MATA1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATA1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT""

Transkript

1 Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Výrazy a jejich úpravy MATA1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1

2 Výrazy a jejich úpravy 1. Výrazy Již ze základní školy víme, že pro mocniny platí: a a a 1 Za předpokladu, že a je reálné číslo a r,s jsou čísla přirozená. Co však vzorec (1) znamená? Vždyť se v něm nevyskytuje žádné konkrétní číslo a přesto říkáme, že je to pravidlo pro počítání s mocninami. Tento vzorec popisuje celou řadu početních výkonů, které se řídí stejným pravidlem; znamená např., že 5 5 5,, π π π atd. Písmeno a ve vzorci (1) zastupuje libovolné reálné číslo, písmena r, s libovolná přirozená čísla. Takovým písmenům, která v daném zápisu zastupují čísla z určité číselné množiny, říkáme proměnné. Oborem proměnné a je ve vzorci (1) množina všech nenulových reálných čísel, oborem proměnných r, s je množina všech celých čísel. Domluvíme se na tom, že v případech, kdy obor proměnné nebude uveden nebo nebude patrný z textu úlohy, budeme za něj považovat množinu všech reálných čísel takových, pro něž má smysl za proměnné dosazovat. S celou řadou vzorců podobných vzorci (1) jste pracovali již dříve v geometrii, fyzice, chemii a budete s nimi pracovat i v odborných předmětech. V geometrii jsou to např. vzorce: 2 r vzorec pro výpočet obvodu kružnice.(2) c a b... vzorec pro výpočet předpony pravoúhlého trojúhelníka.(3) v πr v... vzorec pro výpočet objemu kužele..(4) V těchto vzorcích jsou proměnné o, r, a, b, c, v, V. Jejich oborem je množina všech kladných reálných čísel (víte, že číselná hodnota obvodu, poloměru, délky strany v trojúhelníku, objemu, výšky může být jen kladné reálné číslo). Ve vzorcích (2) a (4) je písmeno π, které jsme neoznačili jako proměnnou. Toto písmeno totiž na rozdíl od ostatních písmen v těchto vzorcích nezastupuje libovolné číslo z určitého oboru, ale jedno určité číslo ( = 3,14 ). Taková písmena, která nahrazují určitá čísla, nazýváme konstanty. 2

3 Terms and their modifications 1. Terms We ve already known from primary school that for power function stands: a a a 1 Providing that a is a real number and r, s are numbers nonnegative. What does the formula (1) mean though? Well, there s no concrete number and despite it is said that the rule for calculating with power functions. The formula describes whole scale of numerical functions that works according to the same rule, e.g. it means that 5 5 5,, π π π etc. The letter a substitute any real number in the formula (1). Numbers r, s are arbitrary nonnegative numbers. These numbers which substitute numbers from particular numerical are called variable. The zone of the paramterer a is the set of nonzero real numbers in the formula (1), the zones of the parametres r, s is the set of all integral numbers. It is dealt that if the zone of parametre is not mentioned or is not known from the text of a task, the zone will be taken as the set of all real numbers which can be appointed there instead of it. You have worked with many formulas similar to the formula (1) earlier in geometry, physic, chemistry and you will work with them even in professional subjects. In geometry, e.g. they are formulas: 2 r the formula for th.e calculation of icumference...(2) c a b. the formula for the calculation of hypotenuse of a right triangle.(3) v πr v...the formula for the calculation of the volume of a cone.(4) There are variables o,r,a,b,c,v,v in these formulas. Their zone is a set of all positive real numbers (you know the numeric figure of circumference, diameter, the lenght of a side of a triangle, content, hight can be only a positive real number). There is a number, which we didn t mark as a variable, π in formulas (2) and (4) This number, in fact - in contrast to the other letters in these formulas - didn t substitute any number of the particular range, but just a single particular number (π = 3,14...). These letters that substitute particular numbers are called constants. 3

4 Ve vzorcích (2), (3), (4), se vyskytují výrazy 2 r, a b, v πr v. Na základní škole jste se domluvili, že za výraz budete považovat každý zápis, který je správně utvořen podle dohod o zápisech čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. S tímto vymezením vystačíme i v této kapitole. Jinak slovo výraz používáme často i v širším slova smyslu než jsme si vymezili na základní škole. Probíráme-li teorii množin, pak např. pracujeme s výrazem ( ) C apod. Výrazy, v nichž se vyskytovala pouze reálná čísla, např. 2, 3, 11, 3 4,,, jste nazývali číselné výrazy. Výrazy, ve kterých se vyskytuje alespoň jedna proměnná, např. 4, 5 3, 3,,,, jste nazývali výrazy s proměnou. Ty výrazy, ve kterých je proměnná ve jmenovateli, jste někdy nazývali lomené výrazy. Z předcházejících příkladů jsou lomené výrazy např. výrazy,. U lomených výrazů nebo u výrazů, v nichž je proměnná pod odmocninou apod., musíme vždy udat takové podmínky pro proměnnou, aby výraz měl smysl (tzn. definiční obor výrazu). Tak např. má smysl jedině za předpokladu 0, protože zlomky se jmenovatelem nula nejsou definovány. Výraz 1, má smysl pouze za předpokladu 1, protože druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla. Mezi jednotlivými výrazy, se kterými jste se již setkali, byly i mnohočleny. Mnohočleny jsou např. výrazy 2 3 2, , 5 1.Obecně bychom si mohli mnohočlen s jednou proměnou (viz předcházející příklady) definovat následujícím způsobem. Mnohočlen n-tého stupně o proměnné x je výraz., kde je proměnná, jsou konstanty, n je celé nezáporné číslo a. Číslo n udává stupeň mnohočlenů. Tak např je mnohočlen pátého stupně o proměnné x; 5 2 je mnohočlen šestého stupně o proměnné x. Podle počtu nenulových členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu 3, dvojčlenu 2 2, trojčlenu 3 4 apod., mnohočleny mohou obsahovat i více proměnných např , , kde x, y, z jsou proměnné. 4

5 Terms occure in these formulas (2), (3), (4)2 r, a b, v πr v. At primary school you made a deal that every notation will be regarded as a term that is made correctly according to the agreement about number notations, variables, the results of operations and the values of functions. This definition are convenient even for this chapter. Alias the word term is often used in wider meaning than it was define at primary school. If we discuss the theory of sets, the we work with term e.g: ( ) C etc. Terms in which just real numbers occured, e.g. 2,3,11,3 4,,,... were called numeric terms. The terms where at least one variable occures, e.g. 4, 5 3, 3,,,, are called terms with varible. The terms in which variable is in a denominator are called frictional terms. Frictional terms are from the previous examples, for instance:, At frictioanl terms or terms in which variable is rooted etc., we must state such conditions for variable in order to a term has a sense (it means the domain of definition). For instance it has a sense only for providing 0, because fricitons with zero denominator are not defined. The term 1, has the sense only for providing 1, because square root is defined only for negative real numbers. Multinominals were among the other terms you have already met. Multinominals are for instance terms 2 3 2, , 5 1. In general, multinominals with one variable (vide the previous examples) can be defined by following way. The multinominal n-th grade of variable x is the term., where the variable is x, is a constant, n is an integral non-negative number. The number n denotes the grade of multinominals. For instance, is the multinominal of the fifth grade of x variable; 5 2 is the multinominal of the sixth grade of variable x. According to the number of the nonzero terms of a multinominal it is defined as a monomial, 3, binomial, 2 2, trinomial 3 4 etc., mononominals can contain even more variables, e.g , , where x, y, z are variables. 5

6 Cvičení 1. Zapište pomocí proměnné x : a) součet trojnásobku libovolného čísla a čísla 2; b) trojnásobek součtu libovolného čísla a čísla 2; c) druhou mocninu součtu dvojnásobku libovolného čísla a čísla 8; d) třetí odmocninu rozdílu libovolného čísla a trojnásobku čísla Zapište pomocí proměnné n v oboru celých čísel : a) libovolné sudé číslo; b) libovolné liché číslo; c) součet dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; d) součin dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; e) součet dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; f) součin dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; 3. Zapište výrazy; a) součet druhých mocnin proměnných a, b; b) druhá mocnina součtu proměnných a, b; c) k proměnné x přičtu číslo 4 a výsledek násobím číslem, které je o 4 menší než daná proměnná; k tomu součtu přičtu 15 a výsledek dělíme číslem o 1menší než je daná proměnná. 4. Udejte, kdy mají smysl následující výrazy: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 6

7 Exercise 1. Write down with variable x: a) three times the sum of any number a number 2; b) triple the sum fo any number a number 2; c) the square power of the sum of double any number and number 8; d) the cube root of the difference any number and triple the sum fo number Write down with variable n in integers a) any even number; b) any odd number; c) the sum of two even consecutive numbers; d) the product of two even consecutive numbers; e) the sum of two odd consecutive numbers; f) the product of two odd consecutive numbers; 3. Write down terms: a) the sum of the square power of a, b; b) the square power of the sum of variable a, b; c) add 4 to variable x and the result times by the number which is lesser of 4 than the variable; to the sum add 14 and the result divide by the number lesser of 1 than is the variable. 4. Indicate when the following terms have sense: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 7

8 2. Počítání s mnohočleny Nejdřív obrátíme svoji pozornost na zopakování operací s mnohočleny. Připomeňme si na několika příkladech, jak se mnoho členy sčítají, odčítají, násobí a jak se dělí mnohočlen jednočlenem. Příklad 1 Sečti mnohočleny , 7a 3b 3a Příklad 2 Od mnohočlenu odečtěte mnohočlen Příklad 3 Násobte mnohočlen jednočlenem

9 2. Calculation with multinominals First of all we focuse on the revision of multinominals. Let s remain them on a few examples how to sum, subtract and multiplying them, and how to divide a multinominal by a mononominal. Example 1 Sum the multinominals , 7a 3b 3a. Solution: Example 2 Substract a mononominal from a multinominal 3. Solution: Example 3 Multiple a multionominal by a mononominal 24. Solution:

10 Příklad 4 Násobte mnohočleny 2 3, Příklad 5 Dělte mnohočleny jednočlenem 9. Dělení má smysl za předpokladu Při násobení mnohočlenu jste se na základní škole naučili pro zkrácení výpočtů počítat se vzorci 2, 2, ve kterých písmena A, B představovala obvykle jednočleny. V následujících dvou příkladech si zopakujeme počítání podle těchto vzorců. Příklad 6 Vypočítejte

11 Example 4 Multiple a multionominal 2 3, 2. Solution: Example 5 Divide multionominals by a mononominal 9. Solution: Division has sense providing that You learn to calculate for cutting calculations with formulas at multiplying a multinominal at primary school 2, 2, in which the letters A, B usually represent mononominals. In the following two examples we revise calculation according to these formulas. Example 6 Calculate: 2. Solution:

12 Příklad 7 Vypočítej 2 0, , ,05 0,05 4 0,2 0,0025 Dále si odvodíme vzorce pro výpočet třetí mocniny dvojčlenů, Platí tedy: V dalších příkladech si počítání podle těchto vzorců procvičíme. Příklad 8 Vypočítejte 0, ,2 10 0,2 3 0, , ,008 1, Příklad 9 Vypočítejte 2. 12

13 Example 7 Calculate: 2 0,05. Solution: 2 3, ,05 0,05 4 0,2 0,0025 Furthemore we deducate the formulas for the calcutaion of the cubical power of binominals, It is valid that: In the further examples we practise calculating with these formulas. Example 8 Calculate 0,2 10. Solution: 0,2 10 0,2 3 0, , ,008 1, Example 9 Calculate 2. 13

14 Cvičení 1. Vypočítejte: a) b) 2 c) Násobte: a) b) c) d) 2 e) f) g) Vypočítejte: a) b) c) d)

15 Solution: Exercise 1. Calculate: a) b) 2 c) Multiple: a) b) c) d) 2 e) f) g) Calculate: a) b) c) d)

16 4. Dělte (a nezapomeňte udat, kdy má dělení smysl): a) b) c) d) c) Vypočtěte s využitím probraných vzorců: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) h) 3. Dělení mnohočlenů mnohočleny Dělit mnohočlen jednočlenem už umíte; zbývá ještě naučit se dělit mnohočlen mnohočlenem. Pro potřeby střední školy stačí se omezit na mnohočleny s jednou proměnnou. Při dělení mnohočlenu mnohočlenem postupujeme podle návodu, který je popsán v následujícím příkladu. Příklad 10 Vypočtěte Postupujeme podle tohoto návodu: 16

17 4. Divide (and don t forget indicate when the division has sense): a) b) c) d) Calculate with using the learnt formulas: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) h) 3. Division of multinominals by multinominals You can divide. It remains to learn to divide a multinominal by a multinominal. It is enough to know the calculations with one variable for needs of secondary school. We proceed at dividing a multinominal by a mononominal according to the instruction which is described in the following example. Example 10 Calculate: Solution: We proceed according to the instruction: 17

18 1. Oba mnohočleny uspořádáme sestupně podle klesajících mocnin proměnné a: Dělíme: a) První člen dělence dělíme prvním členem dělitele 7 7. Získaný podílem násobíme všechny členy dělitele, tj Tento dílčí výsledek odečteme od dělence. Zápis: b) Postup opakujeme, a to tak, že prvním členem dělitele dělíme první člen zbytku, který je uspořádán sestupně Získaným podílem 3 násobíme dělitele, tj a tento další dílčí výsledek odečteme od zbytku. Zápis: c) Opět zopakujme postup z předcházejících dvou kroků, tj , a tento dílčí výsledek odečteme od zbytku. 18

19 1. Both multinominal are ordered in descending order according to the decreasing powers of variable a: Divide a) The first term of a dividend divide by the first term of a divider 7 7 By the gained fraction is multiplied all terms of a divider, it means This partial result substract from dividend. Note: b) We repeat the process and the way that we divide the first term of division remainder by the first term of divider, We multiply obtained quotient by a divisor and this partial result substract from the remainder. Note: c) Again we repeat the process from the previous two steps, it means , and the partial result substract from the remainder. 19

20 Zápis: a O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou, kdy zjistíme, zda součin dělitele a podílu je roven dělenci: Příklad 11 Vypočtěte

21 Note: a We can persuade about the result by the test in which we figure out if the product of divider and the fraction is equal to a dividend: Example 11 Calculate: Solution:

22 Výsledek: , Zkouška: Příklad 12 Vypočtěte x 3x x 3x Výsledek: x 3x 5 5, 2x 3x

23 The result , Test: Example 12 Calculate: x 3x 5. Solution: x 3x The result: x 3x 5 5, 2x 3x

24 Zkouška: Příklad 13 Vypočtěte : : Jednočlen -1 (tj. - 1 ) má nižší stupeň než mnohočlen 7 1. Proto v dělení dále pokračujeme. Mnohočlen se nazývá částečný podíl, jednočlen -1 se nazývá zbytek. Výsledek:

25 Test: Example 13 Calculate: : 7 1. Solution: : The mononominal -1(it is - 1 ) has lower lever than mononominal7 1. Therefore we continue in division. A multinominal is called a partional fraction, a mononominal - 1 is called a reminder. The result:

26 Zkouška: Příklad 14 Dělte , Výsledek: ; Zkouška:

27 Test: Example 14 Divide: , The result ; Test:

28 Cvičení 1. Vypočítejte: a) b) c) Vypočítejte: a) b) 2 1 c) d) Rozklad pomocí vytýkání Ze základní školy umíte najít společný násobek a společného dělitele dvou či více celých čísel. Znalost určování společného násobku celých čísel využíváme např. při sčítání zlomků. Tak při sčítání je nutné určit jejich společného jmenovatele. Tím může být např. číslo jako součin jednotlivých jmenovatelů Protože si však jistě nechce komplikovat výpočet zbytečně velkými čísly, zvolte jako společný jmenovatel číslo 24, které je nejvhodnějším společným násobkem těchto tří čísel. 28

29 Exercise: 1. Calculate a) b) c) Calculate a) b) 2 1 c) d) Factorizing by means of determining You are already able to find the common multiple and the common divisor of two or more integral numbers from primary school. We imply the knowledge of determining of the common multiple of integral numbers for e.g. the adding of frictions it is necessary to find a common denominator. That number can be e.g as the product of single denominators As nobody wants to complicate calculation with uselessly large numbers, the best choice is to choose the number 24 as a common denominator because is the most appropriate common multiple of these numbers. 29

30 Při hledání rozkladu daného výrazů v součin používáme různé druhy úprav. Jednou z nich je vytýkání společného činitele z daného výrazu. Máme např. rozložit v součin výraz Protože , , , je nejvhodnějším společným dělitelem těchto tří sčítanců výraz 2ab. Je tedy Po vytknutí výrazu 2ab dostaneme původní výraz ve tvaru součinu dvou výrazů Platí tedy Příklad 15 Rozložte v součinu výraz Protože nejvhodnějším společný dělitel všech tří sčítanců je jednočlen 9, platí V následujícím příkladu si ukážeme dva postupy při počítání s výrazy; jednak bez rozkladu výrazu v součin, jednak s rozkladem výrazu v součin. Sami posuďte, který z nich je namáhavější a zdlouhavější. Příklad 16 Vypočtěte povrch válce o průměru 24 mm a výšce 9 mm. 30

31 We use various modifications in looking for the factorizing of the given term. One of them is the decomposition of the common factor from the given term. E.g. we are supposed to factorize a term Because , , , is the most appropriate common divisor these three tots the term 2ab After factorizing the term 2ab we get the original term as the product of two terms So it is valid Example 15 Factorize the term Solution: Because the most appropriate common divisor of all three tots is an monomial 9, it is given: Two examples about calculating with terms are shown in the following example; the one without factorizing of the term in a product and the other with factorizing of the temr in a product. Make a judgement yourselves which of the two terms is more affordable and tedious. Example 16 Calculate the surface of a cylinder with the diameter of 24 mm and the length of 9 mm. 31

32 1. způsob: dosazeni do vzorce 2 2 dostaneme: 2 3, , , , , , ,32 678, ,56 1, Způsob: upravíme-li vzorec 2 2 na tvar 2, je numerický výpočet jednodušší: 2 3, , , , Vytýkání společného násobku ze všech členů výrazu je pouze jedním z možných způsobů, jak rozložit výraz v součinu. Např. úlohu rozložit v součin výraz tímto způsobem nevyřešíme (můžeme vytknout pouze 1nebo -1). Zkusíme, zda lze tento výraz rozložit jiným způsobem. Můžeme si např. všimnout, že první dva členy mají společného dělitele 5, poslední dva 4. Vytkneme: Po této úpravě jsme dostali dva sčítance, jejichž společným dělitelem je výraz 3, který vytkneme Dostali jsme tedy: Tomuto způsobu rozkladu výrazu v součin říkáme postupné vytýkání. 32

33 Solution: 1. way: it is given by a substitution to the pattern: 2 2 : 2 3, , , , , , ,32 678, ,56 1, way: if we adjust the term 2 2 to the shape 2, the numerical calculation is easier: 2 3, , , , The prefixing of the common pultiple from all terms is merely one of possible multiples how to factorize the rerm in the product. For instance, a rider factorize the product the term: by this way it is not possible to solve the rider (we can prefix only 1 or -1). We try whether this term can be factorized by another way. We can realize the first two terms have a common divider 5, we factorize the last two 4. We factor out: After the conversion two addend appeared whose common divider is the term 3, which is prefixed We were given: This kind of factorizing the product is called progressive factorizing. 33

34 Příklad 17 Rozložte v součinu výraz 7 7. Zdůvodněte jednotlivé kroky v následujícím výpočtu: Dostáváme tak: Zkouška: Příklad 18 Rozložte v součin výraz. Zkouška: 34

35 Example 17 Factorize the product the term 7 7. Solution: Give reasons for each step in the following calculation: As we were given: Test: Example 18 Factorize the product. Solution: Test: 35

36 Cvičení 1. Rozložte v součin: a) b) 6 3 c) d) Rozložte v součin: a) b) Rozložte v součin: a) 9 9 b) 2 c) d) 2 4. Rozložte v součin: a) b) c) d) e) f) 4 5. Rozklad výrazů pomocí vzorců Dalším z možných postupů, které lze při rozkladu výrazů v součin použít, je rozklad pomocí vzorců. Zatím známe vzorce :

37 Exercises: 1. Factorize the product: a) b) 6 3 c) d) Factorize the product: a) b) Factorize the product: a) 9 9 b) 2 c) d) 2 4. Factorize the product: a) b) c) d) e) f) 4 5. Factorizing the terms in terms of formulas Another of the likely consecutions, in which factorizing the product is able to use, is factorizing in terms of formulas. Already known formulas:

38 Doplníme si tyto vzorce ještě dalšími: O jejich správnosti se můžeme přesvědčit vynásobením mnohočlenů na pravých stranách. Příklad 19 Rozložte v součin. Použijeme vzorec, v němž položíme,. Dostaneme: Příklad 20 Rozložte v součin Užitím vzorce 2, kde 3, 2, dostaneme:

39 We add more formulas: We can check their correctness by multiplying of the multinominals on the right sides. Example 19 Factorize the product:. Solution: We use the formula, in which put,. We are given: Example 20 Factorize the product: Solution: Using the formula 2, where 3, 2, it is given:

40 Příklad 21 Rozložte v součin 0,25 2. Ze vzorce =, kde 0,5, 2, máme:, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Příklad 22 Rozložte v součin Použijeme vzorec 3 3, kde, 2, a dostaneme: = (x+2y Příklad 23 Rozložte v součin K rozkladu použijeme vzorec, 3, 2 : = =(3-2x

41 Example 21 Factorize the product: 0,25 2. Solution: From the formule =, where 0,5, 2, we have, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Example 22 Factorize the product: Solution: we use formula where 3 3, where, 2 and we are given: = (x+2y Example 23 Factorize the product Solution: We use the formule for factorozing, 3, 2 : = =(3-2x

42 Příklad 24 Rozložte v součin 81. Použijeme vzorec, 9, Použijeme-li na dvojčlen 9 3 znovu vzorec pro Rozdíl druhých mocnin, dostáváme: Cvičení 1. Rozložte v součin : a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 2. Rozložte v součin : a) 4 4 b) c) 2 d) e) Literatura:doc. RNDr. Emil Calda a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část 42

43 Example 24 Factorize the product 81. Solution We use th formula, 9, If we use for the binomial 9 3 the formula again for the division of square power is: Exercises: 1. Factorize the product: a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 2. Factorize the product: a) 4 4 b) c) 2 d) e) Literatura:doc. RNDr. Emil Calda a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část 43

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING

USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING Eva Minaříková Institute for Research in School Education, Faculty of Education, Masaryk University Structure of the presentation What can we as teachers

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace

Více

VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2400

Více

Czech Republic. EDUCAnet. Střední odborná škola Pardubice, s.r.o.

Czech Republic. EDUCAnet. Střední odborná škola Pardubice, s.r.o. Czech Republic EDUCAnet Střední odborná škola Pardubice, s.r.o. ACCESS TO MODERN TECHNOLOGIES Do modern technologies influence our behavior? Of course in positive and negative way as well Modern technologies

Více

Just write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified.

Just write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified. CURRICULUM VITAE - EDUCATION Jindřich Bláha Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Bc. Jindřich Bláha. Dostupné z Metodického

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku

Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku Aneta Milsimerová Fakulta strojní, Západočeská univerzita Plzeň, 306 14 Plzeň. Česká republika. E-mail: anetam@kto.zcu.cz Hlavním

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

Language of Mathematics

Language of Mathematics Language of Mathematics English - Czech Vedral, J. (2002). Anglicko-český matematický slovník. Ptaha: JTP. 16 p. http://www.ped.muni.cz/wmath/dictionary/v.htm English Bolt, B., Hobbs, D.: A Mathematical

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Database systems. Normal forms

Database systems. Normal forms Database systems Normal forms An example of a bad model SSN Surnam OfficeNo City Street No ZIP Region President_of_ Region 1001 Novák 238 Liteň Hlavní 10 26727 Středočeský Rath 1001 Novák 238 Bystřice

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

http://www.zlinskedumy.cz

http://www.zlinskedumy.cz Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0514 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Výklad a cvičení z větné stavby, vy_32_inovace_ma_33_01

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích

Více

Social Media a firemní komunikace

Social Media a firemní komunikace Social Media a firemní komunikace TYINTERNETY / FALANXIA YOUR WORLD ENGAGED UČTE SE OD STARTUPŮ ANALYSIS -> PARALYSIS POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE

Více

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Název projektu: Inovace a individualizace výuky

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Název projektu: Inovace a individualizace výuky Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Název projektu: Inovace a individualizace výuky Autor: Mgr. Libuše Matulová Název materiálu: Education Označení materiálu: VY_32_INOVACE_MAT27 Datum vytvoření: 10.10.2013

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) žáky 2. stupně ZŠ

Více

LOGBOOK. Blahopřejeme, našli jste to! Nezapomeňte. Prosím vyvarujte se downtrade

LOGBOOK. Blahopřejeme, našli jste to! Nezapomeňte. Prosím vyvarujte se downtrade název cache GC kód Blahopřejeme, našli jste to! LOGBOOK Prosím vyvarujte se downtrade Downtrade (z GeoWiki) Je to jednání, kterého byste se při výměnách předmětů v keších měli vyvarovat! Jedná se o snížení

Více

MATA2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"

MATA2. Trigonometrie. Projekt Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATA2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky,

Více

EU peníze středním školám digitální učební materiál

EU peníze středním školám digitální učební materiál EU peníze středním školám digitální učební materiál Číslo projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast, název DUMu: Autor: CZ.1.07/1.5.00/34.0515 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Vánoční sety Christmas sets

Vánoční sety Christmas sets Energy news 7 Inovace Innovations 1 Vánoční sety Christmas sets Na jaře tohoto roku jste byli informováni o připravované akci pro předvánoční období sety Pentagramu koncentrátů a Pentagramu krémů ve speciálních

Více

VY_22_INOVACE_60 MODAL VERBS CAN, MUST

VY_22_INOVACE_60 MODAL VERBS CAN, MUST VY_22_INOVACE_60 MODAL VERBS CAN, MUST Vzdělávací oblast: Jazyk a jazyková komunikace Vzdělávací obor: Anglický jazyk Ročník: 9. MODAL VERBS CAN, MUST, SHOULD 1/ Connect the verbs to their future forms.

Více

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146

Více

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností. Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_04 1 M1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží

Více

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3688 EU PENÍZE ŠKOLÁM

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3688 EU PENÍZE ŠKOLÁM ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 email: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

SSOS_AJ_3.18 British education

SSOS_AJ_3.18 British education Číslo a název projektu Číslo a název šablony DUM číslo a název CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT SSOS_AJ_3.18

Více

Angličtina v matematických softwarech 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová

Angličtina v matematických softwarech 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Angličtina v matematických softwarech 1 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace

Více

The Czech education system, school

The Czech education system, school The Czech education system, school Pracovní list Číslo projektu Číslo materiálu Autor Tematický celek CZ.1.07/1.5.00/34.0266 VY_32_INOVACE_ZeE_AJ_4OA,E,L_10 Mgr. Eva Zemanová Anglický jazyk využívání on-line

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Anglický jazyk

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Digitální učební materiály www.skolalipa.cz

Digitální učební materiály www.skolalipa.cz Název školy Číslo projektu Název projektu Klíčová aktivita Dostupné z: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Tematická oblast: Téma: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona Označení materiálu II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách VY_22_INOVACE_Mrh16 Vypracoval(a),

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK. http://agb.gymnaslo. cz

Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK. http://agb.gymnaslo. cz SCHEME OF WORK Subject: Mathematics Year: second grade, 2.X School year:../ List of topisc # Topics Time period 1. Functions 09-10 2. Exponential and logarithm function 10-01 3. Trigonometric functions

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

1 st International School Ostrava-mezinárodní gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava. IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní

1 st International School Ostrava-mezinárodní gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava. IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní 1 st International School Ostrava-mezinárodní gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní Kritéria pro IV. kolo přijímacího řízení pro školní rok 2015/2016

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1. 5.00/34.0084 Šablona: II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků prostřednictvím

Více

PART 2 - SPECIAL WHOLESALE OFFER OF PLANTS SPRING 2016 NEWS MAY 2016 SUCCULENT SPECIAL WHOLESALE ASSORTMENT

PART 2 - SPECIAL WHOLESALE OFFER OF PLANTS SPRING 2016 NEWS MAY 2016 SUCCULENT SPECIAL WHOLESALE ASSORTMENT PART 2 - SPECIAL WHOLESALE OFFER OF PLANTS SPRING 2016 NEWS MAY 2016 SUCCULENT SPECIAL WHOLESALE ASSORTMENT Dear Friends We will now be able to buy from us succulent plants at very good wholesale price.

Více

PŘEDPŘÍTOMNÝ prostý ČAS - procvičení

PŘEDPŘÍTOMNÝ prostý ČAS - procvičení PŘEDPŘÍTOMNÝ prostý ČAS - procvičení Předmět Ročník a obor Kód sady Kód DUM Autor Anglický jazyk Všechny ročníky střední školy všech oborů AJ/ZA+SC+OS/01020+03+04/01 AJ/ZA+SC+OS/01+20+03+04/01/03-20 Mgr.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Metoda CLIL. Metody oddělování složek směsí FILTRACE FILTRATION

Metoda CLIL. Metody oddělování složek směsí FILTRACE FILTRATION Metoda CLIL Anglický jazyk - chemie Metody oddělování složek směsí FILTRACE FILTRATION Metodický list PaedDr. Jitka Voráčová Tato práce vznikla jako výstup vzdělávacího programu: Projekt CLIL Obsahově

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona Označení materiálu II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách VY_22_INOVACE_Mrh14 Vypracoval(a),

Více

Budějovice Název materiálu: Reported Speech. Datum (období) vytvoření: Srpen 2013. Autor materiálu: PhDr. Dalibor Vácha PhD. Zařazení materiálu:

Budějovice Název materiálu: Reported Speech. Datum (období) vytvoření: Srpen 2013. Autor materiálu: PhDr. Dalibor Vácha PhD. Zařazení materiálu: Projekt: Příjemce: Budějovice Název materiálu: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona Tématická oblast DUM č. CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) Anglický jazyk pro obor podnikání

Více

Present Perfect x Past Simple Předpřítomný čas x Minulý čas Pracovní list

Present Perfect x Past Simple Předpřítomný čas x Minulý čas Pracovní list VY_32_INOVACE_AJ_133 Present Perfect x Past Simple Předpřítomný čas x Minulý čas Pracovní list PhDr. Zuzana Žantovská Období vytvoření: květen 2013 Ročník: 1. 4. ročník SŠ Tematická oblast: Gramatika slovesa

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Číslo a název projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0880 Digitální učební materiály www.skolalipa.cz

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Anglický jazyk

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1. 5.00/34.0084 Šablona: II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních

Více

Are you a healthy eater?

Are you a healthy eater? Are you a healthy eater? VY_32_INOVACE_97 Vzdělávací oblast: Jazyk a jazyková komunikace Vzdělávací obor: Anglický jazyk Ročník: 8. 9.roč. 1. What does a nutrition expert tell four teenagers about their

Více

Název projektu: Multimédia na Ukrajinské

Název projektu: Multimédia na Ukrajinské Základní škola, Ostrava Poruba, Ukrajinská 1533, příspěvková organizace Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Multimédia na Ukrajinské číslo projektu: CZ1.07/1.4.00/21.3759

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Jméno autora: Mgr. Alena Chrastinová Datum vytvoření: 2.01.2013 Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_14_AJ_G

Jméno autora: Mgr. Alena Chrastinová Datum vytvoření: 2.01.2013 Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_14_AJ_G Jméno autora: Mgr. Alena Chrastinová Datum vytvoření: 2.01.2013 Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_14_AJ_G Ročník: IV. Anglický jazyk Vzdělávací oblast: Jazyk a jazyková komunikace Vzdělávací obor: cizí jazyk anglický

Více

5.VY_32_INOVACE_AJ_UMB5, Vztažné věty.notebook. September 09, 2013

5.VY_32_INOVACE_AJ_UMB5, Vztažné věty.notebook. September 09, 2013 1 (Click on the text to move to the section) Methodology Sources 2 We use We use We use We use We use for PEOPLE. for THINGS. for POSSESIONS. for PLACES. for TIME. 3 QUIZ: People: Do you know where are

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách

II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona Označení materiálu II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních školách VY_22_INOVACE_Mrh22 Vypracovala,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE

VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Miroslava Huclová Katedra výpočetní a didaktické techniky, Fakulta pedagogická, ZČU, Plzeň Abstrakt: Příspěvek demonstruje použití systému počítačové

Více

Stojan pro vrtačku plošných spojů

Stojan pro vrtačku plošných spojů Střední škola průmyslová a hotelová Uherské Hradiště Kollárova 617, Uherské Hradiště Stojan pro vrtačku plošných spojů Závěrečný projekt Autor práce: Koutný Radim Lukáš Martin Janoštík Václav Vedoucí projektu:

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

VŠEOBECNÁ TÉMATA PRO SOU Mgr. Dita Hejlová

VŠEOBECNÁ TÉMATA PRO SOU Mgr. Dita Hejlová VŠEOBECNÁ TÉMATA PRO SOU Mgr. Dita Hejlová VZDĚLÁVÁNÍ V ČR VY_32_INOVACE_AH_3_03 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět

Více

kupi.cz Michal Mikuš

kupi.cz Michal Mikuš kupi.cz Michal Mikuš redisgn website kupi.cz, reduce the visual noise. ADVERT ADVERT The first impression from the website was that i dint knew where to start. It was such a mess, adverts, eyes, products,

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Fytomineral. Inovace Innovations. Energy News 04/2008

Fytomineral. Inovace Innovations. Energy News 04/2008 Energy News 4 Inovace Innovations 1 Fytomineral Tímto Vám sdělujeme, že již byly vybrány a objednány nové lahve a uzávěry na produkt Fytomineral, které by měly předejít únikům tekutiny při přepravě. První

Více

Invitation to ON-ARRIVAL TRAINING COURSE for EVS volunteers

Invitation to ON-ARRIVAL TRAINING COURSE for EVS volunteers Invitation to ON-ARRIVAL TRAINING COURSE for EVS volunteers (český text pro hostitelské organizace následuje na str. 3) 6.11. 11.11. 2015 Hotel Kaskáda, Ledeč nad Sázavou Husovo nám. 17, 584 01 Ledeč nad

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ STANDARDNÍCH ELEKTRONICKÝCH ZAHRANIČNÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ STANDARD ELECTRONIC FOREIGN PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES

PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ STANDARDNÍCH ELEKTRONICKÝCH ZAHRANIČNÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ STANDARD ELECTRONIC FOREIGN PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ STANDARDNÍCH ELEKTRONICKÝCH ZAHRANIČNÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ STANDARD ELECTRONIC FOREIGN PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES Použité pojmy Platební systém Elektronický platební příkaz Účetní

Více

Content Language level Page. Mind map Education All levels 2. Go for it. We use this expression to encourage someone to do something they want.

Content Language level Page. Mind map Education All levels 2. Go for it. We use this expression to encourage someone to do something they want. Study newsletter 2015, week 40 Content Language level Page Phrase of the week Go for it All levels 1 Mind map Education All levels 2 Czenglish Stressed vs. in stress Pre-intermediate (B1-) Advanced (C1)

Více