Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Transkript

1 Matematická logika Rostislav Horčík horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

2 Příklad Necht L je jazyk obsahující binární predikáty,, unární funkční symbol S a konstatní symbol 0. Uvažujme interpretaci N,, kde, odpovídají ostrému uspořádání < a rovnosti = přirozených čísel, 0 = 0 a S : N N je funkce následníka (tj. S (x) = x + 1). Mějme dvě ohodnocení proměnných ρ a σ takové, že ρ(x) = 0, ρ(y) = 1 a σ(x) = 1, σ(y) = 0. y(x y) je pravdivá v obou ohodnoceních ρ, σ, y(x y x y) je pravdivá v ρ, ale ne v σ, 0 S(x) je pravdivá v obou ohodnoceních ρ, σ. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

3 Příklad Predikátová logika Uvažujme stejný jazyk a interpretaci. Učiňme z volné proměnné x vázanou přidáním kvantifikátoru následujícím způsobem: x y(x y), x y(x y x y), x(0 S(x)). Pak tyto sentence jsou pravdivé v N,. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

4 Existenční a univerzální uzávěr Definice Necht ϕ je formule a x 1,..., x n jsou její volné proměnné (tj. proměnné, které mají volný výskyt ve ϕ). Pak sentence tvaru x 1 x n ϕ se nazývá existenční uzávěr formule ϕ a x 1 x n ϕ univerzální uzávěr formule ϕ. Tvrzení Necht ϕ je formule a U, interpretace. Pak ϕ je pravdivá alespoň v jednom ohodnocení proměnných právě tehdy, když její existenční uzávěr je pravdivý v U,. ϕ je pravdivá ve všech ohodnocení proměnných právě tehdy, když její univerzální uzávěr je pravdivý v U,. Říkáme, že formule ϕ je pravdivá (platí) v interpretaci U,, když tam platí její univerzální uzávěr. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

5 Tautologie, kontradikce, splnitelná sentence Definice Mějme senteci ϕ. Interpretace U,, ve které je ϕ pravdivá, se nazývá model sentence ϕ. Definice Sentence ϕ se nazývá tautologie, jestliže je pravdivá v každé interpretaci (každá interpretace je model), kontradikce, jestliže je nepravdivá v každé interpretaci (neexistuje model), splnitelná, jestliže je pravdivá alespoň v jedné interpretaci (existuje model). Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

6 Zobecnění na všechny formule Definice Formule ϕ se nazývá tautologie, jestliže je její univerzální uzávěr tautologie, splnitelná, jestliže je její existeční uzávěr je splnitelná sentence. Poznámka Pojem tautologie v predikátové logice není příliš běžný. Většinou se používá pojem logicky platné formule. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

7 Příklady Predikátová logika ( x P(x)) ( x P(x)) je kontradikce (dosazení do výrokové kontradikce p p), x y Q(x, y) je splnitelná v interpretaci N,, kde Q =<, ale není tautologie, protože je nepravdivá v interpretaci N,, kde Q =>. ( x P(x)) P(a) je tautologie (z platnosti x P(x) plyne, že P(x) platí v ρ[x := d] pro každé d, tudíž speciálně pro a ), P(a) ( x P(x)) je tautologie. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

8 Distribuce kvantifikátorů Tvrzení Necht ϕ a ψ jsou formule a necht x se nevyskytuje volně v ψ. Pak následující jsou tautologie: ( xϕ) ( x ϕ), ( xϕ) ( x ϕ), (ψ xϕ) x(ψ ϕ), (ψ xϕ) x(ψ ϕ), (ψ xϕ) x(ψ ϕ), (ψ xϕ) x(ψ ϕ), (ψ xϕ) x(ψ ϕ), (ψ xϕ) ( x(ψ ϕ)), ( xϕ ψ) x(ϕ ψ), ( xϕ ψ) x(ϕ ψ). Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

9 Splnitelná množina a její model Definice Množina sentencí M se nazývá splnitelná, pokud existuje interpretace U,, v níž jsou všechny sentence z M pravdivé. Takové interpretaci se říká model M. nesplnitelná, jestliže v každé interpretaci existuje sentence z M, která je v ní nepravdivá. Speciálně prázdná množina je splnitelná. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

10 Příklady Necht P, Q jsou unární predikátové symboly a a konstatní symbol. M = { x(p(x) Q(x)), P(a), x( Q(x))}, N = { x(p(x) Q(x)), P(a), ( x Q(x))}. M je splnitelná v interpretaci {c, d},, kde a = c, P = {c} a Q = {c}. N není spnitelná, protože z prvních dvou formulí plyne, že a má vlastnost Q. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

11 Sémantický důsledek Predikátová logika Definice Řekneme, že formule ϕ je sémantickým důsledkem (konsekventem) množiny sentencí S, pokud každý model množiny S je také modelem univerzálního uzávěru formule ϕ. Značíme S = ϕ. Místo {ψ} = ϕ píšeme ψ = ϕ a místo = ϕ píšeme = ϕ. Definice Řekneme, že dvě sentence ϕ a ψ jsou tautologicky ekvivalentní, pokud mají stejné modely (tj. ϕ = ψ a ψ = ϕ). Značíme ϕ = ψ. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

12 Vlastnosti = Tvrzení Necht M a S jsou množiny sentencí a ϕ formule. Je-li ϕ S, pak S = ϕ. Je-li M S a M = ϕ, pak S = ϕ. Je-li ϕ tautologie, pak N = ϕ pro každou množinu sentencí N. Je-li = ϕ, pak ϕ je tautologie. Je-li S nesplnitelná, pak S = ψ pro každou senteci ψ. Věta Pro každou množinu sentencí S a každou sentenci ϕ platí: S = ϕ právě tehdy, když S { ϕ} je nesplnitelná. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

13 Další vlastnosti Tvrzení Pro každé dvě sentence ϕ a ψ platí: ϕ = ψ právě tehdy, když ϕ ψ je tautologie. Věta o dedukci Mějme množinu sentencí S, sentenci ϕ a formuli ψ. Pak S {ϕ} = ψ právě tehdy, když S = ϕ ψ. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

14 Příklady Necht Q je binární predikátový symbol. Pak x y Q(x, y) = y x Q(x, y), x y Q(x, y) = y x Q(x, y), ale neplatí x y Q(x, y) = y x Q(x, y). Mějme jazyk s konstatním symbolem 0, unárním funkčním symbolem S a binárním predikátovým symbolem. Necht = { x(s(x) 0), x y(s(x) S(y) x y), x(x x), x y(x y y x), x y z((x y y z) x z)}. Pak pro libovolné n 1 platí = x 1 x n y(y x 1 y x n ). Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

15 Substituce Označme ϕ(x/t) formuli, která vznikne z formule ϕ nahrazením každého volného výskytu proměnné x termem t. Pokud platí xϕ(x) nějaké interpretaci, tak by mělo platit ϕ(x/t) pro libovolný term; podobně z platnosti ϕ(x/t) by mělo plynout xϕ(x). Takhle jednoduché to ale není! Např. pro ϕ = y(x y) formule xϕ(x) platí v N,, ale ϕ(x/y) = y(y y) je nepravdivá v N,. Definice Řekneme, že term t je substituovatelný za proměnnou x ve formuli ϕ, jestliže žádný výskyt proměnné v termu t se substitucí nestane vázaným. Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

16 Přejmenování vázané proměnné Tvrzení Je-li term t substituovatelný za proměnnou x ve formuli ϕ, pak xϕ ϕ(x/t) a ϕ(x/t) xϕ jsou tautologie. Tvrzení Necht y je proměnná substituovatelná za x ve formuli ϕ, která se ve ϕ nevyskytuje volně. Pak následující formule jsou tautologie: xϕ yϕ(x/y), xϕ yϕ(x/y). Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

17 Prenexní normální tvar Definice Řekneme, že formule ϕ je v prenexním normálním tvaru, jestliže má tvar Q 1 x 1... Q n x n α, kde Q i je některý z kvantifikátorů, x 1,..., x n jsou navzájem různé proměnné a α je otevřená formule. věta Každá predikátová formule ϕ je ekvivalentní s nějakou formulí v prenexním normálním tvaru Q 1 x 1... Q n x n α, tj. je tautologie. ϕ Q 1 x 1... Q n x n α Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18

18 Postup vytváření prenexního normálního tvaru 1 Přejmenujeme proměnné formule ϕ tak, aby každý kvantifikátor vázal jinou proměnnou. 2 Použijeme tautologie popisující distribuce kvantifikátorů přes jednotlivé logické spojky. Uvažujme formuli, kde R, jsou binární predikátové symboly a K ternární: x R(x, y) ( z K (z, x, y) z(z x)), x R(x, y) ( z K (z, x, y) v(v x)), x R(x, y) ( z K (z, x, y) v (v x)), x R(x, y) z v(k (z, x, y) (v x)), x ( R(x, y) z v(k (z, x, y) (v x)) ), x z v ( R(x, y) (K (z, x, y) (v x)) ). Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/ / 18