MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky"

Transkript

1 MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde má daná operace něco jako svou inverzi, což je analogie k tomu co známe z klasických množin čísel: odečítání je přičítání inverze podobně jako dělení je násobení inverzí. Ovšem abychom měli aritmetiku kompletní, potřebujeme stejně jako na (reálných) číslech jak sčítání s odečítáním, tak také násobení s dělením, abychom mohli definovat například už tak základní pojem jako je polynom. Proto se v této přednášce, po krátkém výletě po eliptických křivkách, budeme věnovat právě strukturám se dvěma binárními operacemi, zejména okruhům a tělesům, které jsou právě zobecněním reálných čísel s dobře definovaným sčítáním a násobením i operacemi k nim obrácenými. počítání nad eliptickými křivkami Co bude v dnešní přednášce tělesa, okruhy konečná tělesa obecně tělesa neprvočíselného řádu 1.1 Eliptické křivky Na eliptických křivkách se v kryptografii počítá s body (x, y), kde x a y jsou zbytkové třídy po dělení nějakým prvočíslem p. Operace, která se tradičně (ovšem bez zvláštního důvodu) značí + je definována následovně: Definice 1. Pro dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ) definujeme P + Q = (x 3, y 3 ) takto: x 3 s 2 x 1 x 2 (mod p) y 3 s(x 1 x 3 ) y 1 (mod p), Počítání na eliptických křivkách 1

2 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 2 kde y 2 y 1 x s = 2 x 1 (mod p) pokud P Q, 3x 2 1 +a 2y 1 (mod p) pokud P = Q. Parametr a je převzat z rovnice dané eliptické křivky y 2 x 3 + ax + b (mod p), a, b Z p, kterou musí všechny body splňovat. Neutrální prvek O je uměle dodefinován tak, aby měl vlastnosti neutrálního prvku. Názorněji se dá vysvětlit počítání nad eliptickými křivkami, pokud bereme body (x, y) ze spojité roviny R 2. Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (1 ze 3) Definice 2. Eliptickou křivkou rozumíme množinu bodů splňující rovnici y 2 = x 3 + ax + b, kde pro reálné koeficienty a, b platí, že 4a b 2 0. Grupovou operaci sčítání pak lze definovat geometricky: viz Wolfram Demonstrations Project. Sčítáme-li dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ), musíme najít průniky přímky procházející těmito body a danou eliptickou křivkou. Platí-li P Q, má přímka procházející body P a Q rovnici y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 2 ) + y 2. Je-li P = Q = (x 1, y 1 ), má tečna směrnici danou derivací křivky v bodě x 1, což je y = x 3 + ax + b 3x 2 + a 2 x 3 + ax + b = {pro x = x 1} = 3x2 1 + a, 2y 1 Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (2 ze 3) a rovnice je tedy 3x a 2y 1 (x x 1 ) + y 1.

3 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 3 Při sčítání bodů tedy hledáme průsečíky nějaké přímky y = sx + d, kde s je směrnice a d R, a eliptické křivky y 2 = x 3 + ax + b. To vede na řešení rovnice (sx + d) 2 = x 3 + ax + b, což je polynomiální rovnice 3. stupně a ta, jak víme, může mít 1 až 3 reálné kořeny (jedno řešení máme vždy ze zadání). Např. situace, kdy pro různé P a Q dostaneme pouze dva kořeny, odpovídá tomu, že Q = P a výsledkem součtu je neutrální prvek O. Obecně řešení této rovnice získáme takto: Definice 3. Pro dva body P = (x 1, y 1 ) a Q = (x 2, y 2 ) definujeme P + Q = (x 3, y 3 ) takto: x 3 = s 2 x 1 x 2 y 3 = s(x 1 x 3 ) y 1, y 2 y 1 x kde s = 2 x 1 pokud P Q, 3x 2 1 +a 2y 1 pokud P = Q. Eliptické křivky nad tělesem reálných čísel (3 ze 3) Na předchozích třech slidech (spisovně fóliích) jsme ukázali, jak se tvoří grupa nad množinou bodů roviny R R. Obecně ale místo množiny R můžeme vzít libovolné těleso, např. těleso Z p vede na konečnou cyklickou grupu popsanou na prvním slidu této sekce, ve které je problém diskrétního logaritmu těžko řešitelný. Eliptické křivky nad libovolným tělesem Co je to těleso si právě teď ukážeme: slovy řečeno je to množina s dvěma operacemi nazývanými tradičně sčítání a násobení, které umožňují definovat obdobu běžných aritmetických operací, jako jsou odečítání, dělení, mocnění, logaritmus, Okruhy a tělesa Neprázdná množina M s binární operací (resp. + při aditivním zápisu). Množiny s jednou binární operací

4 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 4 (M, ) resp. (M, +) grupoid pologrupa monoid grupa Abelovská grupa asociativita neutrální prvek inverzní prvky komutativita Pro většinu operací s čísly potřebujeme jak sčítat tak násobit. K aditivní grupě (M, +) přidáme ještě operaci násobení. Množiny s dvěma binárními operacemi (M, +, ) okruh / ring obor integrity / integral domain těleso / field Definice okruhu Definice 4 (Okruh / Ring). Buďte M neprázdná množina a + a binární operace. Řekneme, že R = (M, +, ) je okruh, pokud platí: (M, +) je Abelovská grupa, (M, ) je pologrupa, platí (levý a pravý) distributivní zákon: ( a, b, c M) (a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca).

5 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 5 Dodržujeme standardní konvenci, že násobení má vyšší prioritu než sčítání. Názvosloví Buď R = (M, +, ) okruh. Je-li komutativní, je R komutativní okruh, (M, +) se nazývá aditivní grupa okruhu R, (M, ) se nazývá multiplikativní pologrupa okruhu R, neutrální prvek grupy (M, +) se nazývá nulový prvek a značí se 0, inverzní prvek k a M pak značíme a, v okruhu můžeme definovat odečítání předpisem a b := a + ( b). Příklady (N, +, ) není okruh, neb (N, +) není grupa, (Z, +, ) je okruh, triviální okruh je ({0}, +, ) (platí-li 0 0 = 0), množina (R n,n, +, ) čtvercových reálných matic se sčítáním po složkách a maticovým násobením je okruh, nulový prvek je nulová matice, množina všech polynomů (s komplexními / reálnými / celočíselnými koeficienty) je okruh, nulový prvek je nulový polynom p(x) = 0. V libovolném okruhu (M, +, ) platí: Základní vlastnosti okruhu Levý i pravý distributivní zákon pro odečítání, tj. c(b a) = cb ca. Vskutku: ca + c(b a) = c(a + b a) = cb c(b a) = cb ca.

6 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 6 Že násobení nulovým prvkem dává opět nulový prvek, tj. ( a M)(a 0 = 0 0 a = 0). Vskutku: a 0 = a(a a) = aa aa = 0. Obor integrity Definice 5 (dělitelé nuly). Buď R = (M, +, ) okruh. Libovolné nenulové prvky a, b M takové, že a b = 0, se nazývají dělitelé nuly. Definice 6 (obor integrity / integral domain). Komutativní okruh bez dělitelů nuly se nazývá obor integrity. Příklady integrity oborů (Z, +, ) je obor integrity, každý číselný okruh (M, +, ), kde M C a + a jsou klasické, je obor integrity, okruh (R n,n, +, ) není oborem integrity pro n 2, neboť např. ( ) ( ) = ( ) Definice tělesa Definice 7 (těleso / field). Okruh T = (M, +, ) se nazývá těleso, jestliže (M \ {0}, ) je grupa. Tuto grupu nazýváme multiplikativní grupou tělesa T.

7 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 7 Proč musíme vyjmout nulový prvek? Protože k nule neexistuje inverzní prvek, tj. nelze dělit nulou: 0 1 =?!. Všemi jinými prvky tělesa dělit umíme! dělení = násobení inverzním prvkem a b := a b 1 pro b 0. Příklady těles Okruh celých čísel (Z, +, ) není těleso, neb v (Z \ {0}, ) chybí inverzní prvky. Okruh racionálních čísel (Q, +, ) je těleso. Dokonce nejmenší číselné těleso (s obvyklými aritmetickými operacemi). Nejmenší těleso je tzv. triviální těleso ({0, 1}, +, ) s operacemi danými násl. tabulkami: a První tabulka odpovídá bitové operaci XOR a druhá AND, nebo také sčítání a násobení modulo 2. V každém tělese máme definované všechny obvyklé aritmetické operace: [0.1cm] sčítání, odčítání, násobení, dělení a všechny z nich odvozené, jako mocnění, odmocňování, logaritmování,... Triviální těleso nám tyto všechny operace definuje nad jedním bitem. Později si ukážeme, jak je rozšířit nad libovolný počet bitů. Věta 8. Každé komutativní těleso je obor integrity. Důkaz. Jelikož je multiplikativní grupa tělesa (M \ {0}, ) uzavřená vůči násobení, platí pro všechna nenulová a, b, že jejich součin a b M \ {0} je opět nenulový. Některé vlastnosti

8 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 8 Homomorfismus a izomorfismus Definice 9. Zobrazení h z okruhu (resp. tělesa) R 1 do okruhu (resp. tělesa) R 2 je homomorfismus, jestliže je h homomorfismem příslušných aditivních a multiplikativních grupoidů (resp. grup). Je-li navíc h bijekce (prosté a na ), jedná se o izomorfismus. Izomorfní tělesa jsou v podstatě totožná. 1.3 Konečná tělesa Konečná tělesa Těleso, které má konečný počet prvků, se nazývá konečné. Základní příklad konečného tělesa je množina (zbytkových tříd modulo p) Z p = {0, 1,..., p 1} s operacemi modulo prvočíslo p (viz minulé přednášky). Např. pro p = 5 dostáváme těleso s násl. operacemi a Aditivní (Z p, +) grupa Řád aditivní grupy (Z p, +) je prvočíslo p. Každý nenulový prvek je generátor a má tedy řád p (to platí pro všechny grupy s prvočíselným řádem). (Z p, +) je grupou i pro p, které není prvočíslo. Multiplikativní grupa (Z p \ {0}, ) Řád grupy Z p je p 1 a to není nikdy prvočíslo!

9 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 9 Z p je cyklická (tj. existuje v ní generátor). Počet generátorů závisí na p 1, a je roven počtu čísel nesoudělných s p 1, tedy ϕ(p 1). Nechť k < p dělí p 1, pak v Z p právě ty prvky, pro které a k = 1. existuje podgrupa řádu k a obsahuje Z p je grupou pouze pro prvočíselné p, jinak obsahuje dělitele nuly. Odbočka: Z n pro obecné n (1 ze 3) Násobení modulo neprvočíselné n netvoří s množinou {1, 2, 3,..., n} grupu: Skutečně, pokud existuje k > 1, které dělí n, tedy n = kl pro nějaké l, není tato množina uzavřená vůči násobení, neb kl = n 0 (mod n). Musíme tedy z množiny vyhodit všechny dělitele n. Dostaneme tak grupu? Nikoli nezbytně: uvažujme jakékoli číslo k soudělné s n, potom existují α, β Z tak, že αk + βn = gcd(k, n) = d > 1 a tedy αk + βn d (mod n). To ale znamená, že výsledek násobení αk je opět mimo množinu, ze které jsme museli vyhodit dělitele n a tedy i d! Musíme tedy z množiny vyhodit nejen všechny dělitele n ale i čísla soudělná. Stačí to už na grupu? Věta 10. Ano stačí. Jinými slovy: pro celé číslo n > 1 tvoří množina {k N 1 k < n, gcd(k, n) = 1} s operací násobení modulo n grupu. Tuto grupu značíme Z n. Odbočka: Z n pro obecné n (2 ze 3)

10 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 10 Důkaz. Uzavřenost: (sporem) buďte k a l nesoudělná s n a d = kl (mod n) nechť je s n soudělné, potom existuje j N tak, že kl = jn + d. Jelikož d je soudělné s n, existuje prvočíslo dělící jak d tak n, které musí dělit i k nebo l, což je spor. Asociativita je jasná (je to vlastnost operace, nikoli množiny!), neutrální prvek je 1. Inverze: je-li k nesoudělné s n, existují α, β Z tak, že αk + βn = 1 a tedy αk = 1 βn 1 (mod n), neboli α (mod n) je hledaná inverze k 1. Z 8 má řád 4 a obsahuje čísla 1, 3, 5, 7. Platí, že (mod 8). Tedy žádný prvek není generátor a grupa Z 8 není cyklická. Odbočka: Z n pro obecné n (3 ze 3) Z 10 má řád 4 a obsahuje čísla 1, 3, 7, 9. Platí, že 32 9 (mod 10) a (mod 10). Tedy 3 je generátor a Z 10 je cyklická. Pro jaká n je tedy grupa Z n cyklická? Věta 11. Grupa Z n je cyklická právě když je n rovno 2, 4, p k nebo 2p k pro nějaké liché prvočíslo p a celé k > 0. Zatím jsme si ukázali pouze konstrukci konečných těles řádu p, kde p je prvočíslo. Existují tělesa libovolného řádu? Tělesa kterých řádů existují? Věta 12. Řádem konečného tělesa musí být mocnina prvočísla, tedy číslo zapsatelné jako p n, kde p je prvočíslo a n je přirozené číslo. Prvočíslo p se nazývá charakteristika. Navíc platí, že všechna tělesa řádu p n jsou navzájem izomorfní. Důsledek: neexistuje těleso s 6, 10, 12, 14,... prvky. Vezmeme-li p = 2 a n = 8, získáme těleso umožňující nám počítat v rámci jednoho bytu!

11 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Binární tělesa Při šifrované výměně delšího textu, jsou asymetrické šifry (RSA, Diffie-Hellman a spol.) neefektivní. Symetrické šifrování (více v předmětu MI-BHW) Proto se používá symetrické šifrování, kde se předpokládá, že Alice a Bob znají nějaký společný soukromý klíč, který nikdo jiný nezná a který šifrování výrazně usnadní. Asymetrické šifry se použijí pouze k výměně tohoto společného soukromého klíče. Nejpoužívanější metoda je bloková šifra (block cipher) zvaná Advanced Encryption Standard (AES). Zde se seznámíme s matematickým podhoubím této metody. Kódovaný text si rozdělíme na bloky o (např.) 8 bitech. Ty zašifrujeme pomocí klíče tak, že dešifrování lze snadno provést pouze se znalostí toho samého klíče. Toto šifrování v AES je založeno na tom, že operace s n = 8 bity lze chápat jako aritmetické operace v konečném tělese s 2 n prvky pro n = 8. Tělesa s 2 n prvky zveme binární tělesa a značíme GF (2 n ) (jako Galois Fields). Ukážeme si, jak v takovýchto tělesech zavést operace sčítání a násobení. Bloková AES šifra Uvažujme těleso GF (2 8 ). Každý prvek lze reprezentovat jako 8 bitů, tedy např , , atd. Kudy cesta nevede Sčítání: sčítání lze zavést po složkách modulo 2. Tj = (1 + 0 mod 2)(1 + 1 mod 2) (0 + 1 mod 2) = Neutrální (nulový) prvek je a každý prvek je sám sobě inverzní: máme aditivní grupu. Násobení: násobení po složkách zavést nelze. V takovém případě by musel být jednotkový prvek roven a neexistovala by inverze např. k

12 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 12 Násobení musíme definovat jinak! Abychom mohli sčítat, odčítat a násobit polynomy ve tvaru a i x i, potřebujeme pouze vědět jak sčítat, odčítat a násobit koeficienty. Obecně tedy můžeme vybudovat okruh polynomů podobný tomu, který známe z reálných resp. komplexních čísel, nad libovolným okruhem či tělesem. Věta 13. Buď K okruh. Potom množina polynomů s koeficienty z tohoto okruhu spolu s operacemi sčítání a násobení definovanými jako n n n a i x i + b i x i = (a i + b i )x i i=0 i=0 i=0 ( n ) ( m ) a i x i n+m b i x i = a j b k x i i=0 i=0 i=0 j+k=i tvoří komutativní okruh polynomů nad okruhem K. Tento okruh značíme K[x]. Okruh polynomů nad okruhem / tělesem po- Ireducibilní lynom Definice 14. Buď P (x) K[x] stupně alespoň 1. Řekneme, že P (x) je ireducibilní nad K, jestliže pro každé dva polynomy A(x) a B(x) z K[x] platí A(x) B(x) = P (x) (stupeň A(x) = 0 stupeň B(x) = 0). Ireducibilní polynomy jsou prvočísla mezi polynomy! Také jsou naprosto analogicky definovány a mají stejné vlastnosti. Příklad: x je ireducibilní nad Q, x 2 1 = (x + 1)(x 1) není. Poznámka: x je ireducibilní nad tělesem Q, ale není ireducibilní nad tělesem Z 2, kde se koeficienty počítají modulo 2! Neboť x 2 +1 = (x+1)(x+1) = x 2 + 2x + 1. Zavedeme počítání modulo polynom takto: A(x) (mod P (x)) = zbytek po dělení A(x) polynomem P (x). Výsledek je tedy polynom stupně ostře menšího než je stupeň modulu P (x). Ireducibilní polynom jako modul

13 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 13 Příklad: pro A(x) = x 3 a P (x) = x máme A(x) = x(x 2 + 1) + ( x) a tedy x 3 x (mod x 2 + 1). Je-li P (x) ireducibilní (s ohledem na těleso, ze kterého bereme koeficienty), tvoří zbytky po dělení P (x) grupu (pokud opět vyjmeme nulový polynom). Těleso GF (2 4 ) Prvky GF (2 4 ) reprezentujeme jako polynomy stupně nanejvýš 3 s koeficienty h i z tělesa Z 2 : h 3 x 3 + h 2 x 2 + h 1 x + h 0 (h 3 h 2 h 1 h 0 ) 2. Sčítání definujeme po složkách modulo 2: (x 3 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = x 3 + x 2. Násobení zavádíme jako násobení modulo zvolený ireducibilní polynom, např. x 4 + x + 1. Příklad: násobení A(x) B(x) pro A(x) = x 3 + x a B(x) = x 2 + x 1. vynásobím A(x) B(x) klasicky a koeficienty výsledku přepočtu modulo 2: A(x) B(x) = x 5 +2x 4 +x 3 +x 2 +x = {koef. (mod 2)} = x 5 +x 3 +x 2 +x Těleso GF (2 4 ) násobení 2. najdu zbytek po dělení P (x). Jelikož x 5 = x(x 4 + x + 1) + (x 2 + x), platí x 5 x 2 + x (mod x 4 + x + 1) z čehož dostáváme x 5 + x 3 + x 2 + x (x 2 + x) + (x 3 + x 2 + x) x 3 (mod x 4 + x + 1). Neboli jsme spočítali, že = Dle specifikace AES se násobení počítá modulo x 8 + x 4 + x 3 + x + 1. K reprezentaci prvků se tedy používá 8 (= stupeň polynomu výše) bitů. AES v tělese GF (2 8 )

14 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Konečná tělesa shrnutí Řekli jsme si, že konečná tělesa mohou být pouze řádu p n, kde p je prvočíslo a n je kladné přirozené číslo. Jak zkonstruovat těleso řádu p n pro konkrétní p a n? Konstrukce všech možných konečných těles Případ n = 1: těleso prvočíselného řádu zkonstruujeme snadno, vezmeme množinu Z p s operacemi sčítání a násobení modulo p. Všechna ostatní tělesa řádu p jsou s tímto tělesem izomorfní. Případ n > 1: těleso neprvočíselného řádu p n zkonstruujeme jako množinu polynomů z okruhu Z p [x] stupně nejvýše n 1 s binárními operacemi Sčítání po složkách modulo p. Násobení v okruhu Z p [x] modulo zadaný polynom stupně n ireducibilní nad Z p. Co víme o aditivní grupě tělesa GF (p n ): GF (p n ): aditivní grupa Má řád p n. Neutrální prvek je 00 0 = 0 n. Inverze k prvku b 1 b 2 b n je (p b 1 )(p b 2 ) (p b n ). Není cyklická, dokonce pro každý prvek x platí, že p x = x. Co víme o multiplikativní grupě tělesa GF (p n ): GF (p n ): multiplikativní grupa Má řád p n 1. Neutrální prvek je 00 1 = 0 n 1 1. Inverzi ke každému prvku umíme nalézt pomocí EEA v polynomiálním čase. Je vždy cyklická (důkaz není moc složitý, ale zabral by nám moc času).

15 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 15 Abychom zkonstruovali těleso GF (p n ), potřebujeme alespoň jeden polynom stupně n ireducibilní nad Z p. Ireducibilní polynomy: co o nich víme Otázka: Existuje pro každé přirozené n > 1 a prvočíslo p polynom stupně n ireducibilní nad Z p? Odpověď: Ano, dokonce se přesně ví, kolik jich je. Věta 15 (Jacobson 2009). Mějme přirozené n > 1 a prvočíslo p. Označme N(p, n) počet monických polynomů stupně n ireducibilních nad Z p. Potom N(p, n) = 1 n d n µ(d)p n 1 d p n n q n,q prvoč. p n q. Ireducibilní polynomy: co o nich víme Kde µ je Möbiova funkce definovaná pro přirozené n > 0 takto: 1 pokud n neobsahuje čtverec prvočísla a má sudý počet prvoč. faktorů, µ(n) = 1 pokud n neobsahuje čtverec prvočísla a má lichý počet prvoč. faktorů, 0 pokud n obsahuje čtverec prvočísla. a monický polynom je takový polynom, který má za koeficient u nejvyšší mocniny jedničku. Otázka: Jak najít ireducibilní polynom? Ireducibilní polynomy: co o nich víme Poznat, jestli je daný polynom ireducibilní je snazší, než poznat jestli dané číslo je prvočíslo: Dokonce existují polynomiální algoritmy, které nejen rozhodnou o ireducibilitě, ale dokonce najdou rozklad na ireducibilní polynomy (obdoba prvočíselného rozkladu). Jedná se o Berlekampův a Cantor Zassenhausův algoritmus: detaily např. v D. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, sekce 4.6.

16 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA Něco o polynomech Lemma 16 (o dělení polynomů). Buď T komutativní těleso a f, g T [x] nenulové polynomy. Pek existují jednoznačně určené polynomy q, r T [x] takové, že f = qg + r, kde r je buď nulový nebo ostře menšího stupně než g. Důkaz. Zřejmé (tj. za domácí úkol). Něco o polynomech (1 ze 2) Buďte f, g T [x]. Potom polynom h T [x] nazveme největší společný dělitel polynomů f a g jestliže Něco o polynomech (2 ze 2) h dělí f i g, každý polynom, který dělí f i g, dělí také h. Tento polynom značíme gcd(f, g). Věta 17 (Bezoutova rovnost pro polynomy). Buďte f a g nenulové polynomy nad tělesem T. Pak existují polynomy u, v T [x] tak, že gcd(f, g) = uf + vg. Důkaz se provádí indukcí na součet stupňů polynomů f a g (lze aplikovat i na čísla, kde jsme to dokazovali jinak!!) a využívá faktu (rozmyslet!!), že pro libovolný polynom q T [x] platí gcd(f, g) = gcd(f qg, g). Označme stupeň f jako s a stupeň g jako t a předpokládejme bez újmy na obecnosti, že s t a že oba polynomy jsou monické 1. Je-li s + t = 0, je gcd(f, g) = 1, a tedy můžeme zvolit u(x) = 0 a v(x) = 1. Buď nyní s + t = n. Předpokládejme, že pro polynomy, jejichž součet stupňů je menší než n, tvrzení platí (= indukční předpoklad). Pokud g dělí f, je gcd(f, g) = g, a tedy můžeme opět zvolit u(x) = 0 a v(x) = 1. Předpokládejme tedy, že g nedělí f. Potom existují polynomy q, r T [x] takové, že f = qg + r, 1 U nejvyšší mocniny mají jednotkový prvek tělesa T. Takový polynom získáme vynásobením původního polynomu inverzí (pro násobení v tělese T ) k číslu u nejvyšší mocniny x.

17 KAPITOLA 1. MPI - 5. PŘEDNÁŠKA 17 kde r je ostře menšího stupně než g. Dle indukčního předpokladu (součet stupňů r a g je menší než n) existují ũ a ṽ tak, že gcd(r, g) = gcd(f qg, g) = ũr + ṽg = ũ(f qg) + ṽg, a proto můžeme položit u = ũ a v = ṽ ũq. Tím je věta dokázána.

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova

Více

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3. Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -

Více

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice

Miroslav Kureš. Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice O Weilově párování na eliptických křivkách Miroslav Kureš Aplikovaná matematika Ostravice 2012 2. workshop A-Math-Net Sít pro transfer znalostí v aplikované matematice Abstrakt. Pracovní seminární text,

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 1 Osnova šifrová ochrana využívající výpočetní techniku např. Feistelova šifra; symetrické a asymetrické šifry;

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

1 Teorie čísel. Základní informace

1 Teorie čísel. Základní informace 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí

Více

Hlubší věty o počítání modulo

Hlubší věty o počítání modulo Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

Složitost a moderní kryptografie

Složitost a moderní kryptografie Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY PŘÍKLADY NA DĚLITELNOST V OBORECH INTEGRITY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stanislav Hefler Přírodovědná studia, obor

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Prvočísla, dělitelnost

Prvočísla, dělitelnost Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky

Více

Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, F.X. Šalda

Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, F.X. Šalda Teorie čísel Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, mně nahánělo hrůzu z toho, čemu jsem nerozuměl. F.X. Šalda Obsah Obsah Prvočísla 4. Prvočísel je nekonečně mnoho.........................

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Testování prvočíselnosti

Testování prvočíselnosti Dokumentace zápočtového programu z Programování II (NPRG031) Testování prvočíselnosti David Pěgřímek http://davpe.net Úvodem V různých oborech (například v kryptografii) je potřeba zjistit, zda je číslo

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz, 22. 1. 2011 Úvodem Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: počítání největších společných dělitelů

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná

Více

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Úvodem Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: Notace. počítání největších společných dělitelů řešení

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Lineární algebra. Praha, druhé vydání 2010

Lineární algebra. Praha, druhé vydání 2010 Petr Olšák Lineární algebra Praha, druhé vydání 2010 E Text je šířen volně podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt. Text ve formátech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více