhé nádobě, můžeme te uvažovat 0, 0 Napětí v ose (osa síly) určíme: S Pro další řešení použijeme Hookova zákona pro trojosou napjatost: F, 0, 0 Upravíme poslední dvě rovnice:, A vyloučíme jedno napětí : Po úpravě: Stejným způsobem určíme: 6/7

7 PP Cvičení 7 7/7 Nyní známe všechna napětí a snadno již spočítáme stlačení horní plochy: Výsledek můžeme ověřit například tak, že budeme uvažovat těleso jako nestlačitelné ( 5 0, ) Potom musí platit: Po dosazení hodnoty Poissonova čísla pro nestlačitelné těleso: 0 0 Těleso se te skutečně nestlačí při jakémkoliv napětí 4 iteratura Podrobné vysvětlení, odvození a další příkla na procvičení lze nalézt ve většině skript či učebnic pružnosti a pevnosti