ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence
|
|
- Libuše Vlčková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A 0 = f g, je to vlastne vyber prvku 1-arn operace - unarn 2-arn operace - binarn 3-arn operace - ternaln denice Necht' A je mnozina, i ; i 2 I a to i nekonecna; jsou (n i -arn) operace. Pak A( i j i 2 I) nazveme (universaln) algebrou. prklady N(+; ) Z(+; ; ) Q n f0g( ; =) <(+; ; ) <(+; ; p ) denice Necht' A je mnozina s n-arn operac a B A. Rekneme, ze B je uzavrena na operaci, pokud 8b 1 ; :::; b n 2 B plat, ze (b 1 ; :::; b n ) 2 B. Je-li A( i ; i 2 I) algebra a B A, pak rekneme, ze B je podalgebra A( i ; i 2 I), pokud je B uzavrena na vsechny i ; i 2 I prklady N(+; ) - k 2 B, potom kn = fknjn 2 Ng jsou podalgebry N(+; ) Overen: Necht' b 1 ; b 2 2 kn 1. b 1 + b 2 2 kn 2. b 1 b 2 2 kn Z(+; ; 0) ma podalgebry kz = fk rjr 2 Zg (a zadne jine). Je dulezite si rozmyslet uzavrenost na nularn operaci 0 1
2 Vektorovy prostor U(+; tjt 2 T; 0) nad telesem T t : U! U, u! u t W je podprostor U, W je podalgebra U(+; t; 0) A( i ji 2 I) je algebra, potom A je podalgebra A Pokud zadna operace algebry A nen nularn, potom ; je podalgebrou A skorodenice Je-li A( i ji 2 I) algebra a B jej podalgebra, pak i = i db ni : B ni! B - mame prirozene danou strukturu na B prklady Q(+; ), Z Q je podalgebra algebry Q(+; ) restrikce! Z(+; ) Necht' M n (T ) jsou ctvercove matice radu n nad telesem T. Vezmeme algebru M 2 (<)( ), potom diagonaln matice D(<)( ) tvor podalgebru M 2 (<)( ). poznamka Necht' A je mnozina s operac a necht' A j, j 2 J je system podmnozin A uzavrenych na. Pak T j2j A j je opet uzavrena na 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra a A j ; j 2 J jsou jej podalgebry. Pak T j2j A j je podalgebra 1. je n-arn operace 8j 2 j : (a 1 ; a 2 ; :::; a n ) 2 \ j2j A j A j Podle predpokladu (a 1 ; :::; a n ) 2 A j 8j ) (a 1 ; :::; a n ) 2 T A j 2. A j jsou uzavrena na i 8i 2 I; j 2 J Podle 1. je T j2j A j uzavrena na i 8i 2 I, tedy je uzavrena na vsechny operace na algebre A( i ji 2 I), a proto je T j2j A j podalgebra A( i ji 2 I) denice Necht' A a B jsou mnoziny s n-arn operac a f : A! B. Rekneme, ze f je slucitelne s, pokud 8a 1 ; a 2 ; :::; a n 2 A B (f(a 1 ); f(a 2 ); :::; f(a n )) = f ( A (a 1 ; :::; a n )) denice Rekneme, ze algebra A(i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou stejneho typu pokud i na A i na B jsou stejne arity 8i 2 I 2
3 denice Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Pak zobrazen f : A! B je homorsmus, pokud je f slucitelna se vsemi i. poznamka Necht' A, B, C jsou mnoziny s n-arn operac, f : A! B, g : B! C jsou zobrazen slucitelna s. Pak g f : A! C je slucitelne s. Je-li f bijekce, potom f 1 je opet slucitelne s. 2. Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I), C( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a f : A! B, g : B! C jsou homomorsmy. Pak g f : A! C je opet homomorsmus. Je-li navc f bijekce, pak f 1 je take homomorsmus. 1. Vezmeme a 1 ; ::::; a n 2 A g(f((a 1 ; :::; n ))) sluc: f s = g((f(a 1 ); :::; f(a n ))) = sluc: g s = (g(f(a 1 )); :::; g(f(a n ))) f bijekce... f 1 je zobrazen B! A, b 1 ; b 2 ; :::; b n 2 B a chceme dokazat f 1 ( B (b 1 ; :::; b n ))? = A (f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n )) f A Tedy vezmeme f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) def: = B f f 1 (b 1 ) ; :::; f f 1 (b n ) f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) = f 1 f A b 1 ; :::; f 1 (b n ) Podle radku pred tm se toto rovna f 1 ((b 1 ; :::; b n )) Tedy i inverzn zobrazen je slucitelne s. 2. Podle prvnho bodu je g f slucitelne s i 8i 2 I, tedy g f je homomor- smus. f 1 je podle bodu 1. slucitelne se vsemi i, a tedy je take homomorsmus. denice Jsou-li A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) algebry stejneho typu a f : A! B je bijektivn homomorsmus, pak mluvme o isomorsmu. A a B jsou isomorfn algebry, pokud mezi nimi existuje isomorsmus. poznamka Dve isomorfn algebry maj "stejne algebraicke vlastnosti" (tj, logicke operace, mnozinove operace a vlastnosti algeber) 3
4 poznamka Necht' A a B jsou mnoziny s operac a C A; D B jsou uzavrene na. Je-li f : A! B slucitelne s, pak f(c) je (opet) uzavrene na v B a f 1 (D) = fa 2 Ajf(a) 2 Dg je uzavrena na v A 2. Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a C A, D B podalgebry prslusnych algeber. Je-li f : A! B homomorsmus, pak f(c) B a f 1 (D) A jsou podalgebry 1. je n-arn operace, je na ni f(c) uzavrena? b 1 ; ::; b n 2 f(c) 9a 1 ; :::; a n 2 C : f(a i ) = b i 8i 2 I (b 1 ; :::; b n ) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) = f((a 1 ; :::; a n )) Vme, ze C je uzavrena na, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 C, f((a 1 ; :::; a n )) 2 f(c) Dale a 1 ; :::; a n 2 f 1 (D) f(a i ) 2 D Lez f((a 1 ; :::; a n )) v mnozine D? f((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) {z } 2D To mus z uzavrenosti D na lezet v D, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 f 1 (D) 2. stac aplikovat 1. na i 8i prklady 1. linearn zobrazen f : U! V, kde U; V jsou vektorove prostory nad telesem T, jsou homomorsmy algebry U(+; tjt 2 T ) a V (+; tjt 2 T ) 2. ctvercove matice nad telesem T - M n (T ). Determinant : M n (T )! T je homomorsmus algebry M n (T )( ) a T ( ) 3. n : Z! Z n : n (k) = k mod n. Pak n je homomorsmus algebry Z(+; ) do algebry Z n (+; ) denice Rekneme, ze je relace na mnozine A, pokud A A. Necht' je relace na A, potom = f(b; a) 2 A Aj(a; b) 2 g je opacna relace + = f(a; b) 2 A Aj9a 1 ; :::; a n 2 A : a 1 = a; a n = b; (a i ; a i+1 ) 2 i = 1; :::; n 1g je transitivn obal id = f(a; a) 2 A Aja 2 Ag je identita 4
5 denice Rekneme, ze relace je reexivn, pokud id symetricka, pokud transitivn, pokud + ekvivalence, pokud je reexivn, symetricka a transitivn relace. denice Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak mnozina A = = f[a] ja 2 Ag, kde [a] = fb 2 Aj(a; b) 2 g, nazyvame faktor A podle poznamka 1.4 rozklad. Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak A = tvor A = [ f[a] ja 2 Ag a 2 [a] - reexivita, ale ony se prekryvaj x 2 [a] \[b] ) (a; x) 2 ; (b; x) 2 g ) f(x; a) 2 ; (x; b) 2 g ) (a; b) 2 ; (b; a) 2 (a; b) 2, [b] = fy 2 Aj(b; y) 2 g 8y 2 [b] (a; y) 2 ) y 2 [a] tj. [b] [a] symetricky [a] [b], tedy [a] = [b]. Obsahuj-li 2 trdy spolecny prvek, potom splyvaj, jestlize neobsahuj ani jeden prvek, pak jsou disjunkntn poznamka 1.5 Necht' fb i ji 2 Ig je rozklad mnoziny A. Pak relace na A denovana predpisem (a; b) 2 def 9i 2 I : a; b 2 B i je ekvivalence a A = = fb i ji 2 Ig 1. je ekvivalence a 2 B i pro nejake i 2 I ) (a; a) 2 - reexivita (a; b) 2 ) 9i a; b 2 B i ) (b; a) 2 - symetrie (a; b) 2 &(b; c) 2 ) 9i; j a; b 2 B i &b; c 2 B j. Protoze to je disjunktn rozklad, B i = B j, a tedy a; c 2 B j - transitivita 5
6 2. Dokazeme A = fb i ji 2 Ig "" def: [a] a 2 B i, [a] = fb 2 Ajb 2 B i g = B i [a] B i "" B i [a] vezmu libovolny prvek a zjistm, ze to dela rozkladovou trdu denice Necht' f : A! B je zobrazen. Pak jadrem f nazveme relaci ker f danou predpisem (a 1 ; a 2 ) 2 ker f def f(a 1 ) = f(a 2 ). Je-li ekvivalence na mnozine A, pak o zobrazen : A! A = dane formul (a) = [a] rekneme, ze je to prirozena projekce podle poznamka 1.6 plat Necht' f : A! B je zobrazen a je ekvivalence na A. Pak 1. ker f je ekvivalence 2. f je proste, ker f = id 3. ker = 4. zobrazen g : A =! B s vlastnost g = f existuje prave tehdy, kdyz ker f 1. reexivita: f(a) = f(a) ) (a; a) 2 ker f symetrie: f(a 1 ) = f(a 2 ); f(a 2 ) = f(a 1 ), tj. (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) (a 2 ; a 1 ) 2 ker f transitivita: (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) f(a 1 ) = f(a 2 ) = f(a 3 ) ) (a 1 ; a 3 ) 2 ker f 2. a stejne tak opacne a 1 6= a 2 ) f(a 1 ) 6= f(a 2 ) ) (a 1 ; a 2 ) =2 ker f 6
7 3. (a 1 ; a 2 ) 2 ker, (a 1 ) {z } [a 1] = (a 2 ), (a {z } 1 ; a 2 ) 2 [a 2] Predpokladame existenci g : g = f, tj. 8a 2 A g (a) = f(a) {z } [a] ) g([a] ) = f(a) Predpokladejme a; b 2 ) [a] = [b]. Pak Tedy a, b lez v jadru f(a) = g ([a] ) = g ([b] ) = f(b) 4. ")" "(" Predpokladame ker f Denujeme Je tato denice korektn g ([a] ) = f(a) [a] = [b] ) (a; b) 2 ker f...prvky se slepuj podle denice jadra f(a) = f(b) Zrejme g = f g ([a] ) = f(a) = f(b) = g ([b] ) prklad Deterministicky algoritmus f, A je mnozina vstupnch hodnot, B je mnozina moznych vystupnch hodnot f : A f! B, Potom ker f je zcela prirozene denovana ekvivalence: ztotoznuje vstupy, ktera daj stejny vysledek denice Necht' je n-arn operace na A, je ekvivalence na A. Rekneme, ze je slucitelna s, pokud (a i ; b i ) 2 i = 1; :::; n ) (a 1 ; :::; a n )(b 1 ; :::; b n ) Je-li A( i ; i 2 I) algebra a je ekvivalence na A, pak je kongruence na A, pokud je slucitelna s i ; 8i 2 I poznamka Necht' A; B jsou mnoziny, je operace na A; B a f je zobrazen A! B slucitelne s, Pak ker f je slucitelna s 2. Necht' A; B jsou algebry stejneho typu a f je homomorsmus A! B. Potom ker f je kongruence 7
8 1. (a i ; b i ) 2 ker f ) f(a i ) = f(b i ) 8i = 1; :::; n f ((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ; :::; a n )) = = (f(b 1 ; :::; b n )) = f ((b 1 ; :::; b n )) tj. ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 ker f Podle poznamky 1.6(1.) je ker f ekvivalence 2. plyne z 1. VETA Necht' je ekvivalence na A, je operace na A. Pak je slucitelna s prave kdyz je slucitelna s 2. Necht' je ekvivalence na algebre A. Pak je kongruence, je homomorsmus denice k 1.8 operaci na A = Necht' A ke mnozina s ekvivalenc a relac. Denujeme ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] Na mnozine A = denujeme stejnym zpusobem algebru stejneho typu jako na A za predpokladu, ze A je algebra. Koreknost denice [a 1 ] = [b 1 ] ; :::; [a n ] = [b n ] ) (a 1 ; b 1 ). (a n ; b n )! [(a 1 ; :::; a n )] = [(b 1 ; :::; b n )] neboli je slucitelne s, pro algebry je denice korektn prave tehdy, kdyz je kongruence. Dukaz vety 1.8 je slucitelna s, potom je dobre denovana na A =.??? Je : A! A = slucitelna s??? ")" ((a 1 ; :::; a n )) def = [(a 1 ; :::; a n )] = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = ( (a 1 ); :::; (a n )) tj. je slucitelne s 8
9 "(" Je-li slucitelne s... ker =, potom je korektne denovano, tedy ker je slucitelne s ) je slucitelne s... a druhy bod se dokaze pouzitm prvnho bodu na vsechny operace algebry. denice Grupoidem nazveme algebru G( ) s binarn operac. Prvek e nazveme neutralnm prvkem grupoidu G( ), pokud e g = g e = g 8g 2 G Rekneme, ze algebra M( ; e) je monoid, pokud je asociativn binarn operace a e je neutraln prvek M( ) prklady X 6= ;...mnozina znaku, M(X) mnozina slov na abecede X operace x 1 x 2 :::x n y 1 :::y m = x 1 :::x n y 1 :::y m e je prazdne slovo Potom M(X)(; e) je monoid X 6= ;, T (X) = ff : X! Xjf zobrazeng, potom T (X)(; id X ) je monoid T -telesom M n (T )-ctvercove matice nad T. M n (T )( ; I n ) je monoid det : M n (T )! T je homomorsmus monoidu M n (T )( ; I n ) a T ( ; 1) Poznamka 1.9 Necht' G( ) je grupoid. Pak na G existuje nejvyse jeden neutraln prvek. Dukaz Potom Pro spor necht' f; g 2 G jsou 2 ruzne neutraln prvky. e = e f = f poznamka 1.10 Necht' M( ; e) je monoid, necht' a; b; c 2 M tak, ze e = a b = c a, pak b = c c = c e = c (a b) asoc: = (c a)b = e b = b denice Je-li M( ; 1) monoid, potom prvek m 1 nezveme inverznm prvkem, pokud m m 1 = m 1 m = 1. Prvek je invertibiln, existuje-li j nemu inverzn prvek. 9
10 prklady M(X) obsahuje pouze jeden invertibiln prvek, a to prazdne slovo. v T (X) jsou invertibiln prave bijekce X nekonecna... 9f 2 T (X) pro nej najdeme nejake g 2 T [x] : g f 2 Id, ale f nen invertibiln naprklad f : N! N n! 2n g : N! N n! d n 2 e g(f(x)) = Id, ale f(g(x)) nen na, protoze f nen na. denice Podmonoidem nazveme podalgebru monoidu M( ; 1) poznamka 1.11 Necht' M( ; 1), pak M mnozina vsech invertibilnch prvku tvor podmonoid, navc kazdy inverzn prvek k nejakemu invertibilnmu prvku je tez invertibiln Dukaz M = fm 2 Mj9n 2 M : n m = m n = 1g 1 1 = 1, tj. 1 je inverzn sama k sobe ) 1 2 M (uzavrenost na operaci "1") Necht' a; b 2 M, tj. 9c; d 2 M Tedy a c = c a = 1 b d = d b = 1 {z} a (a b) (d c) asoc: = a (b d) c = a 1 c = a c = 1 (d c) (a b) = d (c a) b = d b = 1 Tedy (a b) 2 M a tm jsme overili uzavrenost na m 2 M 9n n m = m n = 1 neboli m je inverznm prvkem pro n denice Rekneme, ze G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud G( ; 1) je monoid a 1 je unarn operace inverznho prvku 1 : G! G 8g 2 G : g g 1 = g 1 g = 1 10
11 poznamka 1.12 Necht' M( ; 1) je monoid, M mnozina vsech invertibilnch prvku, d M : M M! M m d M n = m n m; n 2 M a 1 prirad kazdemu prvku z M inverz. Potom M ( d M ; 1 ; 1) je grupa. z denice grupy a poznamky 1.11 prklady T (x)(; Id) - monoid, podle 1.12, (T (x)) = S(x) vsechny bijekce, pak S(x)(; 1 ; Id) je grupa, specielne S(f1; :::; ng) jsou permutace na f1; :::; ng M n (T )( ; I n ) GL n (T )( ; 1 ; I n ) je grupa, kde GL n (T ) jsou invertibiln matice nad telesem T denice Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Rekneme, ze H G je podgrupa grupy G( ; 1 ; 1), pokud H je podalgebra algebry G( ; 1 ; 1) Rekneme, ze podgrupa H je normaln, plat-li 8g 2 G 8h 2 H : g h g 1 2 H Rekneme, ze grupa je komutativn, je-li jej binarn operace komutativn poznamka 1.13 Vsechny podgrupy komutativn grupy jsou normaln Necht' G( ; 1 ; 1) je komutativn grupa, H je podgrupa G, g 2 G, h 2 H prklad g h g 1 komut: = g g 1 h = 1 h = h 2 H S (f1; 2; 3g) ( ; 1 ; Id) fid; (12)g je podgrupa... (13) (12) (13) {z } 1 = (23) =2 H, tj. H nen normaln (31) VETA 1.14 Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Pak je kongruence na grupe G( ; 1 ; 1) prave tehdy, kdyz [1] je normaln podgrupa (g; h) 2, g 1 h 2 [1] 11
12 ")" [1] je podgrupa { (1; 1) 2 - reexivita ) 1 2 [1] - uzavrenost na 1. { h 2 [1] tzn. (1; h) 2, a protoze je slucitelna s 1 - uzavrenost na ; h 1 {z} 1 A 2 ) h 1 2 [1] { h 1 ; h 2 2 [1] tzn. (1; h 1 ) 2 a (1; h 2 ) 2, a protoze je slucitelna s, tedy ; h 1 h 2 A 2 ) h1 h 2 2 [1] - uzavrenost na {z} 1 [1] je normaln Necht' g 2 G, h 2 [1], tedy (1; h) 2. je ekvivalence, tedy (g; g) 2 a (g 1 ; g 1 ) 2 Vme, ze je slucitelna s, takze Tedy (g 1; g h) 2 &(g 1 g 1 ; g h g 1 ) 2 {z } 1 g h g 1 2 [1] (g; h) 2, (g 1 ; g 1 ). Protoze je slucitelne s (g 1 g {z } =1 ; g 1 h) 2 ) g 1 h 2 [1] g 1 h 2 [1] tj. (1; g 1 h) 2, ale je kongruence, takze (g; g) 2, a protoze je slucitelna s (g 1; g g 1 h) = (g; h) 2 H je normaln podgrupa : (g; h) 2 def tedy 1 2 H? ekvivalevnce? "(" g 1 h 2 H, kazda podgrupa je uzavrena na 0-arn operaci, 12
13 { (reexivita) g 1 g = 1 2 H ) (g; g) 2 ) g 1 h 2 H, pak (g 1 h) 1 2 H, kvuli uzavrenosti na 1. (g 1 h) 1 = h 1 (g 1 ) 1 = h 1 g def ) (h; g) 2 { (symertie) (g; h) 2 def { (transitivita) (g; h) 2 ; (h; r) 2 def ) g 1 h 2 H; h 1 r 2 H, a protoze H je uzavrena g 1 r = (g 1 h) (h 1 r) 2 H def ) (g; r) 2?slucitelnost se vsemi operacemi? 1 2 H { (1; 1) 2, nebot' je reexivn { (g; h) 2 {z } 1 def ) g 1 h 2 H H normaln{ ) g (g 1 h) g 1 = hg 1 = (h 1 ) 1 g 1 2 H Tedy je slucitelne s 1 { (g 1 ; h 1 ); (g 2 ; h 2 ) 2 ) (h 1 ; g 1 ) 2 ) (g 1 ; h 1 ) 2 def ) g 1 1 h 1 ; g 1 2 h 2 2 H H normaln{ ) h 2 g 1 2 = g 2 g 1 2 h 2 g H ) g 1 2 g 1 H normaln{ 1 h 1 h 2 g 1 2 g 2 2 H {z } ) (g 1 g 2 ) 1 (h 1 h 2 ) 2 H ) (g 1 g 2 ; h 1 h 2 ) 2 [1] = h 2 Hj(1; h) 2 (tj: h = 1 1 h 2 H) 1 znacen Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa, H je kongruence, H = [1] H (toto jednoznacne denuje tu kongruenci). G = ( ; 1 ; [1] H ) se obvykle znac G =H ( ; 1 ; [1] H ) Prklady Z(+; ; 0) je komutativn grupa. nz...nsechny celocselne nasobky n! podgrupy Z(+; ; 0), ktere jsou podle 1.13 normaln. Regularn matice GL n (T )( ; 1 ; I n ) Normaln podgrupou jsou naprklad konstantne diagonaln matice (vsechny prvky na diagonale jsou stejne) nebo matice se stejnym determinantem S n...permutace na f1; :::; ng A n - sude permutace tvor normaln grupu G( ; 1 ; 1) je grupa, pak [1], G jsou trivialn normaln grupy. 13
14 2 Uzaverove systemy na algebre denice Rekneme, ze C P(A) je uzaverovy system na mnozine A, pokud (1) A 2 C (2) B C ) T B = T B2B B 2 C denice Je-li C uzaverovy system, pak je uzaver mnoziny B A cl C (B) = \ fc 2 CjB Cg denice Zobrazen : P(A)! P(A) nazveme uzaverovym operatorem, pokud (1) B (B) 8B A (2) ((B)) = (B) (3) B C A! (B) (C) (monotonie) prklad V...vektorovy prostor, V...vsechny podprostory V. V je uzaverovy system: X V cl V (X) = L poznamka Necht' A je mnozina s operac. Pak vsechny podmnoziny uzavrene na tvor uzaverovy system na A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny podalgebry tvor uzaverovy system na A. 1. viz. poznamka 1.1, (2) z denice 2. vlastnost (1), A je trivialne uzavrena na VETA Necht' C je uzaverovy system na A. Pak uzaver cl C je uzaverovy operator. 2. Necht' : P(A)! P(A) je uzaverovy operator na mnozine A. Potom C = fc 2 P(A)j(C) = Cg je uzaverovy system a cl C = 14
15 1. C...uzaverovy system Nejdrve overme axiom (1) \ cl C (B) = fc 2 CjB Cg 8C:BC ) B cl C (B) (2) prvn inkluze je trivialn druha je jiz trosku tezs cl C (cl C (B)) (1) cl C (B) 2 C cl C (B) 2 fc 2 Cjcl C (B) Cg cl C (B) \ fc 2 Cjcl C (B) Cg = cl C (cl C (B)) B 1 B 2 A fc 2 CjB 1 Cg fc 2 CjB 2 Cg cl C (B 1 ) = \ fc 2 CjB 1 Cg \ fc 2 CjB 2 Cg = cl C (B 2 ) 2....uzaverovy operator Je C = fc 2 P(A)j(C) = Cg uzaverovy system? A (A) A ) A = (A) ) A 2 C C i 2 C i 2 I (C i ) = C i \ i2i C i \ i2i \ i2i C i! C i C j j 2 I ) \ i2i C i! (C j ) = C j 8j 2 I \ i2i \ i2i C i! C i! \ j2i C j = [ i2i ) \ C i 2 C tj. C je uzaverovy system 15
16 3. = cl C, dokazeme 8B (B) = cl C (B) 4.?(B) cl C (B)? ((B)) = (B) ) (B) 2 C B (B) ) cl C (B) cl C (B) = \ fc 2 PjC = (C) & B Cg B C ) (B) (C) = C ) (B) vsech takovych mnozin, tedy je i v jejich pruniku, a tedy (B) cl C (B) To jest (B) = cl C (B) 8B 2 A prklad Z(+; ; 0), n i 2 N, n i Z = fn i zjz 2 Zg. Potom \ i2z n i Z = gcd(n 1 ; :::; n k )Z Neboli lez v uzaverovem systemu vsech podgrup poznamka 2.3 P Vsechny uzaverove systemy na A tvor uzaverovy system na P(A) je trivialne uzaverovy system. C i - uzaverove systemy na A, i 2 I B \ C i ) B C i 8i 2 I Ci uz: system ) \ B 2 Ci 8i 2 I ) \ B 2 \ i2i C i poznamka 2.4 Necht' A B jsou uzaverove systemy na A a C D A. Pak cl B (C) cl A (D) 16
17 fb 2 BjC Bg fa 2 AjC Ag (tato inkluze plyne z velikosti mnozin) ) cl B (C) = \ fb 2 BjC Bg \ fa 2 AjC Ag = cl A (C) z denice a (2.2) ) cl A (C) cl A (D) cl B (C) cl A (C) cl A (D) poznamka 2.5 Vsechny reexivn (symetricke, transitivn) relace i ekvivalence na mnozine A tvor uzaverove systemy na A A R... vsechny reexivn relace na A S... vsechny symetricke relace na A T... vsechny transitivn relace na A E... vsechny ekvivalence na A E = R \ S \ E A A 2 E(R; S; T ), tm je overena prvn podmnka uzaveroveho systemu i 2 R i 2 S (a; b) 2 \ i2i i 2 T id i 8i 2 I ) id \ i2i i 2 R i ) (a; b) 2 i 8i symetrie ) (b; a) 2 i 8i 2 I ) (b; a) 2 \ i 2 S (a; b); (b; c) 2 \ i ) (a; b); (b; c) i 8i 2 I ) (a; c) 2 i ) (a; b) 2 \ i ) \ i 2 T E je prunik uzaverovych systemu a vsechny uzaverove systemy na mnozine tvor uzaverovy system. Proto E mus byt tez uzaverovy system. 17
18 poznamka Necht' je operace na A. Pak vsechny ekvivalence slucitelne s tvor uzaverovy system na A A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny kongruence na A tvor uzaverovy system na A A 1. A A je trivialne slucitelne s Necht' i je ekvivalence slucitelne s, i 2 I. Potom T i je podle poznamky 2.5 tez ekvivalence Necht' a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A a (a j ; b j ) 2 T i2i i 8j = 1; :::; n ) (a j ; b j ) 2 i 8i 2 I 8j = 1; :::; n ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 i 8i 2 I ) ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 \ i2i i neboli je slusitelna s ekvivelenc vzniklou prunikem ekvivalenc slucitelnych s 2. E i...mnozina vsech ekvivalenc slucitelnych s i tvor uzaverovy system. KOngruence je podle denice slucitelna se vsemi operacemi kongruence= T i2i E i - tedy dle poznamky 2.3 uzaverovy system Necht' je relace na A. Pokud je reexivn (resp. symet-, + je opet reexivn (resp. symetricka) poznamka 2.7 ricka), tak [ Necht' je reexivn id [ id + = f(a; b) 2 A Aja 0 ; :::; a n 2 A; a 0 = a; a n = b; (a i 1 ; a i ) 2 8i 2 1; :::; ng Necht' je symetricka = [ 1 (a; b) 2 + z denice a 0 ; :::; a n 2 A tz. a 0 = a, a n = b, (a i 1 ; a i ) ) ) (a i ; a i 1 ) 2 ) (a n ; a 0 )
19 VETA 2.8 Necht' je relace na A. Potom ( [ id) [ ( [ id) + = ( [ [ id) + je nejmens ekvivalence obsahujc relaci (E-ekvivalence na A, cl E () = ( [ [ id) + ) [ id je reexivn ( [ id) S ( [ id) je reexivn a symetricka relace := (( [ id) S ( [ id) ) + je ekvivalence Dale je treba dokazat jej minimalitu cl E () ( [ id) cl E [ id = cl E () ( [ [ id) ( [ id) 1 cl E () [ cl E ( ) = cl E () + cle () + = cl E () ( [ id) [ ( [ id) denice Necht' A je algebra, A je system vsech podalgeber, X A. Rekneme, ze X generuje (podalgebru) cl A (X) poznamka 2.9 Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Necht' f; g : A! B jsou homomorsmy. Pokud X generuje A a f(x) = g(x) 8x 2 X, pak f = g Y = fy 2 Ajf(y) = g(y)g = X A( i ) f ( i (y 1 ; ::; y n )) = i (f(y 1 ); :::; f(y n ))) = i (g(y 1 ); :::; g(y n )) = g ( i (y 1 ; :::; y n )) ) Y je uzavrena na i 8i 2 I, tj. Y je podalgebra, X Y a X dle predpokladu generuje A, tedy Y = A 19
20 prklady Necht' Z(+; ; 0) je grupa a G(+; ; 0) algebra, obe jsou stejneho typu. Necht' f; g : Z! G jsou homomorsmy {z } n < f1g >= f1 + ::: + 1 jn 2 Ng [ f0g [ f( 1) + ::: + ( 1)jn 2 Ng = Z {z } n M(X) - vsechna slova nad psmeny z X, M(X)( ; e) G( ; e) je nejaky monoid Y G tak, ze < Y >= G < X >= M(X) f; g : M(X)! G( ; e) f(x) = g(x) 8x 2 X 2:9 ) f = g M(Y )( ; e) 9!' : M(Y )! G ' je homomorsmus ker ' - kongruence na M(Y ), '(y) 8y 2 Y 3 Isomorsmy algeber denice Necht' A, B jsou algebry stejneho typu. A ' B (A je isomorfn B), pokud 9f : A! B vzajemne jednoznacny homomorsmus (isomorsmus). poznamka 3.1 Necht' M je mnozina algebra, pak ' tvor ekvivalenci na M. z (1:2) Id : A! A je isomorsmus ) reexivita ', symetrie a transitivita denice Necht' je dvojice ekvivalenc na A. Pak = je relace na A = dana predpisem ([a] ; [b] ) 2 = (a; b) 2 poznamka 3.2 na A = Necht' jsou ekvivalence na A. Pak = je ekvivalence plyne okamzite z reexivity, symetrie a transitivity relace. poznamka 3.3 Necht' A je algebra, bud' kongruence na A obsahujc. Pak je kongruence na A prave tehdy, kdyz = je kongruence na algebre A = 20
21 ")" dle 3.1 = je ekvivalence na A = Necht' je libovolna n-arn operace na A a na A = a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A ([a i ] ; [b i ] ) 2 = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] ([b 1 ] ; :::; [b n ] ) = [(b 1 ; :::; b n )] Vme, ze ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 a podle denice = (([a 1 ] ; :::; [a n ] ); ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = "(" = je kongruence, je ekvivalence ma A. Dokazujeme, ze je slucitelna s Predpokladam a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n (a i ; b i ) 2 ) ([a i ] ; [b i ] ) 2 = dale ( ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) ; ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = tedy dle denice ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 poznamka Necht' f : A! B je zobrazen slucitelne s operac, kde je operace na A a B stejne arity. Necht' je ekvivalence na A slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelne s splnujc podmnku g = f, ker f Navc g je bijekce prave tehdy kdyz = ker f 2. Necht' f : A! B je homomorsmus algeber A, B stejneho typu a je kongruence na A. Pak existuje homomorsmus g : A =! B takovy, ze g = f, ker f Navc g je isomorsmus prave tehdy kdyz g je na a = ker f (veta o homomorsmu) 21
22 1. Podle poznamky zobrazen g : A =! B : g = f ) ker f, chceme dokazeme, ze g ([a] ) = g (a) = f(a) 8a 2 A ")" prmo z poznamky 1.6(4)) ker f "(" vme, ze 9g - zobrazen a chceme dokazat, ze je slucitelne s VETA veta o isomorsmu Necht' f : A! B je homomorsmus algeber stejneho typu. Pak f(a) je podalgebra B (tzn. je stejneho typu) a A =ker f ' f(a) f : A! f(a) je podalgebra B (viz poznamka 1.3) podle poznamky 3.3(2.) je = ker f 9g : A =ker f! f(a) podle 3.3(2) ker f = a f je na f(a), potom g je isomorsmus VETA 3.7 Necht' jsou dve kongruence na algebre A. Pak A === ' A = A! A = A! A = Vme, ze, ker = Z poznamky 3.3 9g : A =! A = g([a] ) = [a] je homomorsmus dle 3.3 ker g = f([a] ; [b] )j[a] = [b] g to je podle denice = g je na, a tedy dle 1. vety o isomorsmu A ==ker g ' A = a z toho hned plyne tvrzen 22
23 4 Svazy denice Rekneme, ze relace na M je usporadan, pokud je reexivn, transitivn a slabe antisymetricka, neboli prklady a b&b a ) a = b P(X) - potence na X, pak je usporadan Z a "standardni" na N relace "j" je taktez usporadan Id na M - extremn prpad denice Necht' je usporadan na M 6= ; a A M. Rekneme, ze m 2 A je nejvets (nejmens) prvek A, pokud 8a 2 A : a m (m a) denice Rekneme, ze sup (A) (resp. inf (A) 2 M) je supremum (resp. inmum) mnoziny A, pokud sup (A) je nejmens prvek z mnoziny fm 2 Mja m 8a 2 Ag. Inmum je nejvets doln zavora denice Rekneme, ze dvojice (M; ) je svaz, pak existuje sup (fa; bg) a inf (fa; bg) pro (kazda dve) a; b 2 M denice O svazu (M; ) rekneme, ze je uplny, existuje-li supremum i inmum pro kazdou (i nekonecnou) podmnozinu M denice Zavedeme binarn operace _ a ^ na M predpisem a; b 2 M a ^ b = inf (fa; bg) a _ b = sup (fa; bg) poznamka 4.1 8a; b; c 2 M: (S1) komutativita (S2) idempotence a ^ b = b ^ a a _ b = b _ a a ^ a = a = a _ a 23
24 (S3) asociativita (S4) absorbce a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c a _ (b _ c) = (a _ b) _ c a ^ (b _ a) = a a _ (b ^ a) = a (S1) a (S2) jsou trivialn (S3) stac dokazat, ze a ^ (b ^ c) =? inf (fa; b; cg) (= c ^ (a ^ b)) {z } =:i z denice i a; i b; i c i (b ^ c) i a ^ (b ^ c) a ^ (b ^ c) a a ^ (b ^ c) (b ^ c) b a ^ (b ^ c) (b ^ c) c slaba antisymetrie a ^ (b ^ c) i ) a ^ (b ^ c) = i Pujdeme-li z druhe strany, tak to taky vyjde, cmz mame existenci (S4) a ^ (b _ a) a a a (reexivita) a b _ a (horn odhad)) a a ^ (b _ a) Tedy ze slabe antisymetrie a = a ^ (b _ a) poznamka 4.2 Necht' M(^; _) je algebra s dvojic binarnch operac splnujcch podmnky (S1)-(S4). Denujeme na M relaci predpisem a b def: a _ b = b Pak (M; ) je svaz a a ^ b = inf (fa; bg) a a _ b = sup (fa; bg) 24
25 tm je dokazana reexivita (S1)a ^ a = a (S1)a _ a = a ) a a a b b c ' b = a _ b c = b _ c c = (a _ b) _ c S3 = a _ (b _ c) = a _ c {z } =c Neboli a c a tm je hotov transitivity a b; b a ) b = a _ b S1 = b _ a = a A to je presne slaba symetrie Neboli takto denovana relace tvor usporadan na M Dale a ^ b = a ^ (a _ b) S1 = a ^ (b _ a) S4 = a Touto rovnost je dokazan vztah a b, a = a ^ b Dale budeme predpokladat (c d ) c = c ^ d) (a ^ b) ^ a S1 = a ^ (a ^ b) S3 = (a ^ a) ^ b S2 = a ^ b tj. (a ^ b) a, pro (a ^ b) ^ a dostanu podobnym postupem a ^ b b, tj. a ^ b je dolnm odhadem pro fa; bg Vezmu c a; b, c = c ^ a c ^ (a ^ b) S3 = (c ^ a) ^ b = c ^ b = c ) c (a ^ b) To znamena, ze a ^ b je nejvets v mnozine dolnch odhadu, a ^ b pak mus byt inmum fa; bg. dusledek (S; )! S(^; _)! (S; ~) )= ~ S(^; _)! (S; )! S(^; _) ) ^ = ^; _ = ^ Dky tomu mame jednoznacnou korespondenci svazu a pruseku+sloucen. Dale budeme svazem nazyvat i algebry S(^; _) splnujcm (S1)-(S4). VETA 4.3 Kazdy uzaverovy system je uplnym svazem S(C; ), B C sup B [! [ = cl C ( B) = cl C B B2B inf B \ = B \ = B B2B 25
26 plyne ihned z vlastnost uzaveroveho systemu znacen Vezmu svaz (S; ). Rekneme, ze a pokryva b, a; b 2 (a < b), pokud b 6= a, b a, b c a ) b = c _ a = c: Necht' f resp. g 2 S je nejvets resp. nejmens prvek S, potom a resp. b nazveme atomem resp. koatomem svazu S, pokud f < a resp. b < e Hasseovym diagramem svazu nazvu orientovany graf s vrcholy S. Mezi a a b bude hrana vedouc od a k b, pokud a < b poznamka 4.4 Je-li S(^; _) svaz, pak S(_; ^) je take svaz Plyne hned z 4.1 a 4.2. poznamka 4.5 Necht' (S; ) je svaz a a; b; c 2 S. Pokud a c, potom a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c a (a _ b) a a c, tedy a (a _ b) ^ c b ^ c b a _ b a b ^ c c, tedy (b ^ c) (a _ b) ^ c Tedy a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c denice O svazu S(^; _) rekneme, ze je modularn, pokud plat 8a; b; c 2 S a c ) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c denice Necht' je usporadan na A a na B. Rekneme, ze zobrazen f : A! B je monotonn, pokud a 1 a 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). poznamka 4.6 Necht' f : A! B je homomorsmus svazu A(^; _) a B(^; _). Potom f je monotonn. Necht' a 1 a 2 (, a 2 = a 1 _ a 2 ). f(a 2 ) = f(a 1 _ a a2 ) homomorfismus = f(a 1 ) _ f(a 2 ) Podle denice potom f(a 1 ) f(a 2 ) poznamka 4.7 Necht' f : A! B je bijektivn zobrazen dvou svazu (A; ) a (B; ). Pak f je isomorsmus svazu, f i f 1 jsou monotonn zobrazen 26
27 " ) " f; f 1 jsou isomorsmy, tedy podle poznamky 4.6 jsou obe zobrazen monotonn f; f 1 stac ukazat, ze f je slucitelne s _, zbytek uz plyne ze symetri. Necht' a; b 2 A. Necht' a a _ b, b a _ b. Zobrazen f je monotonn, takze mame ) f(a) _ f(b) {z } nejmens{ horn{ odhad f(a) f(a _ b) f(b) f(a _ b) Dale necht' d = f(a) _ f(b). f(a) d a f(b) d, vme ze f 1 jsou monotonn Opet pouzijeme monotonnost f Dky slabe symetrii, (1) a (2) Neboli f je slucitelne s _ f(a _ b) {z } (1) nejaky horn{ odhad a = f 1 (f(a)) f 1 (d) b = f 1 (f(b)) f 1 (d) a _ b f 1 (d) f(a _ b) f f 1 (d) = d = f(a) _ f(b)(2) f(a _ b) = f(a) _ f(b) " ( " poznamka 4.8 Necht' C je uzaverovy system lez v mnozine vsech ekvivalenc na A. Necht' N je nejaky podsystem P(A) a e 2 A tak, ze 2 C ) [e] 2 N N 2 N ) 9ekvivalence 2 C, ze N = [e] =rho [e] [e] pro ; 2 C ) Pak N je uzaverovy system (a tudz svaz) a zobrazen ' : C! N dane predpisem '() = [e] je svazovy isomorsmus. 27
28 A = [e] A A A A 2 C, A A je ekvivalence a to ta nejets, takze lez v C. A = faj(e; a) 2 A Ag 2 N (to plat z prvnho predpokladu) Necht' N i 2 N i 2 I, potom s vyuzitm druheho predpokladu 9 i 2 C N i = [e] i VETA 4.9 Nevht' G( ; 1 ; 1) je grupa, pak svaz vsech kongruenc na G je isomorfn svazu vsech normalnch podgrup G (s usporadanm ) \ i2i = \ i2i [e] i = fa 2 Aj(e; a) 2 i 8i 2 Ig = [e]ti2i i 2 N T i 2 C, nebot' C je uzaverovy system Je ' bijekce? dobre denovane zobrazen je to na 8N 2 N prirad [e] [e] ) - a stejne pro =; Tedy ano, ' je bijekce '; ' 1 je prmo z denice monotonn 4:7 ) ' je isomorsmus svazu. Dukaz Necht' C jsou vsechny kongruence na G 2 C ) [1] 2 N kde N jsou vsechny normaln podgrupy G Z 4.8 evidentne plat [1] [1], (a; b) 2 1:14 ) a b 1 2 [1] [1], (a; b) 2 Tedy z 4:8 je N uzaverovy system a ' je isomorsmus denice Necht' A; B jsou mnoziny a : P(A)! P(B), : P(B)! (P )(A). Rekneme, ze ; tvor Galiosovu korespondenci, plat-li 8A 1 ; A 2 2 P(A); B 1 ; B 2 2 P(B) (1) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) B 1 B 2 ) (B 1 ) (B 2 ) (2) A 1 (A 1 ); B 1 (B 1 ) 28
29 poznamka 4.10 Necht' : P(A)! P(B) a : P(B)! P(A) je Galoisova korespondence. Pak (respektive ) je uzaverovy operator na P(A) (resp. na P(B)). Necht' A resp B je uzaverovy sysem na A resp. B prslusny resp.. Dale (A) B, (B) A. Restrikce resp. na A resp B (oznacme je 0 : A! B, 0 : B! A) jsou vzajemne inverzn bijekce nejdrve dokazme, ze je uzaverovy operator ( symetricky) (2) ) A 1 (A 1 ) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) ) (A 1 ) (A 2 ) Tm je dokazana monotonie?(()()) (A 1 )? = (A 1 )? (A 1 ) (2) ((A 1 )) B 1 = (A 1 ) (2) ((A 1 )) (1 ) (A 1 ) (A 1 ) Tedy mame uzaverove systemy?(a) B? (symetricky (B) A) Necht' A 1 2 A ) (A 1 ) = A 1 A = fa 1 2 P(A)j(A 1 ) = A 1 g B = fb 1 2 P(B)j(B 1 ) = B 1 g ( ((A 1 ))) = ((A 1 )) = (A 1 ) ) (A 1 2 B) 0 0 : B! B? = Id B 0 0 : A! A? = Id A Jinymi slovy to znamena, ze 0 a 0 jsou bijekce a jsou k sobe vzajemne inverzn 5 Grupy 0 0 (B) 1 ) = (B 1 ) predpoklad = B 1 ) 0 0 = Id B denice G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud je asociativ binarn operace, 1 je unarn a a 1 = a 1 a = 1 a 1 je neutraln prvek poznamka 5.1 Je-li f zobrazen dvou grup slucitelne s binarn operac, pak f je homomorsmus 29
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceALGEBRA I PRO INFORMATIKY
ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Uvod Tento text si klade za cl seznamit studenty informatiky s nejzakladnejsmi pojmy, koncepty a v neposledn rade i konkretnmi objekty, ktere jsou predmetem zkouman soucasne algebry.
VíceALGEBRA I PRO INFORMATIKY
ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Uvod Tento text si klade za cl seznamit studenty informatiky s nejzakladnejsmi pojmy, koncepty a v neposledn rade i konkretnmi objekty, ktere jsou predmetem zkouman soucasne algebry.
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Více3. Algebraické systémy
Markl: 3.1. Morfismy a kongruence /ras31.doc/ Strana 1 3. Algebraické systémy Na rozdíl od klasické algebry, jejíž ústředním tématem jsou rovnice a potřebný aparát pro jejich řešení /matice, polynomy,.../,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceALGEBRA I PRO INFORMATIKY. Obsah
ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Obsah 1. Předmět(y) zkoumání 1 2. Základy elementární teorie čísel 4 3. Asociativní binární operace 8 4. Grupy, podgrupy a homomorfismy 10 5. Klasifikace cyklických grup 14 6.
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceStřípky z LA Letem světem algebry
Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více1. Pologrupy, monoidy a grupy
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceAlgebra. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence
Algebra 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Def.: množina,zobrazení «: Ò,kde Ò ¾ 0 1 jen-árníoperace(òjearita). Def.: «¾ ÁoperacearityΩ na,pak («¾ Á)jealgebra. Def.:mn. jeuzavřenánaoperaci «,když 1 Ò
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceALGEBRA II PRO INFORMATIKY
ALGEBRA II PRO INFORMATIKY Obsah 1. Booleovy okruhy 1 2. Delitelnost v komutativnch monoidech s kracenm 3 3. Obory hlavnch idealu 6 4. Okruhy polynomu 9 5. Korenova nadtelesa 13 6. Minimaln polynomy algebraickych
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VíceCyklické grupy a grupy permutací
Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry
ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory
VíceALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení
ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VíceAlgebraické struktury
Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceObsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání
Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceGrupy Mgr. Růžena Holubová 2010
Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceAlgebra II pro distanční studium
Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceALGEBRA I. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností grup se věnujeme jejich
ALGEBRA I JAN TRLIFAJ Tento text pokrývá látku probíranou na přednášce Algebra I (NALG026) pro druhý ročník bakalářského studia obecné matematiky. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
VíceMarkl: 3.2.Grupoidy /ras32.doc/ Strana 1
Markl: 3.Grupoidy /ras3doc/ Strana 1 3. Grupoidy V této kapitole se budeme zabývat algebrami s jediným nosičem a jedin ou základní /výchozí/ binární operací. Pokud má tato operace vlastnost JE / viz definice
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceMnožina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceMatice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
Více