Collatzova hypotéza. David Brebera XIV. seminář z historie matematiky pro vyučující na středních školách

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Collatzova hypotéza. David Brebera XIV. seminář z historie matematiky pro vyučující na středních školách"

Olga Soukupová
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Collatzova hypotéza David Brebera XIV. seminář z historie matematiky pro vyučující na středních školách Poděbrady

2 Lothar Collatz , Arnsberg, Německo , Varna, Bulharsko Greifswald, Michov, Göttingen, Berlín Výrazně ovlivněn přednáškami Davida Hilberta 1935, Berlín (numerické metody řeš. lineárních diferenciálních rovnic) 1937 Collatzova hypotéza 1943 profesor, Hannover 195 Hamburg, zakládá Institut aplikované matematiky 36 publikací, převážně numerická matematika credit: uni-hamburg.de Lothar Collatz : Collatzova hypotéza (stále nevyřešena) a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché a 1 N n N a n = 1 Pro libovolnou počáteční hodnotu a 1 se v konečném počtu kroků vždy dostaneme k hodnotě a n = 1 credit: uni-hamburg.de

3 Příklady 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 19, 58, 9, 88, 44,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1,4,,1 7, 8, 41, 14, 6, 31, 94, 47, 14, 71, 14, 107, 3, 161, 484, 4, 11, 364, 18, 91, 74, 137, 41, 06, 103, 310, 155, 466, 33, 700, 350, 175, 56, 63, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 50, 51, 754, 377, 113, 566, 83, 850, 45, 176, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 158, 1079, 338, 1619, 4858, 49, 788, 3644, 18, 911, 734, 1367, 410, 051, 6154, 3077, 93, 4616, 308, 1154, 577, 173, 866, 433, 1300, 650, 35, 976, 488, 44, 1, 61, 184, 9, 46, 3, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 8, 14, 7,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 Průběh posloupnosti pro a 1 = 7 3

Podat důkaz tvrzení nebo Řešení Najít protipříklad, tedy počáteční hodnotu, pro kterou bude posloupnost divergovat skončí posloupnost jiným než triviálním cyklem 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, Hrubou silou

4 Podat důkaz tvrzení nebo Řešení Najít protipříklad, tedy počáteční hodnotu, pro kterou bude posloupnost divergovat skončí posloupnost jiným než triviálním cyklem 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, Hrubou silou ověřeno do (BOINC) stále platí (to ale není důkaz, Pólya conjecture) Pólya conjecture George Pólya 1887 (Budapešť) 1985 (Palo Alto, California) ETH Zürich, Stanford University 1919: V radě přirozených číslech převažují čísla s lichým počtem členů prvočíselného rozkladu 18 = 1 3, 1 + = 3 60 = 3 5, = : teoretické řešení ( ) 1980: nalezen protipříklad pro hodnotu poprvé zvítězí sudé rozklady 4

5 BOINC University of California, Berkeley BOINC - Berkeley Open Infrastructure for Network Computing využití volné výpočetní kapacity osobních počítačů (v součtu kapacit jde o 4. nejvýkonnější superpočítač) SETI@home (hledání signálů mimozemských civilizací zatím nic) LHC@home (CERN), NFS@home (faktorizace velkých čísel) celkem 35 různých projektů ze všech oborů Collatz: = = (kalkulačky) WoS + Scopus + Google Scholar Scopus: 77 článků Web of Science: 67 článků Google Scholar: 470 článků

6 Současný stav 1977: existuje pouze jeden triviální cyklus délky (1 -> 4 -> -> 1 -> 4...) 1993: délka netriviálního cyklu bude minimálně kroků 005: pokud existuje netriviální cyklus, musí obsahovat hodnotu minimálně Co se zkoumá? Maximální hodnota 6

7 Co se zkoumá? Maximální hodnota Počet kroků nutných k dosažení 1 7

8 Co se zkoumá? Collatzova mapa (strom) Další zkoumání Celkový počet kroků nutných k dosažení 1 (A006577) Maximální hodnota (A05586) poměr počtu lichých(a006667) a sudých kroků (A006666) Počet kroků nutných k dosažení známé hodnoty Chování zrychlené varianty (A006666) a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché 8

9 lichá OEIS.ORG On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Neil Sloane (1939, Wales) kombinatorika, samoopravné kódy sběratel celočíselných posloupností (od r. 1964) od roku 1996 na webu oeis.org posloupností (červen 019) databáze je otevřena všem přispěvatelům Další zkoumání I. Počet sudých a lichých kroků s/l sudá a_1 9

posloupnost 7 111 10110 11 1011 34 100010 17 10001 5 110100 6 11010 13 1101

10 Další zkoumání II. Délka nové cesty binární posloupnost Další zkoumání III

10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6

11 Stephen Wolfram (1959) Mathematica New Kind of Science (1995) Cellular automata Rule 150, n -1 Další zkoumání IV. Collatzovo síto (A17779)

12 Collatzovy zlomky Další zkoumání V a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché

13 Hledání funkce pro x N f x = x 3x + 1 x sudé x liché 1 x x 1 = = 1 x sudé 0 x liché 0 x sudé 1 x liché f x = 1 x + 1 x 1 x 1 3x + 1 pro x N Zobecnění pro x R (zrychlená varianta) f x = 1 x + 1 x 1 x 1 3x + 1 pro x N pro x R: 1 x = cos πx f x = cos πx + 1 x cos πx 1 3x + 1 f x = 1 4 4x + 1 x + 1 cos πx pro x C: f z = z + 5z cos πz (nezrychlená) 13

14 f x = 1 4 4x + 1 x + 1 cos πx V reálném oboru cobweb plot zdroj: Thomas Prellberg 14

15 cobweb plot (logistické zobrazení) x n+1 = rx n (1 x n ) V komplexním oboru Collatzův fraktál f z = z + 5z cos πz zdroj: Nathaniel Johnston 15

Mandelbrotova množina Benoit Mandelbrot (194 010) V oboru komplexních čísel, z = z + c Závěr Využití při výuce na ZŠ (elementární počítání) na SŠ (funkce, grafy, programování) na VŠ

16 Mandelbrotova množina Benoit Mandelbrot ( ) V oboru komplexních čísel, z = z + c Závěr Využití při výuce na ZŠ (elementární počítání) na SŠ (funkce, grafy, programování) na VŠ (fraktály, publikační činnost) otevírá prostor do mnoha dalších odvětví matematiky odměna 500 USD za vyřešení Mathematics may not be ready for such problems Paul Erdős ( ) 16

17 Děkuji za pozornost 17

Podobné dokumenty

B-IIa Studijní plány pro bakalářské a magisterské SP - prezenčního

B-IIa Studijní plány pro bakalářské a magisterské SP - prezenčního Označení studijního plánu Studijní plán pro prezenční formu Povinné předměty způsob ověření počet kreditů PPZ ZT PPZ Matematická analýza