ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence"

Transkript

1 ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A 0 = f g, je to vlastne vyber prvku 1-arn operace - unarn 2-arn operace - binarn 3-arn operace - ternaln denice Necht' A je mnozina, i ; i 2 I a to i nekonecna; jsou (n i -arn) operace. Pak A( i j i 2 I) nazveme (universaln) algebrou. prklady N(+; ) Z(+; ; ) Q n f0g( ; =) <(+; ; ) <(+; ; p ) denice Necht' A je mnozina s n-arn operac a B A. Rekneme, ze B je uzavrena na operaci, pokud 8b 1 ; :::; b n 2 B plat, ze (b 1 ; :::; b n ) 2 B. Je-li A( i ; i 2 I) algebra a B A, pak rekneme, ze B je podalgebra A( i ; i 2 I), pokud je B uzavrena na vsechny i ; i 2 I prklady N(+; ) - k 2 B, potom kn = fknjn 2 Ng jsou podalgebry N(+; ) Overen: Necht' b 1 ; b 2 2 kn 1. b 1 + b 2 2 kn 2. b 1 b 2 2 kn Z(+; ; 0) ma podalgebry kz = fk rjr 2 Zg (a zadne jine). Je dulezite si rozmyslet uzavrenost na nularn operaci 0 1

2 Vektorovy prostor U(+; tjt 2 T; 0) nad telesem T t : U! U, u! u t W je podprostor U, W je podalgebra U(+; t; 0) A( i ji 2 I) je algebra, potom A je podalgebra A Pokud zadna operace algebry A nen nularn, potom ; je podalgebrou A skorodenice Je-li A( i ji 2 I) algebra a B jej podalgebra, pak i = i db ni : B ni! B - mame prirozene danou strukturu na B prklady Q(+; ), Z Q je podalgebra algebry Q(+; ) restrikce! Z(+; ) Necht' M n (T ) jsou ctvercove matice radu n nad telesem T. Vezmeme algebru M 2 (<)( ), potom diagonaln matice D(<)( ) tvor podalgebru M 2 (<)( ). poznamka Necht' A je mnozina s operac a necht' A j, j 2 J je system podmnozin A uzavrenych na. Pak T j2j A j je opet uzavrena na 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra a A j ; j 2 J jsou jej podalgebry. Pak T j2j A j je podalgebra 1. je n-arn operace 8j 2 j : (a 1 ; a 2 ; :::; a n ) 2 \ j2j A j A j Podle predpokladu (a 1 ; :::; a n ) 2 A j 8j ) (a 1 ; :::; a n ) 2 T A j 2. A j jsou uzavrena na i 8i 2 I; j 2 J Podle 1. je T j2j A j uzavrena na i 8i 2 I, tedy je uzavrena na vsechny operace na algebre A( i ji 2 I), a proto je T j2j A j podalgebra A( i ji 2 I) denice Necht' A a B jsou mnoziny s n-arn operac a f : A! B. Rekneme, ze f je slucitelne s, pokud 8a 1 ; a 2 ; :::; a n 2 A B (f(a 1 ); f(a 2 ); :::; f(a n )) = f ( A (a 1 ; :::; a n )) denice Rekneme, ze algebra A(i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou stejneho typu pokud i na A i na B jsou stejne arity 8i 2 I 2

3 denice Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Pak zobrazen f : A! B je homorsmus, pokud je f slucitelna se vsemi i. poznamka Necht' A, B, C jsou mnoziny s n-arn operac, f : A! B, g : B! C jsou zobrazen slucitelna s. Pak g f : A! C je slucitelne s. Je-li f bijekce, potom f 1 je opet slucitelne s. 2. Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I), C( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a f : A! B, g : B! C jsou homomorsmy. Pak g f : A! C je opet homomorsmus. Je-li navc f bijekce, pak f 1 je take homomorsmus. 1. Vezmeme a 1 ; ::::; a n 2 A g(f((a 1 ; :::; n ))) sluc: f s = g((f(a 1 ); :::; f(a n ))) = sluc: g s = (g(f(a 1 )); :::; g(f(a n ))) f bijekce... f 1 je zobrazen B! A, b 1 ; b 2 ; :::; b n 2 B a chceme dokazat f 1 ( B (b 1 ; :::; b n ))? = A (f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n )) f A Tedy vezmeme f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) def: = B f f 1 (b 1 ) ; :::; f f 1 (b n ) f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) = f 1 f A b 1 ; :::; f 1 (b n ) Podle radku pred tm se toto rovna f 1 ((b 1 ; :::; b n )) Tedy i inverzn zobrazen je slucitelne s. 2. Podle prvnho bodu je g f slucitelne s i 8i 2 I, tedy g f je homomor- smus. f 1 je podle bodu 1. slucitelne se vsemi i, a tedy je take homomorsmus. denice Jsou-li A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) algebry stejneho typu a f : A! B je bijektivn homomorsmus, pak mluvme o isomorsmu. A a B jsou isomorfn algebry, pokud mezi nimi existuje isomorsmus. poznamka Dve isomorfn algebry maj "stejne algebraicke vlastnosti" (tj, logicke operace, mnozinove operace a vlastnosti algeber) 3

4 poznamka Necht' A a B jsou mnoziny s operac a C A; D B jsou uzavrene na. Je-li f : A! B slucitelne s, pak f(c) je (opet) uzavrene na v B a f 1 (D) = fa 2 Ajf(a) 2 Dg je uzavrena na v A 2. Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a C A, D B podalgebry prslusnych algeber. Je-li f : A! B homomorsmus, pak f(c) B a f 1 (D) A jsou podalgebry 1. je n-arn operace, je na ni f(c) uzavrena? b 1 ; ::; b n 2 f(c) 9a 1 ; :::; a n 2 C : f(a i ) = b i 8i 2 I (b 1 ; :::; b n ) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) = f((a 1 ; :::; a n )) Vme, ze C je uzavrena na, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 C, f((a 1 ; :::; a n )) 2 f(c) Dale a 1 ; :::; a n 2 f 1 (D) f(a i ) 2 D Lez f((a 1 ; :::; a n )) v mnozine D? f((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) {z } 2D To mus z uzavrenosti D na lezet v D, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 f 1 (D) 2. stac aplikovat 1. na i 8i prklady 1. linearn zobrazen f : U! V, kde U; V jsou vektorove prostory nad telesem T, jsou homomorsmy algebry U(+; tjt 2 T ) a V (+; tjt 2 T ) 2. ctvercove matice nad telesem T - M n (T ). Determinant : M n (T )! T je homomorsmus algebry M n (T )( ) a T ( ) 3. n : Z! Z n : n (k) = k mod n. Pak n je homomorsmus algebry Z(+; ) do algebry Z n (+; ) denice Rekneme, ze je relace na mnozine A, pokud A A. Necht' je relace na A, potom = f(b; a) 2 A Aj(a; b) 2 g je opacna relace + = f(a; b) 2 A Aj9a 1 ; :::; a n 2 A : a 1 = a; a n = b; (a i ; a i+1 ) 2 i = 1; :::; n 1g je transitivn obal id = f(a; a) 2 A Aja 2 Ag je identita 4

5 denice Rekneme, ze relace je reexivn, pokud id symetricka, pokud transitivn, pokud + ekvivalence, pokud je reexivn, symetricka a transitivn relace. denice Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak mnozina A = = f[a] ja 2 Ag, kde [a] = fb 2 Aj(a; b) 2 g, nazyvame faktor A podle poznamka 1.4 rozklad. Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak A = tvor A = [ f[a] ja 2 Ag a 2 [a] - reexivita, ale ony se prekryvaj x 2 [a] \[b] ) (a; x) 2 ; (b; x) 2 g ) f(x; a) 2 ; (x; b) 2 g ) (a; b) 2 ; (b; a) 2 (a; b) 2, [b] = fy 2 Aj(b; y) 2 g 8y 2 [b] (a; y) 2 ) y 2 [a] tj. [b] [a] symetricky [a] [b], tedy [a] = [b]. Obsahuj-li 2 trdy spolecny prvek, potom splyvaj, jestlize neobsahuj ani jeden prvek, pak jsou disjunkntn poznamka 1.5 Necht' fb i ji 2 Ig je rozklad mnoziny A. Pak relace na A denovana predpisem (a; b) 2 def 9i 2 I : a; b 2 B i je ekvivalence a A = = fb i ji 2 Ig 1. je ekvivalence a 2 B i pro nejake i 2 I ) (a; a) 2 - reexivita (a; b) 2 ) 9i a; b 2 B i ) (b; a) 2 - symetrie (a; b) 2 &(b; c) 2 ) 9i; j a; b 2 B i &b; c 2 B j. Protoze to je disjunktn rozklad, B i = B j, a tedy a; c 2 B j - transitivita 5

6 2. Dokazeme A = fb i ji 2 Ig "" def: [a] a 2 B i, [a] = fb 2 Ajb 2 B i g = B i [a] B i "" B i [a] vezmu libovolny prvek a zjistm, ze to dela rozkladovou trdu denice Necht' f : A! B je zobrazen. Pak jadrem f nazveme relaci ker f danou predpisem (a 1 ; a 2 ) 2 ker f def f(a 1 ) = f(a 2 ). Je-li ekvivalence na mnozine A, pak o zobrazen : A! A = dane formul (a) = [a] rekneme, ze je to prirozena projekce podle poznamka 1.6 plat Necht' f : A! B je zobrazen a je ekvivalence na A. Pak 1. ker f je ekvivalence 2. f je proste, ker f = id 3. ker = 4. zobrazen g : A =! B s vlastnost g = f existuje prave tehdy, kdyz ker f 1. reexivita: f(a) = f(a) ) (a; a) 2 ker f symetrie: f(a 1 ) = f(a 2 ); f(a 2 ) = f(a 1 ), tj. (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) (a 2 ; a 1 ) 2 ker f transitivita: (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) f(a 1 ) = f(a 2 ) = f(a 3 ) ) (a 1 ; a 3 ) 2 ker f 2. a stejne tak opacne a 1 6= a 2 ) f(a 1 ) 6= f(a 2 ) ) (a 1 ; a 2 ) =2 ker f 6

7 3. (a 1 ; a 2 ) 2 ker, (a 1 ) {z } [a 1] = (a 2 ), (a {z } 1 ; a 2 ) 2 [a 2] Predpokladame existenci g : g = f, tj. 8a 2 A g (a) = f(a) {z } [a] ) g([a] ) = f(a) Predpokladejme a; b 2 ) [a] = [b]. Pak Tedy a, b lez v jadru f(a) = g ([a] ) = g ([b] ) = f(b) 4. ")" "(" Predpokladame ker f Denujeme Je tato denice korektn g ([a] ) = f(a) [a] = [b] ) (a; b) 2 ker f...prvky se slepuj podle denice jadra f(a) = f(b) Zrejme g = f g ([a] ) = f(a) = f(b) = g ([b] ) prklad Deterministicky algoritmus f, A je mnozina vstupnch hodnot, B je mnozina moznych vystupnch hodnot f : A f! B, Potom ker f je zcela prirozene denovana ekvivalence: ztotoznuje vstupy, ktera daj stejny vysledek denice Necht' je n-arn operace na A, je ekvivalence na A. Rekneme, ze je slucitelna s, pokud (a i ; b i ) 2 i = 1; :::; n ) (a 1 ; :::; a n )(b 1 ; :::; b n ) Je-li A( i ; i 2 I) algebra a je ekvivalence na A, pak je kongruence na A, pokud je slucitelna s i ; 8i 2 I poznamka Necht' A; B jsou mnoziny, je operace na A; B a f je zobrazen A! B slucitelne s, Pak ker f je slucitelna s 2. Necht' A; B jsou algebry stejneho typu a f je homomorsmus A! B. Potom ker f je kongruence 7

8 1. (a i ; b i ) 2 ker f ) f(a i ) = f(b i ) 8i = 1; :::; n f ((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ; :::; a n )) = = (f(b 1 ; :::; b n )) = f ((b 1 ; :::; b n )) tj. ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 ker f Podle poznamky 1.6(1.) je ker f ekvivalence 2. plyne z 1. VETA Necht' je ekvivalence na A, je operace na A. Pak je slucitelna s prave kdyz je slucitelna s 2. Necht' je ekvivalence na algebre A. Pak je kongruence, je homomorsmus denice k 1.8 operaci na A = Necht' A ke mnozina s ekvivalenc a relac. Denujeme ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] Na mnozine A = denujeme stejnym zpusobem algebru stejneho typu jako na A za predpokladu, ze A je algebra. Koreknost denice [a 1 ] = [b 1 ] ; :::; [a n ] = [b n ] ) (a 1 ; b 1 ). (a n ; b n )! [(a 1 ; :::; a n )] = [(b 1 ; :::; b n )] neboli je slucitelne s, pro algebry je denice korektn prave tehdy, kdyz je kongruence. Dukaz vety 1.8 je slucitelna s, potom je dobre denovana na A =.??? Je : A! A = slucitelna s??? ")" ((a 1 ; :::; a n )) def = [(a 1 ; :::; a n )] = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = ( (a 1 ); :::; (a n )) tj. je slucitelne s 8

9 "(" Je-li slucitelne s... ker =, potom je korektne denovano, tedy ker je slucitelne s ) je slucitelne s... a druhy bod se dokaze pouzitm prvnho bodu na vsechny operace algebry. denice Grupoidem nazveme algebru G( ) s binarn operac. Prvek e nazveme neutralnm prvkem grupoidu G( ), pokud e g = g e = g 8g 2 G Rekneme, ze algebra M( ; e) je monoid, pokud je asociativn binarn operace a e je neutraln prvek M( ) prklady X 6= ;...mnozina znaku, M(X) mnozina slov na abecede X operace x 1 x 2 :::x n y 1 :::y m = x 1 :::x n y 1 :::y m e je prazdne slovo Potom M(X)(; e) je monoid X 6= ;, T (X) = ff : X! Xjf zobrazeng, potom T (X)(; id X ) je monoid T -telesom M n (T )-ctvercove matice nad T. M n (T )( ; I n ) je monoid det : M n (T )! T je homomorsmus monoidu M n (T )( ; I n ) a T ( ; 1) Poznamka 1.9 Necht' G( ) je grupoid. Pak na G existuje nejvyse jeden neutraln prvek. Dukaz Potom Pro spor necht' f; g 2 G jsou 2 ruzne neutraln prvky. e = e f = f poznamka 1.10 Necht' M( ; e) je monoid, necht' a; b; c 2 M tak, ze e = a b = c a, pak b = c c = c e = c (a b) asoc: = (c a)b = e b = b denice Je-li M( ; 1) monoid, potom prvek m 1 nezveme inverznm prvkem, pokud m m 1 = m 1 m = 1. Prvek je invertibiln, existuje-li j nemu inverzn prvek. 9

10 prklady M(X) obsahuje pouze jeden invertibiln prvek, a to prazdne slovo. v T (X) jsou invertibiln prave bijekce X nekonecna... 9f 2 T (X) pro nej najdeme nejake g 2 T [x] : g f 2 Id, ale f nen invertibiln naprklad f : N! N n! 2n g : N! N n! d n 2 e g(f(x)) = Id, ale f(g(x)) nen na, protoze f nen na. denice Podmonoidem nazveme podalgebru monoidu M( ; 1) poznamka 1.11 Necht' M( ; 1), pak M mnozina vsech invertibilnch prvku tvor podmonoid, navc kazdy inverzn prvek k nejakemu invertibilnmu prvku je tez invertibiln Dukaz M = fm 2 Mj9n 2 M : n m = m n = 1g 1 1 = 1, tj. 1 je inverzn sama k sobe ) 1 2 M (uzavrenost na operaci "1") Necht' a; b 2 M, tj. 9c; d 2 M Tedy a c = c a = 1 b d = d b = 1 {z} a (a b) (d c) asoc: = a (b d) c = a 1 c = a c = 1 (d c) (a b) = d (c a) b = d b = 1 Tedy (a b) 2 M a tm jsme overili uzavrenost na m 2 M 9n n m = m n = 1 neboli m je inverznm prvkem pro n denice Rekneme, ze G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud G( ; 1) je monoid a 1 je unarn operace inverznho prvku 1 : G! G 8g 2 G : g g 1 = g 1 g = 1 10

11 poznamka 1.12 Necht' M( ; 1) je monoid, M mnozina vsech invertibilnch prvku, d M : M M! M m d M n = m n m; n 2 M a 1 prirad kazdemu prvku z M inverz. Potom M ( d M ; 1 ; 1) je grupa. z denice grupy a poznamky 1.11 prklady T (x)(; Id) - monoid, podle 1.12, (T (x)) = S(x) vsechny bijekce, pak S(x)(; 1 ; Id) je grupa, specielne S(f1; :::; ng) jsou permutace na f1; :::; ng M n (T )( ; I n ) GL n (T )( ; 1 ; I n ) je grupa, kde GL n (T ) jsou invertibiln matice nad telesem T denice Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Rekneme, ze H G je podgrupa grupy G( ; 1 ; 1), pokud H je podalgebra algebry G( ; 1 ; 1) Rekneme, ze podgrupa H je normaln, plat-li 8g 2 G 8h 2 H : g h g 1 2 H Rekneme, ze grupa je komutativn, je-li jej binarn operace komutativn poznamka 1.13 Vsechny podgrupy komutativn grupy jsou normaln Necht' G( ; 1 ; 1) je komutativn grupa, H je podgrupa G, g 2 G, h 2 H prklad g h g 1 komut: = g g 1 h = 1 h = h 2 H S (f1; 2; 3g) ( ; 1 ; Id) fid; (12)g je podgrupa... (13) (12) (13) {z } 1 = (23) =2 H, tj. H nen normaln (31) VETA 1.14 Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Pak je kongruence na grupe G( ; 1 ; 1) prave tehdy, kdyz [1] je normaln podgrupa (g; h) 2, g 1 h 2 [1] 11

12 ")" [1] je podgrupa { (1; 1) 2 - reexivita ) 1 2 [1] - uzavrenost na 1. { h 2 [1] tzn. (1; h) 2, a protoze je slucitelna s 1 - uzavrenost na ; h 1 {z} 1 A 2 ) h 1 2 [1] { h 1 ; h 2 2 [1] tzn. (1; h 1 ) 2 a (1; h 2 ) 2, a protoze je slucitelna s, tedy ; h 1 h 2 A 2 ) h1 h 2 2 [1] - uzavrenost na {z} 1 [1] je normaln Necht' g 2 G, h 2 [1], tedy (1; h) 2. je ekvivalence, tedy (g; g) 2 a (g 1 ; g 1 ) 2 Vme, ze je slucitelna s, takze Tedy (g 1; g h) 2 &(g 1 g 1 ; g h g 1 ) 2 {z } 1 g h g 1 2 [1] (g; h) 2, (g 1 ; g 1 ). Protoze je slucitelne s (g 1 g {z } =1 ; g 1 h) 2 ) g 1 h 2 [1] g 1 h 2 [1] tj. (1; g 1 h) 2, ale je kongruence, takze (g; g) 2, a protoze je slucitelna s (g 1; g g 1 h) = (g; h) 2 H je normaln podgrupa : (g; h) 2 def tedy 1 2 H? ekvivalevnce? "(" g 1 h 2 H, kazda podgrupa je uzavrena na 0-arn operaci, 12

13 { (reexivita) g 1 g = 1 2 H ) (g; g) 2 ) g 1 h 2 H, pak (g 1 h) 1 2 H, kvuli uzavrenosti na 1. (g 1 h) 1 = h 1 (g 1 ) 1 = h 1 g def ) (h; g) 2 { (symertie) (g; h) 2 def { (transitivita) (g; h) 2 ; (h; r) 2 def ) g 1 h 2 H; h 1 r 2 H, a protoze H je uzavrena g 1 r = (g 1 h) (h 1 r) 2 H def ) (g; r) 2?slucitelnost se vsemi operacemi? 1 2 H { (1; 1) 2, nebot' je reexivn { (g; h) 2 {z } 1 def ) g 1 h 2 H H normaln{ ) g (g 1 h) g 1 = hg 1 = (h 1 ) 1 g 1 2 H Tedy je slucitelne s 1 { (g 1 ; h 1 ); (g 2 ; h 2 ) 2 ) (h 1 ; g 1 ) 2 ) (g 1 ; h 1 ) 2 def ) g 1 1 h 1 ; g 1 2 h 2 2 H H normaln{ ) h 2 g 1 2 = g 2 g 1 2 h 2 g H ) g 1 2 g 1 H normaln{ 1 h 1 h 2 g 1 2 g 2 2 H {z } ) (g 1 g 2 ) 1 (h 1 h 2 ) 2 H ) (g 1 g 2 ; h 1 h 2 ) 2 [1] = h 2 Hj(1; h) 2 (tj: h = 1 1 h 2 H) 1 znacen Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa, H je kongruence, H = [1] H (toto jednoznacne denuje tu kongruenci). G = ( ; 1 ; [1] H ) se obvykle znac G =H ( ; 1 ; [1] H ) Prklady Z(+; ; 0) je komutativn grupa. nz...nsechny celocselne nasobky n! podgrupy Z(+; ; 0), ktere jsou podle 1.13 normaln. Regularn matice GL n (T )( ; 1 ; I n ) Normaln podgrupou jsou naprklad konstantne diagonaln matice (vsechny prvky na diagonale jsou stejne) nebo matice se stejnym determinantem S n...permutace na f1; :::; ng A n - sude permutace tvor normaln grupu G( ; 1 ; 1) je grupa, pak [1], G jsou trivialn normaln grupy. 13

14 2 Uzaverove systemy na algebre denice Rekneme, ze C P(A) je uzaverovy system na mnozine A, pokud (1) A 2 C (2) B C ) T B = T B2B B 2 C denice Je-li C uzaverovy system, pak je uzaver mnoziny B A cl C (B) = \ fc 2 CjB Cg denice Zobrazen : P(A)! P(A) nazveme uzaverovym operatorem, pokud (1) B (B) 8B A (2) ((B)) = (B) (3) B C A! (B) (C) (monotonie) prklad V...vektorovy prostor, V...vsechny podprostory V. V je uzaverovy system: X V cl V (X) = L poznamka Necht' A je mnozina s operac. Pak vsechny podmnoziny uzavrene na tvor uzaverovy system na A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny podalgebry tvor uzaverovy system na A. 1. viz. poznamka 1.1, (2) z denice 2. vlastnost (1), A je trivialne uzavrena na VETA Necht' C je uzaverovy system na A. Pak uzaver cl C je uzaverovy operator. 2. Necht' : P(A)! P(A) je uzaverovy operator na mnozine A. Potom C = fc 2 P(A)j(C) = Cg je uzaverovy system a cl C = 14

15 1. C...uzaverovy system Nejdrve overme axiom (1) \ cl C (B) = fc 2 CjB Cg 8C:BC ) B cl C (B) (2) prvn inkluze je trivialn druha je jiz trosku tezs cl C (cl C (B)) (1) cl C (B) 2 C cl C (B) 2 fc 2 Cjcl C (B) Cg cl C (B) \ fc 2 Cjcl C (B) Cg = cl C (cl C (B)) B 1 B 2 A fc 2 CjB 1 Cg fc 2 CjB 2 Cg cl C (B 1 ) = \ fc 2 CjB 1 Cg \ fc 2 CjB 2 Cg = cl C (B 2 ) 2....uzaverovy operator Je C = fc 2 P(A)j(C) = Cg uzaverovy system? A (A) A ) A = (A) ) A 2 C C i 2 C i 2 I (C i ) = C i \ i2i C i \ i2i \ i2i C i! C i C j j 2 I ) \ i2i C i! (C j ) = C j 8j 2 I \ i2i \ i2i C i! C i! \ j2i C j = [ i2i ) \ C i 2 C tj. C je uzaverovy system 15

16 3. = cl C, dokazeme 8B (B) = cl C (B) 4.?(B) cl C (B)? ((B)) = (B) ) (B) 2 C B (B) ) cl C (B) cl C (B) = \ fc 2 PjC = (C) & B Cg B C ) (B) (C) = C ) (B) vsech takovych mnozin, tedy je i v jejich pruniku, a tedy (B) cl C (B) To jest (B) = cl C (B) 8B 2 A prklad Z(+; ; 0), n i 2 N, n i Z = fn i zjz 2 Zg. Potom \ i2z n i Z = gcd(n 1 ; :::; n k )Z Neboli lez v uzaverovem systemu vsech podgrup poznamka 2.3 P Vsechny uzaverove systemy na A tvor uzaverovy system na P(A) je trivialne uzaverovy system. C i - uzaverove systemy na A, i 2 I B \ C i ) B C i 8i 2 I Ci uz: system ) \ B 2 Ci 8i 2 I ) \ B 2 \ i2i C i poznamka 2.4 Necht' A B jsou uzaverove systemy na A a C D A. Pak cl B (C) cl A (D) 16

17 fb 2 BjC Bg fa 2 AjC Ag (tato inkluze plyne z velikosti mnozin) ) cl B (C) = \ fb 2 BjC Bg \ fa 2 AjC Ag = cl A (C) z denice a (2.2) ) cl A (C) cl A (D) cl B (C) cl A (C) cl A (D) poznamka 2.5 Vsechny reexivn (symetricke, transitivn) relace i ekvivalence na mnozine A tvor uzaverove systemy na A A R... vsechny reexivn relace na A S... vsechny symetricke relace na A T... vsechny transitivn relace na A E... vsechny ekvivalence na A E = R \ S \ E A A 2 E(R; S; T ), tm je overena prvn podmnka uzaveroveho systemu i 2 R i 2 S (a; b) 2 \ i2i i 2 T id i 8i 2 I ) id \ i2i i 2 R i ) (a; b) 2 i 8i symetrie ) (b; a) 2 i 8i 2 I ) (b; a) 2 \ i 2 S (a; b); (b; c) 2 \ i ) (a; b); (b; c) i 8i 2 I ) (a; c) 2 i ) (a; b) 2 \ i ) \ i 2 T E je prunik uzaverovych systemu a vsechny uzaverove systemy na mnozine tvor uzaverovy system. Proto E mus byt tez uzaverovy system. 17

18 poznamka Necht' je operace na A. Pak vsechny ekvivalence slucitelne s tvor uzaverovy system na A A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny kongruence na A tvor uzaverovy system na A A 1. A A je trivialne slucitelne s Necht' i je ekvivalence slucitelne s, i 2 I. Potom T i je podle poznamky 2.5 tez ekvivalence Necht' a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A a (a j ; b j ) 2 T i2i i 8j = 1; :::; n ) (a j ; b j ) 2 i 8i 2 I 8j = 1; :::; n ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 i 8i 2 I ) ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 \ i2i i neboli je slusitelna s ekvivelenc vzniklou prunikem ekvivalenc slucitelnych s 2. E i...mnozina vsech ekvivalenc slucitelnych s i tvor uzaverovy system. KOngruence je podle denice slucitelna se vsemi operacemi kongruence= T i2i E i - tedy dle poznamky 2.3 uzaverovy system Necht' je relace na A. Pokud je reexivn (resp. symet-, + je opet reexivn (resp. symetricka) poznamka 2.7 ricka), tak [ Necht' je reexivn id [ id + = f(a; b) 2 A Aja 0 ; :::; a n 2 A; a 0 = a; a n = b; (a i 1 ; a i ) 2 8i 2 1; :::; ng Necht' je symetricka = [ 1 (a; b) 2 + z denice a 0 ; :::; a n 2 A tz. a 0 = a, a n = b, (a i 1 ; a i ) ) ) (a i ; a i 1 ) 2 ) (a n ; a 0 )

19 VETA 2.8 Necht' je relace na A. Potom ( [ id) [ ( [ id) + = ( [ [ id) + je nejmens ekvivalence obsahujc relaci (E-ekvivalence na A, cl E () = ( [ [ id) + ) [ id je reexivn ( [ id) S ( [ id) je reexivn a symetricka relace := (( [ id) S ( [ id) ) + je ekvivalence Dale je treba dokazat jej minimalitu cl E () ( [ id) cl E [ id = cl E () ( [ [ id) ( [ id) 1 cl E () [ cl E ( ) = cl E () + cle () + = cl E () ( [ id) [ ( [ id) denice Necht' A je algebra, A je system vsech podalgeber, X A. Rekneme, ze X generuje (podalgebru) cl A (X) poznamka 2.9 Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Necht' f; g : A! B jsou homomorsmy. Pokud X generuje A a f(x) = g(x) 8x 2 X, pak f = g Y = fy 2 Ajf(y) = g(y)g = X A( i ) f ( i (y 1 ; ::; y n )) = i (f(y 1 ); :::; f(y n ))) = i (g(y 1 ); :::; g(y n )) = g ( i (y 1 ; :::; y n )) ) Y je uzavrena na i 8i 2 I, tj. Y je podalgebra, X Y a X dle predpokladu generuje A, tedy Y = A 19

20 prklady Necht' Z(+; ; 0) je grupa a G(+; ; 0) algebra, obe jsou stejneho typu. Necht' f; g : Z! G jsou homomorsmy {z } n < f1g >= f1 + ::: + 1 jn 2 Ng [ f0g [ f( 1) + ::: + ( 1)jn 2 Ng = Z {z } n M(X) - vsechna slova nad psmeny z X, M(X)( ; e) G( ; e) je nejaky monoid Y G tak, ze < Y >= G < X >= M(X) f; g : M(X)! G( ; e) f(x) = g(x) 8x 2 X 2:9 ) f = g M(Y )( ; e) 9!' : M(Y )! G ' je homomorsmus ker ' - kongruence na M(Y ), '(y) 8y 2 Y 3 Isomorsmy algeber denice Necht' A, B jsou algebry stejneho typu. A ' B (A je isomorfn B), pokud 9f : A! B vzajemne jednoznacny homomorsmus (isomorsmus). poznamka 3.1 Necht' M je mnozina algebra, pak ' tvor ekvivalenci na M. z (1:2) Id : A! A je isomorsmus ) reexivita ', symetrie a transitivita denice Necht' je dvojice ekvivalenc na A. Pak = je relace na A = dana predpisem ([a] ; [b] ) 2 = (a; b) 2 poznamka 3.2 na A = Necht' jsou ekvivalence na A. Pak = je ekvivalence plyne okamzite z reexivity, symetrie a transitivity relace. poznamka 3.3 Necht' A je algebra, bud' kongruence na A obsahujc. Pak je kongruence na A prave tehdy, kdyz = je kongruence na algebre A = 20

21 ")" dle 3.1 = je ekvivalence na A = Necht' je libovolna n-arn operace na A a na A = a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A ([a i ] ; [b i ] ) 2 = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] ([b 1 ] ; :::; [b n ] ) = [(b 1 ; :::; b n )] Vme, ze ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 a podle denice = (([a 1 ] ; :::; [a n ] ); ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = "(" = je kongruence, je ekvivalence ma A. Dokazujeme, ze je slucitelna s Predpokladam a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n (a i ; b i ) 2 ) ([a i ] ; [b i ] ) 2 = dale ( ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) ; ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = tedy dle denice ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 poznamka Necht' f : A! B je zobrazen slucitelne s operac, kde je operace na A a B stejne arity. Necht' je ekvivalence na A slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelne s splnujc podmnku g = f, ker f Navc g je bijekce prave tehdy kdyz = ker f 2. Necht' f : A! B je homomorsmus algeber A, B stejneho typu a je kongruence na A. Pak existuje homomorsmus g : A =! B takovy, ze g = f, ker f Navc g je isomorsmus prave tehdy kdyz g je na a = ker f (veta o homomorsmu) 21

22 1. Podle poznamky zobrazen g : A =! B : g = f ) ker f, chceme dokazeme, ze g ([a] ) = g (a) = f(a) 8a 2 A ")" prmo z poznamky 1.6(4)) ker f "(" vme, ze 9g - zobrazen a chceme dokazat, ze je slucitelne s VETA veta o isomorsmu Necht' f : A! B je homomorsmus algeber stejneho typu. Pak f(a) je podalgebra B (tzn. je stejneho typu) a A =ker f ' f(a) f : A! f(a) je podalgebra B (viz poznamka 1.3) podle poznamky 3.3(2.) je = ker f 9g : A =ker f! f(a) podle 3.3(2) ker f = a f je na f(a), potom g je isomorsmus VETA 3.7 Necht' jsou dve kongruence na algebre A. Pak A === ' A = A! A = A! A = Vme, ze, ker = Z poznamky 3.3 9g : A =! A = g([a] ) = [a] je homomorsmus dle 3.3 ker g = f([a] ; [b] )j[a] = [b] g to je podle denice = g je na, a tedy dle 1. vety o isomorsmu A ==ker g ' A = a z toho hned plyne tvrzen 22

23 4 Svazy denice Rekneme, ze relace na M je usporadan, pokud je reexivn, transitivn a slabe antisymetricka, neboli prklady a b&b a ) a = b P(X) - potence na X, pak je usporadan Z a "standardni" na N relace "j" je taktez usporadan Id na M - extremn prpad denice Necht' je usporadan na M 6= ; a A M. Rekneme, ze m 2 A je nejvets (nejmens) prvek A, pokud 8a 2 A : a m (m a) denice Rekneme, ze sup (A) (resp. inf (A) 2 M) je supremum (resp. inmum) mnoziny A, pokud sup (A) je nejmens prvek z mnoziny fm 2 Mja m 8a 2 Ag. Inmum je nejvets doln zavora denice Rekneme, ze dvojice (M; ) je svaz, pak existuje sup (fa; bg) a inf (fa; bg) pro (kazda dve) a; b 2 M denice O svazu (M; ) rekneme, ze je uplny, existuje-li supremum i inmum pro kazdou (i nekonecnou) podmnozinu M denice Zavedeme binarn operace _ a ^ na M predpisem a; b 2 M a ^ b = inf (fa; bg) a _ b = sup (fa; bg) poznamka 4.1 8a; b; c 2 M: (S1) komutativita (S2) idempotence a ^ b = b ^ a a _ b = b _ a a ^ a = a = a _ a 23

24 (S3) asociativita (S4) absorbce a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c a _ (b _ c) = (a _ b) _ c a ^ (b _ a) = a a _ (b ^ a) = a (S1) a (S2) jsou trivialn (S3) stac dokazat, ze a ^ (b ^ c) =? inf (fa; b; cg) (= c ^ (a ^ b)) {z } =:i z denice i a; i b; i c i (b ^ c) i a ^ (b ^ c) a ^ (b ^ c) a a ^ (b ^ c) (b ^ c) b a ^ (b ^ c) (b ^ c) c slaba antisymetrie a ^ (b ^ c) i ) a ^ (b ^ c) = i Pujdeme-li z druhe strany, tak to taky vyjde, cmz mame existenci (S4) a ^ (b _ a) a a a (reexivita) a b _ a (horn odhad)) a a ^ (b _ a) Tedy ze slabe antisymetrie a = a ^ (b _ a) poznamka 4.2 Necht' M(^; _) je algebra s dvojic binarnch operac splnujcch podmnky (S1)-(S4). Denujeme na M relaci predpisem a b def: a _ b = b Pak (M; ) je svaz a a ^ b = inf (fa; bg) a a _ b = sup (fa; bg) 24

25 tm je dokazana reexivita (S1)a ^ a = a (S1)a _ a = a ) a a a b b c ' b = a _ b c = b _ c c = (a _ b) _ c S3 = a _ (b _ c) = a _ c {z } =c Neboli a c a tm je hotov transitivity a b; b a ) b = a _ b S1 = b _ a = a A to je presne slaba symetrie Neboli takto denovana relace tvor usporadan na M Dale a ^ b = a ^ (a _ b) S1 = a ^ (b _ a) S4 = a Touto rovnost je dokazan vztah a b, a = a ^ b Dale budeme predpokladat (c d ) c = c ^ d) (a ^ b) ^ a S1 = a ^ (a ^ b) S3 = (a ^ a) ^ b S2 = a ^ b tj. (a ^ b) a, pro (a ^ b) ^ a dostanu podobnym postupem a ^ b b, tj. a ^ b je dolnm odhadem pro fa; bg Vezmu c a; b, c = c ^ a c ^ (a ^ b) S3 = (c ^ a) ^ b = c ^ b = c ) c (a ^ b) To znamena, ze a ^ b je nejvets v mnozine dolnch odhadu, a ^ b pak mus byt inmum fa; bg. dusledek (S; )! S(^; _)! (S; ~) )= ~ S(^; _)! (S; )! S(^; _) ) ^ = ^; _ = ^ Dky tomu mame jednoznacnou korespondenci svazu a pruseku+sloucen. Dale budeme svazem nazyvat i algebry S(^; _) splnujcm (S1)-(S4). VETA 4.3 Kazdy uzaverovy system je uplnym svazem S(C; ), B C sup B [! [ = cl C ( B) = cl C B B2B inf B \ = B \ = B B2B 25

26 plyne ihned z vlastnost uzaveroveho systemu znacen Vezmu svaz (S; ). Rekneme, ze a pokryva b, a; b 2 (a < b), pokud b 6= a, b a, b c a ) b = c _ a = c: Necht' f resp. g 2 S je nejvets resp. nejmens prvek S, potom a resp. b nazveme atomem resp. koatomem svazu S, pokud f < a resp. b < e Hasseovym diagramem svazu nazvu orientovany graf s vrcholy S. Mezi a a b bude hrana vedouc od a k b, pokud a < b poznamka 4.4 Je-li S(^; _) svaz, pak S(_; ^) je take svaz Plyne hned z 4.1 a 4.2. poznamka 4.5 Necht' (S; ) je svaz a a; b; c 2 S. Pokud a c, potom a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c a (a _ b) a a c, tedy a (a _ b) ^ c b ^ c b a _ b a b ^ c c, tedy (b ^ c) (a _ b) ^ c Tedy a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c denice O svazu S(^; _) rekneme, ze je modularn, pokud plat 8a; b; c 2 S a c ) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c denice Necht' je usporadan na A a na B. Rekneme, ze zobrazen f : A! B je monotonn, pokud a 1 a 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). poznamka 4.6 Necht' f : A! B je homomorsmus svazu A(^; _) a B(^; _). Potom f je monotonn. Necht' a 1 a 2 (, a 2 = a 1 _ a 2 ). f(a 2 ) = f(a 1 _ a a2 ) homomorfismus = f(a 1 ) _ f(a 2 ) Podle denice potom f(a 1 ) f(a 2 ) poznamka 4.7 Necht' f : A! B je bijektivn zobrazen dvou svazu (A; ) a (B; ). Pak f je isomorsmus svazu, f i f 1 jsou monotonn zobrazen 26

27 " ) " f; f 1 jsou isomorsmy, tedy podle poznamky 4.6 jsou obe zobrazen monotonn f; f 1 stac ukazat, ze f je slucitelne s _, zbytek uz plyne ze symetri. Necht' a; b 2 A. Necht' a a _ b, b a _ b. Zobrazen f je monotonn, takze mame ) f(a) _ f(b) {z } nejmens{ horn{ odhad f(a) f(a _ b) f(b) f(a _ b) Dale necht' d = f(a) _ f(b). f(a) d a f(b) d, vme ze f 1 jsou monotonn Opet pouzijeme monotonnost f Dky slabe symetrii, (1) a (2) Neboli f je slucitelne s _ f(a _ b) {z } (1) nejaky horn{ odhad a = f 1 (f(a)) f 1 (d) b = f 1 (f(b)) f 1 (d) a _ b f 1 (d) f(a _ b) f f 1 (d) = d = f(a) _ f(b)(2) f(a _ b) = f(a) _ f(b) " ( " poznamka 4.8 Necht' C je uzaverovy system lez v mnozine vsech ekvivalenc na A. Necht' N je nejaky podsystem P(A) a e 2 A tak, ze 2 C ) [e] 2 N N 2 N ) 9ekvivalence 2 C, ze N = [e] =rho [e] [e] pro ; 2 C ) Pak N je uzaverovy system (a tudz svaz) a zobrazen ' : C! N dane predpisem '() = [e] je svazovy isomorsmus. 27

28 A = [e] A A A A 2 C, A A je ekvivalence a to ta nejets, takze lez v C. A = faj(e; a) 2 A Ag 2 N (to plat z prvnho predpokladu) Necht' N i 2 N i 2 I, potom s vyuzitm druheho predpokladu 9 i 2 C N i = [e] i VETA 4.9 Nevht' G( ; 1 ; 1) je grupa, pak svaz vsech kongruenc na G je isomorfn svazu vsech normalnch podgrup G (s usporadanm ) \ i2i = \ i2i [e] i = fa 2 Aj(e; a) 2 i 8i 2 Ig = [e]ti2i i 2 N T i 2 C, nebot' C je uzaverovy system Je ' bijekce? dobre denovane zobrazen je to na 8N 2 N prirad [e] [e] ) - a stejne pro =; Tedy ano, ' je bijekce '; ' 1 je prmo z denice monotonn 4:7 ) ' je isomorsmus svazu. Dukaz Necht' C jsou vsechny kongruence na G 2 C ) [1] 2 N kde N jsou vsechny normaln podgrupy G Z 4.8 evidentne plat [1] [1], (a; b) 2 1:14 ) a b 1 2 [1] [1], (a; b) 2 Tedy z 4:8 je N uzaverovy system a ' je isomorsmus denice Necht' A; B jsou mnoziny a : P(A)! P(B), : P(B)! (P )(A). Rekneme, ze ; tvor Galiosovu korespondenci, plat-li 8A 1 ; A 2 2 P(A); B 1 ; B 2 2 P(B) (1) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) B 1 B 2 ) (B 1 ) (B 2 ) (2) A 1 (A 1 ); B 1 (B 1 ) 28

29 poznamka 4.10 Necht' : P(A)! P(B) a : P(B)! P(A) je Galoisova korespondence. Pak (respektive ) je uzaverovy operator na P(A) (resp. na P(B)). Necht' A resp B je uzaverovy sysem na A resp. B prslusny resp.. Dale (A) B, (B) A. Restrikce resp. na A resp B (oznacme je 0 : A! B, 0 : B! A) jsou vzajemne inverzn bijekce nejdrve dokazme, ze je uzaverovy operator ( symetricky) (2) ) A 1 (A 1 ) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) ) (A 1 ) (A 2 ) Tm je dokazana monotonie?(()()) (A 1 )? = (A 1 )? (A 1 ) (2) ((A 1 )) B 1 = (A 1 ) (2) ((A 1 )) (1 ) (A 1 ) (A 1 ) Tedy mame uzaverove systemy?(a) B? (symetricky (B) A) Necht' A 1 2 A ) (A 1 ) = A 1 A = fa 1 2 P(A)j(A 1 ) = A 1 g B = fb 1 2 P(B)j(B 1 ) = B 1 g ( ((A 1 ))) = ((A 1 )) = (A 1 ) ) (A 1 2 B) 0 0 : B! B? = Id B 0 0 : A! A? = Id A Jinymi slovy to znamena, ze 0 a 0 jsou bijekce a jsou k sobe vzajemne inverzn 5 Grupy 0 0 (B) 1 ) = (B 1 ) predpoklad = B 1 ) 0 0 = Id B denice G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud je asociativ binarn operace, 1 je unarn a a 1 = a 1 a = 1 a 1 je neutraln prvek poznamka 5.1 Je-li f zobrazen dvou grup slucitelne s binarn operac, pak f je homomorsmus 29

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Cyklické grupy a grupy permutací

Cyklické grupy a grupy permutací Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:

Více

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie

Více

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

ALGEBRA I. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností grup se věnujeme jejich

ALGEBRA I. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností grup se věnujeme jejich ALGEBRA I JAN TRLIFAJ Tento text pokrývá látku probíranou na přednášce Algebra I (NALG026) pro druhý ročník bakalářského studia obecné matematiky. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

2. Test 07/08 zimní semestr

2. Test 07/08 zimní semestr 2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Algebra II pro distanční studium

Algebra II pro distanční studium Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ

GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.

Více

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm n

1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm n i doc. Libor Pol k Algebra II. zpracoval Ale K enek 11. kv tna 1995 Obsah 1 Ide ly a faktorov okruhy 1 Roz en t les 3 Teorie svaz 3 3.1 Dvoj denice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4.

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4. Obsah 1. Základní algebraické pojmy........................ 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce.............. 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury....................... 7 4. Kvocientní

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I

ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I 1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Matematika pro informatiku 1

Matematika pro informatiku 1 Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Algebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.

Algebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále. Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem.

1 GRUPY 2 Prav neutr ln prvek e 2 A spl uje 8a 2 A : a e = a. Neutr ln prvek je lev neutr ln a prav neutr ln. Monoid je pologrupa s neutr ln m prvkem. RNDr. Libor Pol k. Algebra I Z pisky z p edn ky zpracoval: Ji Dobe 20. dubna 1995 Obsah 1 Grupy 1 1.1 Grupy zbytkov ch t d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2 Z kladn vlastnosti grup

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více