Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,"

Transkript

1 E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková

2 Obsah 1 Úpravy výrazů Zlomky Mocniny a odmocniny Mnohočleny Lomené algebraické výrazy Úprava výrazů Řešení rovnic Algebraické rovnice o jedné neznámé Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Jednoduché goniometrické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Soustavy rovnic Řešení nerovnic Lineární nerovnice a jejich soustavy Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice součinového a podílového typu Kvadratické nerovnice Nerovnice s neznámou pod odmocninou Jednoduché exponenciální nerovnice Jednoduché logaritmické nerovnice Jednoduché goniometrické nerovnice Komplexní čísla Operace s komplexními čísly Goniometrický tvar komplexního čísla

3 Řešení: R1 Úpravy výrazů - řešení R1.1 Zlomky - řešení R1. Mocniny a odmocniny - řešení R1.3 Mnohočleny - řešení R1.4 Lomené algebraické výrazy - řešení R1.5 Úprava výrazů - řešení R Řešení rovnic - řešení R.1 Algebraické rovnice o jedné neznámé - řešení R. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice - řešení R.3 Jednoduché goniometrické rovnice - řešení R.4 Rovnice s absolutní hodnotou - řešení R.5 Soustavy rovnic - řešení R3 Řešení nerovnic - řešení R3.1 Lineární nerovnice a jejich soustavy - řešení R3. Nerovnice s absolutní hodnotou - řešení R3.3 Nerovnice součinového a podílového typu - řešení R3.4 Kvadratické nerovnice - řešení R3.5 Nerovnice s neznámou pod odmocninou - řešení R3.6 Jednoduché exponenciální nerovnice - řešení R3.7 Jednoduché logaritmické nerovnice - řešení R3.8 Jednoduché goniometrické nerovnice - řešení R4 Komplexní čísla - řešení R4.1 Operace s komplexními čísly - řešení R4. Goniometrický tvar komplexního čísla

4 1. Úpravy výrazů 1.1. Zlomky V následujících příkladech upravte zlomky: Příklad 1.1: Příklad 1.: Příklad 1.3: Příklad 1.4: ( ). Řešení ( 10 : 3 5 ). Řešení 6 3 ( a ) 3 a ( a + a a ) a ; a 0. Řešení 4 ( a b + b ) ( 1 : a 3 a b ) ( b 3 3 b ) ; a, b 0, a b 1. Řešení 1.. Mocniny a odmocniny V následujících příkladech zjednodušte výraz: Příklad 1.5: x y 3 8 y 5 x 43 ; x, y 0. Řešení

5 Příklad 1.6: a 3 b 15 9 ; a, b > 0. Řešení a 1 6 b 3 ( ) u 5 v Příklad 1.7: w (v 6 u 3 w 3 v ) 3 ; u, v, w 0. Řešení 1.3. Mnohočleny V následujících příkladech vydělte polynomy P (x) a Q(x) a proved te zkoušku: Příklad 1.8: P (x) x 3 5x + 8x 4, Q(x) x, Řešení Příklad 1.9: P (x) x 4 + x 3 4x 6x + 3, Q(x) x 3, Řešení Příklad 1.10: P (x) x 4 + 6x 3 + 7x + 9x 7, Q(x) x + 5, Řešení Příklad 1.11: P (x) x 5 x 4 5x x 13x + 3, Q(x) x 3x + 4, Řešení Příklad 1.1: Umocněte dvojčleny: a) (3 x ) 4, b) (a b ) 3, c) Příklad 1.13: Rozložte mnohočleny na součin: ( z 1 ) 5 ( u, d) z v + v ) 3. Řešení u a) x 5 5 y, b) a 4 16, c) x 3 3 3, d) 8 u 3 + v3 7. Řešení

6 Příklad 1.14: Rozložte trojčleny na součin: a) x 5 x 4, b) 3 x + 1 x + 30, c) x 4 5 x + 4, d) x 4 8 x 9. Řešení Příklad 1.15: Doplňte na čtverec. a) x + x 4, b) x 8 x + 9, c) x 4 x + 1, d) 3 x4 6 x + 1. Řešení 1.4. Lomené algebraické výrazy Příklad 1.16: Příklad 1.17: Příklad 1.18: Sečtěte lomené výrazy: Sečtěte lomené výrazy: Zjednodušte lomený výraz: 1 b(a + b) + 1 a(b a) + a b. 1 x 1 + ( 1) x ( ) x + 1. x y y x 1 x 1 y. Řešení Řešení Řešení

7 Příklad 1.19: Zjednodušte lomený výraz: 4 u u 1 1 u(u 1) 4 u 1 u u Řešení 1.5. Úprava výrazů V následujících příkladech upravte výraz a stanovte podmínky, za kterých má výraz smysl: Příklad 1.0: ( ) ( ) x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1. x 1 + x Řešení Příklad 1.1: x y y x 1 1. x y Řešení

8 Příklad 1.: y + 1 x 1 y 1 x + 1 y x 1 y x + 1. Řešení

9 . Řešení rovnic.1. Algebraické rovnice o jedné neznámé Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) 6x 8. Řešení Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) 6x 9. Řešení Příklad.3: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 + x) 3(x + ) 8 x. Řešení Příklad.4: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) + 8 3x 0. Řešení Příklad.5: Řešme v reálném oboru rovnici 3x x 5 (4 x) 1 (x + 4). Řešení Příklad.6: Provedeme diskusi řešitelnosti rovnice (s neznámou x) vzhledem k reálnému parametru t. t 1 x t 1 Řešení Příklad.7: Řešme kvadratické rovnice: a) x x 15 0, b) x + 5x 8 0, c) x + 14x Řešení Příklad.8: Řešme v reálném oboru rovnici x 3 9x + 4x Řešení Příklad.9: Řešme v oboru komplexních čísel rovnici x 3 7x + x 7 0. Řešení

10 Příklad.10: Řešme v reálném oboru rovnici 4 + x 16 x. Řešení Příklad.11: Řešme v reálném oboru rovnici 1 + x x + 3. Řešení Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici x + 8 x. Řešení.. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Příklad.13: Řešme v reálném oboru rovnici 4 x 1 5 x. Řešení Příklad.14: Řešme v reálném oboru rovnici 5 x x 5 5 x 1. Řešení Příklad.15: Řešme v reálném oboru rovnici x 3 x 1 5 x 4 x+1 +. Řešení Příklad.16: Řešme v reálném oboru rovnici ln x + ln(x + 9) 4 ln + ln 7. Řešení.3. Jednoduché goniometrické rovnice Příklad.17: Řešme v reálném oboru rovnici cotg x 3. Řešení Příklad.18: Řešme v reálném oboru rovnici cos(x π ) 1. Řešení Příklad.19: Řešme v reálném oboru rovnici sin x 5 cos x + 5. Řešení.4. Rovnice s absolutní hodnotou Příklad.0: Řešme v reálném oboru rovnici 4x 1 + 3x. Řešení Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici 4x x x + 1. Řešení Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 4x 8 3 x x + 1. Řešení

11 .5. Soustavy rovnic Příklad.3: Řešme v reálném oboru soustavu rovnic: 5x + y 3 x 6y 39. Řešení Příklad.4: Řešme v reálném oboru soustavu rovnic: 7x + 3y 5 x + y 6. Řešení

12 3. Řešení nerovnic 3.1. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 3.1: Řešme v R nerovnici 4( x) 3(x 1) + x 9 5x 8. Řešení Příklad 3.: Řešme v R nerovnici (4x 1) + (1 x) (x + 1) < 4(x + 3). Řešení Příklad 3.3: Řešme v R soustavu nerovnic 3x < 0 4x Řešení 3.. Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 3.4: Řešme v reálném oboru nerovnici x 4 8. Řešení Příklad 3.5: Řešme v reálném oboru nerovnici 1 4x 5. Řešení Příklad 3.6: Řešme v reálném oboru nerovnici x + x x Řešení Příklad 3.7: Řešme v reálném oboru soustavu nerovnic x x 3. Řešení 3.3. Nerovnice součinového a podílového typu Příklad 3.8: Řešme v reálném oboru nerovnici (8 x)(x + 1) 0. Řešení Příklad 3.9: Řešme v reálném oboru nerovnici (3x 4)(x + 7) < 0. Řešení

13 Příklad 3.10: Příklad 3.11: Řešme v reálném oboru nerovnici Řešme v reálném oboru nerovnici x x Řešení x x + 1 x 10x Řešení 3.4. Kvadratické nerovnice Příklad 3.1: Řešme v reálném oboru nerovnici 6x + 7x 0. Řešení Příklad 3.13: Řešme v reálném oboru nerovnici 3x + 15x 1 > 0. Řešení 3.5. Nerovnice s neznámou pod odmocninou Příklad 3.14: Řešme v reálném oboru nerovnici x 3x Řešení Příklad 3.15: Řešme v reálném oboru soustavu nerovnic 1 1 x 1. Řešení 3.6. Jednoduché exponenciální nerovnice Příklad 3.16: Řešme v reálném oboru nerovnici 4 x. Řešení Příklad 3.17: Řešme v reálném oboru nerovnici 3 1 x < 4. Řešení 3.7. Jednoduché logaritmické nerovnice Příklad 3.18: Řešme v reálném oboru nerovnici ln( x) 1. Řešení Příklad 3.19: Řešme v reálném oboru nerovnici log 1 (x 1) < 0. Řešení 5

14 3.8. Jednoduché goniometrické nerovnice Příklad 3.0: Řešme v reálném oboru nerovnici cos x < 1. Řešení

15 4. Komplexní čísla 4.1. Operace s komplexními čísly Příklad 4.1: Vyjádřete v algebraickém tvaru: a) (5 + 4 i ) + ( 3 i ), b) ( + 5 i )( i ), c) ( 5 i ), d) ( + 3 i ) (4 + 9 i ), e) 4(5 + 3 i )( i ), f) (1 i )(1 + i )(3 + 4 i ). Řešení Příklad 4.: Vyjádřete v algebraickém tvaru: 3 i a), b) i, c) i 1 i (5 + 3 i )(3 + 4 i ) d), e) 1 + i 4.. Goniometrický tvar komplexního čísla Příklad 4.3: 4 + i 1 + i ( + 3 i ), (7 + 3 i )(6 + i ) ( + 5 i )( 6 i ), f) (4 6 i )(9 6 i ) (6 7 i ). Řešení ( i )( i ) Komplexní číslo (cos 7 π + i sin 7 π ) vyjádřete v algebraickém tvaru. Řešení 1 1 Příklad 4.4: Komplexní číslo z i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.5: Komplexní číslo z 3 3 i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.6: Komplexní číslo z + i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.7: Vyjádřete komplexní číslo (cos 3 7 π + i sin 3 7 π)(cos 4 7 π + i sin 4 7 π) v algebraickém tvaru. Řešení

16 Příklad 4.8: Vyjádřete komplexní číslo (cos π 1 + i sin π 1 )(cos π 6 + i sin π 6 ) v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.9: Vyjádřete komplexní číslo (cos π 15 + i sin π 15 )35 v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.10: Vyjádřete komplexní číslo ( 3 + i ) 7 v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.11: Najděte všechny odmocniny i. Řešení

17 R1. Úpravy výrazů - řešení R1.1. Příklad 1.1: Příklad 1.: Příklad 1.3: Příklad 1.4: Zlomky - řešení ( ) ( 10 : 3 5 ) : 5 ( 16 5 ) ( a ) 3 a ( a + a a ) ( ) a + 3 a 3 a ( ) 8 a 4 3 a + a 4 a ( ) ( ) a a ( a b + b ) ( 1 : a 3 a b ) ( b 3 3 b ) a + b : 1 a b b 3 b a b 3 a 6 a + b a b 3 a 1 a b b 6 a + b (a b 1).

18 R1.. Příklad 1.5: Příklad 1.6: Příklad 1.7: R1.3. Mocniny a odmocniny - řešení x y 3 8 y 5 x 43 x y 3 8 y 5 x 6 x 1 y x y x 4 y. a 3 b 15 9 a 3 b 5 3 a 1 6 b 3 a 1 6 b 3 ( ) u 5 v w ( ) u v w 3 v a b a 3 6 b 1 6 a 1 b 1 6. u 10 v 5 w 10 v 6 u 9 w 9 v 3 Mnohočleny - řešení u10 v 5 w9 v 3 w 10 v 6 u 9 u v w. Příklad 1.8: (x 3 5 x +8 x 4) : (x ) x 3 x + (x 3 x ) 3 x +8 x 4 (3 x +6 x) x 4 ( x 4) 0 Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 x +, pro x. Zkouška: (x 3 x+) (x ) x 3 3 x + x x +6 x 4 x 3 5 x +8 x 4.

19 Příklad 1.9: (x 4 + x 3 4 x x +3) : (x 3) x + x 1 (x 4 3 x ) x 3 x 6 x +3 ( x 3 6 x) x +3 ( x +3) 0 Výsledek: P (x) : Q(x) x + x 1, pro x ± 3. Zkouška: (x + x 1) (x 3) x 4 + x 3 x 3 x 6 x + 3 x 4 + x 3 4 x 6 x + 3.

20 Příklad 1.10: (x 4 +6 x 3 +7 x +9 x 7) : (x +5) x 3 +x + x 1 (x 4 +5 x 3 ) x 3 +7 x +9 x 7 (x 3 +5 x ) x +9 x 7 ( x +10 x) x 7 ( x 7) Zbytek po dělení je. Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 + x + x 1, pro x 5. x + 5 Zkouška: ( x 3 + x + x 1 ) (x + 5) x + 5 (x 3 + x + x 1) (x + 5) (x + 5) x + 5 x 4 + x 3 + x x + 5 x x + 10 x 5 x x x + 9 x 7.

21 Příklad 1.11: (x 5 x 4 5 x x 13 x +3 ) : (x 3 x +4) x 3 + x 3 x +1 (x 5 3 x 4 +4 x 3 ) x 4 9 x x 13 x +3 ( x 4 6 x 3 +8 x ) 3 x x 13 x +3 ( 3 x 3 +9 x 1 x) x x +3 (x 3 x +4) x 1 Zbytek po dělení je 6 x. Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 + x 3 x x 1 x 3 x + 4. Zkouška: ( x 3 + x 3 x x 1 ) (x 3 x + 4) x 3 x + 4 (x 3 + x 3 x + 1) (x 3 x + 4) + x 1 x 3 x + 4 (x 3 x + 4) x 5 3 x x 3 + x 4 6 x x 3 x x 1 x + x 3 x x 1 x 5 x 4 5 x x 13 x + 3.

22 ( ) 4 Příklad 1.1: a) (3 x ) 4 81 x x 3 ( )+ ( ) 4 9 x ( ) ( ) x( ) 3 +( ) x 4 16 x x 96 x b) (a b ) 3 a 3 b 3 + c) a 3 b 3 6 a b + 1 a b 8. ( z 1 z ) 5 3 z 5 + ( 1 ) ( 3 5 ( + z z 4) 1 z ( ) 3 a b ( ) + 1 ( ) 5 ( 16 z 4 1 ) + 1 z ) 4 ( + 1 z ) 5 ( ) 3 a b ( ) + ( ) 3 ( ) 5 ( 8 z 3 1 ) ( z z 3) d) 3 z 5 80 z z 40 1 z z 3 1 z 5. ( u v + v ) 3 u 3 u v + 3 u3 v u v + 1 v u + 8 v3 u 3. ( ) 3 u 1 v v u + ( ) 3 u v 4 v u + 8 v3 u 3

23 Příklad 1.13: a) x 5 5 y x 5 5 y ( x 5 5 y )( x y ). b) a 4 16 (a 4 4 ) (a )(a + ) (a )(a + )(a + 4). c) x (x 3 ( 3) 3 ) (x 3)(x + 3 x + ( 3) ) (x 3)(x + 3 x + 3). ( ) d) 8 u 3 + v3 7 3 u 3 + v3 3 3 ( u + v 3 )(4 u 3 u v + v 9 ( u + v )( u u v v ). 3 )

24 Příklad 1.14: a) Najdeme kořeny kvadratické rovnice x 5 x 4 0. x 1, 5 ± ± 11 x 5 x 4 (x 8)(x + 3). 5 ± 11 b) 3 x + 1 x (x + 7 x + 10). Najdeme kořeny kvadratické rovnice x + 7 x x 1, 7 ± ± 9 7 ± 3 3 x + 1 x (x + 7 x + 10) 3(x + )(x + 5). x 1 8 x 3. x 1 5 x. c) Provedeme substituci y x, x 4 5 x + 4 y 5 y + 4. Najdeme kořeny kvadratické rovnice y 5 y y 1, 5 ± ± 9 5 ± 3 y 1 4 y 1. x 4 5 x + 4 y 5 y + 4 (y 4)(y 1) (x 4)(x 1) (x 1)(x + )(x 1)(x + 1). d) Provedeme substituci y x, x 4 8 x 9 y 8 y 9. Najdeme kořeny kvadratické rovnice y 8 y 9 0. y 1, 8 ± ± ± 10 y 1 9 y 1.

25 x 4 8 x 9 y 8 y 9 (y 9)(y + 1) (x 9)(x + 1) (x 3)(x + 3)(x + 1). Příklad 1.15: a) x + x 4 (x + x + 1) 1 4 (x + 1) 5, R1.4. Příklad 1.16: b) x 8 x + 9 (x 4 x) + 9 (x 4 x + 4 4) + 9 (x 4 x + 4) (x ) + 1, c) x 4 ( 3 x + 1 x 4 3 x + 4 ) 49 ( x ) , d) x 4 6 x + 1 (x 4 6 x + 9) (x 3) 8. Lomené algebraické výrazy - řešení Lomené výrazy mají smysl pro a, b 0 a a ±b. 1 b(a + b) + 1 a(b a) + a b a(b a) + b(b + a) + ( 1) a b a b (b a ) a b a + b + a b a b a b (b a ) b a a b (b a ) 1 a b.

26 Příklad 1.17: Lomené výrazy mají smysl pro x ±1. 1 x 1 + ( 1) x ( ) x + 1 (x + 1)(x + 1) (x 1)(x + 1) (x 1)(x + 1) x 4 1 x3 + x + x + 1 (x 3 x + x 1) (x 1) x x 4 1. Příklad 1.18: Lomený výraz má smysl pro x, y 0 a 1 x 1 y t.j. x y. x y y x 1 x 1 y x y x y y x x y (x y)(x + y) x y x y y x ( 1)(x + y) 1 (x + y). Příklad 1.19: Lomený výraz má smysl pro u 0, u 1 a 4 u 1 t.j. u ± 1. 4 u u 1 1 u(u 1) 4 u 1 u u 4 u 1 u(u 1) 4 u u + u 1 u(u 1) 4 u 1 u(u 1) u(u 1) 4 u 1 1.

27 R1.5. Příklad 1.0: Úprava výrazů - řešení Výraz má smysl, jestliže x > 1, x 0, x 1 ±x. První nerovnost je splněna, když x (, 1) (1, ), poslední nerovnost je splněna vždy. Výraz má tedy smysl pro x (, 1) (1, ). ( ) ( ) x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 + x ( ) ( x 1 x x x 1 + x ) x 1 + x ( 1) x 1 x 1 x x x 1 x ( 1) x 1. Příklad 1.1: Výraz má smysl, jestliže x > 0, y > 0, x y. x y y x 1 1 x y x y y x y x x y x y (x y)( y + x) y x ( y x)( y + x) (x y)( y + x) (y x) ( y + x).

28 Příklad 1.: Výraz má smysl, jestliže x ±1 a y 0. y + 1 x 1 y 1 x + 1 y x 1 y x + 1 (y + 1)(x + 1) (y 1)(x 1) x 1 y(x + 1) y(x 1) x 1 (x y + x + y + 1 x y + x + y 1 x 1 x y + y x y + y x 1 (x + y) x 1 y x 1 x + y y.

29 R. Řešení rovnic - řešení R.1. Algebraické rovnice o jedné neznámé - řešení Příklad.1: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) 6x 8 4x + x 3x 6 6x 8 / 6x + 8 3x 0 / : ( 3) x 0. Daná rovnice má jediné reálné řešení: K {0}. Příklad.: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) 6x 9 4x + x 3x 6 6x 9 / 6x + 8 3x 1 / : ( 3) x 1 3. Daná rovnice má jediné reálné řešení: K { 1 3}.

30 Příklad.3: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 + x) 3(x + ) 8 x 4x x 3x 6 8 x x 8 8 x / + x 8 8. Poslední rovnost nikdy nenastane, rovnice proto nemá žádné reálné řešení, K. Příklad.4: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) + 8 3x 0 4x + x 3x x Poslední rovnost je vždy pravdivá, proto K R.

31 Příklad.5: Daná rovnice má smysl, jsou-li splněny podmínky 16 x 0, 4 x 0, 4+x 0, tedy pro všechna x R \ {±4}. Postupnými úpravami dostáváme: 3x x 5 (4 x) 1 / (4 x)(4 + x) (x + 4) (3x + 8) 5(x + 4) (4 x) 6x x x / 6x Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením dané rovnice jsou tedy všechny hodnoty x, pro něž má rovnice smysl, tj. K R \ {±4}.

32 Příklad.6: Rovnice má smysl pro x 0. Postupnými úpravami dostaneme: Dále rozlišíme tři případy: t 1 x t 1 / x (t 1)(t + 1) (t 1)x pro t 1 odtud plyne 0x 0, tedy K R \ {0}, pro t 1 dostaneme rovnici 0 x, které nevyhovuje žádné přípustné reálné číslo (vzhledem k definičnímu oboru rovnice), K, pro t ±1 lze rovnici dělit výrazem (t 1), odtud plyne x t + 1, tedy K {t + 1}. Závěr můžeme zapsat pomocí přehledné tabulky: t K(t) t 1 R \ {0} t 1 t ±1 {t + 1}

33 Příklad.7: a) V této rovnici je a 1, b, c 15, pro její diskriminant platí D b 4ac ( ) 4 1 ( 15) 64 > 0. Rovnice má proto dva reálné kořeny x 1, ± 64 x 1 5 x 3 K { 3, 5}. b) Pro a 1, b 5, c 8 platí b 4ac < 0, takže rovnice má komplexně sdružené kořeny: x 1, 5 ± 7 5 { } 7 ± i K 5 7 ± i. V případě, kdybychom v zadání požadovali řešení pouze v reálném oboru, rovnice by neměla žádné řešení. c) D b 4ac , rovnice má jediný (dvojnásobný) reálný kořen: x 1, 14 ± 0 7 K { 7}.

34 Příklad.8: Zkusme do rovnice postupně dosazovat čísla ±1, ± atd. Snadno ověříme, že x 1 1 danou rovnici splňuje. To znamená, že mnohočlen x 3 9x + 4x + 15 má kořenový činitel x + 1. Provedeme dělení: (x 3 9x + 4x + 15) : (x + 1) x 11x + 15 (x 3 + x ) 11x + 4x + 15 (11x 11x) 15x + 15 (15x + 15) 0 Nyní již můžeme zadanou rovnici přepsat v součinovém tvaru: x 3 9x + 4x + 15 (x + 1)(x 11x + 15) 0. Tedy bud x+1 0 nebo x 11x Kvadratická rovnice x 11x+15 0 má dva kořeny x 1, 11 ± Pro množinu kořenů platí K { 1, 5, 3}. x 1 3 x 5.

35 Příklad.9: Mnohočlen na levé straně rovnice pomocí postupného vytýkání zapíšeme v součinovém tvaru: Příklad.10: x (x 7) + (x 7) 0 (x 7)(x + 1) 0. Odtud dostáváme dvě možnosti: x 7 0 nebo x +1 0, tedy x 1 7, x,3 ±i. Daná rovnice má tři kořeny, K { 7, ±i }. 4 + x 16 x / 4 x 16 x 4 / x 16 x 8x + 16 / + 8x x 3 x 4 Zk.: L(4) , P (4) 4, L(4) P (4), K {4}

36 Příklad.11: 1 + x x + 3 / 1 + x + x x + 3 / 1 x x x 1 / x 1 Zk.: L(1) 1 + 1, P (1) 1 + 3, L(1) P (1), K {1} Příklad.1: x + 8 x / x + 8 x 4 x + 8 / x x 0 x Zk.: L(0) 0 + 8, P (0) 0, L(0) P (0), K.

37 R.. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice - řešení Příklad.13: Použitím pravidel pro počítání s mocninami rovnici upravíme do podoby ( ) x 1 5 x x 5 ( ) x x 1 5 ( ) x ( ) x 0 x 1. Pokud bychom nejprve obě strany rovnice logaritmovali a až poté upravovali, vypadal by výpočet takto: log 4 x 1 log 5 x (x 1) log 4 ( x) log 5 x(log 4 + log 5) log 5 + log 4 x Daná rovnice má jediné reálné řešení: K {1}. log 5 + log 4 log 5 + log 4 1.

38 Příklad.14: Použitím pravidel pro počítání s mocninami dostaneme 5 5 x 4 5 x x (5 4) 5 x 5 x 5 x 5 x. Této rovnici vyhovuje každé reálné číslo, tj. K R. Příklad.15: Pomocí pravidel pro práci s mocninami dostaneme: x 3 1 x 5 x + 4 x 0 x + 3 x 0. Nyní zvolíme substituci y x, tj. x ( ) x ( x ) y, čímž danou rovnici převedeme na rovnici kvadratickou y + 3 y 0, pro kterou platí y 1, 3 ± ± y 1 4 y 11. Vrátíme-li se k původní substituci, dostáváme dvě rovnice x 4 a x 11. První z těchto rovnic má kořen x, druhá rovnice nemá žádné reálné řešení ( x je vždy číslo kladné). Celkem K {}.

39 Příklad.16: S využitím pravidel pro počítání s logaritmy lze psát ln x(x + 9) ln( 4 7). Odtud plyne x(x + 9) 11. Danou logaritmickou rovnici se nám podařilo převést na rovnici kvadratickou: x + 9x 11 0 x 1, 9 ± ± 3 x 1 7 x 16. Pro oba kořeny nyní provedeme zkoušku: L(7) ln 7 + ln 16 ln(7 16) ln 11 P (7) 4 ln + ln 7 ln( 4 7) ln 11, tedy L(7) P (7) L( 16) ln( 16) +... tato hodnota není definována, druhý kořen nevyhovuje Daná logaritmická rovnice má jediné řešení, K {7}.

40 R.3. Příklad.17: Jednoduché goniometrické rovnice - řešení Nejprve najdeme ostrý úhel x 0, pro který platí cotg x 0 3, tedy x 0 π 6. Kotangens je funkce záporná ve II. kvadrantu, základní orientovaný úhel v tomto případě tedy bude x π π π. Vzhledem ke skutečnosti, že kotangens je π-periodická funkce, plyne odtud množina všech řešení K { } 5 6 π + kπ. k Z Příklad.18: Substitucí y x π získáme základní goniometrickou rovnici cos y 1, která je splněna pro y π + kπ, k Z. Vrátíme se zpět k substituci y x π a dostáváme x π π + kπ x 3π + kπ x 3π + kπ 4 K { } 3 4 π + kπ. k Z

41 Příklad.19: S využitím identity sin x 1 cos x rovnici upravíme do tvaru (1 cos x) 5 cos x 5 0 / : ( 1) cos x + 5 cos x Nyní zvolíme substituci y cos x a řešíme příslušnou kvadratickou rovnici y + 5y + 3 0: y 1, 5 ± { y1 1 4 y 3. Vrátíme se zpět k substituci y cos x a dostáváme cos x 1 nebo cos x 3. První možnost nastává pro x π + kπ, druhá možnost nenastává, protože cos x 1. Celkem platí K k Z {π + kπ}.

42 R.4. Rovnice s absolutní hodnotou - řešení Příklad.0: Nulovým bodem absolutní hodnoty v této rovnici je x 1 4. Příklad.1: Za předpokladu 4x 1 < 0 platí 4x 1 (4x 1) a danou rovnici lze přepsat do podoby (4x 1) +3x, odkud plyne x 1. Tato hodnota splňuje podmínku 7 4x 1 < 0, jde tedy o kořen dané rovnice. Dále vyřešíme případ 4x 1 0, pro který platí 4x 1 4x 1 a rovnice má podobu 4x 1 + 3x, odkud vychází x 3, přičemž 3 1, ). Celkem 4 dostáváme K { 1; 3}. 7 Nulovými body jsou hodnoty 0,. Pro lepší přehlednost si můžeme vše zapsat formou tabulky: 4x 8 x 4x x x + 1 x ( ; 0) 8 4x x 8 4x 3x x + 1 x 0; ) 8 4x x 8 4x + 3x x + 1 x ; ) 4x 8 x 4x 8 + 3x x + 1 V případě x ( ; 0) řešíme rovnici přepsanou bez absolutních hodnot 8 4x 3x x + 1, odkud dostáváme x 7. Protože 7 ( ; 0), nejde o kořen dané 8 8 rovnice. Pro x 0; ) má rovnice tvar 8 4x + 3x x + 1, odkud x 7, ale 7 0; ). Konečně pro x ; ) řešíme rovnici 4x 8 + 3x x + 1, jíž vyhovuje x 3, přičemž 3 ; ). Celkově nemá zadaná rovnice žádné řešení: K.

43 Příklad.: Nulovými body jsou hodnoty 0,. Pro lepší přehlednost si můžeme vše zapsat formou tabulky: 4x 8 x 4x 8 3 x x + 1 x ( ; 0) 8 4x x 8 4x + 3x x + 1 x 0; ) 8 4x x 8 4x 3x x + 1 x ; ) 4x 8 x 4x 8 3x x + 1 V případě x ( ; 0) řešíme rovnici přepsanou bez absolutních hodnot 8 4x + 3x x + 1, odkud dostáváme x 7. Protože 7 ( ; 0), nejde o kořen dané rovnice. Pro x 0; ) má rovnice tvar 8 4x 3x x+1, odkud x 7, přičemž 7 0; ). 8 8 Konečně pro x ; ) řešíme rovnici 4x 8 3x x + 1, jíž nevyhovuje žádné reálné číslo. Celkově má zadaná rovnice jediné řešení: K { 7 8 }.

44 R.5. Soustavy rovnic - řešení Příklad.3: Soustavu vyřešíme dosazovací metodou z druhé rovnice vyjádříme neznámou x 6y 39, dosazením do první rovnice odtud dostaneme rovnici 5(6y 39) + y 3 30y y 3 3y 19 y 6. Jestliže tuto hodnotu nyní dosadíme do vyjádření x, dostaneme x Daná soustava má tedy jediné řešení x 3 a y 6, neboli její řešení je jediná uspořádaná dvojice čísel (x, y) ( 3, 6), tedy K {( 3, 6)}. Příklad.4: Soustavu vyřešíme sčítací metodou. Po vynásobení první rovnice dvěma a druhé rovnice sedmi dostaneme soustavu 14x + 6y 10 14x + 7y 4. Sečtením levých a pravých stran těchto rovnic získáme rovnici o jedné neznámé 13y 5, odkud snadno vypočteme y 4. Po odsazení např. do první rovnice soustavy platí 7x 1 5, tj. x 1. Řešením dané soustavy je jediná uspořádaná dvojice (x, y) (1, 4), tj. K {(1, 4)}.

45 R3. Řešení nerovnic - řešení R3.1. Lineární nerovnice a jejich soustavy - řešení Příklad 3.1: Postupnými úpravami dostaneme: 4( x) 3(x 1) + x 9 5x 8 8 4x 3x x 9 5x 8 5x + 5x 8 10x 10 / : ( 10) x 1. Příklad 3.: Množinou všech řešení je interval K 1; ). Pomocí elementárních úprav dostaneme: 16x 8x x x < 4(4x + 1x + 9) / 16x 8x + 1 4x < 48x + 36 / + 1x < 60x / : < x. Příklad 3.3: Množina kořenů K ( 7 1 ; ). První nerovnice je splněna pro x > 3, druhá platí pro x. Množina všech řešení dané soustavy je průnikem intervalů ( 3; ) a ; ), tedy K ( 3; ).

46 R3.. Příklad 3.4: Příklad 3.5: Nerovnice s absolutní hodnotou - řešení Vydělíme-li danou nerovnici dvěma, dostaneme nerovnici x 4, kterou můžeme řešit geometricky. Jejím řešením jsou všechna čísla x, jejichž obrazy na číselné ose mají od obrazu čísla vzdálenost ne větší než 4, tj. čísla z množiny ; 6, K ; 6. Provedeme diskusi různých možností znamének výrazu v absolutní hodnotě a vyřešíme vzniklé nerovnice bez absolutní hodnoty. Pro x ( ; 1 platí 1 4x 1 4x; v tomto případě tedy řešíme nerovnici 4 1 4x 5, odkud dostáváme x 1, tj. K 1 ( ; 1 1; ) 1; Pro x ( 1 ; ) je 1 4x (1 4x) 4x 1 a my řešíme nerovnici 4x 1 5, 4 jíž vyhovují hodnoty x 3, odkud K ( 1; ) ( ; 3 ( 1; 3. Celkem 4 4 dostáváme množinu kořenů K K 1 K 1; 3.

47 Příklad 3.6: Nerovnici vyřešíme metodou nulových bodů, které jsou v tomto případě tři (0, a 1): x x x + 1 x + x x x ( ; 1 x x x 1 x + x + x + 5 x ( 1; 0 x x x + 1 x + x x 5 x (0; x x x + 1 x + x x 5 x (; ) x x x + 1 x + x x 5 Příklad 3.7: Pro x 1 řešíme lineární nerovnici x + x + x + 5, tedy 4 5, která však nemá žádné řešení. Pro x ( 1; 0 řešíme nerovnici x + x x 5, která platí pro x 5. 4 Protože ( 1; 0 ( ; 5, v daném intervalu opět nedostáváme žádné řešení. 4 V případě x (0; má daná nerovnice podobu x + x x 5, odkud plyne x 5. Tuto podmínku nesplňuje žádné x (0;. Konečně pro x (; ) řešíme lineární nerovnici x + x x 5, která rovněž nemá žádné řešení. Celkem dostáváme závěr K. První nerovnici vyhovují x ( ; 4 ; ), druhá nerovnice platí pro x 4;. Ověřte podrobně sami! Množina řešení dané soustavy je průnikem těchto množin, tedy K { 4} ;.

48 R3.3. Příklad 3.8: Nerovnice součinového a podílového typu - řešení Rovnici vyřešíme metodou nulových bodů. Výrazy v závorkách jsou rovny nule pro x 8 a x 1. Tyto nulové body rozdělí reálnou osu na tři intervaly, pro které platí ( ; 1) 1 ( 1 ; 8) 8 (8; ) 8 x x (8 x)(x + 1) Příklad 3.9: Danou nerovnici splňují všechna x 1 ; 8. Nerovnici vyřešíme rozborem možností. Součin dvou výrazů je záporný, jestliže je záporný právě jeden z těchto výrazů. Hledáme ty hodnoty x, pro které platí [3x 4 < 0 x + 7 > 0] [3x 4 > 0 x + 7 < 0] První dvě podmínky lze upravit do podoby x < 4 a současně x > 7, což platí 3 pro x ( 7; 4). Podobně zbylé dvě podmínky x > 4 a zároveň x < 7 neplatí 3 3 pro žádné reálné číslo. Řešením dané nerovnice je množina K ( 7; 4). 3

49 Příklad 3.10: Prováděním ekvivalentních úprav dostaneme x 4 (3 + x) 3 + x x x / x x x x / : ( 1) Nulový bod čitatele je x 10, nulový bod jmenovatele je x 3. Platí tedy ( ; 10) ( 10; 3) ( 3; ) x x x + 10 x To, zda nulové body vyhovují dané nerovnici, snadno zjistíme i bez tabulky. Z posledního řádku tabulky je patrné, že K ( ; 10 ( 3; ).

50 Příklad 3.11: Nerovnice má smysl pro x 10x + 1 0, tedy pro x 3 a x 7. Kvadratické trojčleny v čitateli a ve jmenovateli rozložíme na součin kořenových činitelů: x x + 1 x 10x + 1 (x 1) (x 3)(x 7). Výraz (x 1) je pro x R\{3; 7} nezáporný. Nulové body čitatele a jmenovatele (3 a 7) rozdělí reálnou osu na tři intervaly, na nichž budeme vyšetřovat znamení jednotlivých činitelů: x 3 x 7 (x 1) (x 3)(x 7) x ( ; 3) + x (3; 7) + x (7; ) Z tabulky je zřejmé, že daná nerovnice je splněna pro K ( ; 3) (7; ).

51 R3.4. Kvadratické nerovnice - řešení Příklad 3.1: Danou nerovnici vyřešíme doplněním na čtverec: 6x + 7x 0 / : ( 6) x 7 6 x ( x 7 ) ( x 7 ) / x Řešením získané nerovnice s absolutní hodnotou jsou všechna čísla x, jejichž obraz na reálné ose je od obrazu čísla 7 1 vzdálen nejvýše o, tedy K 1 ;

52 Příklad 3.13: Nerovnici vyřešíme převedením na nerovnici v součinovém tvaru a následnou diskusí možností. Kvadratická rovnice 3x + 15x 1 0 má dva reálné kořeny x 1, 15 ± ± 81 6 { x1 1 x 4, lze ji proto psát ve tvaru součinu kořenových činitelů 3(x 1)(x 4) 0; danou nerovnici lze přepsat do podoby 3(x 1)(x 4) > 0 / : ( 3) (x 1)(x 4) < 0. Součin dvou výrazů je záporný, je-li právě jeden z těchto výrazů záporný; tím dostaneme soustavu podmínek: [x 1 < 0 x 4 > 0] [x 1 > 0 x 4 < 0] První dvě podmínky lze přepsat do podoby x < 1 a současně x > 4, což nelze splnit současně pro žádné reálné číslo x. Podobně zbylé dvě podmínky x > 1 a x < 4 platí pro x (1; 4). Množina všech řešení dané nerovnice je K (1; 4).

53 R3.5. Příklad 3.14: Nerovnice s neznámou pod odmocninou - řešení Daná nerovnice má smysl, pokud platí podmínka x 3x Platí-li tato podmínka, je daná nerovnice automaticky splněna (funkční hodnoty druhé odmocniny jsou nezáporné). Řešením kvadratické nerovnice x 3x najdeme její kořeny: D ( 3) 4 ( ) Dále lze tedy psát x 1, 3 ± ± 11 4 x 1 3, 5 x. odkud plynou možnosti x 3x + 14 (x )(x + 3, 5) 0, [x 0 x + 3, 5 0] [x 0 x + 3, 5 0] První dvě podmínky x a současně x 3, 5 platí pro x 3, 5;, zbývajícím dvěma podmínkám x a x 3, 5 nevyhovuje žádné reálné číslo. Řešením dané nerovnice je tedy množina K 3, 5;.

54 Příklad 3.15: Daná soustava má smysl pro x 0. Řešme dále nejprve nerovnici 1 1 x / x x 3 / x 9 4. Druhá nerovnice 1 x 1 dává po úpravě podmínku x 1, která je triviálně splněna pro všechna x, pro něž má soustava smysl. Celkem dostáváme množinu kořenů K 0; 9. 4

55 R3.6. Příklad 3.16: Jednoduché exponenciální nerovnice - řešení Při řešení této nerovnice využíváme základní vlastnosti exponenciální funkce, a sice faktu, že a b a b. Postupnými úpravami dostáváme: ( ) x 1 x 4 1 x 4 1 x 5, tedy K 5 ; ). Příklad 3.17: Využijeme-li toho, že 4 3 log 3 4 a platí podmínka 3 a < 3 b a < b, dostáváme postupně 3 1 x < 3 log x < log 3 4 / + x log log 3 4 < x. Ověřte si sami, že pro množinu řešení platí K (log ; ).

56 R3.7. Příklad 3.18: Jednoduché logaritmické nerovnice - řešení Nerovnice má smysl za podmínky x > 0, tj. x <. Pro x ( ; ) dostáváme: ln( x) 1 ln( x) ln e. Odtud plyne (nebot pro a, b > 0 platí ln a ln b a b) x e, tj. x e. Obě podmínky x < a současně x e splňují všechna x ( ; e ; K ( ; e. Příklad 3.19: Nerovnice má smysl za podmínky x 1 > 0, tj. x > 1. Pro x ( 1 ; ) dostáváme: Pro a, b > 0 dále platí log 1 (x 1) < 0 log 1 (x 1) < log log 1 a < log 1 b a > b, 5 5 takže obdržíme nerovnici x 1 > 1, tedy x > 1. Množina všech řešení ( ) 1 K ; (1; ) (1; ).

57 R3.8. Jednoduché goniometrické nerovnice - řešení Příklad 3.0: Příslušná rovnice cos x 1 má v intervalu 0; π dvě řešení x 1 π a x 3 5π. 3 Nakreslíme-li si vhodný obrázek, snadno zjistíme, že množina všech řešení dané nerovnice je K ( π 3 + kπ; 5 ) 3 π + kπ. k Z

58 R4. Komplexní čísla - řešení R4.1. Operace s komplexními čísly - řešení Příklad 4.1: a) (5 + 4 i ) + ( 3 i ) (4 3)i 7 + i, Příklad 4.: b) ( + 5 i ) ( i ) i 15 i + 40 i 6 + i + 40( 1) 46 + i, c) ( 5 i ) 4 0 i + 5 i 4 0 i i, d) ( + 3 i ) (4 + 9 i ) i + 9 i 4 9 i i, e) 4 (5 + 3 i ) ( i ) (5 + 3 i ) (8 i ) 40 i + 4 i 40 i i, f) (1 i ) (1 + i ) (3 + 4 i ) (1 i ) (3 + 4 i ) (3 + 4 i ) i. a) 3 i i b) i 1 i ( 3 i )( i ) i ( i ) (3 + 5 i )(1 + i ) (1 i )(1 + i ) i + 3 i i 3 i 1 3 i, i + 5 i + 5 i + 8 i 1 i i, c) 4 + i (4 + i )(1 i ) ( + 3 i ) 1 + i (1 + i )(1 i ) ( + 3 i ) 4 8 i + i i ( + 3 i ) 1 4 i 6 7 i i, ( + 3 i ) i 14 i 1 i i 5

59 d) e) f) (5 + 3 i )(3 + 4 i ) 1 + i (7 + 3 i )(6 + i ) ( + 5 i )( 6 i ) i + 9 i + 1 i 1 + i 3 3 i + 9 i 9 i 1 i ( i + 18 i + 6 i ) (4 1 i + 10 i 30 i ) ( i )(17 + i ) (17 i )(17 + i ) i i, (3 + 9 i )(1 i ) (1 + i )(1 i ) 3 6 i i 34 i i, i + 7 i + 16 i 89 i (4 6 i )(9 6 i ) 36 4 i 54 i + 36 i (6 7 i ) ( i )( i ) 45 7 i 15 i + 9 i (6 7 i ) 78 i 13 i (6 7 i ) (6 7 i ) 13 i i 6 7 i

60 R4.. Příklad 4.3: Příklad 4.4: Goniometrický tvar komplexního čísla Využijte vzorce: Platí 7 π 1 π 4 + π 3 cos 7 π 1 cos ( π 4 + π 3 sin 7 π 1 sin ( π 4 + π 3 Platí tedy: ( cos 7 π + i sin 7 π 1 1 sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) cos α cos β sin α sin β.. Využijeme nyní vzorečky pro kosínus a sínus součtu. ) cos π cos π sin π sin π ) sin π cos π + cos π sin π ) (( ) ( + ) ) + 6 i (1 3)+(1+ 3) i. 4 Komplexní číslo z i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 8) cos α 8 8 α 3π nebo 5π 4 4 sin α 8 8 α π nebo 3π 4 4 z 8 ( cos 3π 4 + i sin 3π ). 4 α 3π 4

61 Příklad 4.5: Komplexní číslo z 3 3 i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 3) + ( 3) cos α 3 1 α π nebo 4π 3 3 sin α α 4π nebo 5π α 4π z ( 3 cos 4π 3 + i sin 4π ). 3

62 Příklad 4.6: Komplexní číslo z + i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 3 1 ) + ( 3+1 ) cos α sin α 3 cos α + sin α cos α sin α 3 sin(α + π) + sin α sin(α + π) sin α sin(α + π 4 ) cos π 4 3 cos(α + π 4 ) sin π 4 sin(α + π 4 ) 3 cos(α + π) sin(α + π) 4 π 3 π 4 5π 1 z ( cos 5π 5π + i sin 1 1 α + π 4 π 3 α + π 4 π 3 ). cos(α + π 4 ) 1 nebo 4π 3 nebo π 3 α + π 4 π 3 α

63 Příklad 4.7: Použijeme vzorec pro součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru: (cos 37 π + i sin 37 ) (cos π 47 π + i sin 47 ) ( π cos π + i sin ) 7 π (cos π + i sin π) 1 + i 0 1. Příklad 4.8: Použijeme vzorec pro součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru: ( cos π 1 + i sin π ) ( cos π i sin π ) ( cos π + i sin π ( cos π 4 + i sin π ) 4 + i + i. ) Příklad 4.9: Použijeme Moivreovu větu: ( cos π 15 + i sin π ) ( 35 cos 35 ) 35 π + i sin π (cos 73 π + i sin 73 ) π (cos ( π ) ( 3 + π) + i sin (π 3 + π) cos π 3 + i sin π ) i i.

64 Příklad 4.10: Nejprve vyjádříme komplexní číslo z 3 + i v goniometrickém tvaru. z ( 3) + (1) cos α α π nebo 11π 6 6 sin α 1 α π nebo 5π α π ( z cos π 6 + i sin π ). 6 Použijeme Moivreovu větu: ( ( 3 + i ) 7 7 cos π 6 + i sin π ) 7 18 (cos π + i sin 7 ) 6 π 18 ( ) 3 i 1 64( 3 + i ).

65 Příklad 4.11: Nejprve převedeme komplexní číslo i do goniometrického tvaru: z ( 5) + ( 5 3) cos α sin α ( z 10 cos 4π 3 + i sin 4π 3 α π 3 α 4π 3 ). nebo 4π 3 nebo 5π 3 α 4π 3 Nyní komplexní číslo odmocníme - získáme dvě různé hodnoty pro k 0, 1: 10 (cos( 4π 6 + k π ) + i sin(4π 6 + k π ) ) z 0 ( 10 cos π 3 + i sin π ) 10 3 z 1 10 (cos( π3 ) + π) + i sin(π3 + π) ( i ), 10 ( cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) 10 (1 3 i ).

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

D O D A T E K č. 1 ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU

D O D A T E K č. 1 ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU D O D A T E K č. ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU Tento dodatek č. se vydává za účelem vytvoření podmínek pro čerpání finanční podpory z Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost, Oblast podpory.5

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU MATEMATIKA Název školního vzdělávacího programu: Název a kód oboru vzdělání: Celkový počet hodin za studium (rozpis učiva): Zedník 36-67-H/01 Zedník 1. ročník = 66 hodin/ročník (2

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více