Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,"

Transkript

1 E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková

2 Obsah 1 Úpravy výrazů Zlomky Mocniny a odmocniny Mnohočleny Lomené algebraické výrazy Úprava výrazů Řešení rovnic Algebraické rovnice o jedné neznámé Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Jednoduché goniometrické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Soustavy rovnic Řešení nerovnic Lineární nerovnice a jejich soustavy Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice součinového a podílového typu Kvadratické nerovnice Nerovnice s neznámou pod odmocninou Jednoduché exponenciální nerovnice Jednoduché logaritmické nerovnice Jednoduché goniometrické nerovnice Komplexní čísla Operace s komplexními čísly Goniometrický tvar komplexního čísla

3 Řešení: R1 Úpravy výrazů - řešení R1.1 Zlomky - řešení R1. Mocniny a odmocniny - řešení R1.3 Mnohočleny - řešení R1.4 Lomené algebraické výrazy - řešení R1.5 Úprava výrazů - řešení R Řešení rovnic - řešení R.1 Algebraické rovnice o jedné neznámé - řešení R. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice - řešení R.3 Jednoduché goniometrické rovnice - řešení R.4 Rovnice s absolutní hodnotou - řešení R.5 Soustavy rovnic - řešení R3 Řešení nerovnic - řešení R3.1 Lineární nerovnice a jejich soustavy - řešení R3. Nerovnice s absolutní hodnotou - řešení R3.3 Nerovnice součinového a podílového typu - řešení R3.4 Kvadratické nerovnice - řešení R3.5 Nerovnice s neznámou pod odmocninou - řešení R3.6 Jednoduché exponenciální nerovnice - řešení R3.7 Jednoduché logaritmické nerovnice - řešení R3.8 Jednoduché goniometrické nerovnice - řešení R4 Komplexní čísla - řešení R4.1 Operace s komplexními čísly - řešení R4. Goniometrický tvar komplexního čísla

4 1. Úpravy výrazů 1.1. Zlomky V následujících příkladech upravte zlomky: Příklad 1.1: Příklad 1.: Příklad 1.3: Příklad 1.4: ( ). Řešení ( 10 : 3 5 ). Řešení 6 3 ( a ) 3 a ( a + a a ) a ; a 0. Řešení 4 ( a b + b ) ( 1 : a 3 a b ) ( b 3 3 b ) ; a, b 0, a b 1. Řešení 1.. Mocniny a odmocniny V následujících příkladech zjednodušte výraz: Příklad 1.5: x y 3 8 y 5 x 43 ; x, y 0. Řešení

5 Příklad 1.6: a 3 b 15 9 ; a, b > 0. Řešení a 1 6 b 3 ( ) u 5 v Příklad 1.7: w (v 6 u 3 w 3 v ) 3 ; u, v, w 0. Řešení 1.3. Mnohočleny V následujících příkladech vydělte polynomy P (x) a Q(x) a proved te zkoušku: Příklad 1.8: P (x) x 3 5x + 8x 4, Q(x) x, Řešení Příklad 1.9: P (x) x 4 + x 3 4x 6x + 3, Q(x) x 3, Řešení Příklad 1.10: P (x) x 4 + 6x 3 + 7x + 9x 7, Q(x) x + 5, Řešení Příklad 1.11: P (x) x 5 x 4 5x x 13x + 3, Q(x) x 3x + 4, Řešení Příklad 1.1: Umocněte dvojčleny: a) (3 x ) 4, b) (a b ) 3, c) Příklad 1.13: Rozložte mnohočleny na součin: ( z 1 ) 5 ( u, d) z v + v ) 3. Řešení u a) x 5 5 y, b) a 4 16, c) x 3 3 3, d) 8 u 3 + v3 7. Řešení

6 Příklad 1.14: Rozložte trojčleny na součin: a) x 5 x 4, b) 3 x + 1 x + 30, c) x 4 5 x + 4, d) x 4 8 x 9. Řešení Příklad 1.15: Doplňte na čtverec. a) x + x 4, b) x 8 x + 9, c) x 4 x + 1, d) 3 x4 6 x + 1. Řešení 1.4. Lomené algebraické výrazy Příklad 1.16: Příklad 1.17: Příklad 1.18: Sečtěte lomené výrazy: Sečtěte lomené výrazy: Zjednodušte lomený výraz: 1 b(a + b) + 1 a(b a) + a b. 1 x 1 + ( 1) x ( ) x + 1. x y y x 1 x 1 y. Řešení Řešení Řešení

7 Příklad 1.19: Zjednodušte lomený výraz: 4 u u 1 1 u(u 1) 4 u 1 u u Řešení 1.5. Úprava výrazů V následujících příkladech upravte výraz a stanovte podmínky, za kterých má výraz smysl: Příklad 1.0: ( ) ( ) x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1. x 1 + x Řešení Příklad 1.1: x y y x 1 1. x y Řešení

8 Příklad 1.: y + 1 x 1 y 1 x + 1 y x 1 y x + 1. Řešení

9 . Řešení rovnic.1. Algebraické rovnice o jedné neznámé Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) 6x 8. Řešení Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) 6x 9. Řešení Příklad.3: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 + x) 3(x + ) 8 x. Řešení Příklad.4: Řešme v reálném oboru rovnici 4x (1 x) 3(x + ) + 8 3x 0. Řešení Příklad.5: Řešme v reálném oboru rovnici 3x x 5 (4 x) 1 (x + 4). Řešení Příklad.6: Provedeme diskusi řešitelnosti rovnice (s neznámou x) vzhledem k reálnému parametru t. t 1 x t 1 Řešení Příklad.7: Řešme kvadratické rovnice: a) x x 15 0, b) x + 5x 8 0, c) x + 14x Řešení Příklad.8: Řešme v reálném oboru rovnici x 3 9x + 4x Řešení Příklad.9: Řešme v oboru komplexních čísel rovnici x 3 7x + x 7 0. Řešení

10 Příklad.10: Řešme v reálném oboru rovnici 4 + x 16 x. Řešení Příklad.11: Řešme v reálném oboru rovnici 1 + x x + 3. Řešení Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici x + 8 x. Řešení.. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice Příklad.13: Řešme v reálném oboru rovnici 4 x 1 5 x. Řešení Příklad.14: Řešme v reálném oboru rovnici 5 x x 5 5 x 1. Řešení Příklad.15: Řešme v reálném oboru rovnici x 3 x 1 5 x 4 x+1 +. Řešení Příklad.16: Řešme v reálném oboru rovnici ln x + ln(x + 9) 4 ln + ln 7. Řešení.3. Jednoduché goniometrické rovnice Příklad.17: Řešme v reálném oboru rovnici cotg x 3. Řešení Příklad.18: Řešme v reálném oboru rovnici cos(x π ) 1. Řešení Příklad.19: Řešme v reálném oboru rovnici sin x 5 cos x + 5. Řešení.4. Rovnice s absolutní hodnotou Příklad.0: Řešme v reálném oboru rovnici 4x 1 + 3x. Řešení Příklad.1: Řešme v reálném oboru rovnici 4x x x + 1. Řešení Příklad.: Řešme v reálném oboru rovnici 4x 8 3 x x + 1. Řešení

11 .5. Soustavy rovnic Příklad.3: Řešme v reálném oboru soustavu rovnic: 5x + y 3 x 6y 39. Řešení Příklad.4: Řešme v reálném oboru soustavu rovnic: 7x + 3y 5 x + y 6. Řešení

12 3. Řešení nerovnic 3.1. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 3.1: Řešme v R nerovnici 4( x) 3(x 1) + x 9 5x 8. Řešení Příklad 3.: Řešme v R nerovnici (4x 1) + (1 x) (x + 1) < 4(x + 3). Řešení Příklad 3.3: Řešme v R soustavu nerovnic 3x < 0 4x Řešení 3.. Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 3.4: Řešme v reálném oboru nerovnici x 4 8. Řešení Příklad 3.5: Řešme v reálném oboru nerovnici 1 4x 5. Řešení Příklad 3.6: Řešme v reálném oboru nerovnici x + x x Řešení Příklad 3.7: Řešme v reálném oboru soustavu nerovnic x x 3. Řešení 3.3. Nerovnice součinového a podílového typu Příklad 3.8: Řešme v reálném oboru nerovnici (8 x)(x + 1) 0. Řešení Příklad 3.9: Řešme v reálném oboru nerovnici (3x 4)(x + 7) < 0. Řešení

13 Příklad 3.10: Příklad 3.11: Řešme v reálném oboru nerovnici Řešme v reálném oboru nerovnici x x Řešení x x + 1 x 10x Řešení 3.4. Kvadratické nerovnice Příklad 3.1: Řešme v reálném oboru nerovnici 6x + 7x 0. Řešení Příklad 3.13: Řešme v reálném oboru nerovnici 3x + 15x 1 > 0. Řešení 3.5. Nerovnice s neznámou pod odmocninou Příklad 3.14: Řešme v reálném oboru nerovnici x 3x Řešení Příklad 3.15: Řešme v reálném oboru soustavu nerovnic 1 1 x 1. Řešení 3.6. Jednoduché exponenciální nerovnice Příklad 3.16: Řešme v reálném oboru nerovnici 4 x. Řešení Příklad 3.17: Řešme v reálném oboru nerovnici 3 1 x < 4. Řešení 3.7. Jednoduché logaritmické nerovnice Příklad 3.18: Řešme v reálném oboru nerovnici ln( x) 1. Řešení Příklad 3.19: Řešme v reálném oboru nerovnici log 1 (x 1) < 0. Řešení 5

14 3.8. Jednoduché goniometrické nerovnice Příklad 3.0: Řešme v reálném oboru nerovnici cos x < 1. Řešení

15 4. Komplexní čísla 4.1. Operace s komplexními čísly Příklad 4.1: Vyjádřete v algebraickém tvaru: a) (5 + 4 i ) + ( 3 i ), b) ( + 5 i )( i ), c) ( 5 i ), d) ( + 3 i ) (4 + 9 i ), e) 4(5 + 3 i )( i ), f) (1 i )(1 + i )(3 + 4 i ). Řešení Příklad 4.: Vyjádřete v algebraickém tvaru: 3 i a), b) i, c) i 1 i (5 + 3 i )(3 + 4 i ) d), e) 1 + i 4.. Goniometrický tvar komplexního čísla Příklad 4.3: 4 + i 1 + i ( + 3 i ), (7 + 3 i )(6 + i ) ( + 5 i )( 6 i ), f) (4 6 i )(9 6 i ) (6 7 i ). Řešení ( i )( i ) Komplexní číslo (cos 7 π + i sin 7 π ) vyjádřete v algebraickém tvaru. Řešení 1 1 Příklad 4.4: Komplexní číslo z i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.5: Komplexní číslo z 3 3 i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.6: Komplexní číslo z + i vyjádřete v goniometrickém tvaru. Řešení Příklad 4.7: Vyjádřete komplexní číslo (cos 3 7 π + i sin 3 7 π)(cos 4 7 π + i sin 4 7 π) v algebraickém tvaru. Řešení

16 Příklad 4.8: Vyjádřete komplexní číslo (cos π 1 + i sin π 1 )(cos π 6 + i sin π 6 ) v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.9: Vyjádřete komplexní číslo (cos π 15 + i sin π 15 )35 v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.10: Vyjádřete komplexní číslo ( 3 + i ) 7 v algebraickém tvaru. Řešení Příklad 4.11: Najděte všechny odmocniny i. Řešení

17 R1. Úpravy výrazů - řešení R1.1. Příklad 1.1: Příklad 1.: Příklad 1.3: Příklad 1.4: Zlomky - řešení ( ) ( 10 : 3 5 ) : 5 ( 16 5 ) ( a ) 3 a ( a + a a ) ( ) a + 3 a 3 a ( ) 8 a 4 3 a + a 4 a ( ) ( ) a a ( a b + b ) ( 1 : a 3 a b ) ( b 3 3 b ) a + b : 1 a b b 3 b a b 3 a 6 a + b a b 3 a 1 a b b 6 a + b (a b 1).

18 R1.. Příklad 1.5: Příklad 1.6: Příklad 1.7: R1.3. Mocniny a odmocniny - řešení x y 3 8 y 5 x 43 x y 3 8 y 5 x 6 x 1 y x y x 4 y. a 3 b 15 9 a 3 b 5 3 a 1 6 b 3 a 1 6 b 3 ( ) u 5 v w ( ) u v w 3 v a b a 3 6 b 1 6 a 1 b 1 6. u 10 v 5 w 10 v 6 u 9 w 9 v 3 Mnohočleny - řešení u10 v 5 w9 v 3 w 10 v 6 u 9 u v w. Příklad 1.8: (x 3 5 x +8 x 4) : (x ) x 3 x + (x 3 x ) 3 x +8 x 4 (3 x +6 x) x 4 ( x 4) 0 Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 x +, pro x. Zkouška: (x 3 x+) (x ) x 3 3 x + x x +6 x 4 x 3 5 x +8 x 4.

19 Příklad 1.9: (x 4 + x 3 4 x x +3) : (x 3) x + x 1 (x 4 3 x ) x 3 x 6 x +3 ( x 3 6 x) x +3 ( x +3) 0 Výsledek: P (x) : Q(x) x + x 1, pro x ± 3. Zkouška: (x + x 1) (x 3) x 4 + x 3 x 3 x 6 x + 3 x 4 + x 3 4 x 6 x + 3.

20 Příklad 1.10: (x 4 +6 x 3 +7 x +9 x 7) : (x +5) x 3 +x + x 1 (x 4 +5 x 3 ) x 3 +7 x +9 x 7 (x 3 +5 x ) x +9 x 7 ( x +10 x) x 7 ( x 7) Zbytek po dělení je. Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 + x + x 1, pro x 5. x + 5 Zkouška: ( x 3 + x + x 1 ) (x + 5) x + 5 (x 3 + x + x 1) (x + 5) (x + 5) x + 5 x 4 + x 3 + x x + 5 x x + 10 x 5 x x x + 9 x 7.

21 Příklad 1.11: (x 5 x 4 5 x x 13 x +3 ) : (x 3 x +4) x 3 + x 3 x +1 (x 5 3 x 4 +4 x 3 ) x 4 9 x x 13 x +3 ( x 4 6 x 3 +8 x ) 3 x x 13 x +3 ( 3 x 3 +9 x 1 x) x x +3 (x 3 x +4) x 1 Zbytek po dělení je 6 x. Výsledek: P (x) : Q(x) x 3 + x 3 x x 1 x 3 x + 4. Zkouška: ( x 3 + x 3 x x 1 ) (x 3 x + 4) x 3 x + 4 (x 3 + x 3 x + 1) (x 3 x + 4) + x 1 x 3 x + 4 (x 3 x + 4) x 5 3 x x 3 + x 4 6 x x 3 x x 1 x + x 3 x x 1 x 5 x 4 5 x x 13 x + 3.

22 ( ) 4 Příklad 1.1: a) (3 x ) 4 81 x x 3 ( )+ ( ) 4 9 x ( ) ( ) x( ) 3 +( ) x 4 16 x x 96 x b) (a b ) 3 a 3 b 3 + c) a 3 b 3 6 a b + 1 a b 8. ( z 1 z ) 5 3 z 5 + ( 1 ) ( 3 5 ( + z z 4) 1 z ( ) 3 a b ( ) + 1 ( ) 5 ( 16 z 4 1 ) + 1 z ) 4 ( + 1 z ) 5 ( ) 3 a b ( ) + ( ) 3 ( ) 5 ( 8 z 3 1 ) ( z z 3) d) 3 z 5 80 z z 40 1 z z 3 1 z 5. ( u v + v ) 3 u 3 u v + 3 u3 v u v + 1 v u + 8 v3 u 3. ( ) 3 u 1 v v u + ( ) 3 u v 4 v u + 8 v3 u 3

23 Příklad 1.13: a) x 5 5 y x 5 5 y ( x 5 5 y )( x y ). b) a 4 16 (a 4 4 ) (a )(a + ) (a )(a + )(a + 4). c) x (x 3 ( 3) 3 ) (x 3)(x + 3 x + ( 3) ) (x 3)(x + 3 x + 3). ( ) d) 8 u 3 + v3 7 3 u 3 + v3 3 3 ( u + v 3 )(4 u 3 u v + v 9 ( u + v )( u u v v ). 3 )

24 Příklad 1.14: a) Najdeme kořeny kvadratické rovnice x 5 x 4 0. x 1, 5 ± ± 11 x 5 x 4 (x 8)(x + 3). 5 ± 11 b) 3 x + 1 x (x + 7 x + 10). Najdeme kořeny kvadratické rovnice x + 7 x x 1, 7 ± ± 9 7 ± 3 3 x + 1 x (x + 7 x + 10) 3(x + )(x + 5). x 1 8 x 3. x 1 5 x. c) Provedeme substituci y x, x 4 5 x + 4 y 5 y + 4. Najdeme kořeny kvadratické rovnice y 5 y y 1, 5 ± ± 9 5 ± 3 y 1 4 y 1. x 4 5 x + 4 y 5 y + 4 (y 4)(y 1) (x 4)(x 1) (x 1)(x + )(x 1)(x + 1). d) Provedeme substituci y x, x 4 8 x 9 y 8 y 9. Najdeme kořeny kvadratické rovnice y 8 y 9 0. y 1, 8 ± ± ± 10 y 1 9 y 1.

25 x 4 8 x 9 y 8 y 9 (y 9)(y + 1) (x 9)(x + 1) (x 3)(x + 3)(x + 1). Příklad 1.15: a) x + x 4 (x + x + 1) 1 4 (x + 1) 5, R1.4. Příklad 1.16: b) x 8 x + 9 (x 4 x) + 9 (x 4 x + 4 4) + 9 (x 4 x + 4) (x ) + 1, c) x 4 ( 3 x + 1 x 4 3 x + 4 ) 49 ( x ) , d) x 4 6 x + 1 (x 4 6 x + 9) (x 3) 8. Lomené algebraické výrazy - řešení Lomené výrazy mají smysl pro a, b 0 a a ±b. 1 b(a + b) + 1 a(b a) + a b a(b a) + b(b + a) + ( 1) a b a b (b a ) a b a + b + a b a b a b (b a ) b a a b (b a ) 1 a b.

26 Příklad 1.17: Lomené výrazy mají smysl pro x ±1. 1 x 1 + ( 1) x ( ) x + 1 (x + 1)(x + 1) (x 1)(x + 1) (x 1)(x + 1) x 4 1 x3 + x + x + 1 (x 3 x + x 1) (x 1) x x 4 1. Příklad 1.18: Lomený výraz má smysl pro x, y 0 a 1 x 1 y t.j. x y. x y y x 1 x 1 y x y x y y x x y (x y)(x + y) x y x y y x ( 1)(x + y) 1 (x + y). Příklad 1.19: Lomený výraz má smysl pro u 0, u 1 a 4 u 1 t.j. u ± 1. 4 u u 1 1 u(u 1) 4 u 1 u u 4 u 1 u(u 1) 4 u u + u 1 u(u 1) 4 u 1 u(u 1) u(u 1) 4 u 1 1.

27 R1.5. Příklad 1.0: Úprava výrazů - řešení Výraz má smysl, jestliže x > 1, x 0, x 1 ±x. První nerovnost je splněna, když x (, 1) (1, ), poslední nerovnost je splněna vždy. Výraz má tedy smysl pro x (, 1) (1, ). ( ) ( ) x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 + x ( ) ( x 1 x x x 1 + x ) x 1 + x ( 1) x 1 x 1 x x x 1 x ( 1) x 1. Příklad 1.1: Výraz má smysl, jestliže x > 0, y > 0, x y. x y y x 1 1 x y x y y x y x x y x y (x y)( y + x) y x ( y x)( y + x) (x y)( y + x) (y x) ( y + x).

28 Příklad 1.: Výraz má smysl, jestliže x ±1 a y 0. y + 1 x 1 y 1 x + 1 y x 1 y x + 1 (y + 1)(x + 1) (y 1)(x 1) x 1 y(x + 1) y(x 1) x 1 (x y + x + y + 1 x y + x + y 1 x 1 x y + y x y + y x 1 (x + y) x 1 y x 1 x + y y.

29 R. Řešení rovnic - řešení R.1. Algebraické rovnice o jedné neznámé - řešení Příklad.1: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) 6x 8 4x + x 3x 6 6x 8 / 6x + 8 3x 0 / : ( 3) x 0. Daná rovnice má jediné reálné řešení: K {0}. Příklad.: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) 6x 9 4x + x 3x 6 6x 9 / 6x + 8 3x 1 / : ( 3) x 1 3. Daná rovnice má jediné reálné řešení: K { 1 3}.

30 Příklad.3: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 + x) 3(x + ) 8 x 4x x 3x 6 8 x x 8 8 x / + x 8 8. Poslední rovnost nikdy nenastane, rovnice proto nemá žádné reálné řešení, K. Příklad.4: Rovnici řešíme pomocí ekvivalentních úprav: 4x (1 x) 3(x + ) + 8 3x 0 4x + x 3x x Poslední rovnost je vždy pravdivá, proto K R.

31 Příklad.5: Daná rovnice má smysl, jsou-li splněny podmínky 16 x 0, 4 x 0, 4+x 0, tedy pro všechna x R \ {±4}. Postupnými úpravami dostáváme: 3x x 5 (4 x) 1 / (4 x)(4 + x) (x + 4) (3x + 8) 5(x + 4) (4 x) 6x x x / 6x Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením dané rovnice jsou tedy všechny hodnoty x, pro něž má rovnice smysl, tj. K R \ {±4}.

32 Příklad.6: Rovnice má smysl pro x 0. Postupnými úpravami dostaneme: Dále rozlišíme tři případy: t 1 x t 1 / x (t 1)(t + 1) (t 1)x pro t 1 odtud plyne 0x 0, tedy K R \ {0}, pro t 1 dostaneme rovnici 0 x, které nevyhovuje žádné přípustné reálné číslo (vzhledem k definičnímu oboru rovnice), K, pro t ±1 lze rovnici dělit výrazem (t 1), odtud plyne x t + 1, tedy K {t + 1}. Závěr můžeme zapsat pomocí přehledné tabulky: t K(t) t 1 R \ {0} t 1 t ±1 {t + 1}

33 Příklad.7: a) V této rovnici je a 1, b, c 15, pro její diskriminant platí D b 4ac ( ) 4 1 ( 15) 64 > 0. Rovnice má proto dva reálné kořeny x 1, ± 64 x 1 5 x 3 K { 3, 5}. b) Pro a 1, b 5, c 8 platí b 4ac < 0, takže rovnice má komplexně sdružené kořeny: x 1, 5 ± 7 5 { } 7 ± i K 5 7 ± i. V případě, kdybychom v zadání požadovali řešení pouze v reálném oboru, rovnice by neměla žádné řešení. c) D b 4ac , rovnice má jediný (dvojnásobný) reálný kořen: x 1, 14 ± 0 7 K { 7}.

34 Příklad.8: Zkusme do rovnice postupně dosazovat čísla ±1, ± atd. Snadno ověříme, že x 1 1 danou rovnici splňuje. To znamená, že mnohočlen x 3 9x + 4x + 15 má kořenový činitel x + 1. Provedeme dělení: (x 3 9x + 4x + 15) : (x + 1) x 11x + 15 (x 3 + x ) 11x + 4x + 15 (11x 11x) 15x + 15 (15x + 15) 0 Nyní již můžeme zadanou rovnici přepsat v součinovém tvaru: x 3 9x + 4x + 15 (x + 1)(x 11x + 15) 0. Tedy bud x+1 0 nebo x 11x Kvadratická rovnice x 11x+15 0 má dva kořeny x 1, 11 ± Pro množinu kořenů platí K { 1, 5, 3}. x 1 3 x 5.

35 Příklad.9: Mnohočlen na levé straně rovnice pomocí postupného vytýkání zapíšeme v součinovém tvaru: Příklad.10: x (x 7) + (x 7) 0 (x 7)(x + 1) 0. Odtud dostáváme dvě možnosti: x 7 0 nebo x +1 0, tedy x 1 7, x,3 ±i. Daná rovnice má tři kořeny, K { 7, ±i }. 4 + x 16 x / 4 x 16 x 4 / x 16 x 8x + 16 / + 8x x 3 x 4 Zk.: L(4) , P (4) 4, L(4) P (4), K {4}

36 Příklad.11: 1 + x x + 3 / 1 + x + x x + 3 / 1 x x x 1 / x 1 Zk.: L(1) 1 + 1, P (1) 1 + 3, L(1) P (1), K {1} Příklad.1: x + 8 x / x + 8 x 4 x + 8 / x x 0 x Zk.: L(0) 0 + 8, P (0) 0, L(0) P (0), K.

37 R.. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice - řešení Příklad.13: Použitím pravidel pro počítání s mocninami rovnici upravíme do podoby ( ) x 1 5 x x 5 ( ) x x 1 5 ( ) x ( ) x 0 x 1. Pokud bychom nejprve obě strany rovnice logaritmovali a až poté upravovali, vypadal by výpočet takto: log 4 x 1 log 5 x (x 1) log 4 ( x) log 5 x(log 4 + log 5) log 5 + log 4 x Daná rovnice má jediné reálné řešení: K {1}. log 5 + log 4 log 5 + log 4 1.

38 Příklad.14: Použitím pravidel pro počítání s mocninami dostaneme 5 5 x 4 5 x x (5 4) 5 x 5 x 5 x 5 x. Této rovnici vyhovuje každé reálné číslo, tj. K R. Příklad.15: Pomocí pravidel pro práci s mocninami dostaneme: x 3 1 x 5 x + 4 x 0 x + 3 x 0. Nyní zvolíme substituci y x, tj. x ( ) x ( x ) y, čímž danou rovnici převedeme na rovnici kvadratickou y + 3 y 0, pro kterou platí y 1, 3 ± ± y 1 4 y 11. Vrátíme-li se k původní substituci, dostáváme dvě rovnice x 4 a x 11. První z těchto rovnic má kořen x, druhá rovnice nemá žádné reálné řešení ( x je vždy číslo kladné). Celkem K {}.

39 Příklad.16: S využitím pravidel pro počítání s logaritmy lze psát ln x(x + 9) ln( 4 7). Odtud plyne x(x + 9) 11. Danou logaritmickou rovnici se nám podařilo převést na rovnici kvadratickou: x + 9x 11 0 x 1, 9 ± ± 3 x 1 7 x 16. Pro oba kořeny nyní provedeme zkoušku: L(7) ln 7 + ln 16 ln(7 16) ln 11 P (7) 4 ln + ln 7 ln( 4 7) ln 11, tedy L(7) P (7) L( 16) ln( 16) +... tato hodnota není definována, druhý kořen nevyhovuje Daná logaritmická rovnice má jediné řešení, K {7}.

40 R.3. Příklad.17: Jednoduché goniometrické rovnice - řešení Nejprve najdeme ostrý úhel x 0, pro který platí cotg x 0 3, tedy x 0 π 6. Kotangens je funkce záporná ve II. kvadrantu, základní orientovaný úhel v tomto případě tedy bude x π π π. Vzhledem ke skutečnosti, že kotangens je π-periodická funkce, plyne odtud množina všech řešení K { } 5 6 π + kπ. k Z Příklad.18: Substitucí y x π získáme základní goniometrickou rovnici cos y 1, která je splněna pro y π + kπ, k Z. Vrátíme se zpět k substituci y x π a dostáváme x π π + kπ x 3π + kπ x 3π + kπ 4 K { } 3 4 π + kπ. k Z

41 Příklad.19: S využitím identity sin x 1 cos x rovnici upravíme do tvaru (1 cos x) 5 cos x 5 0 / : ( 1) cos x + 5 cos x Nyní zvolíme substituci y cos x a řešíme příslušnou kvadratickou rovnici y + 5y + 3 0: y 1, 5 ± { y1 1 4 y 3. Vrátíme se zpět k substituci y cos x a dostáváme cos x 1 nebo cos x 3. První možnost nastává pro x π + kπ, druhá možnost nenastává, protože cos x 1. Celkem platí K k Z {π + kπ}.

42 R.4. Rovnice s absolutní hodnotou - řešení Příklad.0: Nulovým bodem absolutní hodnoty v této rovnici je x 1 4. Příklad.1: Za předpokladu 4x 1 < 0 platí 4x 1 (4x 1) a danou rovnici lze přepsat do podoby (4x 1) +3x, odkud plyne x 1. Tato hodnota splňuje podmínku 7 4x 1 < 0, jde tedy o kořen dané rovnice. Dále vyřešíme případ 4x 1 0, pro který platí 4x 1 4x 1 a rovnice má podobu 4x 1 + 3x, odkud vychází x 3, přičemž 3 1, ). Celkem 4 dostáváme K { 1; 3}. 7 Nulovými body jsou hodnoty 0,. Pro lepší přehlednost si můžeme vše zapsat formou tabulky: 4x 8 x 4x x x + 1 x ( ; 0) 8 4x x 8 4x 3x x + 1 x 0; ) 8 4x x 8 4x + 3x x + 1 x ; ) 4x 8 x 4x 8 + 3x x + 1 V případě x ( ; 0) řešíme rovnici přepsanou bez absolutních hodnot 8 4x 3x x + 1, odkud dostáváme x 7. Protože 7 ( ; 0), nejde o kořen dané 8 8 rovnice. Pro x 0; ) má rovnice tvar 8 4x + 3x x + 1, odkud x 7, ale 7 0; ). Konečně pro x ; ) řešíme rovnici 4x 8 + 3x x + 1, jíž vyhovuje x 3, přičemž 3 ; ). Celkově nemá zadaná rovnice žádné řešení: K.

43 Příklad.: Nulovými body jsou hodnoty 0,. Pro lepší přehlednost si můžeme vše zapsat formou tabulky: 4x 8 x 4x 8 3 x x + 1 x ( ; 0) 8 4x x 8 4x + 3x x + 1 x 0; ) 8 4x x 8 4x 3x x + 1 x ; ) 4x 8 x 4x 8 3x x + 1 V případě x ( ; 0) řešíme rovnici přepsanou bez absolutních hodnot 8 4x + 3x x + 1, odkud dostáváme x 7. Protože 7 ( ; 0), nejde o kořen dané rovnice. Pro x 0; ) má rovnice tvar 8 4x 3x x+1, odkud x 7, přičemž 7 0; ). 8 8 Konečně pro x ; ) řešíme rovnici 4x 8 3x x + 1, jíž nevyhovuje žádné reálné číslo. Celkově má zadaná rovnice jediné řešení: K { 7 8 }.

44 R.5. Soustavy rovnic - řešení Příklad.3: Soustavu vyřešíme dosazovací metodou z druhé rovnice vyjádříme neznámou x 6y 39, dosazením do první rovnice odtud dostaneme rovnici 5(6y 39) + y 3 30y y 3 3y 19 y 6. Jestliže tuto hodnotu nyní dosadíme do vyjádření x, dostaneme x Daná soustava má tedy jediné řešení x 3 a y 6, neboli její řešení je jediná uspořádaná dvojice čísel (x, y) ( 3, 6), tedy K {( 3, 6)}. Příklad.4: Soustavu vyřešíme sčítací metodou. Po vynásobení první rovnice dvěma a druhé rovnice sedmi dostaneme soustavu 14x + 6y 10 14x + 7y 4. Sečtením levých a pravých stran těchto rovnic získáme rovnici o jedné neznámé 13y 5, odkud snadno vypočteme y 4. Po odsazení např. do první rovnice soustavy platí 7x 1 5, tj. x 1. Řešením dané soustavy je jediná uspořádaná dvojice (x, y) (1, 4), tj. K {(1, 4)}.

45 R3. Řešení nerovnic - řešení R3.1. Lineární nerovnice a jejich soustavy - řešení Příklad 3.1: Postupnými úpravami dostaneme: 4( x) 3(x 1) + x 9 5x 8 8 4x 3x x 9 5x 8 5x + 5x 8 10x 10 / : ( 10) x 1. Příklad 3.: Množinou všech řešení je interval K 1; ). Pomocí elementárních úprav dostaneme: 16x 8x x x < 4(4x + 1x + 9) / 16x 8x + 1 4x < 48x + 36 / + 1x < 60x / : < x. Příklad 3.3: Množina kořenů K ( 7 1 ; ). První nerovnice je splněna pro x > 3, druhá platí pro x. Množina všech řešení dané soustavy je průnikem intervalů ( 3; ) a ; ), tedy K ( 3; ).

46 R3.. Příklad 3.4: Příklad 3.5: Nerovnice s absolutní hodnotou - řešení Vydělíme-li danou nerovnici dvěma, dostaneme nerovnici x 4, kterou můžeme řešit geometricky. Jejím řešením jsou všechna čísla x, jejichž obrazy na číselné ose mají od obrazu čísla vzdálenost ne větší než 4, tj. čísla z množiny ; 6, K ; 6. Provedeme diskusi různých možností znamének výrazu v absolutní hodnotě a vyřešíme vzniklé nerovnice bez absolutní hodnoty. Pro x ( ; 1 platí 1 4x 1 4x; v tomto případě tedy řešíme nerovnici 4 1 4x 5, odkud dostáváme x 1, tj. K 1 ( ; 1 1; ) 1; Pro x ( 1 ; ) je 1 4x (1 4x) 4x 1 a my řešíme nerovnici 4x 1 5, 4 jíž vyhovují hodnoty x 3, odkud K ( 1; ) ( ; 3 ( 1; 3. Celkem 4 4 dostáváme množinu kořenů K K 1 K 1; 3.

47 Příklad 3.6: Nerovnici vyřešíme metodou nulových bodů, které jsou v tomto případě tři (0, a 1): x x x + 1 x + x x x ( ; 1 x x x 1 x + x + x + 5 x ( 1; 0 x x x + 1 x + x x 5 x (0; x x x + 1 x + x x 5 x (; ) x x x + 1 x + x x 5 Příklad 3.7: Pro x 1 řešíme lineární nerovnici x + x + x + 5, tedy 4 5, která však nemá žádné řešení. Pro x ( 1; 0 řešíme nerovnici x + x x 5, která platí pro x 5. 4 Protože ( 1; 0 ( ; 5, v daném intervalu opět nedostáváme žádné řešení. 4 V případě x (0; má daná nerovnice podobu x + x x 5, odkud plyne x 5. Tuto podmínku nesplňuje žádné x (0;. Konečně pro x (; ) řešíme lineární nerovnici x + x x 5, která rovněž nemá žádné řešení. Celkem dostáváme závěr K. První nerovnici vyhovují x ( ; 4 ; ), druhá nerovnice platí pro x 4;. Ověřte podrobně sami! Množina řešení dané soustavy je průnikem těchto množin, tedy K { 4} ;.

48 R3.3. Příklad 3.8: Nerovnice součinového a podílového typu - řešení Rovnici vyřešíme metodou nulových bodů. Výrazy v závorkách jsou rovny nule pro x 8 a x 1. Tyto nulové body rozdělí reálnou osu na tři intervaly, pro které platí ( ; 1) 1 ( 1 ; 8) 8 (8; ) 8 x x (8 x)(x + 1) Příklad 3.9: Danou nerovnici splňují všechna x 1 ; 8. Nerovnici vyřešíme rozborem možností. Součin dvou výrazů je záporný, jestliže je záporný právě jeden z těchto výrazů. Hledáme ty hodnoty x, pro které platí [3x 4 < 0 x + 7 > 0] [3x 4 > 0 x + 7 < 0] První dvě podmínky lze upravit do podoby x < 4 a současně x > 7, což platí 3 pro x ( 7; 4). Podobně zbylé dvě podmínky x > 4 a zároveň x < 7 neplatí 3 3 pro žádné reálné číslo. Řešením dané nerovnice je množina K ( 7; 4). 3

49 Příklad 3.10: Prováděním ekvivalentních úprav dostaneme x 4 (3 + x) 3 + x x x / x x x x / : ( 1) Nulový bod čitatele je x 10, nulový bod jmenovatele je x 3. Platí tedy ( ; 10) ( 10; 3) ( 3; ) x x x + 10 x To, zda nulové body vyhovují dané nerovnici, snadno zjistíme i bez tabulky. Z posledního řádku tabulky je patrné, že K ( ; 10 ( 3; ).

50 Příklad 3.11: Nerovnice má smysl pro x 10x + 1 0, tedy pro x 3 a x 7. Kvadratické trojčleny v čitateli a ve jmenovateli rozložíme na součin kořenových činitelů: x x + 1 x 10x + 1 (x 1) (x 3)(x 7). Výraz (x 1) je pro x R\{3; 7} nezáporný. Nulové body čitatele a jmenovatele (3 a 7) rozdělí reálnou osu na tři intervaly, na nichž budeme vyšetřovat znamení jednotlivých činitelů: x 3 x 7 (x 1) (x 3)(x 7) x ( ; 3) + x (3; 7) + x (7; ) Z tabulky je zřejmé, že daná nerovnice je splněna pro K ( ; 3) (7; ).

51 R3.4. Kvadratické nerovnice - řešení Příklad 3.1: Danou nerovnici vyřešíme doplněním na čtverec: 6x + 7x 0 / : ( 6) x 7 6 x ( x 7 ) ( x 7 ) / x Řešením získané nerovnice s absolutní hodnotou jsou všechna čísla x, jejichž obraz na reálné ose je od obrazu čísla 7 1 vzdálen nejvýše o, tedy K 1 ;

52 Příklad 3.13: Nerovnici vyřešíme převedením na nerovnici v součinovém tvaru a následnou diskusí možností. Kvadratická rovnice 3x + 15x 1 0 má dva reálné kořeny x 1, 15 ± ± 81 6 { x1 1 x 4, lze ji proto psát ve tvaru součinu kořenových činitelů 3(x 1)(x 4) 0; danou nerovnici lze přepsat do podoby 3(x 1)(x 4) > 0 / : ( 3) (x 1)(x 4) < 0. Součin dvou výrazů je záporný, je-li právě jeden z těchto výrazů záporný; tím dostaneme soustavu podmínek: [x 1 < 0 x 4 > 0] [x 1 > 0 x 4 < 0] První dvě podmínky lze přepsat do podoby x < 1 a současně x > 4, což nelze splnit současně pro žádné reálné číslo x. Podobně zbylé dvě podmínky x > 1 a x < 4 platí pro x (1; 4). Množina všech řešení dané nerovnice je K (1; 4).

53 R3.5. Příklad 3.14: Nerovnice s neznámou pod odmocninou - řešení Daná nerovnice má smysl, pokud platí podmínka x 3x Platí-li tato podmínka, je daná nerovnice automaticky splněna (funkční hodnoty druhé odmocniny jsou nezáporné). Řešením kvadratické nerovnice x 3x najdeme její kořeny: D ( 3) 4 ( ) Dále lze tedy psát x 1, 3 ± ± 11 4 x 1 3, 5 x. odkud plynou možnosti x 3x + 14 (x )(x + 3, 5) 0, [x 0 x + 3, 5 0] [x 0 x + 3, 5 0] První dvě podmínky x a současně x 3, 5 platí pro x 3, 5;, zbývajícím dvěma podmínkám x a x 3, 5 nevyhovuje žádné reálné číslo. Řešením dané nerovnice je tedy množina K 3, 5;.

54 Příklad 3.15: Daná soustava má smysl pro x 0. Řešme dále nejprve nerovnici 1 1 x / x x 3 / x 9 4. Druhá nerovnice 1 x 1 dává po úpravě podmínku x 1, která je triviálně splněna pro všechna x, pro něž má soustava smysl. Celkem dostáváme množinu kořenů K 0; 9. 4

55 R3.6. Příklad 3.16: Jednoduché exponenciální nerovnice - řešení Při řešení této nerovnice využíváme základní vlastnosti exponenciální funkce, a sice faktu, že a b a b. Postupnými úpravami dostáváme: ( ) x 1 x 4 1 x 4 1 x 5, tedy K 5 ; ). Příklad 3.17: Využijeme-li toho, že 4 3 log 3 4 a platí podmínka 3 a < 3 b a < b, dostáváme postupně 3 1 x < 3 log x < log 3 4 / + x log log 3 4 < x. Ověřte si sami, že pro množinu řešení platí K (log ; ).

56 R3.7. Příklad 3.18: Jednoduché logaritmické nerovnice - řešení Nerovnice má smysl za podmínky x > 0, tj. x <. Pro x ( ; ) dostáváme: ln( x) 1 ln( x) ln e. Odtud plyne (nebot pro a, b > 0 platí ln a ln b a b) x e, tj. x e. Obě podmínky x < a současně x e splňují všechna x ( ; e ; K ( ; e. Příklad 3.19: Nerovnice má smysl za podmínky x 1 > 0, tj. x > 1. Pro x ( 1 ; ) dostáváme: Pro a, b > 0 dále platí log 1 (x 1) < 0 log 1 (x 1) < log log 1 a < log 1 b a > b, 5 5 takže obdržíme nerovnici x 1 > 1, tedy x > 1. Množina všech řešení ( ) 1 K ; (1; ) (1; ).

57 R3.8. Jednoduché goniometrické nerovnice - řešení Příklad 3.0: Příslušná rovnice cos x 1 má v intervalu 0; π dvě řešení x 1 π a x 3 5π. 3 Nakreslíme-li si vhodný obrázek, snadno zjistíme, že množina všech řešení dané nerovnice je K ( π 3 + kπ; 5 ) 3 π + kπ. k Z

58 R4. Komplexní čísla - řešení R4.1. Operace s komplexními čísly - řešení Příklad 4.1: a) (5 + 4 i ) + ( 3 i ) (4 3)i 7 + i, Příklad 4.: b) ( + 5 i ) ( i ) i 15 i + 40 i 6 + i + 40( 1) 46 + i, c) ( 5 i ) 4 0 i + 5 i 4 0 i i, d) ( + 3 i ) (4 + 9 i ) i + 9 i 4 9 i i, e) 4 (5 + 3 i ) ( i ) (5 + 3 i ) (8 i ) 40 i + 4 i 40 i i, f) (1 i ) (1 + i ) (3 + 4 i ) (1 i ) (3 + 4 i ) (3 + 4 i ) i. a) 3 i i b) i 1 i ( 3 i )( i ) i ( i ) (3 + 5 i )(1 + i ) (1 i )(1 + i ) i + 3 i i 3 i 1 3 i, i + 5 i + 5 i + 8 i 1 i i, c) 4 + i (4 + i )(1 i ) ( + 3 i ) 1 + i (1 + i )(1 i ) ( + 3 i ) 4 8 i + i i ( + 3 i ) 1 4 i 6 7 i i, ( + 3 i ) i 14 i 1 i i 5

59 d) e) f) (5 + 3 i )(3 + 4 i ) 1 + i (7 + 3 i )(6 + i ) ( + 5 i )( 6 i ) i + 9 i + 1 i 1 + i 3 3 i + 9 i 9 i 1 i ( i + 18 i + 6 i ) (4 1 i + 10 i 30 i ) ( i )(17 + i ) (17 i )(17 + i ) i i, (3 + 9 i )(1 i ) (1 + i )(1 i ) 3 6 i i 34 i i, i + 7 i + 16 i 89 i (4 6 i )(9 6 i ) 36 4 i 54 i + 36 i (6 7 i ) ( i )( i ) 45 7 i 15 i + 9 i (6 7 i ) 78 i 13 i (6 7 i ) (6 7 i ) 13 i i 6 7 i

60 R4.. Příklad 4.3: Příklad 4.4: Goniometrický tvar komplexního čísla Využijte vzorce: Platí 7 π 1 π 4 + π 3 cos 7 π 1 cos ( π 4 + π 3 sin 7 π 1 sin ( π 4 + π 3 Platí tedy: ( cos 7 π + i sin 7 π 1 1 sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) cos α cos β sin α sin β.. Využijeme nyní vzorečky pro kosínus a sínus součtu. ) cos π cos π sin π sin π ) sin π cos π + cos π sin π ) (( ) ( + ) ) + 6 i (1 3)+(1+ 3) i. 4 Komplexní číslo z i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 8) cos α 8 8 α 3π nebo 5π 4 4 sin α 8 8 α π nebo 3π 4 4 z 8 ( cos 3π 4 + i sin 3π ). 4 α 3π 4

61 Příklad 4.5: Komplexní číslo z 3 3 i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 3) + ( 3) cos α 3 1 α π nebo 4π 3 3 sin α α 4π nebo 5π α 4π z ( 3 cos 4π 3 + i sin 4π ). 3

62 Příklad 4.6: Komplexní číslo z + i vyjádřeme v goniometrickém tvaru. z ( 3 1 ) + ( 3+1 ) cos α sin α 3 cos α + sin α cos α sin α 3 sin(α + π) + sin α sin(α + π) sin α sin(α + π 4 ) cos π 4 3 cos(α + π 4 ) sin π 4 sin(α + π 4 ) 3 cos(α + π) sin(α + π) 4 π 3 π 4 5π 1 z ( cos 5π 5π + i sin 1 1 α + π 4 π 3 α + π 4 π 3 ). cos(α + π 4 ) 1 nebo 4π 3 nebo π 3 α + π 4 π 3 α

63 Příklad 4.7: Použijeme vzorec pro součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru: (cos 37 π + i sin 37 ) (cos π 47 π + i sin 47 ) ( π cos π + i sin ) 7 π (cos π + i sin π) 1 + i 0 1. Příklad 4.8: Použijeme vzorec pro součin komplexních čísel v goniometrickém tvaru: ( cos π 1 + i sin π ) ( cos π i sin π ) ( cos π + i sin π ( cos π 4 + i sin π ) 4 + i + i. ) Příklad 4.9: Použijeme Moivreovu větu: ( cos π 15 + i sin π ) ( 35 cos 35 ) 35 π + i sin π (cos 73 π + i sin 73 ) π (cos ( π ) ( 3 + π) + i sin (π 3 + π) cos π 3 + i sin π ) i i.

64 Příklad 4.10: Nejprve vyjádříme komplexní číslo z 3 + i v goniometrickém tvaru. z ( 3) + (1) cos α α π nebo 11π 6 6 sin α 1 α π nebo 5π α π ( z cos π 6 + i sin π ). 6 Použijeme Moivreovu větu: ( ( 3 + i ) 7 7 cos π 6 + i sin π ) 7 18 (cos π + i sin 7 ) 6 π 18 ( ) 3 i 1 64( 3 + i ).

65 Příklad 4.11: Nejprve převedeme komplexní číslo i do goniometrického tvaru: z ( 5) + ( 5 3) cos α sin α ( z 10 cos 4π 3 + i sin 4π 3 α π 3 α 4π 3 ). nebo 4π 3 nebo 5π 3 α 4π 3 Nyní komplexní číslo odmocníme - získáme dvě různé hodnoty pro k 0, 1: 10 (cos( 4π 6 + k π ) + i sin(4π 6 + k π ) ) z 0 ( 10 cos π 3 + i sin π ) 10 3 z 1 10 (cos( π3 ) + π) + i sin(π3 + π) ( i ), 10 ( cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) 10 (1 3 i ).

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE

ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE ZÁKLADY MATEMATIKY PRO BAKALÁØE Doc. RNDr. Daniel Turzík, CSc. RNDr. Miroslava Dubcová, Ph.D. RNDr. Pavla Pavlíková, Ph.D. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti ZÁKLADY MATEMATIKY

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO FBI VŠB-TUO 15. října 2013 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 Předpokládané znalosti

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1

Více

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924 5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více