[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY"

Transkript

1 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [ ] m n m n m m n y b a b a y y b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) Upravte výraz s proměnnými R c a,, : : a c c a c a ) Upravte výraz s proměnnou { } 0 R \ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4) Vypočítejte a) b) c) ( ) ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) b b b b b b b b b) ( ) ( ) [ ] ( ) c) ( ) ( ) ( ) 6) Upravte předpisy funkcí, určete definiční obory a načrtněte grafy funkcí a) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 f b) ( ) 4 g

2 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ) Řešte rovnice s neznámou R a) 0 b) : 4 c) 0 0 d) ( 8) : ( ) e) f) 4 4 ) Řešte nerovnice s neznámou R a) c) ) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R y y y 8 7 b) 5 > 0 d) 0 4) Rozložte kvadratické trojčleny, určete definiční obor výrazu a zjednodušte jej ) Určete všechny hodnoty b R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice b 9 0 byl dvakrát větší než druhý kořen 6) Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou o větší než kořeny kvadratické rovnice 5 0 7) Určete koeficient lineárního členu m R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice m 5 0 byl o 4 větší než druhý kořen této rovnice 8) Je dána rovnice t( ) ( t) s neznámou R a parametrem t R Určete, pro které hodnoty parametru t má tato rovnice a) dva různé kladné reálné kořeny b) dva různé reálné záporné kořeny c) dva různé reálné kořeny opačných znamének 9) Chlapec skládal kostky stavebnice tvaru krychle Chtěl postavit velikou krychli Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku Potom mu ale 6 kostek chybělo Kolik kostek měl ve stavebnici?

3 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: ROVNICE A NEROVNICE S NEZNÁMOU V ABSOLUTNÍ HODNOTĚ ) Řešte rovnice a nerovnice s neznámou R a) b) 4 5 c) d) 0 e) f) g) h) i) > j) ) Řešte nerovnici v oboru Z ) Řešte nerovnici s neznámou R 4) Řešte soustavu nerovnic s neznámou R > 4 5

4 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ROVNICE A NEROVNICE S NEZNÁMOU POD ODMOCNINOU ) Řešte rovnice s neznámou R a) 7 5 b) c) 4 d) 0 0 e) 5 sin cos cos 0 f) 9 ) Řešte nerovnice s neznámou R a) 4 b) c) < 4 ) Řešte rovnice s neznámou R Využijte metodu substituce a) b) ( )( 8) ( ) c) d) 6 0 4) Určete definiční obory funkcí a) f ( ) 4 6 b) g( ) log 0, 5 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R 4 y 4 y 6 4

5 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ROVNICE S PARAMETRY A JEJICH SOUSTAVY ) Určete R číslo p tak, aby řešením rovnice ( p ) ( p ) p bylo kladné reálné m m ) V rovnici 8 určete hodnotu parametru m R tak, aby kořenem dané rovnice bylo číslo ) Řešte rovnice s neznámou R a parametrem m R a) m m m m m b) m c) m ( m ) 4) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R a parametrem a R a y ( ) ( a ) y 5) Určete, pro která t R je řešením dané soustavy rovnic uspořádaná dvojice reálných, y taková, že < 0 y > 0 čísel [ ] y y t 6) Určete všechny hodnoty parametru c R, pro které má daná rovnice dvojnásobný kořen c 4 c 0 7) Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice jeden kořen roven nule a a a 7a ( ) ( ) 0 8) Určete všechny hodnoty parametru m R tak, aby kořeny rovnice ( m ) m 0 byla a) dvě navzájem opačná čísla b) dvě navzájem převrácená čísla 9) Řešte graficky rovnice s neznámou R a parametrem k R a) k b) 5 k c) k k 0) Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R p p 5

6 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ A JEJICH POUŽITÍ ) Je dána přímka p a dva různé body A, B, které leží v jedné polorovině s hraniční přímkou p Na přímce p najděte bod X takový, aby lomená čára AXB byla co nejkratší ) Je dána přímka p, kružnice k a bod Q Sestrojte úsečku, jejíž jeden krajní bod leží na k, druhý na p a bod Q je středem této úsečky ) Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a bod C, který na nich neleží Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A a, B b 4) Jsou dány různoběžné přímky p, q a úsečka MN Sestrojte kružnici, která má poloměr r MN, střed S p a vytíná na přímce q tětivu AB, AB MN 5) Jsou dány různoběžné přímky p, q a kružnice k Sestrojte úsečku XY tak, aby platilo X k, Y p, úsečka XY je kolmá na přímku q a střed úsečky XY leží na přímce q 6) Je dána kružnice k, její vnější přímka p a úsečka AB Sestrojte úsečku XY tak, aby X k, Y p, XY AB a XY AB 7) Je dána kružnice k(o; 4 cm) a bod A Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, které mají délku 6 cm a prochází bodem A Polohu bodu A volte a) uvnitř kružnice b) vně kružnice 8) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a b c cm, α 45, β 75 9) Je dána úsečka CS délky cm Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CS těžnicí t c a pro který platí: a) a,5 cm, b 5 cm b) α 0, β 45 c) b 8 cm, β 0 6

7 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ A JEJICH POUŽITÍ ) Je dán čtverec KLMN se stranou délky 4 cm Sestrojte jeho obraz ve stejnolehlosti se středem v bodě L a koeficientem: a) κ 0,5 b) κ c) κ -0,5 d) κ - ) Je dána kružnice k a bod M ležící uvnitř této kružnice Sestrojte tětivu kružnice k, která je bodem M rozdělena v poměru : ) Jsou dány různoběžky a, b a uvnitř jednoho jejich úhlu bod M Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a i b 4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) a : b : c 7 : : 5, v c 4 cm, b) a : b 4 : 5, γ 60, v c cm 5) Jsou dány přímky a a b, jejichž průsečík leží mimo papír Dále je dán bod M Narýsujte přímku p, která prochází bodem M a nedostupným průsečíkem přímek a a b 6) Je dán trojúhelník ABC, jehož vrchol C leží mimo papír Narýsujte kolmici na stranu AB, která prochází nedostupným bodem C 7) Do trojúhelníku ABC (a 5 cm, b 6 cm, c 7 cm) vepište čtverec KLMN tak, aby platilo KL AB M BC N AC 8) Narýsujte společné tečny kružnic k a k, je-li dáno: k (O ;,5 cm), k (O ;,5 cm) O 6,5 cm O 9) Je dána kružnice k(o; 4 cm) a bod M, OM 9 cm Sestrojte přímku procházející bodem M tak, aby kružnici k protínala v bodech X a Y a aby úsečky XY a XM měly stejnou délku 7

8 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: APLIKACE PYTHAGOROVY VĚTY A EUKLIDOVÝCH VĚT ) Je dána kružnice k(s; 4 cm) a bod A, AS 0 cm Vypočítejte vzdálenost bodu A od spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu A ke kružnici k ) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru 6 cm mají délky 6 cm a 0 cm Určete jejich vzdálenost ) Je dána kružnice k(s; cm) a bod M, MS 9 cm Z bodu M sestrojte tečny ke kružnici k Body dotyku označte T a T Vypočítejte a) délku úsečky MT b) délku úsečky T T c) vzdálenost bodu S od úsečky T T 4) Ve čtverci ABCD označte S střed strany AB Zvolte bod L BD tak, aby platilo BL : DL : Dokažte, že velikost úhlu SLC je 90 5) Je dán obdélník ABCD, AB : BC 5: Na straně CD najděte bod X tak, aby velikost úhlu AXB byla 90 Vypočítejte, v jakém poměru dělí bod X stranu CD 6) Jsou dány kružnice k (O ; 4 cm) a k (O ; 6 cm), O O 5 cm Označte P a P jejich průsečíky a vypočítejte délku úsečky P P 7) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je dána odvěsna a 4 cm a těžnice t a 6 cm Vypočítejte délku těžnice t b 8) Je dána kružnice k(s; r) Kružnici k opíšeme a vepíšeme čtverec Určete poměr délek stran a poměr obsahů těchto dvou čtverců 9) Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům, 8 a 4 Vypočítejte vnitřní úhly tohoto trojúhelníku 8

9 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: TRIGONOMETRIE, SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA ) Vypočítejte velikosti úhlů v trojúhelníku ABC, víte-li, že b : a :, β α ) V trojúhelníku ABC znáte poměr délek stran a : b : c : 4 : 5 Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC ) Vypočítejte velikosti všech stran trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) t a 6 cm, t b 9 cm, c 8 cm b) a 0 cm, t a 8 cm, v b 6 cm c) t a 6 cm, t b 4 cm, t c 8 cm 4) Určete délky všech stran, úhlopříček, výšky a velikosti všech vnitřních úhlů rovnoběžníku ABCD, je-li dáno: AB 6, cm, BC 5,4 cm, AC 4,8 cm 5) V trojúhelníku ABC znáte velikosti úhlů α 45, β 60, γ 75 Vypočítejte, v jakém poměru jsou délky stran trojúhelníku ABC 6) V trojúhelníku ABC je dáno a 4 cm, b 6 cm, γ 60 Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC a výšky v a, v b a v c 7) Trojúhelník ABC má délky stran 5 cm, 6 cm a 9 cm Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC a obsah trojúhelníku S AB S BC S AC, kde S AB, S BC a S AC jsou středy stran AB, BC a AC 8) Dokažte, že součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je 80 9

10 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ ) Určete definiční obory funkcí a) f ( ) b) f ( ) log ( ) 4 6 c) f ( ) d) 4 6 f ( ) ) Určete, které z funkcí jsou sudé (liché) v definičním oboru a) f ( ) cos b) f ( ) c) f ( ) log d) 4 f ( ) 4 ) Rozhodněte, které z funkcí jsou omezené shora, omezené zdola, omezené v definičním oboru a) f ( ) cos b) f ( ) c) f ( ) sin d) f ( ) e) g) f) f ( ) log f ( ) f ( ) h) f ( ) 4) Určete, ve kterých podmnožinách definičního oboru jsou funkce z předchozího příkladu rostoucí a klesající 5) Rozhodněte, zda jsou následující funkce prosté ve svém definičním oboru a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 4 d) f ( ) 5 6) Načrtněte graf funkce f, víte-li že platí: D f ; ) \ { 0} f(-) - průsečíky grafu funkce s osou jsou v bodech P [ ;0], [ 5;0] P v intervalu ; 0) je funkce f rostoucí a není omezená shora v intervalu ; \ { 0} je funkce f sudá v intervalu ; ) je funkce f rostoucí a omezená shora číslem h 4 a) Z grafu určete obor funkčních hodnot funkce f b) Určete souřadnice průsečíku grafu funkce f s osou y c) Je funkce f omezená zdola v definičním oboru? d) Určete maimum funkce f v definičním oboru e) Určete minimum funkce f v definičním oboru f) Je funkce f prostá v definičním oboru? 0

11 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE, MOCNINNÁ FUNKCE ) Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic a) f : y 4 b) f : y 4 5 c) f : y d) e) f) f : y f : y 7 f : y ) Upravte předpis dané funkce, určete definiční obor funkce a načrtněte graf 5 f : y : ) Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic a) f : y b) c) d) f : y f : y f : y e) f : y 4) Řešte v R graficky následující nerovnice 6 5 a) > b) c) > 5 4 5) Vysvětlete definici následujících funkcí a načrtněte jejich grafy a) f : y sgn b) f : y [ ]

12 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KVADRATICKÁ FUNKCE, GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A NEROVNIC ) Načrtněte grafy funkcí a) f : y 4 b) f : y c) f : y ) Řešte v R graficky nerovnici 0 ) Načrtněte grafy funkcí Určete souřadnice vrcholu paraboly, tvar křivky, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami souřadnic a) f : y g : y b) ( ) c) h : y d) k : y 4 e) l : y 4 f) m : y 4 4) Zapište rovnicí funkční předpis kvadratické funkce f, platí-li: pro nabývá funkce maima hodnota maima je 4 osu y protíná graf funkce v bodě [0;] 5) Zapište rovnicí funkční předpis kvadratické funkce f, platí-li f() -, f() 4, f() 4 6) Je dána funkce g : y Určete funkční předpis kvadratické funkce f tak, aby graf funkce f byl souměrný s grafem funkce g a) podle osy b) podle osy y c) podle počátku soustavy souřadnic

13 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: GRAFY FUNKCÍ S ABSOLUTNÍMI HODNOTAMI Načrtněte grafy funkcí Stanovte definiční obory funkcí, vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadnic ) f : y ) f : y ) f : y 4) f : y 4 5) f : y 6) f : y ) f : y 8) f : y 9) f : y 0) f : y ) f : y ) f : y ( )

14 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE ) Najděte všechny hodnoty reálného parametru p tak, aby daná funkce byla: a) klesající, p y p b) rostoucí, p y p ) Pomocí grafů eponenciálních funkcí rozhodněte, jaké musí být a R, aby platilo: 5 6 a) a > a b) a > a ) Určete definiční obor funkce: a) y b) y log 7 ( ) c) y log ( ) log, 4) Načrtněte grafy funkcí a) y 4 b) y 4 c) ( 4) y d) e) y f) y 5) Vypočítejte a) log log 6 b) c) e) y log log log 9 log 5 log 9 log 4 5 d) log log log5 log5 log log log 5 6) Načrtněte grafy funkcí a) y log ( 4) b) y log 4 c) y log d) y ln e) y log 7) Pomocí grafu logaritmické funkce najděte všechna reálná čísla, pro které platí: a) log,5 < log, 5 5 b) log 0,7 ( ) log 0, 7 0 4

15 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Řešte rovnice s neznámou R ) 4 4 ) ) 4log log 4) ( ) log ( ) 6 5) log log log 8 8 log 4 log log 6) log log log 4 0,5 7) { log [ log ( log ) ]} 0, 5 log 9 8) log log log 0 9) log ( 8 ) 7 0) 000 ) log log log log log ) 0 log log log ) log log 4 log6 4) Řešte soustavu rovnic s neznámými, y R 0 y y y y 0 4 Využijte vzorec log log a log b b a 5

16 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: GONIOMETRICKÉ FUNKCE, GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ) Řešte rovnice s neznámou R a) cos( 4π ) b) sin cos 4 0 c) sin 4 cos 4 d) tg cotg 0 e) cos 4 cos 4 cos f) (tg cotg ) (tg cotg ) 4 g) sin sin cos 0 h) sin 4 cos 4 cos i) cos sin (sin cos ) j) sin cos ) Řešte goniometrické nerovnice s neznámou R a) sin b) sin cos ) Řešte goniometrickou nerovnici s neznámou 0;π sin cos > 0 4) Řešte goniometrické rovnice s neznámou R Využijte vzorců pro dvojnásobný argument a vhodné substituce a) sin 4 sin b) cos 4 cos sin 0 c) sin cos 5) Řešte goniometrickou rovnici sin cos sin cos s neznámou R 6

17 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: VYUŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ π ) Určete hodnoty sin, cos, tg, sin 4, cos 4, víte-li že sin ; ; π 4 ) Určete, pro která R má daná rovnost smysl a dokažte ji sin cos tg cos sin ) Dokažte 7 cos π 4 4) Vypočítejte 5 sin π sin π 4 cos π cos π 5) Dokažte π cos 6) Dokažte s využitím grafů funkcí π cos sin 7) Vypočítejte a) sin 44 cos cos 44 sin b) cos π cos π sin π sin π 7

18 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY A ROVINY ) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[ ; ] a je a) rovnoběžná s přímkou q : y 7 0 b) kolmá k přímce q : y 4 0 c) rovnoběžná s osou d) kolmá k ose y ) Přímka p prochází bodem [ ; ] A kolmo k ose Zapište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, směrnicový tvar a úsekový tvar rovnice přímky ) Přímka p prochází bodem [ ; ] A a počátkem soustavy souřadnic Zapište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, směrnicový tvar a úsekový tvar rovnice přímky 4) Body A [ ; 4], B [ 4; ], [ 4; ] C jsou vrcholy trojúhelníku ABC Napište obecné rovnice výšek v a, v b a v c Vypočítejte souřadnice průsečíku dvou výšek a ověřte, že tímto bodem prochází i třetí výška 5) Proveďte diskusi o vzájemné poloze daných přímek vzhledem k hodnotě parametru a R p: a k q: 6t y k y -9 4t z k k R z 7 t t R 6) Rozhodněte, zda dané tři body určují rovinu V případě, že rovinu určují, napište její parametrické rovnice, obecnou rovnici, vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic a rovinu ve zvolené soustavě souřadnic znázorněte a) A [ ; ; ], B [ 5; ; ], C[ ; 0; ] ; ; 0; ; C ; ; 8 b) A [ ], B [ ], [ ] 7) Napište obecnou rovnici roviny σ, víte-li, že v této rovině leží body A [ ; 4; 5] a B [ ; ; 0] a osa y je s rovinou σ rovnoběžná 8) Osy, y a přímka KL určují trojúhelník Vypočítejte jeho obsah, je-li dáno K [ ; 9], L [ 4; ] 9) Určete obsah trojúhelníku ABC, jsou-li dány body A [ 4; 0; ], B [ ; 4; ] a [ 5; ; 4] C 8

19 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: POLOHOVÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN ŘEŠENÉ ANALYTICKY ) Určete hodnoty parametrů a, b R tak, aby roviny ρ : by z 7 0 a σ : a 4y z 4 0 byly a) rovnoběžné b) různoběžné c) navzájem kolmé ) Určete vzájemnou polohu rovin ρ a σ Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické vyjádření jejich průsečnice a) ρ : 4y z 8 0, σ : y z 6 0 b) ρ : y z 6 0, σ : 4 y 4z 6 0 ) Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin a) ρ : y z 0, σ : y z 8 0, τ : 4 y z 0 b) α : y z 0, β : y z 0, γ : y z 0 4) Určete hodnoty parametrů a, b R tak, aby přímka p : a t y bt z t t R byla s rovinou ρ : y z 0 0 a) různoběžná b) ležela v rovině ρ c) rovnoběžná a neležela v rovině ρ 5) Jsou dány body A [ ; ; ], B [ ; ; ], C [ ; 8; ] a D [ ; m; ] Proveďte diskusi o vzájemné poloze přímek AB a CD vzhledem k hodnotě parametru m R 6) Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímky p a q byly různoběžné Potom vypočítejte souřadnice jejich průsečíku p : k q : 4t y k y m t z 4 k R z t t R 7) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB, A [ ; 0; ], [ ; ; 4] dána body K [ 0; 0; ], L [ ; ; ] a M [ 0; ; 4] B a roviny ρ, která je 9

20 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: METRICKÉ VLASTNOSTI PŘÍMEK A ROVIN ŘEŠENÉ ANALYTICKY ) Určete odchylku přímek p a q v rovině a) p: t, y 5, t R, q: y 6 0 b) p: y 0, q: y 4 0 ) Vypočítejte vzdálenost bodu A [ ; ] od přímky KL, K [ 0; 4], [ 5; 6] L ) Na přímce p: y 0 najděte bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q: 5 y 4 0 byla 4) Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem M [ 4; 6] Body [ 6; 0] B [ 0; 6] mají od přímky p stejnou vzdálenost 5) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, jestliže znáte vrchol A [ ; ] a obecné rovnice přímek, na kterých leží těžnice t b : y 0 a t c : y 4 0 A a 6) Vypočítejte vzdálenost počátku soustavy souřadnic od roviny určené přímkami p a q p: t, y t, z 4 t, t R q: k, y k, z k, k R 7) Na ose z určete bod C tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou AB ; ; 4 B 0; ; A [ ], [ ] 8) Vypočítejte odchylku přímek p a q p: t, y t, z 7 t, t R q: 4 k, y 5, z k, k R 9) Je dán bod [ ; ; 0] A a přímka p: t, y t, z, t R Na přímce p určete bod M tak, aby odchylka přímek AM a p byla 60 0) Vypočítejte odchylku přímky p od roviny ρ p: 4 t, y t, z t, t R ρ : 4y z 0 ) Vypočítejte odchylku průsečnice rovin ρ: y z 0 a σ : y 5 0 od osy z ) Určete všechny hodnoty parametru a R tak, aby roviny ρ: a y z 5 0 a σ : y z 0 byly a) navzájem kolmé b) navzájem rovnoběžné ) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžných rovin ρ: y z 0 a σ : y z 0 0

21 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ KUŽELOSEČEK ) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy y v bodě [ 0; 4] X [ 6; 0] ) Napište rovnici elipsy, která má ohniska F [ ; ], F [ 5; ] a hlavní vrchol [ 7; ] Y a osu protíná v bodě A ) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty a a a mají rovnice ± ( ) jedno ohnisko je F [ 0] ; 4) Určete charakteristické prvky paraboly 5y 0 y a 5) Úpravou na středový (vrcholový) tvar rovnice rozhodněte, zda je daná rovnice obecnou rovnicí kuželosečky V kladném případě určete charakteristické prvky kuželosečky (střed, vrchol, ohniska, rovnice poloos a asymptot, ecentricitu, rovnici řídící přímky) a kuželosečku načrtněte a) 9 4y 8y 40 0 b) y y 7 0 c) y 6y 0 d) 4 9y 6 8y 4 0 e) y 40 0 f) y 6 y 9 0 6) Napište rovnici kružnice, která prochází body R [ ; ], S [ ; 4] a [ ; 0] T 7) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s některou z os souřadnic, vrchol V [ ; 4] a pro kterou platí, že a) na ose vytíná úsečku délky 8 b) na ose y vytíná úsečku délky 6 8) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímek p : 4y 0 a p : 4y 5 0 Její střed leží na přímce p : y 0

22 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KUŽELOSEČKY A PŘÍMKA ) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p: y 4 0 v bodě [ ; ] poloměr r 5 ) Proveďte diskusi vzhledem k parametru a R o vzájemné poloze přímky q t ; a t, t R a kružnice y 0 {[ ] } ) Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; ] P a má M ke kružnici ( ) y 4) Napište rovnice tečen ke kružnici y y 0, které jsou kolmé k přímce q: y 6 0 5) Určete, pro které hodnoty parametru k R má přímka p: y k s elipsou 4y 6 0 právě jeden společný bod, resp dva společné body, resp žádný společný bod 6) Do elipsy y 6 vepište čtverec KLMN 7) Napište rovnici tečny elipsy y 6 tak, aby odchylka tečny a osy byla 0 8) Napište rovnici tečny elipsy 4y 4, která je kolmá k přímce q: y 0 9) Rozhodněte, zda z bodu [ 8; 0] M lze sestrojit tečnu k parabole y 4y 8 0 0) Napište rovnice tečen paraboly y 4 0, které jsou kolmé k přímce q: 7 0 ) Určete délku tětivy, kterou vytíná parabola y 8 na přímce y ) Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; ] ) Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ 0; 0] 4y 6 0 M k parabole 8y 0 M k hyperbole

23 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: KOMPLEXNÍ ČÍSLA ) Vypočítejte 6 6 a) ( i ) i 6 ( i ) i b) c) i i 50 d) ( i ) i i i ) Určete, pro která b R je komplení číslo a) reálné b) imaginární c) ryze imaginární ) Dokažte i 4) Určete y R 6 i b ib z ib i i, tak, aby platilo: ( i ) 4yi y 5) Řešte rovnici s neznámou C a) b) 64i 0 6) Řešte rovnici s neznámou C a) ( 7 i) 5i 0 b) 0 i ( i ) 7) Řešte rovnice s neznámou z C a) ( z i)( z i) z ( z i) z z 5 b) i i i c) i i i z

24 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: BINOMICKÁ VĚTA ) Vypočítejte m n a) n m b) ( a a ) ) V binomickém rozvoji 5 y y 5 4 najděte člen, který neobsahuje y ) Určete R platilo: a) koeficient u třetího členu je stejný jako koeficient u osmého členu b) koeficient u třetího členu je,5 krát větší než koeficient u šestého členu c) poměr koeficientů čtvrtého a třetího členu je 8 : d) součet koeficientů druhého a třetího členu je 55 e) koeficient u je čtyřikrát větší než koeficient u f) koeficient u je o 5 větší než absolutní člen g) koeficienty u druhého, třetího a čtvrtého členu tvoří aritmetickou posloupnost 4) Určete R n tak, aby pro ( ) n 6 z tak, aby sedmý člen binomického rozvoje ( z z ) 9 5) Který člen binomického rozvoje ( y ) 9 6) Určete N y obsahuje y? n tak, aby koeficient u y 8 v binomickém rozvoji ( y ) n 7) Vypočítejte desátý člen binomického rozvoje (a b) 5 byl roven 6 byl roven 40 8) Užitím binomické věty a Moivreovy věty odvoďte vzorec pro sin a cos 9) Pomocí binomické věty dokažte, že n N platí: n n n n n a) 0 n n n n n n n n b) n 4

25 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: KOMBINATORIKA A PRAVDĚPODOBNOST ) Kolik přirozených čísel lze vytvořit z číslic,,, 4, jestliže se žádná z nich neopakuje? Kolik z nich je sudých? ) Z kolika prvků lze vytvořit 600 variací druhé třídy? ) Kolik prvků máme, je-li počet variací druhé třídy z těchto prvků 0krát menší než počet variací čtvrté třídy z těchto prvků? 4) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet permutací krát Kolik je původních prvků? 5) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombinací třetí třídy o Kolik je původních prvků? 6) Řešte rovnici s neznámou Z a) 4 b) 4 4 7) Řešte nerovnici a) < 50 b) 4 00 c) ! 4 8) Ve skupině je 5 dětí, každé dítě má jiné jméno Kolika způsoby lze vybrat 5 dětí tak, aby mezi vybranými a) byla Alena b) nebyla Alena c) byla Alena a Jana d) byla alespoň jedna ze zmíněných dívek e) byla nejvýše jedna ze zmíněných dívek f) nebyla ani jedna ze zmíněných dívek 9) Určete počet všech úhlopříček v konvením n-úhelníku 0) Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla právě děvčata a 4 chlapci? ) Na oslavě si skleničkou přiťukl každý s každým právě jednou Ozvalo se 5 cinknutí Kolik hostů si připíjelo? ) Určete počet anagramů slova ARABELA V kolika z nich nestojí všechna tři písmena A vedle sebe? ) Určete počet všech nejvýše tříciferných lichých přirozených čísel (číslice se mohou opakovat) Kolik z nich je menších než 505? 4) Určete, kolika způsoby lze čtyřem dětem rozdat 0 stejných bonbónů Kolika způsoby můžeme bonbóny rozdat tak, aby každé dítě mělo alespoň bonbón? 5) Kolika způsoby lze uspořádat 8 osob do řady tak, aby pánové Suchý a Mokrý stáli vedle sebe? 6) Ve třídní samosprávě jsou 4 děvčata a chlapci Losem budou určeni zástupci třídy Jaká je pravděpodobnost, že trojice zástupců bude složena ze děvčat a chlapce? 7) Házíme dvěma kostkami, bílou a černou Určete, s jakou pravděpodobností padne součet 8 8) Házíme dvěma kostkami, bílou a černou Určete pravděpodobnost jevu B A jev A na bílé kostce padne číslo o menší než na černé kostce jev B na černé kostce padne sudé číslo 5

26 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a) a 4 a 5 4 a 4 a 5-5 b) a 4 a 5 a 7 a 8 0 a : a c) s 5 60, s 0 70 ) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti ) V aritmetické posloupnosti je a, d 4 Kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby byl součet větší než 50? 4) V aritmetické posloupnosti je a 8 Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo s ) V aritmetické posloupnosti je a 0, d - Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech předchozích členů 6) Součet prvních deseti členů aritmetické posloupnosti je 0, součet následujících deseti členů je 60 Určete první člen a diferenci této posloupnosti 7) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti Obvod trojúhelníku je 96 cm Vypočítejte délky stran 8) Jakou podmínku musí splňovat první člen aritmetické posloupnosti s diferencí d 5, aby platilo s 000? 0 9) Určete součet všech přirozených lichých čísel menších než 000 0) Řešte rovnici s neznámou N ) Řešte nerovnici s neznámou N ) Určete součet všech dvojciferných přirozených čísel, která jsou dělitelná 6

27 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, je-li dáno: a) a a a 4-0 a a a 5-0 b) a a 9 a a 0 c) a 8 a 4 60 a 7 a 5 44 d) s 6 9 s ) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti ) V geometrické posloupnosti je a 6 Určete kvocient q tak, aby s 5 4) Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti Součet délek všech hran kvádru je 84 cm Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64 cm 5) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 8, součet následujících tří členů je 04 Vypočítejte a, q a s 5 7 6) V geometrické posloupnosti s kvocientem q vypočítejte, kolik členů dává součet 86, jestliže poslední sčítanec je a n 96 7) Mezi čísla 6 a 8 vložte několik čísel tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost a dále aby a) celkový součet čísel daných a vložených byl b) součet čísel vložených byl -4 8) Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 5 % své intenzity Kolik desek je třeba dát na sebe, aby se intenzita světla snížila alespoň na polovinu původní hodnoty? 9) Kolik peněz musí pan Brzobohatý uložit, aby měl při ročním úročení 8,5 % za 5 let na účtu Kč? Daně z úroků jsou 5 % 7

28 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: POSLOUPNOSTI, REKURENTNÍ URČENÍ A VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ ) Posloupnost je dána rekurentně Vypočítejte prvních šest členů, odhadněte vzorec pro n-tý člen a dokažte jeho správnost 4 an ( an an ), a, a 4 ) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, omezená a) n 4n 4 b) a n a n n n n c) a ( ) n n ) Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen Určete její rekurentní vzorec n a n n 4) Rozhodněte, zda je posloupnost aritmetická nebo geometrická a) n a n n b) a n n 5 c) n a n n 5) Rozhodněte, zda je posloupnost zadaná rekurentně aritmetická nebo geometrická a) a, a a n b) 7 n n n 8, a n a n 4 a 6) Určete, pro která R jsou dané nekonečné geometrické řady konvergentní Potom určete součet příslušné řady a) i i b) ( ) i i c) ( 7) d) i i 7) Řešte rovnice s neznámou R a) 9 0 b) 4 8 log log log c) ( ) ( ) 6log i d) ( ) i e) i i 8

29 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍHO POČTU ) Vypočítejte limity 4 a) lim d) lim 5 6 b) lim e) lim ) Vypočítejte derivace funkcí v libovolném bodě definičního oboru ( ) a) sin y b) y 4 sin cos 6 6 c) y d) y ln ( 4) ) Napište obecnou rovnici tečny ke grafu funkce y f () v bodě T a) f ( ) T [ ;? ] f ( ) sin T c) ( ) T ;? f T b) [ 0;? ] f d) ( ) [ ;? ] c) lim f) lim 4) Je dána funkce f () Na grafu funkce y f () určete bod T tak, aby tečna v bodě T a) měla směrnici k 5 b) byla rovnoběžná s osou c) byla rovnoběžná s osou y d) byla kolmá k přímce q: y 0 e) byla rovnoběžná s přímkou p: y ) Napište rovnice tečen vedených z bodu M[;0] ke křivce y 6) Určete, ve kterých intervalech jsou dané funkce rostoucí a klesající Určete lokální etrémy funkce 4 a) f ( ) 4 b) f ( ) 6 c) f ( ) d) f ( ) 4 7) Vyšetřete průběh funkce a) y 6 9 b) y 4 0, 0,4 c) 4 y 8) Určete stranu čtverečku, který musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 cm 60 cm tak, aby po složení vznikla krabička maimálního objemu 9

30 Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky :: ZÁKLADY INTEGRÁLNÍHO POČTU ) Vypočítejte integrály b) ( )( ) a) d c) d cos d) sin 6 d ) Integrujte dané funkce a proveďte zkoušku a) cos( ) d b) cos d ) Vypočítejte integrály 5 a) d 4) Vypočítejte integrály metodou per partes a) cos d c) e d b) cotg d b) ln d d) e d ln e) e d f) d 5) Vypočítejte integrály substituční metodou 5 a) ( 4) d b) ( ) c) cos ( sin 7) d) 4 ( 4 ) d d 6) Nakreslete rovinný obrazec, který omezuje osa a graf dané funkce y f() a přímky a, b, kde a; b Vypočítejte jeho obsah a) y, 0; 4 b) y sin, 0; π c) y ln, ; e 7) Nakreslete rovinný obrazec, který vymezuje parabola y 4 a osa Vypočítejte jeho obsah 8) Vypočítejte obsah rovinného obrazce, který je omezen grafy funkcí a) f ( ), g( ) b) f ( ), g( ) 4 4 c) f ( ), g( ), h( ) 4 9) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r 0) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu válce o poloměru podstavy r a výšce v ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu kužele o poloměru podstavy r a výšce v d d 0

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14 Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 30 bodů Pro přijetí uchazečů je rozhodné umístění v sestupném pořadí uchazečů podle dosaženého bodového hodnocení. 1Základní informace k zadání zkoušky

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Řešení najdete na konci ukázky

Řešení najdete na konci ukázky Řešení najdete na konci ukázky. Posloupnost ( 3n + ) n je totožná s posloupností: = (A) a =, an+ = 3 a a =, a n+ an = 3 3 a =, an+ = a a = 3, an+ = an + an+ a = 3, = a n n n. David hraje každý všední den

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Interaktivní testy matematických znalostí

Interaktivní testy matematických znalostí MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce Interaktivní testy matematických znalostí Brno 2006 Jana Bobčíková Vedoucí práce: Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. Prohlášení Prohlašuji,

Více