1 3Matematika (a fyzika) schovan za GPS

Transkript

1 1 3Matematika (a fyzika) schovan za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita P 0 0 rodov deck fakulta 0 3stav matematiky a statistiky Brno, 8. b 0 0ezna 2012 Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

2 1 3Global Positioning system minim ln 27 satelit 0 1 (24 aktivn ch po 4 rovnom rn rozm st n na 6 orbit ln ch drah ch, 3 z lo 0 6n ) C v ka cca km na povrchem Zem, cca 2 ob hy denn z ka 0 6d ho m sta na Zemi viditeln 0 5ch 4 C12 satelit 0 1 od 1. kv tna 2000 zru 0 8eno um l zkreslov n dat (SA C selective availability) Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

3 1 3V 0 5po 0 0et pozice C vod Satelity ob haj c (nejde o stacion rn dru 0 6ice) Zemi vys laj zpr vy obsahuj c : 0 0as vysl n zpr vy, polohu satelitu, syst movou informaci o stavu a (p 0 0ibli 0 6n ) pozici ostatn ch satelit 0 1. Z t chto informac chce p 0 0 jemce (GPS p 0 0ij ma 0 0) odvodit informaci o sv poloze. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

4 1 3V 0 5po 0 0et pozice P 0 0ij ma 0 0 na z klad polohov a 0 0asov informace [x i, y i, z i, t i ] od alespo 3(4) satelit 0 1 vypo 0 0te svoji zd nlivou vzd lenost r i od jednotliv 0 5ch vys la (pseudorange) za p 0 0edpokladu, 0 6e se sign l rychlost sv tla (odhadn te, jak dlouho let sign l). Vypo 0 0ten vzd lenost od satelitu spolu s jeho polohou p 0 0i vysl n sign lu ud v sf ru (povrch koule), na n 0 6 p 0 0ij ma 0 0 le 0 6. Pr 0 1se 0 0 kem takov 0 5ch dvou sf r je pak kru 0 6nice, obsahuj c dan 0 5 bod. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

5 1 3V 0 5po 0 0et pozice C pokra 0 0ov n Pr 0 1se 0 0 kem t 0 0et sf ry s touto kru 0 6nic jsou pak (obvykle) 2 body. V 0 5slednou pozici je pak mo 0 6n ur 0 0it jako: ten z pr 0 1se 0 0 k 0 1, kter 0 5 je b e povrchu Zem (v obvykl m p 0 0 pad GPS p 0 0ij ma 0 0e v aut 0 0i v ruce) ten z pr 0 1se 0 0 k 0 1, kter 0 5 je b e 0 0tvrt sf 0 0e C v tomto p 0 0 pad je rovn 0 6 mo 0 6n pomoc GPS ur 0 0it nadmo 0 0skou v ku, v n 0 6 se p 0 0ij ma 0 0 pohybuje. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

6 1 3Kone 0 0n s ben matematika Pro zjednodu 0 8en v 0 5po 0 0t 0 1 je mo 0 6n bez jmy na obecnosti zvolit kart zskou soustavu sou 0 0adnic tak, 0 6e st 0 0edy sf r (tj. pozice vys laj c ch satelit 0 1) jsou v rovin xy (tj. z = 0), jeden ze st 0 0ed 0 1 d le um st me v po 0 0 tku a druh 0 5 na ose x. Uva 0 6ujme tedy t 0 0i sf ry se st 0 0edy v bodech [0, 0, 0], [u, 0, 0], [v, w, 0] a polom ry r 1, r 2, r 3 a dostaneme tak pro hledanou pozici [x, y, z] rovnice x 2 + y 2 + z 2 = r 2 1 (x 6с1 u) 2 + y 2 + z 2 = r 2 2 (x 6с1 v) 2 + (y 6с1 w) 2 + z 2 = r 2 3 Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

7 1 3Kone 0 0n s ben matematika x 2 + y 2 + z 2 = r1 2 (x 6с1 u) 2 + y 2 + z 2 = r2 2 (x 6с1 v) 2 + (y 6с1 w) 2 + z 2 = r3 2 Zkuste si soustavu vy 0 0e 0 8it! Ode 0 0ten m 2. rovnice od prvn a snadnou pravou dostaneme x = 1 2u (r 1 2 6с1 r u2 ), odkud po dosazen za x do prvn rovnice dostaneme vztah r 2 1 6с1 (r 2 1 6с1 r u2 ) 2 4u 2 = y 2 + z 2. Podm nkou pro 0 0e 0 8itelnost (tj. pro to, 0 6e se prvn dv sf ry v 0 1bec prot naj ) je 2ur 1 щ r1 2 6с1 r u2, neboli r2 2 щ (u 6с1 r 1) 2, 0 0i r 1 + r 2 щ u щ r 1 6с1 r 2 (tuto podm nku lze samoz 0 0ejm tak 0 0ka ihned vid t z obr zku). P 0 0i spln n odvozen podm nky ji 0 6 vypo 0 0teme i sou 0 0adnici y pomoc лdosazen do t 0 0et rovnice. Sou 0 0adnici z pak lze dopo 0 0 tat nap 0 0. jako z = ю r1 2 6с1 x 2 6с1 y 2. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

8 1 3Jak ale po 0 0 tat prakticky odmocniny? V d 0 1sledku je t 0 0eba 0 0e 0 8it neline rn soustavu rovnic o v ce nezn m 0 5ch C ji 0 6 jsme uk zali jeden zp 0 1sob, jak 0 5m ji lze p 0 0ev st na postupn 0 0e 0 8en rovnic o jedn nezn m. Newton-Raphsonova metoda je iterativn metoda na hled n ko 0 0en 0 1 re ln 0 5ch funkc (obecn v ce prom nn 0 5ch). Newtonova metoda S touto metodou p 0 0i 0 8el Newton kolem roku 1670 a vysv tlil ji na p 0 0 kladu rovnice x 3 6с1 2x 6с1 5 = 0. Jeden z ko 0 0en 0 1 je b zko 2, polo 0 6il tedy x = 2 + p a dosazen m do rovnice dostal vztah pro p: p 3 + 6p p 6с1 1 = 0. Proto 0 6e je ale p mal, je mo 0 6n zanedbat 0 0leny p 3, 6p 2, odkud p = To samoz 0 0ejm nen p 0 0esn 0 0e 0 8en, jde ale o dal 0 8 zp 0 0esn n, m eme nyn ps t x = 2,1 + q, dostat tak dal 0 8 aproximaci x = 2,0946 atd. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

9 1 3Jak ale po 0 0 tat prakticky odmocniny? Uka 0 6me zde pro ilustraci pou 0 6it t to metody pro odvozen elegantn ho postupu v 0 5po 0 0tu druh odmocniny (tento postup je zn m jako Babyl nsk metoda 0 0i jako Heron 0 1v vzorec 1 ). 1 M jme d nu diferencovatelnou funkci f (x) a aproximaci jej ho ko 0 0ene x 0. 2 Postupn po 0 0 tejme dal 0 8 iterace pomoc vztahu x n+1 = x n 6с1 f (xn) f Д (x n). Pro v 0 5po 0 0et druh odmocniny z a (tj. hled n ko 0 0ene funkce f (x) = x 2 6с1 a) tak dost v me itera 0 0n postup x n+1 = 1 2 (x n + a x n ). Tato metoda se d analogicky pou 0 6 t p 0 0i optimalizaci, kde m sto ko 0 0ene hled me 0 0e 0 8en rovnice f Д (x) = 0. 1 To samoz 0 0ejm neznamen, 0 6e Newton m l n co spole 0 0n ho s d vn 0 5mi Babyl any, jeho metoda je obecn j 0 8. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

10 1 3P 0 0 klad Vypo 0 0t me л 12 s x 0 = 3: x 1 = 3+4 2, x 2 = 7/2+24/7 2 = 97/28 ж 3,46429, p 0 0itom л 12 ж 3, Anal 0 5za efektivity Newtonovy metody Pomoc Taylorovy v ty lze v n jak m oko x n ps t f (x) = f (x n ) + f Д (x n )(x 6с1 x n ) + 1 2! f Д Д ( а)(x 6с1 x n ) 2, kde а je mezi x n a x. Proto 0 6e hled me x spl uj c f (x) = 0, lze po vyd len f Д (x n ) vztah upravit na f (x n ) f Д (x n ) + (x 6с1 x n) = 6с1 f Д Д ( а) 2f Д (x n ) (x 6с1 x n) 2, a tedy x 6с1 x n+1 = 6с1 f Д Д ( а) 2f Д (x n ) (x 6с1 x n) 2. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

11 1 3Newtonova metoda C p 0 0 klad, kdy nefunguje P 0 0 klad P 0 0 kladem funkce, jej 0 6 ko 0 0en tato metoda nenajde, ani kdy 0 6 za 0 0neme sebeb e, je f (x) = 3 л x. Zde toti 0 6 dostaneme x n+1 = x n+1 = x n 6с1 f (x n) f Д (x n ) = x n 6с1 x n 1/3 1 3 x n 6с12/3 = 6с12x n. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

12 1 3Zobecn n na p 0 0 pad v ce prom nn 0 5ch Zobecn n na (nap 0 0.) k rovnic o k nezn m 0 5ch je relativn p 0 0 mo 0 0ar : x n+1 = x n 6с1 J F (x n ) 6с11 F (x n ), kde J F je Jacobi n zobrazen F. V 0 5po 0 0et jeho inverze je ale 0 0asov velmi n ro 0 0n operace, proto se 0 0asto m sto toho vyu 0 6 v 0 0e 0 8en p 0 0 slu 0 8n soustavy line rn ch rovnic, v 0 5po 0 0et zobecn n inverze, p 0 0i v ce ne 0 6 k rovnic ch metoda nejmen 0 8 ch 0 0tverc 0 1 metoda sdru 0 6en 0 5ch gradient 0 1 pro 0 0e 0 8en p 0 0 slu 0 8n soustavy, r 0 1zn 0 5ch tzv. kvazi-newtonovsk 0 5ch metod, vyu 0 6 vaj c ch pouze p 0 0ibli 0 6n ho Hessi nu (nap 0 0. BFGS) C viz nap MinimizingTheRosenbrockFunction/. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

13 1 3Fyzika a praxe n m to trochu zkomplikuje Do ide ln ho stavu uk zan ho d 0 0 ve se n m ale vloud v ce 0 0i m n z va 0 6n chyby: 1 Satelity disponuj vysoce p 0 0esn 0 5mi atomov 0 5mi hodinami, to ale na 0 8e kapesn GPSka neum (st la by 0 0 dov mili ny) se sign l skute 0 0n rychlost sv tla i p 0 0i pr 0 1chodu ionosf rou? 3 Sign l se odr 0 6 od r 0 1zn 0 5ch ter nn ch p 0 0ek 0 6ek, budov apod. 4 Do hry velmi z sadn vstupuje i speci ln a obecn teorie relativity. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

14 1 3Zdroje chyb GPS Error Source Typical or Maximum Error Ionosphere 10 Meters Troposphere 1 Meter Satellite Clock Synchronization 1 Meter Electronic Noise 2 Meters Multipath Error 0.5 Meters Satellite Position (Ephemeris) 1 Meter Intentional Degradation 0 Meters Net RMS error 10 Meters Typical Geometric Error (GDOP) 4 Final RMS error (Net x GDOP) 40 meters Actual Typical Error 10 meters Zdroj: Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

15 1 3Jak se vyrovnat s chybami C hodiny v p 0 0ij ma 0 0i S nep 0 0esnost levn 0 5ch hodin v GPS p 0 0ij ma 0 0i se vyrovn me pom rn snadno C k tomu n m slou 0 6 pr v 0 0tvrt 0 5 (a p 0 0 padn dal 0 8 ) satelit, kter 0 5 jsme dosud ve v 0 5po 0 0tech nepou 0 6ili. V praxi tak dost v me 0 0ty 0 0i nebo v ce rovnic o 0 0ty 0 0ech nezn m 0 5ch (x, y, z, error). Na obr zku je pro zjednodu 0 8en uk z n 2D p 0 0 pad, kde hodiny v p 0 0ij ma 0 0i jsou zpo 0 6d ny o 0,5 s. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

16 1 3Jak se vyrovnat s chybami C hodiny v p 0 0ij ma 0 0i Pokud je vid t v ce ne ty 0 0i satelity, m me tzv. p 0 0eur 0 0en 0 5 syst m rovnic a do hry vstupuje mo 0 6nost vybrat si z n kolika mo 0 6nost tu nejlep 0 8 C v takov m p 0 0 pad se poloha aproximuje pomoc metody nejmen 0 8 ch 0 0tverc 0 1. Metoda slou 0 6 k rekonstrukci funkce f z hodnot f 0,..., f n nam 0 0en 0 5ch v uzlov 0 5ch bodech a 0,..., a n. Tuto rekonstrukci hled me vzhledem k dan mu modelu C dan posloupnosti funkc (obecn v ce prom nn 0 5ch) g 0 (x),..., g m (x),... C ve tvaru y m (x) = m ф c j g j (x). j=0 C lem je p 0 0i tom minimalizovat sou 0 0et 0 0tverc 0 1 n ф ( fi 6с1 y m (a i ) ) 2. i=0 Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

17 1 3Aproximace metodou nejmen 0 8 ch 0 0tverc 0 1 Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

18 1 3Uka 0 6me si pou 0 6it t to metody v nejjednodu m p 0 0 pad, kdy m me d no n bod 0 1 ([x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]) a hled me p 0 0 mku, kter nejl pe vystihuje rozlo 0 6en t chto bod 0 1. Hled me tedy funkci tvaru f (x) = a x + b s nezn m 0 5mi a, b й R tak, aby hodnota n ф (f (x i ) 6с1 y i ) 2 i=1 byla minim ln. S vyu 0 6it m diferenci ln ho po 0 0tu lze snadno odvodit n sleduj c tvrzen. V ta Mezi p 0 0 mkami tvaru f (x) = a x + b m nejmen 0 8 sou 0 0et 0 0tverc 0 1 vzd lenost funk 0 0n ch hodnot v bodech x 1,..., x n od hodnot y i funkce spl uj c a ф x 2 i + b ф x i = ф x i y i a ф x i + b n = ф y i Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

19 1 3Metoda nejmen 0 8 ch 0 0tverc 0 1 C p 0 0 klad P 0 0 klad Metodou nejmen 0 8 ch 0 0tverc 0 1 ur 0 0ete regresn p 0 0 mku odpov daj c x nam 0 0en 0 5m dat 0 1m: y 1,5 1,6 2,1 3,0 0 9e 0 8en Data je vhodn se 0 0adit v tabulce podle sch matu: x y xy x 2 1 1,5 1, ,6 3, ,1 6, , Odtud 30a + 10b = 23, 10a + 4b = 8,2, a tedy a = 0,5, b = 0,8. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

20 1 3Jak se vyrovnat s chybami C teorie relativity GPS ukazuje jeden z nejprakti 0 0t j 0 8 ch d 0 1sledk 0 1 teorie relativity C pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepou 0 6iteln. Atomov hodiny pracuj s p 0 0esnost na nanosekundy (ns = 10 6с19 s), abychom byli schopni zaru 0 0it p 0 0esnost zji 0 8t n pozice na cca 10 m, je t 0 0eba um t ur 0 0it p 0 0esnost 0 0asu vys la 0 0e s p 0 0esnost cca 30 ns. P 0 0itom se satelity vzhledem k Zemi pohybuj rychlost cca km/h. Do hry tak vstupuje speci ln teorie relativity, nebot p 0 0ij ma 0 0 a vys la 0 0 jsou v i sob v pohybu, doch z ke zpomalen hodin vys la 0 0e oproti pozorovateli (dilatace 0 0asu) o v 2 4 ж 2 ж 10 6с110, tj. asi 2c 2 2 ( ) 2 o 7,7 0 8s/den. Dal 0 8 je 0 8t v 0 5znamn j 0 8 efekt p 0 0edstavuje obecn teorie relativity, kter implikuje, 0 6e hodiny pob masivn ho objektu (Zem ) jdou pomaleji ne 0 6 hodiny vzd len j 0 8 (d ky v t 0 8 mu zak 0 0iven prostoro 0 0asu). Z povrchu Zem vid me tedy satelitn hodiny jdouc rychleji ne 0 6 tyt 0 6 hodiny um st n na Zemi o cca s za den. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

21 1 3Jak se vyrovnat s chybami C teorie relativity Nezapo 0 0 t n m teorie relativity bychom tak dostali chybu v 0 0 du s za den, co 0 6 v d 0 1sledku znamen cca 10km chybu v ur 0 0en pozice. Tato chyba je opravena um l 0 5m zpomalen m atomov 0 5ch hodin um st n 0 5ch v satelitech oproti hodin m na Zemi (10, MHz oproti 10,23 MHz). Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

22 1 3Diferenci ln GPS Jedno z mnoha mo 0 6n 0 5ch vylep 0 8en je zalo 0 6eno na my 0 8lence, 0 6e relativn b zk p 0 0ij ma 0 0e podl haj analogick 0 5ch atmosf rick 0 5m chyb m. D ky pevn 0 5m stanic m ( u nich 0 6 je s vysokou p 0 0esnost zn ma poloha a kter vys laj rozd l mezi touto polohou a polohou vypo 0 0tenou na z klad informac ze satelit 0 1, je mo 0 6n u 0 8pi 0 0ov 0 5ch DGPS p 0 0 stroj 0 1 dos hnout p 0 0esnosti v 0 0 du centimetr 0 1. Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

23 1 3P 0 0 klad na z v r P 0 0 klad V tabulce jsou uvedena skute 0 0n data z n kolika satelit 0 1 C geocentrick sou 0 0adnice jsou uvedeny v metrech, 0 0as p 0 0enosu sign lu v nanosekund ch. Va 0 8im kolem je s vyu 0 6it m vhodn ho SW (nap 0 0 OpenOffice Calc) ur 0 0it: 1 geocentrick sou 0 0adnice m sta pozorovatele, 2 popsat skute 0 0n m sto na Zemi, kde se pozorovatel nach zel sat. x [m] y [m] z [m] dt [ns] Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24

24 1 3Pou 0 6it literatura Wikipedia, The Free Encyclopedia, Neil Ashby, Relativity and the Global Positioning System. Physics Today, May D kuji za pozornost! Michal Bulant (P 0 0F MU) Matematika (a fyzika) schovan za GPS Brno, 8. b 0 0ezna / 24