[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

Transkript

1 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [ ] m n m n m m n y b a b a y y b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) Upravte výraz s proměnnými R c a,, : : a c c a c a ) Upravte výraz s proměnnou { } 0 R \ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4) Vypočítejte a) b) c) ( ) ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) b b b b b b b b b) ( ) ( ) [ ] ( ) c) ( ) ( ) ( ) 6) Upravte předpisy funkcí, určete definiční obory a načrtněte grafy funkcí a) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 f b) ( ) 4 g

2 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ) Řešte rovnice s neznámou R a) 0 b) : 4 c) 0 0 d) ( 8) : ( ) e) f) 4 4 ) Řešte nerovnice s neznámou R a) c) ) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R y y y 8 7 b) 5 > 0 d) 0 4) Rozložte kvadratické trojčleny, určete definiční obor výrazu a zjednodušte jej ) Určete všechny hodnoty b R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice b 9 0 byl dvakrát větší než druhý kořen 6) Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou o větší než kořeny kvadratické rovnice 5 0 7) Určete koeficient lineárního členu m R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice m 5 0 byl o 4 větší než druhý kořen této rovnice 8) Je dána rovnice t( ) ( t) s neznámou R a parametrem t R Určete, pro které hodnoty parametru t má tato rovnice a) dva různé kladné reálné kořeny b) dva různé reálné záporné kořeny c) dva různé reálné kořeny opačných znamének 9) Chlapec skládal kostky stavebnice tvaru krychle Chtěl postavit velikou krychli Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku Potom mu ale 6 kostek chybělo Kolik kostek měl ve stavebnici?

3 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: ROVNICE A NEROVNICE S NEZNÁMOU V ABSOLUTNÍ HODNOTĚ ) Řešte rovnice a nerovnice s neznámou R a) b) 4 5 c) d) 0 e) f) g) h) i) > j) ) Řešte nerovnici v oboru Z ) Řešte nerovnici s neznámou R 4) Řešte soustavu nerovnic s neznámou R > 4 5

4 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ROVNICE A NEROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU ) Řešte rovnice s neznámou R a) 7 5 b) c) 4 d) 0 0 e) 5 sin cos cos 0 f) 9 ) Řešte nerovnice s neznámou R a) 4 b) c) < 4 ) Řešte rovnice s neznámou R Využijte metodu substituce a) b) ( )( 8) ( ) c) d) 6 0 4) Určete definiční obory funkcí a) f ( ) 4 6 b) g( ) log 0, 5 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R 4 y 4 y 6 4

5 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ROVNICE S PARAMETRY A JEJICH SOUSTAVY ) Určete R číslo p tak, aby řešením rovnice ( p ) ( p ) p bylo kladné reálné m m ) V rovnici 8 určete hodnotu parametru m R tak, aby kořenem dané rovnice bylo číslo ) Řešte rovnice s neznámou R a parametrem m R a) m m m m m b) m c) m ( m ) 4) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R a parametrem a R a y ( ) ( a ) y 5) Určete, pro která t R je řešením dané soustavy rovnic uspořádaná dvojice reálných, y taková, že < 0 y > 0 čísel [ ] y y t 6) Určete všechny hodnoty parametru c R, pro které má daná rovnice dvojnásobný kořen c 4 c 0 7) Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice jeden kořen roven nule a a a 7a ( ) ( ) 0 8) Určete všechny hodnoty parametru m R tak, aby kořeny rovnice ( m ) m 0 byla a) dvě navzájem opačná čísla b) dvě navzájem převrácená čísla 9) Řešte graficky rovnice s neznámou R a parametrem k R a) k b) 5 k c) k k 0) Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R p p 5

6 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ A JEJICH POUŽITÍ ) Je dána přímka p a dva různé body A, B, které leží v jedné polorovině s hraniční přímkou p Na přímce p najděte bod X takový, aby lomená čára AXB byla co nejkratší ) Je dána přímka p, kružnice k a bod Q Sestrojte úsečku, jejíž jeden krajní bod leží na k, druhý na p a bod Q je středem této úsečky ) Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a bod C, který na nich neleží Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A a, B b 4) Jsou dány různoběžné přímky p, q a úsečka MN Sestrojte kružnici, která má poloměr r MN, střed S p a vytíná na přímce q tětivu AB, AB MN 5) Jsou dány různoběžné přímky p, q a kružnice k Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo X k, Y p, úsečka XY je kolmá na přímku q a střed úsečky XY leží na přímce q 6) Je dána kružnice k, její vnější přímka p a úsečka AB Sestrojte úsečku XY tak, aby X k, Y p, XY AB a XY AB 7) Je dána kružnice k(o; 4 cm) a bod A Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, které mají délku 6 cm a prochází bodem A Polohu bodu A volte a) uvnitř kružnice b) vně kružnice 8) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a b c cm, α 45, β 75 9) Je dána úsečka CS délky cm Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CS těžnicí t c a pro který platí: a) a,5 cm, b 5 cm b) α 0, β 45 c) b 8 cm, β 0 6

7 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ A JEJICH POUŽITÍ ) Je dán čtverec KLMN se stranou délky 4 cm Sestrojte jeho obraz ve stejnolehlosti se středem v bodě L a koeficientem: a) κ 0,5 b) κ c) κ -0,5 d) κ - ) Je dána kružnice k a bod M ležící uvnitř této kružnice Sestrojte tětivu kružnice k, která je bodem M rozdělena v poměru : ) Jsou dány různoběžky a, b a uvnitř jednoho jejich úhlu bod M Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a i b 4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) a : b : c 7 : : 5, v c 4 cm, b) a : b 4 : 5, γ 60, v c cm 5) Jsou dány přímky a a b, jejichž průsečík leží mimo papír Dále je dán bod M Narýsujte přímku p, která prochází bodem M a nedostupným průsečíkem přímek a a b 6) Je dán trojúhelník ABC, jehož vrchol C leží mimo papír Narýsujte kolmici na stranu AB, která prochází nedostupným bodem C 7) Do trojúhelníku ABC (a 5 cm, b 6 cm, c 7 cm) vepište čtverec KLMN tak, aby platilo KL AB M BC N AC 8) Narýsujte společné tečny kružnic k a k, je-li dáno: k (O ;,5 cm), k (O ;,5 cm) O 6,5 cm O 9) Je dána kružnice k(o; 4 cm) a bod M, OM 9 cm Sestrojte přímku procházející bodem M tak, aby kružnici k protínala v bodech X a Y a aby úsečky XY a XM měly stejnou délku 7

8 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: APLIKACE PYTHAGOROVY VĚTY A EUKLIDOVÝCH VĚT ) Je dána kružnice k(s; 4 cm) a bod A, AS 0 cm Vypočítejte vzdálenost bodu A od spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu A ke kružnici k ) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 0 cm Určete jejich vzdálenost ) Je dána kružnice k(s; cm) a bod M, MS 9 cm Z bodu M sestrojte tečny ke kružnici k Body dotyku označte T a T Vypočítejte a) délku úsečky MT b) délku úsečky T T c) vzdálenost bodu S od úsečky T T 4) Ve čtverci ABCD označte S střed strany AB Zvolte bod L BD tak, aby platilo BL : DL : Dokažte, že velikost úhlu SLC je 90 5) Je dán obdélník ABCD, AB : BC 5: Na straně CD najděte bod X tak, aby velikost úhlu AXB byla 90 Vypočítejte, v jakém poměru dělí bod X stranu CD 6) Jsou dány kružnice k (O ; 4 cm) a k (O ; 6 cm), O O 5 cm Označte P a P jejich průsečíky a vypočítejte délku úsečky P P 7) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je dána odvěsna a 4 cm a těžnice t a 6 cm Vypočítejte délku těžnice t b 8) Je dána kružnice k(s; r) Kružnici k opíšeme a vepíšeme čtverec Určete poměr délek stran a poměr obsahů těchto dvou čtverců 9) Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům, 8 a 4 Vypočítejte vnitřní úhly tohoto trojúhelníku 8

9 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: TRIGONOMETRIE, SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA ) Vypočítejte velikosti úhlů v trojúhelníku ABC, víte-li, že b : a :, β α ) V trojúhelníku ABC znáte poměr délek stran a : b : c : 4 : 5 Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC ) Vypočítejte velikosti všech stran trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) t a 6 cm, t b 9 cm, c 8 cm b) a 0 cm, t a 8 cm, v b 6 cm c) t a 6 cm, t b 4 cm, t c 8 cm 4) Určete délky všech stran, úhlopříček, výšky a velikosti všech vnitřních úhlů rovnoběžníku ABCD, je-li dáno: AB 6, cm, BC 5,4 cm, AC 4,8 cm 5) V trojúhelníku ABC znáte velikosti úhlů α 45, β 60, γ 75 Vypočítejte, v jakém poměru jsou délky stran trojúhelníku ABC 6) V trojúhelníku ABC je dáno a 4 cm, b 6 cm, γ 60 Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC a výšky v a, v b a v c 7) Trojúhelník ABC má délky stran 5 cm, 6 cm a 9 cm Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC a obsah trojúhelníku S AB S BC S AC, kde S AB, S BC a S AC jsou středy stran AB, BC a AC 8) Dokažte, že součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je 80 9

10 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ ) Určete definiční obory funkcí a) f ( ) b) f ( ) log ( ) 4 6 c) f ( ) d) 4 6 f ( ) ) Určete, které z funkcí jsou sudé (liché) v definičním oboru a) f ( ) cos b) f ( ) c) f ( ) log d) 4 f ( ) 4 ) Rozhodněte, které z funkcí jsou omezené shora, omezené zdola, omezené v definičním oboru a) f ( ) cos b) f ( ) c) f ( ) sin d) f ( ) e) g) f) f ( ) log f ( ) f ( ) h) f ( ) 4) Určete, ve kterých podmnožinách definičního oboru jsou funkce z předchozího příkladu rostoucí a klesající 5) Rozhodněte, zda jsou následující funkce prosté ve svém definičním oboru a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 4 d) f ( ) 5 6) Načrtněte graf funkce f, víte-li že platí: D f ; ) \ { 0} f(-) - průsečíky grafu funkce s osou jsou v bodech P [ ;0], [ 5;0] P v intervalu ; 0) je funkce f rostoucí a není omezená shora v intervalu ; \ { 0} je funkce f sudá v intervalu ; ) je funkce f rostoucí a omezená shora číslem h 4 a) Z grafu určete obor funkčních hodnot funkce f b) Určete souřadnice průsečíku grafu funkce f s osou y c) Je funkce f omezená zdola v definičním oboru? d) Určete maimum funkce f v definičním oboru e) Určete minimum funkce f v definičním oboru f) Je funkce f prostá v definičním oboru? 0

11 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE, MOCNINNÁ FUNKCE ) Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic a) f : y 4 b) f : y 4 5 c) f : y d) e) f) f : y f : y 7 f : y ) Upravte předpis dané funkce, určete definiční obor funkce a načrtněte graf 5 f : y : ) Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic a) f : y b) c) d) f : y f : y f : y e) f : y 4) Řešte v R graficky následující nerovnice 6 5 a) > b) c) > 5 4 5) Vysvětlete definici následujících funkcí a načrtněte jejich grafy a) f : y sgn b) f : y [ ]

12 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KVADRATICKÁ FUNKCE, GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A NEROVNIC ) Načrtněte grafy funkcí a) f : y 4 b) f : y c) f : y ) Řešte v R graficky nerovnici 0 ) Načrtněte grafy funkcí Určete souřadnice vrcholu paraboly, tvar křivky, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami souřadnic a) f : y g : y b) ( ) c) h : y d) k : y 4 e) l : y 4 f) m : y 4 4) Zapište rovnicí funkční předpis kvadratické funkce f, platí-li: pro nabývá funkce maima hodnota maima je 4 osu y protíná graf funkce v bodě [0;] 5) Zapište rovnicí funkční předpis kvadratické funkce f, platí-li f() -, f() 4, f() 4 6) Je dána funkce g : y Určete funkční předpis kvadratické funkce f tak, aby graf funkce f byl souměrný s grafem funkce g a) podle osy b) podle osy y c) podle počátku soustavy souřadnic

13 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: GRAFY FUNKCÍ S ABSOLUTNÍMI HODNOTAMI Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic ) f : y ) f : y ) f : y 4) f : y 4 5) f : y 6) f : y ) f : y 8) f : y 9) f : y 0) f : y ) f : y ) f : y ( )

14 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE ) Najděte všechny hodnoty reálného parametru p tak, aby daná funkce byla: a) klesající, p y p b) rostoucí, p y p ) Pomocí grafů eponenciálních funkcí rozhodněte, jaké musí být a R, aby platilo: 5 6 a) a > a b) a > a ) Určete definiční obor funkce: a) y b) y log 7 ( ) c) y log ( ) log, 4) Načrtněte grafy funkcí a) y 4 b) y 4 c) ( 4) y d) e) y f) y 5) Vypočítejte a) log log 6 b) c) e) y log log log 9 log 5 log 9 log 4 5 d) log log log5 log5 log log log 5 6) Načrtněte grafy funkcí a) y log ( 4) b) y log 4 c) y log d) y ln e) y log 7) Pomocí grafu logaritmické funkce najděte všechna reálná čísla, pro které platí: a) log,5 < log, 5 5 b) log 0,7 ( ) log 0, 7 0 4

15 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Řešte rovnice s neznámou R ) 4 4 ) ) 4log log 4) ( ) log ( ) 6 5) log log log 8 8 log 4 log log 6) log log log 4 0,5 7) { log [ log ( log ) ]} 0, 5 log 9 8) log log log 0 9) log ( 8 ) 7 0) 000 ) log log log log log ) 0 log log log ) log log 4 log6 4) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R 0 y y y y 0 4 Využijte vzorec log log a log b b a 5

16 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: GONIOMETRICKÉ FUNKCE, GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ) Řešte rovnice s neznámou R a) cos( 4π ) b) sin cos 4 0 c) sin 4 cos 4 d) tg cotg 0 e) cos 4 cos 4 cos f) (tg cotg ) (tg cotg ) 4 g) sin sin cos 0 h) sin 4 cos 4 cos i) cos sin (sin cos ) j) sin cos ) Řešte goniometrické nerovnice s neznámou R a) sin b) sin cos ) Řešte goniometrickou nerovnici s neznámou 0;π sin cos > 0 4) Řešte goniometrické rovnice s neznámou R Využijte vzorců pro dvojnásobný argument a vhodné substituce a) sin 4 sin b) cos 4 cos sin 0 c) sin cos 5) Řešte goniometrickou rovnici sin cos sin cos s neznámou R 6

17 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: VYUŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ π ) Určete hodnoty sin, cos, tg, sin 4, cos 4, víte-li že sin ; ; π 4 ) Určete, pro která R má daná rovnost smysl a dokažte ji sin cos tg cos sin ) Dokažte 7 cos π 4 4) Vypočítejte 5 sin π sin π 4 cos π cos π 5) Dokažte π cos 6) Dokažte s využitím grafů funkcí π cos sin 7) Vypočítejte a) sin 44 cos cos 44 sin b) cos π cos π sin π sin π 7

18 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY A ROVINY ) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[ ; ] a je a) rovnoběžná s přímkou q : y 7 0 b) kolmá k přímce q : y 4 0 c) rovnoběžná s osou d) kolmá k ose y ) Přímka p prochází bodem [ ; ] A kolmo k ose Zapište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, směrnicový tvar a úsekový tvar rovnice přímky ) Přímka p prochází bodem [ ; ] A a počátkem soustavy souřadnic Zapište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, směrnicový tvar a úsekový tvar rovnice přímky 4) Body A [ ; 4], B [ 4; ], [ 4; ] C jsou vrcholy trojúhelníku ABC Napište obecné rovnice výšek v a, v b a v c Vypočítejte souřadnice průsečíku dvou výšek a ověřte, že tímto bodem prochází i třetí výška 5) Proveďte diskusi o vzájemné poloze daných přímek vzhledem k hodnotě parametru a R p: a k q: 6t y k y -9 4t z k k R z 7 t t R 6) Rozhodněte, zda dané tři body určují rovinu V případě, že rovinu určují, napište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic a rovinu ve zvolené soustavě souřadnic znázorněte a) A [ ; ; ], B [ 5; ; ], C[ ; 0; ] ; ; 0; ; C ; ; 8 b) A [ ], B [ ], [ ] 7) Napište obecnou rovnici roviny σ, víte-li, že v této rovině leží body A [ ; 4; 5] a B [ ; ; 0] a osa y je s rovinou σ rovnoběžná 8) Osy, y a přímka KL určují trojúhelník Vypočítejte jeho obsah, je-li dáno K [ ; 9], L [ 4; ] 9) Určete obsah trojúhelníku ABC, jsou-li dány body A [ 4; 0; ], B [ ; 4; ] a [ 5; ; 4] C 8

19 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: POLOHOVÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN ŘEŠENÉ ANALYTICKY ) Určete hodnoty parametrů a, b R tak, aby roviny ρ : by z 7 0 a σ : a 4y z 4 0 byly a) rovnoběžné b) různoběžné c) navzájem kolmé ) Určete vzájemnou polohu rovin ρ a σ Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické vyjádření jejich průsečnice a) ρ : 4y z 8 0, σ : y z 6 0 b) ρ : y z 6 0, σ : 4 y 4z 6 0 ) Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin a) ρ : y z 0, σ : y z 8 0, τ : 4 y z 0 b) α : y z 0, β : y z 0, γ : y z 0 4) Určete hodnoty parametrů a, b R tak, aby přímka p : a t y bt z t t R byla s rovinou ρ : y z 0 0 a) různoběžná b) ležela v rovině ρ c) rovnoběžná a neležela v rovině ρ 5) Jsou dány body A [ ; ; ], B [ ; ; ], C [ ; 8; ] a D [ ; m; ] Proveďte diskusi o vzájemné poloze přímek AB a CD vzhledem k hodnotě parametru m R 6) Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímky p a q byly různoběžné Potom vypočítejte souřadnice jejich průsečíku p : k q : 4t y k y m t z 4 k R z t t R 7) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB, A [ ; 0; ], [ ; ; 4] dána body K [ 0; 0; ], L [ ; ; ] a M [ 0; ; 4] B a roviny ρ, která je 9

20 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: METRICKÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN ŘEŠENÉ ANALYTICKY ) Určete odchylku přímek p a q v rovině a) p: t, y 5, t R, q: y 6 0 b) p: y 0, q: y 4 0 ) Vypočítejte vzdálenost bodu A [ ; ] od přímky KL, K [ 0; 4], [ 5; 6] L ) Na přímce p: y 0 najděte bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q: 5 y 4 0 byla 4) Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem M [ 4; 6] Body [ 6; 0] B [ 0; 6] mají od přímky p stejnou vzdálenost 5) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, jestliže znáte vrchol A [ ; ] a obecné rovnice přímek, na kterých leží těžnice t b : y 0 a t c : y 4 0 A a 6) Vypočítejte vzdálenost počátku soustavy souřadnic od roviny určené přímkami p a q p: t, y t, z 4 t, t R q: k, y k, z k, k R 7) Na ose z určete bod C tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou AB ; ; 4 B 0; ; A [ ], [ ] 8) Vypočítejte odchylku přímek p a q p: t, y t, z 7 t, t R q: 4 k, y 5, z k, k R 9) Je dán bod [ ; ; 0] A a přímka p: t, y t, z, t R Na přímce p určete bod M tak, aby odchylka přímek AM a p byla 60 0) Vypočítejte odchylku přímky p od roviny ρ p: 4 t, y t, z t, t R ρ : 4y z 0 ) Vypočítejte odchylku průsečnice rovin ρ: y z 0 a σ : y 5 0 od osy z ) Určete všechny hodnoty parametru a R tak, aby roviny ρ: a y z 5 0 a σ : y z 0 byly a) navzájem kolmé b) navzájem rovnoběžné ) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžných rovin ρ: y z 0 a σ : y z 0 0

21 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ KUŽELOSEČEK ) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy y v bodě [ 0; 4] X [ 6; 0] ) Napište rovnici elipsy, která má ohniska F [ ; ], F [ 5; ] a hlavní vrchol [ 7; ] Y a osu protíná v bodě A ) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty a a a mají rovnice ± ( ) jedno ohnisko je F [ 0] ; 4) Určete charakteristické prvky paraboly 5y 0 y a 5) Úpravou na středový (vrcholový) tvar rovnice rozhodněte, zda je daná rovnice obecnou rovnicí kuželosečky V kladném případě určete charakteristické prvky kuželosečky (střed, vrchol, ohniska, rovnice poloos a asymptot, ecentricitu, rovnici řídící přímky) a kuželosečku načrtněte a) 9 4y 8y 40 0 b) y y 7 0 c) y 6y 0 d) 4 9y 6 8y 4 0 e) y 40 0 f) y 6 y 9 0 6) Napište rovnici kružnice, která prochází body R [ ; ], S [ ; 4] a [ ; 0] T 7) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s některou z os souřadnic, vrchol V [ ; 4] a pro kterou platí, že a) na ose vytíná úsečku délky 8 b) na ose y vytíná úsečku délky 6 8) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p : 4y 0 a p : 4y 5 0 Její střed leží na přímce p : y 0

22 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KUŽELOSEČKY A PŘÍMKA ) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p: y 4 0 v bodě [ ; ] poloměr r 5 ) Proveďte diskusi vzhledem k parametru a R o vzájemné poloze přímky q t ; a t, t R a kružnice y 0 {[ ] } ) Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; ] P a má M ke kružnici ( ) y 4) Napište rovnice tečen ke kružnici y y 0, které jsou kolmé k přímce q: y 6 0 5) Určete, pro které hodnoty parametru k R má přímka p: y k s elipsou 4y 6 0 právě jeden společný bod, resp dva společné body, resp žádný společný bod 6) Do elipsy y 6 vepište čtverec KLMN 7) Napište rovnici tečny elipsy y 6 tak, aby odchylka tečny a osy byla 0 8) Napište rovnici tečny elipsy 4y 4, která je kolmá k přímce q: y 0 9) Rozhodněte, zda z bodu [ 8; 0] M lze sestrojit tečnu k parabole y 4y 8 0 0) Napište rovnice tečen paraboly y 4 0, které jsou kolmé k přímce q: 7 0 ) Určete délku tětivy, kterou vytíná parabola y 8 na přímce y ) Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; ] ) Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; 0] 4y 6 0 M k parabole 8y 0 M k hyperbole

23 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KOMPLEXNÍ ČÍSLA ) Vypočítejte 6 6 a) ( i ) i 6 ( i ) i b) c) i i 50 d) ( i ) i i i ) Určete, pro která b R je komplení číslo a) reálné b) imaginární c) ryze imaginární ) Dokažte i 4) Určete y R 6 i b ib z ib i i, tak, aby platilo: ( i ) 4yi y 5) Řešte rovnici s neznámou C a) b) 64i 0 6) Řešte rovnici s neznámou C a) ( 7 i) 5i 0 b) 0 i ( i ) 7) Řešte rovnice s neznámou z C a) ( z i)( z i) z ( z i) z z 5 b) i i i c) i i i z

24 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: BINOMICKÁ VĚTA ) Vypočítejte m n a) n m b) ( a a ) ) V binomickém rozvoji 5 y y 5 4 najděte člen, který neobsahuje y ) Určete R platilo: a) koeficient u třetího členu je stejný jako koeficient u osmého členu b) koeficient u třetího členu je,5 krát větší než koeficient u šestého členu c) poměr koeficientů čtvrtého a třetího členu je 8 : d) součet koeficientů druhého a třetího členu je 55 e) koeficient u je čtyřikrát větší než koeficient u f) koeficient u je o 5 větší než absolutní člen g) koeficienty u druhého, třetího a čtvrtého členu tvoří aritmetickou posloupnost 4) Určete R n tak, aby pro ( ) n 6 z tak, aby sedmý člen binomického rozvoje ( z z ) 9 5) Který člen binomického rozvoje ( y ) 9 6) Určete N y obsahuje y? n tak, aby koeficient u y 8 v binomickém rozvoji ( y ) n 7) Vypočítejte desátý člen binomického rozvoje (a b) 5 byl roven 6 byl roven 40 8) Užitím binomické věty a Moivreovy věty odvoďte vzorec pro sin a cos 9) Pomocí binomické věty dokažte, že n N platí: n n n n n a) 0 n n n n n n n n b) n 4

25 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: KOMBINATORIKA A PRAVDĚPODOBNOST ) Kolik přirozených čísel lze vytvořit z číslic,,, 4, jestliže se žádná z nich neopakuje? Kolik z nich je sudých? ) Z kolika prvků lze vytvořit 600 variací druhé třídy? ) Kolik prvků máme, je-li počet variací druhé třídy z těchto prvků 0krát menší než počet variací čtvrté třídy z těchto prvků? 4) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet permutací krát Kolik je původních prvků? 5) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombinací třetí třídy o Kolik je původních prvků? 6) Řešte rovnici s neznámou Z a) 4 b) 4 4 7) Řešte nerovnici a) < 50 b) 4 00 c) ! 4 8) Ve skupině je 5 dětí, každé dítě má jiné jméno Kolika způsoby lze vybrat 5 dětí tak, aby mezi vybranými a) byla Alena b) nebyla Alena c) byla Alena a Jana d) byla alespoň jedna ze zmíněných dívek e) byla nejvýše jedna ze zmíněných dívek f) nebyla ani jedna ze zmíněných dívek 9) Určete počet všech úhlopříček v konvením n-úhelníku 0) Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla právě děvčata a 4 chlapci? ) Na oslavě si skleničkou přiťukl každý s každým právě jednou Ozvalo se 5 cinknutí Kolik hostů si připíjelo? ) Určete počet anagramů slova ARABELA V kolika z nich nestojí všechna tři písmena A vedle sebe? ) Určete počet všech nejvýše tříciferných lichých přirozených čísel (číslice se mohou opakovat) Kolik z nich je menších než 505? 4) Určete, kolika způsoby lze čtyřem dětem rozdat 0 stejných bonbónů Kolika způsoby můžeme bonbóny rozdat tak, aby každé dítě mělo alespoň bonbón? 5) Kolika způsoby lze uspořádat 8 osob do řady tak, aby pánové Suchý a Mokrý stáli vedle sebe? 6) Ve třídní samosprávě jsou 4 děvčata a chlapci Losem budou určeni zástupci třídy Jaká je pravděpodobnost, že trojice zástupců bude složena ze děvčat a chlapce? 7) Házíme dvěma kostkami, bílou a černou Určete, s jakou pravděpodobností padne součet 8 8) Házíme dvěma kostkami, bílou a černou Určete pravděpodobnost jevu B A jev A na bílé kostce padne číslo o menší než na černé kostce jev B na černé kostce padne sudé číslo 5

26 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a) a 4 a 5 4 a 4 a 5-5 b) a 4 a 5 a 7 a 8 0 a : a c) s 5 60, s 0 70 ) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti ) V aritmetické posloupnosti je a, d 4 Kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby byl součet větší než 50? 4) V aritmetické posloupnosti je a 8 Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo s ) V aritmetické posloupnosti je a 0, d - Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech předchozích členů 6) Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 0, součet následujících deseti členů je 60 Určete první člen a diferenci této posloupnosti 7) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti Obvod trojúhelníku je 96 cm Vypočítejte délky stran 8) Jakou podmínku musí splňovat první člen aritmetické posloupnosti s diferencí d 5, aby platilo s 000? 0 9) Určete součet všech přirozených lichých čísel menších než 000 0) Řešte rovnici s neznámou N ) Řešte nerovnici s neznámou N ) Určete součet všech dvojciferných přirozených čísel, která jsou dělitelná 6

27 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, je-li dáno: a) a a a 4-0 a a a 5-0 b) a a 9 a a 0 c) a 8 a 4 60 a 7 a 5 44 d) s 6 9 s ) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti ) V geometrické posloupnosti je a 6 Určete kvocient q tak, aby s 5 4) Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Součet délek všech hran kvádru je 84 cm Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64 cm 5) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 8, součet následujících tří členů je 04 Vypočítejte a, q a s 5 7 6) V geometrické posloupnosti s kvocientem q vypočítejte, kolik členů dává součet 86, jestliže poslední sčítanec je a n 96 7) Mezi čísla 6 a 8 vložte několik čísel tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost a dále aby a) celkový součet čísel daných a vložených byl b) součet čísel vložených byl -4 8) Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 5 % své intenzity Kolik desek je třeba dát na sebe, aby se intenzita světla snížila alespoň na polovinu původní hodnoty? 9) Kolik peněz musí pan Brzobohatý uložit, aby měl při ročním úročení 8,5 % za 5 let na účtu Kč? Daně z úroků jsou 5 % 7

28 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: POSLOUPNOSTI, REKURENTNÍ URČENÍ A VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ ) Posloupnost je dána rekurentně Vypočítejte prvních šest členů, odhadněte vzorec pro n-tý člen a dokažte jeho správnost 4 an ( an an ), a, a 4 ) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, omezená a) n 4n 4 b) a n a n n n n c) a ( ) n n ) Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen Určete její rekurentní vzorec n a n n 4) Rozhodněte, zda je posloupnost aritmetická nebo geometrická a) n a n n b) a n n 5 c) n a n n 5) Rozhodněte, zda je posloupnost zadaná rekurentně aritmetická nebo geometrická a) a, a a n b) 7 n n n 8, a n a n 4 a 6) Určete, pro která R jsou dané nekonečné geometrické řady konvergentní Potom určete součet příslušné řady a) i i b) ( ) i i c) ( 7) d) i i 7) Řešte rovnice s neznámou R a) 9 0 b) 4 8 log log log c) ( ) ( ) 6log i d) ( ) i e) i i 8

29 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍHO POČTU ) Vypočítejte limity 4 a) lim d) lim 5 6 b) lim e) lim ) Vypočítejte derivace funkcí v libovolném bodě definičního oboru ( ) a) sin y b) y 4 sin cos 6 6 c) y d) y ln ( 4) ) Napište obecnou rovnici tečny ke grafu funkce y f () v bodě T a) f ( ) T [ ;? ] f ( ) sin T c) ( ) T ;? f T b) [ 0;? ] f d) ( ) [ ;? ] c) lim f) lim 4) Je dána funkce f () Na grafu funkce y f () určete bod T tak, aby tečna v bodě T a) měla směrnici k 5 b) byla rovnoběžná s osou c) byla rovnoběžná s osou y d) byla kolmá k přímce q: y 0 e) byla rovnoběžná s přímkou p: y ) Napište rovnice tečen vedených z bodu M[;0] ke křivce y 6) Určete, ve kterých intervalech jsou dané funkce rostoucí a klesající Určete lokální etrémy funkce 4 a) f ( ) 4 b) f ( ) 6 c) f ( ) d) f ( ) 4 7) Vyšetřete průběh funkce a) y 6 9 b) y 4 0, 0,4 c) 4 y 8) Určete stranu čtverečku, který musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 cm 60 cm tak, aby po složení vznikla krabička maimálního objemu 9

30 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADY INTEGRÁLNÍHO POČTU ) Vypočítejte integrály b) ( )( ) a) d c) d cos d) sin 6 d ) Integrujte dané funkce a proveďte zkoušku a) cos( ) d b) cos d ) Vypočítejte integrály 5 a) d 4) Vypočítejte integrály metodou per partes a) cos d c) e d b) cotg d b) ln d d) e d ln e) e d f) d 5) Vypočítejte integrály substituční metodou 5 a) ( 4) d b) ( ) c) cos ( sin 7) d) 4 ( 4 ) d d 6) Nakreslete rovinný obrazec, který omezuje osa a graf dané funkce y f() a přímky a, b, kde a; b Vypočítejte jeho obsah a) y, 0; 4 b) y sin, 0; π c) y ln, ; e 7) Nakreslete rovinný obrazec, který vymezuje parabola y 4 a osa Vypočítejte jeho obsah 8) Vypočítejte obsah rovinného obrazce, který je omezen grafy funkcí a) f ( ), g( ) b) f ( ), g( ) 4 4 c) f ( ), g( ), h( ) 4 9) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r 0) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu válce o poloměru podstavy r a výšce v ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu kužele o poloměru podstavy r a výšce v d d 0