MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky"

Transkript

1 MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde má daná operace něco jako svou inverzi, což je analogie k tomu co známe z klasických množin čísel: odečítání je přičítání inverze podobně jako dělení je násobení inverzí. Ovšem abychom měli aritmetiku kompletní, potřebujeme stejně jako na (reálných) číslech jak sčítání s odečítáním, tak také násobení s dělením, abychom mohli definovat například už tak základní pojem jako je polynom. Proto se v této přednášce, po krátkém výletě po eliptických křivkách, budeme věnovat právě strukturám se dvěma binárními operacemi, zejména okruhům a tělesům, které jsou právě zobecněním reálných čísel s dobře definovaným sčítáním a násobením i operacemi k nim obrácenými. počítání nad eliptickými křivkami Co bude v dnešní přednášce tělesa, okruhy konečná tělesa obecně tělesa neprvočíselného řádu 1.1 Eliptické křivky Na eliptických křivkách se v kryptografii počítá s body (x, y), kde x a y jsou zbytkové třídy po dělení nějakým prvočíslem p. Operace, která se tradičně (ovšem bez zvláštního důvodu) značí + je definována následovně: Definice 1. Pro dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ) definujeme P + Q = (x 3, y 3 ) takto: x 3 s 2 x 1 x 2 (mod p) y 3 s(x 1 x 3 ) y 1 (mod p), Počítání na eliptických křivkách 1

2 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 2 kde y 2 y 1 x s = 2 x 1 (mod p) pokud P Q, 3x 2 1 +a 2y 1 (mod p) pokud P = Q. Parametr a je převzat z rovnice dané eliptické křivky y 2 x 3 + ax + b (mod p), a, b Z p, kterou musí všechny body splňovat. Neutrální prvek O je uměle dodefinován tak, aby měl vlastnosti neutrálního prvku. Názorněji se dá vysvětlit počítání nad eliptickými křivkami, pokud bereme body (x, y) ze spojité roviny R 2. Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (1 ze 3) Definice 2. Eliptickou křivkou rozumíme množinu bodů splňující rovnici y 2 = x 3 + ax + b, kde pro reálné koeficienty a, b platí, že 4a b 2 0. Grupovou operaci sčítání pak lze definovat geometricky: viz Wolfram Demonstrations Project. Sčítáme-li dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ), musíme najít průniky přímky procházející těmito body a danou eliptickou křivkou. Platí-li P Q, má přímka procházející body P a Q rovnici y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 2 ) + y 2. Je-li P = Q = (x 1, y 1 ), má tečna směrnici danou derivací křivky v bodě x 1, což je y = x 3 + ax + b 3x 2 + a 2 x 3 + ax + b = {pro x = x 1} = 3x2 1 + a, 2y 1 Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (2 ze 3) a rovnice je tedy 3x a 2y 1 (x x 1 ) + y 1.

3 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 3 Při sčítání bodů tedy hledáme průsečíky nějaké přímky y = sx + d, kde s je směrnice a d R, a eliptické křivky y 2 = x 3 + ax + b. To vede na řešení rovnice (sx + d) 2 = x 3 + ax + b, což je polynomiální rovnice 3. stupně a ta, jak víme, může mít 1 až 3 reálné kořeny (jedno řešení máme vždy ze zadání). Např. situace, kdy pro různé P a Q dostaneme pouze dva kořeny, odpovídá tomu, že Q = P a výsledkem součtu je neutrální prvek O. Obecně řešení této rovnice získáme takto: Definice 3. Pro dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ) definujeme P + Q = (x 3, y 3 ) takto: x 3 = s 2 x 1 x 2 y 3 = s(x 1 x 3 ) y 1, y 2 y 1 x kde s = 2 x 1 pokud P Q, 3x 2 1 +a 2y 1 pokud P = Q. Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (3 ze 3) Na předchozích třech slidech (spisovně fóliích) jsme ukázali, jak se tvoří grupa nad množinou bodů roviny R R. Obecně ale místo množiny R můžeme vzít libovolné těleso, např. těleso Z p vede na konečnou cyklickou grupu popsanou na prvním slidu této sekce, ve které je problém diskrétního logaritmu těžko řešitelný. Eliptické křivky nad libovolným tělesem Co je to těleso si právě teď ukážeme: slovy řečeno je to množina s dvěma operacemi nazývanými tradičně sčítání a násobení, které umožňují definovat obdobu běžných aritmetických operací, jako jsou odečítání, dělení, mocnění, logaritmus, Okruhy a tělesa Neprázdná množina M s binární operací (resp. + při aditivním zápisu). Množiny s jednou binární operací

4 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 4 (M, ) resp. (M, +) grupoid pologrupa monoid grupa Abelovská grupa asociativita neutrální prvek inverzní prvky komutativita Pro většinu operací s čísly potřebujeme jak sčítat tak násobit. K aditivní grupě (M, +) přidáme ještě operaci násobení. Množiny s dvěma binárními operacemi (M, +, ) okruh / ring obor integrity / integral domain těleso / field Definice okruhu Definice 4 (Okruh / Ring). Buďte M neprázdná množina a + a binární operace. Řekneme, že R = (M, +, ) je okruh, pokud platí: (M, +) je Abelovská grupa, (M, ) je pologrupa, platí (levý a pravý) distributivní zákon: ( a, b, c M) (a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca).

5 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 5 Dodržujeme standardní konvenci, že násobení má vyšší prioritu než sčítání. Názvosloví Buď R = (M, +, ) okruh. Je-li komutativní, je R komutativní okruh, (M, +) se nazývá aditivní grupa okruhu R, (M, ) se nazývá multiplikativní pologrupa okruhu R, neutrální prvek grupy (M, +) se nazývá nulový prvek a značí se 0, inverzní prvek k a M pak značíme a, v okruhu můžeme definovat odečítání předpisem a b := a + ( b). Příklady (N, +, ) není okruh, neb (N, +) není grupa, (Z, +, ) je okruh, triviální okruh je ({0}, +, ) (platí-li 0 0 = 0), množina (R n,n, +, ) čtvercových reálných matic se sčítáním po složkách a maticovým násobením je okruh, nulový prvek je nulová matice, množina všech polynomů (s komplexními / reálnými / celočíselnými koeficienty) je okruh, nulový prvek je nulový polynom p(x) = 0. V libovolném okruhu (M, +, ) platí: Základní vlastnosti okruhu Levý i pravý distributivní zákon pro odečítání, tj. c(b a) = cb ca. Vskutku: ca + c(b a) = c(a + b a) = cb c(b a) = cb ca.

6 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 6 Že násobení nulovým prvkem dává opět nulový prvek, tj. ( a M)(a 0 = 0 0 a = 0). Vskutku: a 0 = a(a a) = aa aa = 0. Obor integrity Definice 5 (dělitelé nuly). Buď R = (M, +, ) okruh. Libovolné nenulové prvky a, b M takové, že a b = 0, se nazývají dělitelé nuly. Definice 6 (obor integrity / integral domain). Komutativní okruh bez dělitelů nuly se nazývá obor integrity. Příklady integrity oborů (Z, +, ) je obor integrity, každý číselný okruh (M, +, ), kde M C a + a jsou klasické, je obor integrity, okruh (R n,n, +, ) není oborem integrity pro n 2, neboť např. ( ) ( ) = ( ) Definice tělesa Definice 7 (těleso / field). Okruh T = (M, +, ) se nazývá těleso, jestliže (M \ {0}, ) je grupa. Tuto grupu nazýváme multiplikativní grupou tělesa T.

7 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 7 Proč musíme vyjmout nulový prvek? Protože k nule neexistuje inverzní prvek, tj. nelze dělit nulou: 0 1 =?!. Všemi jinými prvky tělesa dělit umíme! dělení = násobení inverzním prvkem a b := a b 1 pro b 0. Příklady těles Okruh celých čísel (Z, +, ) není těleso, neb v (Z \ {0}, ) chybí inverzní prvky. Okruh racionálních čísel (Q, +, ) je těleso. Dokonce nejmenší číselné těleso (s obvyklými aritmetickými operacemi). Nejmenší těleso je tzv. triviální těleso ({0, 1}, +, ) s operacemi danými násl. tabulkami: a První tabulka odpovídá bitové operaci XOR a druhá AND, nebo také sčítání a násobení modulo 2. V každém tělese máme definované všechny obvyklé aritmetické operace: [0.1cm] sčítání, odčítání, násobení, dělení a všechny z nich odvozené, jako mocnění, odmocňování, logaritmování,... Triviální těleso nám tyto všechny operace definuje nad jedním bitem. Později si ukážeme, jak je rozšířit nad libovolný počet bitů. Věta 8. Každé komutativní těleso je obor integrity. Důkaz. Jelikož je multiplikativní grupa tělesa (M \ {0}, ) uzavřená vůči násobení, platí pro všechna nenulová a, b, že jejich součin a b M \ {0} je opět nenulový. Některé vlastnosti

8 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 8 Homomorfismus a izomorfismus Definice 9. Zobrazení h z okruhu (resp. tělesa) R 1 do okruhu (resp. tělesa) R 2 je homomorfismus, jestliže je h homomorfismem příslušných aditivních a multiplikativních grupoidů (resp. grup). Je-li navíc h bijekce (prosté a na ), jedná se o izomorfismus. Izomorfní tělesa jsou v podstatě totožná. 1.3 Konečná tělesa Konečná tělesa Těleso, které má konečný počet prvků, se nazývá konečné. Základní příklad konečného tělesa je množina (zbytkových tříd modulo p) Z p = {0, 1,..., p 1} s operacemi modulo prvočíslo p (viz minulé přednášky). Např. pro p = 5 dostáváme těleso s násl. operacemi a Aditivní (Z p, +) grupa Řád aditivní grupy (Z p, +) je prvočíslo p. Každý nenulový prvek je generátor a má tedy řád p (to platí pro všechny grupy s prvočíselným řádem). (Z p, +) je grupou i pro p, které není prvočíslo. Multiplikativní grupa (Z p \ {0}, ) Řád grupy Z p je p 1 a to není nikdy prvočíslo!

9 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 9 Z p je cyklická (tj. existuje v ní generátor). Počet generátorů závisí na p 1, a je roven počtu čísel nesoudělných s p 1, tedy ϕ(p 1). Nechť k < p dělí p 1, pak v Z p právě ty prvky, pro které a k = 1. existuje podgrupa řádu k a obsahuje Z p je grupou pouze pro prvočíselné p, jinak obsahuje dělitele nuly. Odbočka: Z n pro obecné n (1 ze 3) Násobení modulo neprvočíselné n netvoří s množinou {1, 2, 3,..., n} grupu: Skutečně, pokud existuje k > 1, které dělí n, tedy n = kl pro nějaké l, není tato množina uzavřená vůči násobení, neb kl = n 0 (mod n). Musíme tedy z množiny vyhodit všechny dělitele n. Dostaneme tak grupu? Nikoli nezbytně: uvažujme jakékoli číslo k soudělné s n, potom existují α, β Z tak, že αk + βn = gcd(k, n) = d > 1 a tedy αk + βn d (mod n). To ale znamená, že výsledek násobení αk je opět mimo množinu, ze které jsme museli vyhodit dělitele n a tedy i d! Musíme tedy z množiny vyhodit nejen všechny dělitele n ale i čísla soudělná. Stačí to už na grupu? Věta 10. Ano stačí. Jinými slovy: pro celé číslo n > 1 tvoří množina {k N 1 k < n, gcd(k, n) = 1} s operací násobení modulo n grupu. Tuto grupu značíme Z n. Odbočka: Z n pro obecné n (2 ze 3)

10 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 10 Důkaz. Uzavřenost: (sporem) buďte k a l nesoudělná s n a d = kl (mod n) nechť je s n soudělné, potom existuje j N tak, že kl = jn + d. Jelikož d je soudělné s n, existuje prvočíslo dělící jak d tak n, které musí dělit i k nebo l, což je spor. Asociativita je jasná (je to vlastnost operace, nikoli množiny!), neutrální prvek je 1. Inverze: je-li k nesoudělné s n, existují α, β Z tak, že αk + βn = 1 a tedy αk = 1 βn 1 (mod n), neboli α (mod n) je hledaná inverze k 1. Z 8 má řád 4 a obsahuje čísla 1, 3, 5, 7. Platí, že (mod 8). Tedy žádný prvek není generátor a grupa Z 8 není cyklická. Odbočka: Z n pro obecné n (3 ze 3) Z 10 má řád 4 a obsahuje čísla 1, 3, 7, 9. Platí, že 32 9 (mod 10) a (mod 10). Tedy 3 je generátor a Z 10 je cyklická. Pro jaká n je tedy grupa Z n cyklická? Věta 11. Grupa Z n je cyklická právě když je n rovno 2, 4, p k nebo 2p k pro nějaké liché prvočíslo p a celé k > 0. Zatím jsme si ukázali pouze konstrukci konečných těles řádu p, kde p je prvočíslo. Existují tělesa libovolného řádu? Tělesa kterých řádů existují? Věta 12. Řádem konečného tělesa musí být mocnina prvočísla, tedy číslo zapsatelné jako p n, kde p je prvočíslo a n je přirozené číslo. Prvočíslo p se nazývá charakteristika. Navíc platí, že všechna tělesa řádu p n jsou navzájem izomorfní. Důsledek: neexistuje těleso s 6, 10, 12, 14,... prvky. Vezmeme-li p = 2 a n = 8, získáme těleso umožňující nám počítat v rámci jednoho bytu!

11 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Binární tělesa Při šifrované výměně delšího textu, jsou asymetrické šifry (RSA, Diffie-Hellman a spol.) neefektivní. Symetrické šifrování (více v předmětu MI-BHW) Proto se používá symetrické šifrování, kde se předpokládá, že Alice a Bob znají nějaký společný soukromý klíč, který nikdo jiný nezná a který šifrování výrazně usnadní. Asymetrické šifry se použijí pouze k výměně tohoto společného soukromého klíče. Nejpoužívanější metoda je bloková šifra (block cipher) zvaná Advanced Encryption Standard (AES). Zde se seznámíme s matematickým podhoubím této metody. Kódovaný text si rozdělíme na bloky o (např.) 8 bitech. Ty zašifrujeme pomocí klíče tak, že dešifrování lze snadno provést pouze se znalostí toho samého klíče. Toto šifrování v AES je založeno na tom, že operace s n = 8 bity lze chápat jako aritmetické operace v konečném tělese s 2 n prvky pro n = 8. Tělesa s 2 n prvky zveme binární tělesa a značíme GF (2 n ) (jako Galois Fields). Ukážeme si, jak v takovýchto tělesech zavést operace sčítání a násobení. Bloková AES šifra Uvažujme těleso GF (2 8 ). Každý prvek lze reprezentovat jako 8 bitů, tedy např , , atd. Kudy cesta nevede Sčítání: sčítání lze zavést po složkách modulo 2. Tj = (1 + 0 mod 2)(1 + 1 mod 2) (0 + 1 mod 2) = Neutrální (nulový) prvek je a každý prvek je sám sobě inverzní: máme aditivní grupu. Násobení: násobení po složkách zavést nelze. V takovém případě by musel být jednotkový prvek roven a neexistovala by inverze např. k

12 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 12 Násobení musíme definovat jinak! Abychom mohli sčítat, odčítat a násobit polynomy ve tvaru a i x i, potřebujeme pouze vědět jak sčítat, odčítat a násobit koeficienty. Obecně tedy můžeme vybudovat okruh polynomů podobný tomu, který známe z reálných resp. komplexních čísel, nad libovolným okruhem či tělesem. Věta 13. Buď K okruh. Potom množina polynomů s koeficienty z tohoto okruhu spolu s operacemi sčítání a násobení definovanými jako n n n a i x i + b i x i = (a i + b i )x i i=0 i=0 i=0 ( n ) ( m ) a i x i n+m b i x i = a j b k x i i=0 i=0 i=0 j+k=i tvoří komutativní okruh polynomů nad okruhem K. Tento okruh značíme K[x]. Okruh polynomů nad okruhem / tělesem po- Ireducibilní lynom Definice 14. Buď P (x) K[x] stupně alespoň 1. Řekneme, že P (x) je ireducibilní nad K, jestliže pro každé dva polynomy A(x) a B(x) z K[x] platí A(x) B(x) = P (x) (stupeň A(x) = 0 stupeň B(x) = 0). Ireducibilní polynomy jsou prvočísla mezi polynomy! Také jsou naprosto analogicky definovány a mají stejné vlastnosti. Příklad: x je ireducibilní nad Q, x 2 1 = (x + 1)(x 1) není. Poznámka: x je ireducibilní nad tělesem Q, ale není ireducibilní nad tělesem Z 2, kde se koeficienty počítají modulo 2! Neboť x 2 +1 = (x+1)(x+1) = x 2 + 2x + 1. Zavedeme počítání modulo polynom takto: A(x) (mod P (x)) = zbytek po dělení A(x) polynomem P (x). Výsledek je tedy polynom stupně ostře menšího než je stupeň modulu P (x). Ireducibilní polynom jako modul

13 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 13 Příklad: pro A(x) = x 3 a P (x) = x máme A(x) = x(x 2 + 1) + ( x) a tedy x 3 x (mod x 2 + 1). Je-li P (x) ireducibilní (s ohledem na těleso, ze kterého bereme koeficienty), tvoří zbytky po dělení P (x) grupu (pokud opět vyjmeme nulový polynom). Těleso GF (2 4 ) Prvky GF (2 4 ) reprezentujeme jako polynomy stupně nanejvýš 3 s koeficienty h i z tělesa Z 2 : h 3 x 3 + h 2 x 2 + h 1 x + h 0 (h 3 h 2 h 1 h 0 ) 2. Sčítání definujeme po složkách modulo 2: (x 3 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = x 3 + x 2. Násobení zavádíme jako násobení modulo zvolený ireducibilní polynom, např. x 4 + x + 1. Příklad: násobení A(x) B(x) pro A(x) = x 3 + x a B(x) = x 2 + x 1. vynásobím A(x) B(x) klasicky a koeficienty výsledku přepočtu modulo 2: A(x) B(x) = x 5 +2x 4 +x 3 +x 2 +x = {koef. (mod 2)} = x 5 +x 3 +x 2 +x Těleso GF (2 4 ) násobení 2. najdu zbytek po dělení P (x). Jelikož x 5 = x(x 4 + x + 1) + (x 2 + x), platí x 5 x 2 + x (mod x 4 + x + 1) z čehož dostáváme x 5 + x 3 + x 2 + x (x 2 + x) + (x 3 + x 2 + x) x 3 (mod x 4 + x + 1). Neboli jsme spočítali, že = Dle specifikace AES se násobení počítá modulo x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. K reprezentaci prvků se tedy používá 8 (= stupeň polynomu výše) bitů. AES v tělese GF (2 8 )

14 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Konečná tělesa shrnutí Řekli jsme si, že konečná tělesa mohou být pouze řádu p n, kde p je prvočíslo a n je kladné přirozené číslo. Jak zkonstruovat těleso řádu p n pro konkrétní p a n? Konstrukce všech možných konečných těles Případ n = 1: těleso prvočíselného řádu zkonstruujeme snadno, vezmeme množinu Z p s operacemi sčítání a násobení modulo p. Všechna ostatní tělesa řádu p jsou s tímto tělesem izomorfní. Případ n > 1: těleso neprvočíselného řádu p n zkonstruujeme jako množinu polynomů z okruhu Z p [x] stupně nejvýše n 1 s binárními operacemi Sčítání po složkách modulo p. Násobení v okruhu Z p [x] modulo zadaný polynom stupně n ireducibilní nad Z p. Co víme o aditivní grupě tělesa GF (p n ): GF (p n ): aditivní grupa Má řád p n. Neutrální prvek je 00 0 = 0 n. Inverze k prvku b 1 b 2 b n je (p b 1 )(p b 2 ) (p b n ). Není cyklická, dokonce pro každý prvek x platí, že p x = x. Co víme o multiplikativní grupě tělesa GF (p n ): GF (p n ): multiplikativní grupa Má řád p n 1. Neutrální prvek je 00 1 = 0 n 1 1. Inverzi ke každému prvku umíme nalézt pomocí EEA v polynomiálním čase. Je vždy cyklická (důkaz není moc složitý, ale zabral by nám moc času).

15 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 15 Abychom zkonstruovali těleso GF (p n ), potřebujeme alespoň jeden polynom stupně n ireducibilní nad Z p. Ireducibilní polynomy: co o nich víme Otázka: Existuje pro každé přirozené n > 1 a prvočíslo p polynom stupně n ireducibilní nad Z p? Odpověď: Ano, dokonce se přesně ví, kolik jich je. Věta 15 (Jacobson 2009). Mějme přirozené n > 1 a prvočíslo p. Označme N(p, n) počet monických polynomů stupně n ireducibilních nad Z p. Potom N(p, n) = 1 n d n µ(d)p n 1 d p n n q n,q prvoč. p n q. Ireducibilní polynomy: co o nich víme Kde µ je Möbiova funkce definovaná pro přirozené n > 0 takto: 1 pokud n neobsahuje čtverec prvočísla a má sudý počet prvoč. faktorů, µ(n) = 1 pokud n neobsahuje čtverec prvočísla a má lichý počet prvoč. faktorů, 0 pokud n obsahuje čtverec prvočísla. a monický polynom je takový polynom, který má za koeficient u nejvyšší mocniny jedničku. Otázka: Jak najít ireducibilní polynom? Ireducibilní polynomy: co o nich víme Poznat, jestli je daný polynom ireducibilní je snazší, než poznat jestli dané číslo je prvočíslo: Dokonce existují polynomiální algoritmy, které nejen rozhodnou o ireducibilitě, ale dokonce najdou rozklad na ireducibilní polynomy (obdoba prvočíselného rozkladu). Jedná se o Berlekampův a Cantor Zassenhausův algoritmus: detaily např. v D. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, sekce 4.6.

16 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Něco o polynomech Lemma 16 (o dělení polynomů). Buď T komutativní těleso a f, g T [x] nenulové polynomy. Pek existují jednoznačně určené polynomy q, r T [x] takové, že f = qg + r, kde r je buď nulový nebo ostře menšího stupně než g. Důkaz. Zřejmé (tj. za domácí úkol). Něco o polynomech (1 ze 2) Buďte f, g T [x]. Potom polynom h T [x] nazveme největší společný dělitel polynomů f a g jestliže Něco o polynomech (2 ze 2) h dělí f i g, každý polynom, který dělí f i g, dělí také h. Tento polynom značíme gcd(f, g). Věta 17 (Bezoutova rovnost pro polynomy). Buďte f a g nenulové polynomy nad tělesem T. Pak existují polynomy u, v T [x] tak, že gcd(f, g) = uf + vg. Důkaz se provádí indukcí na součet stupňů polynomů f a g (lze aplikovat i na čísla, kde jsme to dokazovali jinak!!) a využívá faktu (rozmyslet!!), že pro libovolný polynom q T [x] platí gcd(f, g) = gcd(f qg, g). Označme stupeň f jako s a stupeň g jako t a předpokládejme bez újmy na obecnosti, že s t a že oba polynomy jsou monické 1. Je-li s + t = 0, je gcd(f, g) = 1, a tedy můžeme zvolit u(x) = 0 a v(x) = 1. Buď nyní s + t = n. Předpokládejme, že pro polynomy, jejichž součet stupňů je menší než n, tvrzení platí (= indukční předpoklad). Pokud g dělí f, je gcd(f, g) = g, a tedy můžeme opět zvolit u(x) = 0 a v(x) = 1. Předpokládejme tedy, že g nedělí f. Potom existují polynomy q, r T [x] takové, že f = qg + r, 1 U nejvyšší mocniny mají jednotkový prvek tělesa T. Takový polynom získáme vynásobením původního polynomu inverzí (pro násobení v tělese T ) k číslu u nejvyšší mocniny x.

17 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 17 kde r je ostře menšího stupně než g. Dle indukčního předpokladu (součet stupňů r a g je menší než n) existují ũ a ṽ tak, že gcd(r, g) = gcd(f qg, g) = ũr + ṽg = ũ(f qg) + ṽg, a proto můžeme položit u = ũ a v = ṽ ũq. Tím je věta dokázána.

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.

MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Asymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Dominik Breitenbacher Mgr. Radim Janča

Asymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Dominik Breitenbacher Mgr. Radim Janča Asymetrická kryptografie a elektronický podpis Ing. Dominik Breitenbacher ibreiten@fit.vutbr.cz Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz Obsah cvičení Asymetrická, symetrická a hybridní kryptografie Kryptoanalýza

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Eliptické křivky a RSA

Eliptické křivky a RSA Přehled Katedra informatiky FEI VŠB TU Ostrava 11. února 2005 Přehled Část I: Matematický základ Část II: RSA Část III: Eliptické křivky Matematický základ 1 Základní pojmy a algoritmy Základní pojmy Složitost

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Algebra II pro distanční studium

Algebra II pro distanční studium Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............

Více

Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování.

Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování. Název předmětu: Matematika pro informatiky Zkratka předmětu: MIE Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná Forma zkoušky: kombinovaná (písemná a ústní část) Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti,

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice O Weilově párování na eliptických křivkách Miroslav Kureš Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice Abstrakt. Pracovní seminární text,

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3. Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -

Více

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Cyklické grupy a grupy permutací

Cyklické grupy a grupy permutací Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:

Více

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 1 Osnova šifrová ochrana využívající výpočetní techniku např. Feistelova šifra; symetrické a asymetrické šifry;

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010

Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Matematika pro informatiku 1

Matematika pro informatiku 1 Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.

Více

GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ

GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Diskrétní matematika (KAP/DIM)

Diskrétní matematika (KAP/DIM) Technická univerzita v Liberci Zápisky z předmětu Diskrétní matematika (KAP/DIM) Autor: David Salač Vyučující: doc. Miroslav Koucký z akademického roku 2015 / 2016 19. prosince 2015 OBSAH 1 This work is

Více

Polynomy v moderní algebře

Polynomy v moderní algebře Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

2. Test 07/08 zimní semestr

2. Test 07/08 zimní semestr 2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více