Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem Festival Fantazie, Štěpán Sem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem <stepan.sem@gmail.com> Festival Fantazie, 2013. Štěpán Sem"

Transkript

1 Ing. Festival Fantazie, 2013

2

3 Osnova 1 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie 2 Základní princip Matematické souvislosti Historie 3

4 Vymezení pojmů Základní pojmy Obtížnost Kryptografie kódování šifrování přizpůsobení zařízení / kanálu morseovka ASCII (Latin2) Unicode utajení obsahu sdělení Enigma

5 Kódování textu Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Latin2 M A E L S T R Ö M Latin Latin Latin C D6 48 LatinN!

6 Historie zabezpečení Základní pojmy Obtížnost Kryptografie kštice hůl Caesarova šifra Vernamova šifra veřejný vs. tajný algoritmus

7 Matematický kontext Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Z,N,N = 1024

8 Obtížné problémy Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

9 Obtížné problémy Trávníkář Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

10 Obtížné problémy 2 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

11 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obtížné problémy 2 První kontakt

12 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obtížné problémy součet podmnožiny P vs. NP důkaz místo slibů? Problémy milénia, CMI (1 mil. $) N k vs k N,...,N! Součet podmnožiny x 1 w 1 + x 2 w x N w N = K N i=1 x i w i = K? x i {0;1}

13 Součet podmnožiny Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Součet podmnožiny 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 2x 4 = 9 x = (0;0;1;1)

14 Problém faktorizace Základní pojmy Obtížnost Kryptografie prvočíselný rozklad 60 = m = p q p,q =? p, q prvočísla

15 Modulární algebra Základní pojmy Obtížnost Kryptografie programátorské % (Google kalkulačka) 3 7 mod 10 (3 7) % 10 1

16 Modulární algebra Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

17 Problém diskrétního logaritmu Základní pojmy Obtížnost Kryptografie M = g x mod n x =?

18 John Forbes Nash, Jr. Základní pojmy Obtížnost Kryptografie John Forbes Nash, Jr Nobelova cena (ekonomie) návrh kryptosystému založeného na obtížně řešitelném problému dopis NSA (1955) utajen do 2011 A Beautiful Mind

19 Kryptosystém Základní pojmy Obtížnost Kryptografie Obrázek : (A)symetrický kryptosystém [PDK]

20 (A)symetrická kryptografie Základní pojmy Obtížnost Kryptografie symetrická kryptografie K 1 = K 2 asymetrická kryptografie (kryptografie s veřejným klíčem) K 1 K 2 bezpečnější pomalejší (cca 1000 ) kombinování asymetricky vyměnit klíče data šifrovat symetricky

21 Základní princip Matematické souvislosti Historie Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman (1977) Clifford Cocks (1973, odtajněno 1997) problém faktorizace (ϕ(m))

22 Základní princip Matematické souvislosti Historie

23 Základní princip Matematické souvislosti Historie (x i ) j mod m = x i j mod (p 1)(q 1) = 1 i,j N

24 Konstrukce kryptosystému Základní princip Matematické souvislosti Historie velká prvočísla p,q,p q 300 cifer (1000 bitů) modul m = pq zlikvidovat p, q volba klíčů veřejného (i) soukromého (j) zveřejnění m, i

25 Prvočísla do 1000 Základní princip Matematické souvislosti Historie 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

26 Eulerova funkce Základní princip Matematické souvislosti Historie ϕ(m) : počet čísel < m nesoudělných s m m, n nesoudělná ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k 1 (p 1) p prvočíslo počet čísel p k soudělných s p k (násobkem) n p p k n p k 1

27 Eulerova funkce Základní princip Matematické souvislosti Historie Výpočet hodnot p, q různá prvočísla ϕ(p) = p 1 ϕ(p k ) = (p 1)p k 1 ϕ(p q) = (p 1)(q 1)

28 Eulerova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Eulerova věta a ϕ(m) mod m = 1 a, m N; nesoudělná ϕ(n) 1 1 ϕ(n) x i 1 ϕ(n) ax i a ϕ(n) x i 1 mod n ax j ax k mod n j = k 1 a ϕ(n) mod n

29 Volba klíčů Základní princip Matematické souvislosti Historie i nesoudělné s ϕ(m)! j = i ϕ(ϕ(m)) 1 mod ϕ(m) Důkaz. a ϕ(m) mod m = 1 a ϕ(ϕ(m)) modϕ(m) = i i ϕ(ϕ(m) 1 mod ϕ(m) = i j mod ϕ(m) = 1

30 Ilustrativní kryptosystém Základní princip Matematické souvislosti Historie osmibitové šifrování p = 17,q = 19 m = = ϕ(17 19) = (17 1) (19 1) = 288 ϕ(ϕ(m)) = ϕ( ) = (1 2 4 ) (2 3 1 ) = 96 i = 7 j = i 96 1 mod 288 = 247

31 Ukázka šifrování Základní princip Matematické souvislosti Historie M A E L S T R O M ASCII ASCII i=

32 Slabiny Základní princip Matematické souvislosti Historie nešifrovné zprávy 0, 1 x 2 mod (p q) = x x 1 = (p q 2 mod q) p x 2 = (q p 2 mod p) q σ = (1 + d(i 1,p 1)) (1 + d(i 1,q 1)) Ilustrativní kryptosystém σ 9 x 1 = (17 17 mod 19) 17 = 9 17 = 153 (OK) x 2 = (19 15 mod 17) 19 = 9 19 = 171 (OK) σ = (1 + d(6,16)) (1 + d(6,18)) = (1 + 2) (1 + 6) = 21 (KO)

33 Důkaz Základní princip Matematické souvislosti Historie i j = k ϕ(m) + 1 (x i ) j = x ij = x k ϕ(m)+1 x ϕ(m) mod m = 1 x k ϕ(m) mod m = 1 k mod m = 1 mod m x k ϕ(m)+1 mod m = x k ϕ(m) x mod m = x

34 Leonhard Euler Základní princip Matematické souvislosti Historie Leonhard Euler švýcarský matematik, fyzik

35 Malá Fermatova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Malá Fermatova věta b N, p prvočíslo; nesoudělná b p 1 mod p = 1

36 (Malá) Fermatova věta Základní princip Matematické souvislosti Historie Star Trek: TNG Hotel Royale (Velká) Fermatova věta (1993, Andrew Wiles)

37 Pierre de Fermat Základní princip Matematické souvislosti Historie Pierre de Fermat 1601(1607?)-1665 francozský právník, soudce matematik amatér x n + y n = z n

38 Použití () komunikace (PGP, GPG) end to end instant messaging Jabber, Pidgin (ICQ?) elektronická pošta (Thunderbird) elektronické bankovnictví elektronický podpis zabezpečené prohlížení webu

39 Elektronický podpis Ilustrativní podepisovací mechanismus (x j ) i mod m = x [ h(m) j ] i mod m = h(m)

40 Pro samostatné studium nástroje Faktorizace menších čísel Aritmetika velkých čísel Největší společný dělitel Modulární násobení, umocňování velkých čísel Převod do binární, hexadecimální soustavy Modulární aritmetika velkých čísel: ModCalculator.html

41 Literatura [PDK] LEDA 2006 témata kódování šifrování digitalizace komprese teorie informace

42 Literatura volně související, zájmová Academia 2003 (1998) základní myšlenky 140 stran A5 čistého textu pro naprosté laiky

43 Literatura volně související, zájmová Triton 2011 policejní město, GPG TOR další bezpečností mechanismy

44 Obrázky, fotografie Rivset, Shamir, Adleman Leonhard Euler John Forbes Nash, Jr. tričko Informační znak

45 Obrázky, fotografie Star Trek Nová generace, 2x12 (Hotel Royale) První kontakt Trávníkář

Složitost a moderní kryptografie

Složitost a moderní kryptografie Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie

Více

Čínská věta o zbytcích RSA

Čínská věta o zbytcích RSA Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 5. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:52 Obsah 1 Čínská věta o zbytcích 2 1.1 Vlastní tvrzení.....................................

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod 2. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod 2. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 2. přednáška Úvod 2 http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a

Více

C5 Bezpečnost dat v PC

C5 Bezpečnost dat v PC C5 T1 Vybrané kapitoly počíta tačových s sítí Bezpečnost dat v PC 1. Počíta tačová bezpečnost 2. Symetrické šifrování 3. Asymetrické šifrování 4. Velikost klíče 5. Šifrování a dešifrov ifrování 6. Steganografie

Více

Zpracování informací

Zpracování informací Ústav automatizace a informatiky Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně Cvičení č. 2 z předmětu Zpracování informací Ing. Radek Poliščuk, Ph.D. 1/9 Téma cvičení Cvičení 2 Přenos dat

Více

Informatika Ochrana dat

Informatika Ochrana dat Informatika Ochrana dat Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2007/2008 Obsah Kryptografické systémy s veřejným klíčem, výměna tajných klíčů veřejným kanálem, systémy s veřejným

Více

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3. Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

Základy kryptografie. Beret CryptoParty 11.02.2013. 11.02.2013 Základy kryptografie 1/17

Základy kryptografie. Beret CryptoParty 11.02.2013. 11.02.2013 Základy kryptografie 1/17 Základy kryptografie Beret CryptoParty 11.02.2013 11.02.2013 Základy kryptografie 1/17 Obsah prezentace 1. Co je to kryptografie 2. Symetrická kryptografie 3. Asymetrická kryptografie Asymetrické šifrování

Více

Asymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Mgr. Martin Henzl Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz

Asymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Mgr. Martin Henzl Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz Asymetrická kryptografie a elektronický podpis Ing. Mgr. Martin Henzl Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz Obsah cvičení Asymetrická, symetrická a hybridní kryptografie Matematické problémy, na kterých

Více

Směry rozvoje v oblasti ochrany informací PS 7

Směry rozvoje v oblasti ochrany informací PS 7 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Směry rozvoje v oblasti ochrany informací PS 7 2 Osnova vývoj symetrických a asymetrických metod; bezpečnostní protokoly; PKI; šifrováochranavinternetu;

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže. kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q s jsou prvočísla a

Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže. kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q s jsou prvočísla a Přirozená čísla: 1, 2, 3,... = {1, 2, 3,... } Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže p α 1 1 pα 2 2 pα r r = q β 1 1 qβ 2 2 qβ s s, kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Počítačová bezpečnost prakticky

Počítačová bezpečnost prakticky Ing. PragoFFest 2014 Motto To, že jsem paranoidní, neznamená, že po mně nejdou. Slidy www.mael.cz Hesla nejčastější autentizace slabá zjevná fakta (narození,... ) fráze slovníkový

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Od Enigmy k PKI. principy moderní kryptografie T-SEC4 / L3. Tomáš Herout Cisco. Praha, hotel Clarion 10. 11. dubna 2013.

Od Enigmy k PKI. principy moderní kryptografie T-SEC4 / L3. Tomáš Herout Cisco. Praha, hotel Clarion 10. 11. dubna 2013. Praha, hotel Clarion 10. 11. dubna 2013 Od Enigmy k PKI principy moderní kryptografie T-SEC4 / L3 Tomáš Herout Cisco 2013 2011 Cisco and/or its affiliates. All rights reserved. Cisco Connect 1 Největší

Více

Ochrana dat 2.12.2014. Obsah. Výměna tajných klíčů ve veřejném kanálu. Radim Farana Podklady pro výuku. Kryptografické systémy s tajným klíčem,

Ochrana dat 2.12.2014. Obsah. Výměna tajných klíčů ve veřejném kanálu. Radim Farana Podklady pro výuku. Kryptografické systémy s tajným klíčem, Ochrana dat Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Kryptografické systémy s tajným klíčem, výměna tajných klíčů veřejným kanálem, systémy s tajným klíčem. Elektronický podpis. Certifikační autorita. Metody

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Úvodem Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: Notace. počítání největších společných dělitelů řešení

Více

Autentizace uživatelů

Autentizace uživatelů Autentizace uživatelů základní prvek ochrany sítí a systémů kromě povolování přístupu lze uživatele členit do skupin, nastavovat různá oprávnění apod. nejčastěji dvojicí jméno a heslo další varianty: jednorázová

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz, 22. 1. 2011 Úvodem Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: počítání největších společných dělitelů

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

http://www.fit.cvut.cz

http://www.fit.cvut.cz Magisterský obor "Počítačová bezpečnost" prof. Ing. Róbert Lórencz, CSc. garant oboru Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze FIT ČVUT v Praze

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Kryptografie - Síla šifer

Kryptografie - Síla šifer Kryptografie - Síla šifer Rozdělení šifrovacích systémů Krátká charakteristika Historie a současnost kryptografie Metody, odolnost Praktické příklady Slabá místa systémů Lidský faktor Rozdělení šifer Obousměrné

Více

EU-OPVK:VY_32_INOVACE_FIL13 Vojtěch Filip, 2014

EU-OPVK:VY_32_INOVACE_FIL13 Vojtěch Filip, 2014 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0036 Tématický celek Inovace výuky ICT na BPA Název projektu Inovace a individualizace výuky Název materiálu Kryptografie Číslo materiálu VY_32_INOVACE_FIL13 Ročník První

Více

CO JE KRYPTOGRAFIE Šifrovací algoritmy Kódovací algoritmus Prolomení algoritmu

CO JE KRYPTOGRAFIE Šifrovací algoritmy Kódovací algoritmus Prolomení algoritmu KRYPTOGRAFIE CO JE KRYPTOGRAFIE Kryptografie je matematický vědní obor, který se zabývá šifrovacími a kódovacími algoritmy. Dělí se na dvě skupiny návrh kryptografických algoritmů a kryptoanalýzu, která

Více

Ochrana dat pomocí šifrovacích algoritmů. Bc. Tomáš Studený

Ochrana dat pomocí šifrovacích algoritmů. Bc. Tomáš Studený Ochrana dat pomocí šifrovacích algoritmů Bc. Tomáš Studený Diplomová práce 2006 ABSTRAKT Diplomová práce pojednává o dnes v praxi používaných symetrických a asymetrických kryptosytémech. V úvodu jsou

Více

INFORMATIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MIROSLAV MENŠÍK MODUL 4 BEZPEČNOST OPERAČNÍHO SYSTÉMU A SÍŤOVÉ KOMUNIKACE

INFORMATIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MIROSLAV MENŠÍK MODUL 4 BEZPEČNOST OPERAČNÍHO SYSTÉMU A SÍŤOVÉ KOMUNIKACE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MIROSLAV MENŠÍK INFORMATIKA MODUL 4 BEZPEČNOST OPERAČNÍHO SYSTÉMU A SÍŤOVÉ KOMUNIKACE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA c

Více

Šifrování pro úplné začátečníky

Šifrování pro úplné začátečníky OpenAlt.cz 1. 11. 2014 Osnova prezentace 1 Symetrické a asymetrické šifrování 2 3 Symetrické šifrování jeden klíč šifrování (originál + klíč) šifrovaný text dešifrování (šifrovaný text + klíč) originál

Více

ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA

ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA ICS 35.040 Únor 2012 Informační technologie Bezpečnostní techniky Kryptografické techniky založené na eliptických křivkách Část 5: Generování eliptických křivek ČSN ISO/IEC 15946-5

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

MODERNÍ ASYMETRICKÉ KRYPTOSYSTÉMY

MODERNÍ ASYMETRICKÉ KRYPTOSYSTÉMY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS

Více

Šifrování Kafková Petra Kryptografie Věda o tvorbě šifer (z řečtiny: kryptós = skrytý, gráphein = psát) Kryptoanalýza Věda o prolamování/luštění šifer Kryptologie Věda o šifrování obecné označení pro kryptografii

Více

Kryptografie, elektronický podpis. Ing. Miloslav Hub, Ph.D. 27. listopadu 2007

Kryptografie, elektronický podpis. Ing. Miloslav Hub, Ph.D. 27. listopadu 2007 Kryptografie, elektronický podpis Ing. Miloslav Hub, Ph.D. 27. listopadu 2007 Kryptologie Kryptologie věda o šifrování, dělí se: Kryptografie nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby,

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky. Diplomová práce

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky. Diplomová práce Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Diplomová práce Zapracování digitálního podpisu pro autentizaci přístupu Oracle Portal Plzeň, 2003 Josef

Více

PSK2-16. Šifrování a elektronický podpis I

PSK2-16. Šifrování a elektronický podpis I PSK2-16 Název školy: Autor: Anotace: Vzdělávací oblast: Předmět: Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 Ing. Marek Nožka Jak funguje asymetrická šifra a elektronický podpis Informační

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

2.1. Zásady bezpečného chování... 4. 3.2. Asymetrické šifrování... 7. 4.1. MD5 (Message Digest algorithm)... 8 4.2. SHA-1 (Secure Hash Algorithm)...

2.1. Zásady bezpečného chování... 4. 3.2. Asymetrické šifrování... 7. 4.1. MD5 (Message Digest algorithm)... 8 4.2. SHA-1 (Secure Hash Algorithm)... METODY ŠIFROVÁNÍ (Zrgbql fvsebinav) Předmět: 4IZ110 Kurz č. 005 Autor: Martin Vlčko Email: xvlcm12@vse.cz Datum odevzdání: 16. dubna 2007 Vyučující: RNDr. Radomír Palovský, CSc. Obsah: 1. Historie šifrování...

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

Šifrování a bezpečnost. Bezpečnost. Definice. Úvod do počítačových sítí Lekce 12 Ing. Jiří ledvina, CSc.

Šifrování a bezpečnost. Bezpečnost. Definice. Úvod do počítačových sítí Lekce 12 Ing. Jiří ledvina, CSc. Šifrování a bezpečnost Úvod do počítačových sítí Lekce 12 Ing. Jiří ledvina, CSc. Bezpečnost požadavky na bezpečnost se v poslední době výrazně mění tradičně byla zajišťována zamezením přístupu (uzamykáním

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů Diplomová práce Brno 2006 Jiří Růžička Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a použil přitom pouze uvedené

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Správa webserveru. Blok 9 Bezpečnost HTTP. 9.1 Úvod do šifrování a bezpečné komunikace. 9.1.1 Základní pojmy

Správa webserveru. Blok 9 Bezpečnost HTTP. 9.1 Úvod do šifrování a bezpečné komunikace. 9.1.1 Základní pojmy Blok 9 Bezpečnost HTTP Studijní cíl Devátý blok kurzu je věnován Identifikaci, autentizaci a bezpečnosti Hypertext Transfer Protokolu. Po absolvování bloku bude student ovládat partie týkající se zabezpečení

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

1. INFORMAČNÍ SPOLEČNOST 2. INFORMATIKA, INFORMACE A DATA. 2.1.1 Informatika jako počítačová věda

1. INFORMAČNÍ SPOLEČNOST 2. INFORMATIKA, INFORMACE A DATA. 2.1.1 Informatika jako počítačová věda 1. INFORMAČNÍ SPOLEČNOST 1.1 INFORMACE A JEJICH VÝZNAM V SOUČASNÉM SVĚTĚ 1.2 INFORMAČNÍ VĚK A JEHO PROJEVY 1.3 CHARAKTERISTIKA INFORMAČNÍ SPOLEČNOSTI 1.4 ZNALOSTNÍ EKONOMIKA (SPOLEČNOST) 2. INFORMATIKA,

Více

Be Safe! Radim Roška 6.4. 2009. Installfest 2010 Silicon Hill

Be Safe! Radim Roška 6.4. 2009. Installfest 2010 Silicon Hill Be Safe! Radim Roška Installfest 2010 Silicon Hill 6.4. 2009 zdroj:xkcd.com zdroj:abclinuxu.cz Obsah 1 Software, aplikace Socialní inženýrství/lidský faktor Misc 2 3 Emaily TLS/SSL SSH 4 Co je to bezpečnost?

Více

Bezpečnost dat. Možnosti ochrany - realizována na několika úrovních

Bezpečnost dat. Možnosti ochrany - realizována na několika úrovních Bezpečnost dat Možnosti ochrany - realizována na několika úrovních 1. ochrana přístupu k počítači 2. ochrana přístupu k datům 3. ochrana počítačové sítě 4. ochrana pravosti a celistvosti dat (tzv. autenticity

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Data a datové typy 1 / 28 Obsah přednášky Základní datové typy Celá čísla Reálná čísla Znaky 2 / 28 Organizace dat Výběr vhodné datvé struktry různá paměťová náročnost různá

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

egovernment DEFINICE

egovernment DEFINICE egovernment 1 egovernment DEFINICE Série procesů vedoucí k výkonu státní správy a samosprávy a uplatňování občanských práv a povinností fyzických a právnických osob, realizovaných elektronickými prostředky.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem Českérepubliky. Internet a zdroje Bezpečnost na Internetu Petr Jakubec Tomáš

Více

INFORMATIKA (ŠIFROVÁNÍ A PODPIS) 2010/11

INFORMATIKA (ŠIFROVÁNÍ A PODPIS) 2010/11 INFORMATIKA (ŠIFROVÁNÍ A PODPIS) 2010/11 1.1 Šifrovaná a nešifrovaná komunikace Při přenosu dat (v technice i v živých organismech) se užívá: Kódování realizace nebo usnadnění přenosu informace. Morse

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu 1 Podklady předmětu pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana Obsah 2 Obsah předmětu, Požadavky kreditového systému, Datové typy jednoduché, složené, Programové struktury, Předávání dat. Obsah předmětu

Více

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Metody řešení diofantických rovnic STUDIJNÍ TEXT Vypracoval: Jan Steinsdörfer Ústí nad Labem 2015 Obsah Úvod 2 1 Vznik diofantických

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Integrovaný informační systém Státní pokladny (IISSP) Dokumentace API - integrační dokumentace

Integrovaný informační systém Státní pokladny (IISSP) Dokumentace API - integrační dokumentace Česká republika Vlastník: Logica Czech Republic s.r.o. Page 1 of 10 Česká republika Obsah 1. Úvod...3 2. Východiska a postupy...4 2.1 Způsob dešifrování a ověření sady přístupových údajů...4 2.2 Způsob

Více

1 ELEKTRONICKÁ POŠTA

1 ELEKTRONICKÁ POŠTA 1 ELEKTRONICKÁ POŠTA 1.1 ODESÍLÁNÍ ELEKTRONICKÝCH ZPRÁV Já, jako odesílatel elektronických zpráv mám u poskytovatele služeb elektronické pošty zřízenou elektronickou schránku s adresou já@poskytovatel.cz

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Bezpečnostní rozhraní UN/EDIFACT

Bezpečnostní rozhraní UN/EDIFACT Bezpečnostní rozhraní UN/EDIFACT EDITEL CZ (Verze MAKRO 7.9.2001) Obsah Bezpečnostní rozhraní UN/EDIFACT... 1 Obsah... 1 Bezpečnost EDI systémů - ohrožení, bezpečnostní funkce a mechanismy... 2 Bezpečnostní

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Šifrování dat, kryptografie

Šifrování dat, kryptografie Metody a využití Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 5. prosince 201 Úvod do kryptografie Kryptografie a kryptoanalýza Co to je kryptografie

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Pierre Fermat: člověk, doba, velké výsledky

Pierre Fermat: člověk, doba, velké výsledky Cahiers du CEFRES N 28, Matematik Pierre de Fermat Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink (Ed.) Jean Baptiste HIRIART-URRUTY Pierre Fermat: člověk, doba, velké výsledky Référence électronique / electronic

Více

Vše co jste chtěli vědět o číslech a báli jste se zeptat. Jakub Šotola Matematické pátky 13. 11. 2009

Vše co jste chtěli vědět o číslech a báli jste se zeptat. Jakub Šotola Matematické pátky 13. 11. 2009 Vše co jste chtěli vědět o číslech a báli jste se zeptat Jakub Šotola Matematické pátky 13. 11. 2009 Historie počítání Stačí, nestačí Ovce a kameny Jedna, dvě, moc Trés velmi; trois tři Duál Trojné a čtverné

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte Úvod Právě se díváte na moje řešení příkladů z X01AVT z roku 2007/2008. Zajisté obsahují spousty chyb a nedokáže je pochopit nikdo včetně autora, ale aspoň můžou posloužit jako menší návod k tomu, jak

Více

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU:

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: VZDĚLÁVACÍ OBLAST : VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: Matematika a její aplikace Matematika 6.6 Matematika CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: Vyučovací předmět Matematika je předmět, který poskytuje vědomosti

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Jana Divišová. Katedra algebry

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Jana Divišová. Katedra algebry Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jana Divišová Kryptografie založená na mřížkách Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. David Stanovský, Ph.D. Studijní

Více

OS Design a bezpečnost

OS Design a bezpečnost OS Design a bezpečnost Tomáš Hudec Tomas.Hudec@upce.cz http://asuei01.upceucebny.cz/usr/hudec/vyuka/os/ Podstata problému designování je důležité mít jasný cíl, co přesně požadujeme úspěch jazyka C (Ken

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: 28 CZ.1.07/1.5.00/34.0410 Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: Jméno autora: Předmět: Tématický celek:

Více

ŠIFROVÁNÍ, EL. PODPIS. Kryptografie Elektronický podpis Datové schránky

ŠIFROVÁNÍ, EL. PODPIS. Kryptografie Elektronický podpis Datové schránky ŠIFROVÁNÍ, EL. PODPIS Kryptografie Elektronický podpis Datové schránky Kryptografie Kryptografie neboli šifrování je nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se

Více

Šifrování Autentizace Bezpečnostní slabiny. Bezpečnost. Lenka Kosková Třísková, NTI TUL. 22. března 2013

Šifrování Autentizace Bezpečnostní slabiny. Bezpečnost. Lenka Kosková Třísková, NTI TUL. 22. března 2013 Šifrování Autentizace ní slabiny 22. března 2013 Šifrování Autentizace ní slabiny Technologie Symetrické vs. asymetrické šifry (dnes kombinace) HTTPS Funguje nad HTTP Šifrování s pomocí SSL nebo TLS Šifrování

Více

Bezpečnostní aspekty informačních a komunikačních systémů KS2

Bezpečnostní aspekty informačních a komunikačních systémů KS2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Bezpečnostní aspekty informačních a komunikačních systémů KS2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

Ročník VI. B. Téma: Cíl: Žák - Vazba na ŠVP Poznámky

Ročník VI. B. Téma: Cíl: Žák - Vazba na ŠVP Poznámky Tématický plán Předmět Matematika Vyučující PhDr. Eva Bomerová Školní rok 2012/2013 Ročník VI. B hod./týd. 4 Učebnice: Hejný, M., Jirotková, D., Bomerová, E., Michnová, J.: Matematika pro 5. ročník ZŠ.

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

ELEKTRONICKÝ PODPIS A JEHO POUŽITÍ V PRAXI

ELEKTRONICKÝ PODPIS A JEHO POUŽITÍ V PRAXI ELEKTRONICKÝ PODPIS A JEHO POUŽITÍ V PRAXI Elektronic signature and his usage practically Bc. Jan Prygl Diplomová práce 2007 ABSTRAKT Tato diplomová práce se zabývá problematikou elektronického podpisu.

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5 Obsah Obsah 1 Číselné soustavy 1 2 Paměť počítače 1 2.1 Měření objemu paměti počítače................... 1 3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače................. 3 4 Problémy

Více