Základy aritmetiky a algebry I

Transkript

1 Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, (pouze po stranu 60) Podmínky udělení kolokvia: úspěšné napsání písemné práce ve zkouškovém období a samostatné vypracovávání domácích úkolů v průběhu semestru (bude ověřeno i při kolokviu). Osnova předmětu 1. Relace, zobrazení, funkce. Příklady relací. Grupa motivace, definice, příklady. 2. Relace a jejich vlastnosti: uspořádaná a neuspořádaná dvojice, kartézský součin, n-tá kartézská mocnina množiny. Binární relace, relace z množiny do množiny, relace v množině, kartézský graf. Relace složená, inverzní. Relace reflexivní, symetrická, tranzitivní, antisymetrická. Asociativita skládání relací (a z toho plynoucí asociativita skládání zobrazení i funkcí), (R 1 R 2 ) 1 = R2 1 R1 1. Relace ekvivalence na množině, rozklad množiny, třída (blok) ekvivalence, faktorová množina; ekvivalence na množině indukuje její rozklad. Hasseův diagram, svaz. Prvek nejmenší, největší, minimální, maximální. Množina uspořádaná částečně, úplně (lineárně). Lexikografické uspořádání. 3. Definice zobrazení, injekce, surjekce, bijekce, graf zobrazení. Rozklad zobrazení na surjekci a injekci. Transformace a permutace množiny. Binární operace. 4. Mohutnost (kardinalita) množiny, množiny spočetné a nejvýše spočetné, N = ℵ 0, charakterizace nekonečných množin pomocí vlastních podmnožin. Mohutnost číselných oborů. 5. Definice, věta, důkaz. Typy důkazů vět ve tvaru implikace: přímý, nepřímý, sporem. 6. Přirozená čísla, zavedení genetickou metodou. Sčítání a násobení přirozených čísel. Princip matematické indukce a princip dobrého uspořádání, ekvivalence těchto principů. Čísla von Neumannova. Důkaz matematickou indukcí. Součty mocnin přirozených čísel. 7. Dělitelnost. Dělitel, násobek, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, čísla nesoudělná. (N, ) jako svaz, Hasseovy diagramy. Kongruence modulo n, aritmetické operace v Z n, dělení v Z n a v Z p. Malá Fermatova věta. Základní kritéria dělitelnosti. 8. Prvočísla a čísla složená, rozklady přirozených čísel na součin prvočísel. Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel. Eratosthenovo síto. Matijasevičova parabola. Mersennova čísla a prvočísla, sudá dokonalá čísla, vztah mezi nimi: Eukleidova a Eulerova věta. 9. Dělení se zbytkem, Eukleidův algoritmus, Bézoutova věta, Eukleidovo lémma. Základní věta aritmetiky. Vyjádření NSD a nsn pomocí součinu mocnin prvočísel. Zápis čísel v jiných numeračních soustavách. 10. Řetězové zlomky: vyjádření racionálních čísel řetězovými zlomky, konvergenty, rozvoj iracionálního čísla do řetězového zlomku, přesnost aproximace, chování posloupnosti konvergentů (věta o cikcaku ). Lineární diofantická rovnice. 11. Grupa, okruh, obor integrity (Z, Z[i], ), těleso, pole. 12. Konstrukce oboru integrity celých čísel, konstrukce pole racionálních čísel (podílové těleso oboru integrity), abstraktní podstata těchto konstrukcí. 13. Permutace, grupy a jejich příklady, cyklické grupy, homomorfismy grup.

2 1 Cvičení Ukažte, že algebraické struktury (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) jsou komutativní grupy. 2. Rozhodněte, zda následující množiny s předepsanou operací tvoří komutativní grupu. (Z, ) (Q, ) (Q \ {0}, ) (R \ {0}, ) (C \ {0}, ) 3. Rozhodněte, zda množina R 3 = {(a, b, c); a, b, c R} všech uspořádaných trojic reálných čísel s operací sčítání trojic po složkách, tj. a, b, c, d, e, f R definujeme (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f), tvoří komutativní grupu. 4. Rozhodněte, zda množina všech a) posunutí v rovině; b) otočení v rovině kolem jednoho pevně daného bodu S; společně s operací skládání tvoří grupu. V kladném případě rozhodněte, zda je tato grupa komutativní. 2 Cvičení Relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní se nazývá částečné uspořádání (nebo také neostré uspořádání ). Uvažujme systém P(A) všech podmnožin 1 neprázdné konečné množiny A. Ukažte, že relace je na P(A) částečným uspořádáním. Je nutný předpoklad, aby množina A byla: a) neprázdná; b) konečná? 2. Rozhodněte, zda je relace mít stejnou krevní skupinu na množině všech lidí v ČR relací ekvivalence. 3. Rozhodněte, zda je relace mít stejný zbytek po dělení dvěma ekvivalencí na množině N = {1, 2, 3,... }. 4. Dokažte, že pro každou relaci R A B platí: ( R 1 ) 1 = R. 5. Dokažte, že pro každé dvě relace R 1 A B, R 2 B C platí: (R 1 R 2 ) 1 = R 1 2 R K rozmyšlení: jak se pozná z kartézského grafu tranzitivní relace? 3 Cvičení Ekvivalence zopakujte si teorii: [BeDla], I.27 a I Částečné uspořádání zopakujte si teorii: [BeDla], kap. 11: I.30, I.34 (iv). 3. Rozhodněte, zda množina s danou relací je uspořádána částečně či lineárně. (N, ) (R, ) (N, ) (N \ {0}, ) 4. Ujistěte se, že rozumíte konstrukci Hasseova diagramu ve cvičení I.43 ([BeDla], str. 40). 5. Ujistěte se, že rozumíte konstrukci znázornění svazu všech ekvivalencí množiny {a, b, c, d} ([BeDla], str. 36). 6. Kniha [BeDla], str. 18 dole: prostudujte úvodní text kapitoly 4 (až po cv. I.7) opakování definice zobrazení a jeho různých druhů. 7. Kniha [BeDla], cvičení I.7 (i), I.11, rozmyslete si, že platí věta I.12 (i) a (iv) obecně, (ii) a (iii) na konkrétních příkladech. 8. Kniha [BeDla], poznámka I Tzv. potenční množina.

3 4 Cvičení Je množina všech uspořádaných trojic přirozených čísel uspořádána lexikografickým uspořádáním úplně, nebo pouze částečně? 2. Napište následující zobrazení jako složení surjekce a injekce (tuto surjekci a injekci popište slovně). a) y = x 2 na R b) y = sin x na R 3. Dokažte: (a = b) ( b = a) (a = b) (a b) 4. Zopakujte si z knihy [BeDla], str. 19, odstavec o mohutnosti (text za cvičením I.7 (ii)). 5. Text v knize [BeDla], str. 21 nahoře (před cv. I.10): graf zobrazení. 5 Cvičení Odvoďte vztahy pro následující součty. a) n = b) a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) + (a 1 + 3d) + (a 1 + 4d) + + (a 1 + (n 1)d) = c) 1 + q + q 2 + q q n = 2. Dokažte matematickou indukcí následující vztahy. a) binomická věta: pro každé n N a pro každé a, b R \ {0} : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n (a + b) n = a n b 0 + a n 1 b 1 + a n 2 b 2 + a n 3 b a n n b n n neboli (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k k b) Pro každou komplexní jednotku cos φ + i sin φ a pro každé n N platí: (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ. 3. Označme F n členy Fibonacciho posloupnosti zadané rekurentně: Dokažte, že pro všechna n N platí: F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1. a) F n = (1 + 5) n (1 5) n 2 n 5 c) F 1 + F 3 + F F 2n 1 = F 2n d) F n < 2 n n e) F k = F n+2 1 k=1 nebo b) F n = φn ( φ) n 5, kde φ = Kniha [BeDla], str. 13: zopakujte si Vennovy diagramy. 5. Stručně pročtěte text v knize [BeDla], str. 55 a 56 (až po II.3 včetně), budeme o tom hovořit příště. 6. Kniha [BeDla], str. 59 úplně dole až str. 57: podívejte se na poznámky (vii) o Binetově formuli. 7. Pro zajímavost si pročtěte poznámku II.7 ([BeDla], str. 60 a 61).

4 6 Cvičení Výměny hodin v listopadu Příští týden se cvičení nekoná, místo něho bude Lineární algebra I pak budeme mít dvě cvičení : LA LA MA : ZAA LA ZAA : ZAA MA MA Domácí cvičení bude zadáno až Cvičení Z knihy [BeDla] doporučuji opakovat si probranou látku (výběr ze str. 136 až 145). 2. Odvoďte následující vztahy, které platí pro všechna n N. a) n k 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2 k=1 Příklady označené s hvězdičkou jsou mírně náročnější. b)* (2n 1) 2 = 1 n(2n 1)(2n + 1) 3 c)* (2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1) d)* ( 1) n 1 n 2 = 1 2 ( 1)n 1 n(n + 1) 3. Pozorujte součty n 3 a n. Jaký je mezi nimi vztah? 4. Máme-li dokázáno, že každá dvě různá Fermatova čísla F m a F n jsou nesoudělná, můžeme Eukleidovu větu o nekonečném počtu prvočísel dokázat snadno: označíme-li u každého F k jeho nejmenšího prvočíselného dělitele p k, dostaneme nekonečnou posloupnost {p k } navzájem různých prvočísel (díky nesoudělnosti každých dvou různých Fermatových čísel). 5. Pravidelné n-úhelníky, o nichž je známo, že jsou eukleidovsky (tj. pouze pomocí pravítka a kružítka) konstruovatelné, existují jen pro konečně mnoho lichých n. Určete jejich počet. 6. Všimněme si, že pro n 2 má F n poslední cifru 7. Platí to obecně? 7. Pozorujme Fermatova čísla: n F n

5 Fermatova čísla tedy rostou se vzrůstajícím n velmi rychle. Počet cifer F n je pro n = 0, 1,..., 23: F 0 : 1 F 1 : 1 F 2 : 2 F 3 : 3 F 4 : 5 F 5 : 10 F 6 : 20 F 7 : 39 F 8 : 78 F 9 : 155 F 10 : 309 F 11 : 617 F 12 : F 13 : F 14 : F 15 : F 16 : F 17 : F 18 : F 19 : F 20 : F 21 : F 22 : F 23 : F 24 :? Kolik cifer má číslo F 24? 8. Dokažte, že pro všechna n 2 platí: F n = F 0 F 1 F n 2 F n Pozorujme Fermatova čísla pro n 1: F 1 = 5 = 6 1, F 2 = 17 = 18 1, F 3 = 257 = Dokažte, že každé Fermatovo číslo F n, n N, lze psát ve tvaru: kde k je nějaké přirozené číslo. F n = 6k 1, [Návod: užijte logaritmů.]

6 8 Cvičení Kolik cifer má Mersennovo číslo M 127? [Návod: užijte logaritmů.] 2. Pozorujte poslední cifry Mersennových čísel M n = 2 n 1 pro n = 1, 2, 3,..., 8. Pozorujte poslední cifry čísel 2 n 1 pro n = 1, 2, 3,..., Pozorujme dokonalá čísla: 6, 28, 496, 8 128, , , Poslední cifrou je vždy 6 nebo 8. Ukažte, že to platí pro všechna sudá dokonalá čísla, tj. čísla ve tvaru 2 p 1 (2 p 1). 4. Pozorujme součty převrácených hodnot všech dělitelů dokonalých čísel: 6: = 2, 28: = 2. Dokažte, že jsou takovéto součty rovny dvěma pro každé dokonalé číslo. 5. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = Řetězový zlomek iracionálního čísla α je nekonečný, tj. α = [q 1 ; q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7,... ]. S pomocí kalkulátoru lze jeho články q i hledat velmi snadno, stačí stále opakovat tutéž sekvenci: a) odečtu celou část, kterou zaznamenám (to je totiž q i ), b) ze zbylého čísla (menšího než jedna) vypočtu převrácenou hodnotu. Vypočtěte prvních sedm článků (tj. čísla q i pro i = 1, 2,..., 7) řetězových zlomků následujících iracionálních čísel: φ = e U čísel φ (tzv. zlatý řez, viz následující bod) a e také vypočtěte prvních sedm konvergentů P i Q i, i = 1, 2,..., Poznámka: Fibonacciova posloupnost je zadána rekurentně: F 1 = F 2 = 1, F n+2 = F n+1 + F n pro všechna n N. Lze ukázat, že tuto posloupnost zadanou rekurentně lze také snadno zadat vzorcem: F n = (1 + 5) n (1 5) n 2. Tento vztah lze zapsat pomocí čísla φ = n 5 2 (φ také nazýváme zlatý řez): F n = φn ( φ) n Pozorujte jednoduchý prográmek v jazyce Python 3 2, který vypíše prvních n článků řetězového zlomku čísla x. # Retězový zlomek zadaného iracionálního čísla x # prvních n článků import math x = math.e n = 10 print(x) q = [] # řetězový zlomek for k in range(n): q.append( int(x) ) x = 1 / ( x - int(x) ) print(q) 2 Ke stažení zdarma na oficiálních stránkách

7 9 Cvičení Najděte racionální číslo, jehož řetězový zlomek je [1; 1, 4, 4, 1, 2]. Vypočtěte všechny konvergenty tohoto řetězového zlomku. 2. Vypočtěte následující součin matic. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 q q 2 1 q 3 1 q 4 3. Pozorujme řetězové zlomky odmocnin některých čísel: 1 = [1] 2 = [1; 2] 3 = [1; 1, 2] 4 = [2] 5 = [2; 4] 6 = [2; 2, 4] 9 = [3] 10 = [3; 6] 11 = [3; 3, 6] 16 = [4] 17 = [4; 8] 18 = [4; 4, 8] 25 = [5] 26 = [5; 10] 27 = [5; 5, 10] 36 = [6] 37 = [6; 12] 38 = [6; 6, 12] 49 = [7] 50 = [7; 14] 51 = [7; 7, 14] Přímým výpočtem ukažte, že pro každé n N platí: n2 + 1 = [n; 2n] n2 + 2 = [n; n, 2n] 4. Diofantická rovnice 6x + 15y = 1 nemá v Z žádné řešení. Přijdete na to, proč? 5. Najděte všechna řešení následujících diofantických rovnic. [Pozorujte: 3 (2x + 5y) = 1.] a) 11x + 29y = 1 b) 11x + 29y = 1 c) 11x 29y = 1 d) 11x 29y = 1 e) 12x + 17y = 1 f) 24x + 34y = 2 g) 36x + 51y = 3 h) 133x + 29y = 1 i) 18 x + 23 y = 1 6. Najděte hodnotu ryze periodického řetězového zlomku α = [ 1, 3, 2 ]. Využijte periodicity, tedy toho, že 1 α = α [α = ] 7. Podaří se Vám nalézt (s využitím poznatků z předchozího příkladu) hodnotu periodického řetězového zlomku α = [6; 2, 2, 12 ]? 8. Něco pro zábavu: v knize [BeDla], nahoře na str. 93 a 95 vyřešte slovní úlohy (Sylvesterova úloha a úloha o CD Karla Zpěváka). Diofantické rovnice s Fibonacciovými čísly na místě koeficientů Pozorujte následující diofantické rovnice a jejich řešení. Proč se Fibonacciova čísla na místě koeficientů dostanou do řešení (ovšem se zpožděním)? [0, 1] 2x + 3y = 1 [ 1, 1] [0, 1, 1] 3x + 5y = 1 [2, 1] [0, 1, 1, 1] 5x + 8y = 1 [ 3, 2] [0, 1, 1, 1, 1] 8x + 13y = 1 [5, 3] [0, 1, 1, 1, 1, 1] 13x + 21y = 1 [ 8, 5] [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 21x + 34y = 1 [13, 8] [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 34x + 55y = 1 [ 21, 13] [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 55x + 89y = 1 [34, 21] [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 89x + 144y = 1 [ 55, 34]

8 10 Cvičení Z knihy [BeDla] si zopakujte: III.23 (Bézoutova věta), III.25 28, III.31 34, III Cvičení V knize [BeDla] si pročtěte definici cyklické grupy (III.121, str. 146). Existuje-li v grupě (G, ) prvek g G takový, že každý prvek x G je jeho mocninou (x = g k pro nějaké k Z), potom tuto grupu nazýváme cyklickou grupou. Tento prvek nazýváme generátorem cyklické grupy G a píšeme G = g. Pozorujte v Z 5 \ {0}: 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 3, 2 4 = 1 vygenerovali jsme tedy pomocí prvku 2 všechny prvky Z 5 \ {0} Pozorujme ostatní prvky (kromě jednotkového): 3 1 = 3, 3 2 = 4, 3 3 = 2, 3 4 = 1 ale: 4 1 = 4, 4 2 = 1, 4 3 = 4, 4 4 = 1, zacyklilo se to tedy dříve 2. Vypište všechny prvky cyklické grupy generované imaginární jednotkou: i = Je (Z, +) cyklickou grupou? [ano] 4. Je (Z n, +) cyklickou grupou? [ano] 5. Je (Z p \ {0}, ) cyklickou grupou pro každé p P? [ano] 6. Ukažte, že nsn(a, b) NSD(a, b) = a b. 7. Všimněte si, že konstrukci komutativní grupy (Q \ {0}, ) lze snadno doplnit na konstrukci podílového pole (podílového tělesa). Viz též [BeDla], IV.1 2 na str. 162 a Pěkná aplikace kongruencí modulo n: systematické odvození kritérií dělitelnosti, viz následující strana.

9 11.1 Kritéria dělitelnosti Předně si všimněme rozkladů čísel blízkých mocninám desítky (budeme počítat v desítkové soustavě) Uvažujme přirozené číslo a s desetinným zápisem a n a n 1... a 3 a 2 a 1 a 0, tj. a = a n 10 n + a n 1 10 n a a a a Kritérium dělitelnosti 9 Jestliže je ciferný součet a n + a n a 3 + a 2 + a 1 + a 0 dělitelný 9, pak je číslem 9 dělitelné také a. Odvození: Jelikož je 10 k 1 mod 9 pro každé k N, platí: a a n 1 + a n a a a a 0 mod 9, odkud již dostáváme požadované tvrzení. 2. Na základě bodu 1 odvoďte kritérium dělitelnosti Ukažte, že všechna čísla tvaru 10 2k+1 + 1, k N 0 jsou dělitelná Ukažte, že pro každé k N je 10 2k 1 mod Kritérium dělitelnosti 11 Jestliže je rozdíl součtů cifer na sudých a lichých pozicích dělitelný 11, pak je číslem 11 dělitelné také a. Odvození: Jelikož je pro každé k N: platí: 10 2k 1 mod 11 a 10 2k+1 1 mod 11, a j sudá odkud již dostáváme požadované tvrzení kritérium dělitelnosti 7 Jelikož je mod 7, platí a j j lichá a j mod 11, a a a (a n 10 n 2 + a n 1 10 n a a 2 ) mod 7, což vede při opakovaném použití k relativně snadnému rozhodování o dělitelnosti sedmi kritérium dělitelnosti 7 Odvoďte jiné kritérium dělitelnosti 7, využijte přitom rovnost mod Odvoďte kritérium dělitelnosti Odvoďte kritérium dělitelnosti Odvoďte kritérium dělitelnosti Odvoďte kritérium dělitelnosti Odvoďte kritérium dělitelnosti Odvoďte kritérium dělitelnosti Pomocí odvozených kritérií prošetřete dělitelnost čísel a

10 12 Cvičení Dělitelnost v oborech integrity 1. eukleidovské obory integrity (jsou automaticky gaussovské): Obor integrity (I, +, ) se nazývá eukleidovský, pokud v něm existuje eukleidovská norma, tj. zobrazení ν : I N 0 takové, že a) ν(0) = 0, b) pokud pro b 0 a b, pak ν(a) ν(b), c) a, b I, b 0 existují q, r I taková, že a = qb + r a ν(r) < ν(b). celá čísla (Z, +, ); norma: ν(z) = z množiny zbytkových tříd (Z p, +, ) pro každé prvočíslo p P, pro čísla složená to neplatí: například v (Z 6, +, ) je 2 3 = 0, tedy součin dvou nenulových prvků je nula (2 i 3 jsou tedy netriviální dělitelé nuly) samozřejmě každé pole (F, +, ), tedy např. (Z p, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) polynomy nad polem F : (F [x], +, ) norma: ν(p n ) = deg P n + 1 = n + 1 Gaussova celá čísla: (Z[i], +, ), tj. komplexní čísla a + bi, kde a, b Z norma: ν(a + bi) = a 2 + b 2 (Z[ 2], +, ), (Z[i 2], +, ) norma: ν : Z[k] N 0, kde k je celé číslo, které není dělitelné druhou mocninou žádného prvočísla; definujeme: ν(a + b k) = a 2 kb 2 2. gaussovské obory integrity obory s jednoznačným rozkladem: Obor integrity (I, +, ) se nazývá gaussovský, pokud v něm má každý neinvertibilní nenulový prvek jednoznačný (až na pořadí a asociovanost) rozklad na ireducibilní činitele. Neinvertibliní prvek a se nazývá ireducibilní, pokud nemá vlastní dělitele. Tj. pokud a = bc, pak b 1 nebo c 1. polynomy nad oborem integrity, který je aspoň gaussovský: například (Z[x], +, ) 3. negaussovské obory integrity: (Z[ 5], +, ), (Z[i 3], +, ) protože například v Z[ 5]: 4 = 2 2, ale také 4 = ( 5 + 1) ( 5 1) 12.2 Permutace Teorie: z knihy Bečvář J.: Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, 2010 je třeba nastudovat strany 51 až 60. Příklady: rozdány na cvičení, vše kromě úloh 6 a 7.