2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice"

Transkript

1 2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [ ] Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem k bohatší vnitřní struktuře formulí predikátové logiky je složitější. Používá se v logickém programování a je základem programovacího jazyka Prolog. Nejprve zavedeme literály a klausule v predikátové logice Literál. Literál je atomická formule(tzv. pozitivní literál), nebo negace atomické formule (tzv. negativní literál). Komplementární literály jsou dva literály, z nichž jeden je negací druhého Klausule Klausule je sentence taková, že všechny kvantifikátory jsou obecné a stojí na začátku sentence(na jejich pořadí nezáleží) a za nimi následují literál nebo disjunkce literálů. Vevýrokovélogicejsmeprokaždouformuli αnašliknítautogickyekvivalentnímnožinuklausulí S α atotak,že αis α bylypravdivévestejných pravdivostních ohodnocení. Takto jednoduchá situace v predikátové logice není. Vpříštípřednášcesiukážeme,jakkdanésentenci ϕnajítmnožinuklausulí S ϕ atotak,že ϕjesplnitelnáprávětehdy,kdyžmnožina S ϕ jesplnitelná Převedení sentence na klausální tvar. Pro každou sentenci ϕ existujemnožinaklausulí S ϕ taková,žesentence ϕjesplnitelnáprávětehdy, když S ϕ jesplnitelná Postup. Uvedeme postup, kterým pro danou sentenci ϕ zkonstruujeme množinuklausulí S ϕ. 1. Přejmenujeme proměnné formule ϕ tak, aby každý vstup kvantifikátoru vázaljinouproměnnou.(tj.např.formuli x P(x) x Q(x,a)nahradíme formulí x P(x) y Q(y,a).) 2. Spojky, nahradímespojkami, a nazákladěznámýchtautologických rovností α β α β nahradíme α β nahradíme ( α β) (α β) 3. Přesunemespojku conejníže vderivačnímstromuformule,tj.ažpřed atomické formule. Použijeme k tomu vztahy x α nahradíme x α x α nahradíme x α (α β) nahradíme α β (α β) nahradíme α β α nahradíme α 4. Přesunemespojku conejníže vderivačnímstromuformulepomocí vztahů α (β γ) nahradíme (α β) (α γ)

2 20 [ ] α ( x β) nahradíme x(α β) α ( x β) nahradíme x(α β) Přitom dáváme přednost první rovnosti. Teprve v případě, že první rovnost nelze aplikovat, používáme další dvě rovnosti. Uvědomte si, že druhá rovnost je opravdu tautologická ekvivalence pouze proto, že formule α neobsahuje proměnnou x(viz krok 1). 5. Použijeme tautologickou ekvivalenci x(α β) nahradíme ( x α) ( x β) k distribuci obecného kvantifikátoru. Jestliže nyní formule neobsahuje existenční kvantifikátor, máme formuli ψ, která je konjunkcí klausulí. Tuto formulitedynahradímemnožinou S ϕ jejíchklausulí. V případě, že formule ψ obsahuje existenční kvantifikátor, provedeme skolemisaci, která je vysvětlena v dalších odstavcích a přesně popsána v?? Skolemizace. Poznamenejme,žetermíny skolemizace, skolemizační konstanta a skolemizačnífunkčnísymbol jsouodvozenyodjménanorského matematika logika Thoralfa Skolema. Skolemizacínahradímeformuli ψformulí ψ takovou,žeformule ψjesplnitelnáprávětehdy,kdyžjesplnitelnáformule ψ (obecněaleneprostejnou interpretaci). Dříve než ukážeme obecný postup, uvedeme dva příklady Příklad1. Najděmeklausuli ψ,kterájesplnitelnáprávětehdy,když jesplnitelnásentence ψ= x P(x). Hledanousentencíje ψ = P(a),kde ajenějakýnovýkonstantnísymbol. Neníobtížnénahlédnout,žeformule ψjetautologickýmdůsledkemformule ψ. Konstantní symbol a použitý v minulém příkladě, se nazývá skolemizační konstanta Příklad2. Najděmeklausuli ψ,kterájesplnitelnáprávětehdy,když jesplnitelnásentence ψ= x y Q(x,y). Formuli ψ nahradíme formulí ψ = xq(x,f(x)), kde f je nový unární funkční symbol. Nyní již opět platí, že formule ψ je splnitelná právě tehdy, kdyžjesplnitelnáformule ψ. Funkčnímu symbolu f se říká skolemizační funkční symbol Obecnýpostup(pokračováníbodů1 5zpostupu??). 6. Obsahuje-li formule existenční kvantifikátor, nahradíme každou uzavřenou podformulitvaru x 1... x n y α(y)formulí x 1... x n α(f(x 1,...,x n )), kde fjelibovolnýnovýfunkčnísymbolarity n.je-li n=0,použijemenový konstantní symbol a. Tomuto procesu se říká skolemizace, funkčnímu symbolu f skolemizační funkční symbol, konstantě a skolemizační konstanta. Pokračujeme podle kroku 5 z??. Uvědomtesi,žeproměnné x 1,...,x n jsouprávěvšechnyproměnnévázané obecným kvantifikátorem, na které narazíme při postupu derivačním stromem od ysměremkekořeni.

3 2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [ ] Poznámka. Při zápisu klausulí budeme vynechávat kvantifikátory; to můžeme proto, že víme že všechny kvantifikátory jsou obecné a na jejich pořadí nezáleží Rezolventy klausulí. Ve výrokové logice jsme rezolventy vytvářeli tak, že jsme si vždy vzali dvě klausule, které obsahovaly dvojici komplementárních literálů, a výsledná rezolventa byla disjunkcí všech ostatních literálů z obou klausulí. Situace v predikátové logice je složitější. Postup, jak vytváříme rezolventy v predikátové logice, si ukážeme na příkladech Příklad. Najděmerezolventuklausulí K 1 = P(x) Q(x,y)aK 2 = = Q(x,y) R(y),kde P a RjsouunárnípredikátovésymbolyaQjebinární predikátový symbol, x, y jsou proměnné. Klausule K 1 a K 2 obsahujídvojicikomplementárníchliterálů,totiž Q(x,y) jeliterál K 1 a Q(x,y)jeliterál K 2.Rezolventouklausulí K 1 a K 2 jetedyklausule K= P(x) R(y),přesněji K= x y(p(x) R(y)) Příklad. Najděmerezolventuklausulí K 1 = P(x) Q(x)aK 2 = = Q(a) R(b),kde P, Qjsouunárnípredikátovésymbolyaa,bjsoukonstanty. Klausule K 1 a K 2 neobsahují dvojici komplementárních literálů, neboť negace literálu Q(a) není literál Q(x) a naopak. Přitom však literál Q(x) odpovídá formuli x Q(x), a tedy zahrnuje i Q(a). Proto při substituci konstanty a za proměnnou x dostáváme klausule K 1= P(a) Q(a) a K 2= Q(a) R(b) ajejichrezolventajeklausule P(a) R(b) Příklad. Najděme rezolventu klausulí K 1 = P(x,y) Q(x,y,a) a K 2 = Q(g(v),z,z) R(v,z), kde P, Rjsoubinárnípredikátovésymboly, Qjepredikátovýsymbolarity3a ajekonstanta. PokusímesevhodnousubstitucívytvořitzQ(x,y,a)a Q(g(v),z,z)dvojici komplementárních literálů. Toho dosáhneme substitucí: za proměnné y a z dosadíme konstantu a, a za proměnnou x dosadíme term g(v). Tím dostaneme komplementární literály Q(g(v), a, a) Q(g(v), a, a). Provedenímsubstitucenaceléklausule,dostanemeklausule K 1a K 2,jejichž rezolventa bude i rezolventou klausulí K 1, K 2. Tedy K 1 = P(g(v),a) Q(g(v),a,a), K 2 = Q(g(v),a,a) R(v,a) a hledaná rezolventa je K = = P(g(v),a) R(v,a) Poznámka. Ne vždy rezolventa existuje. Rezolventa klausulí K 1 = P(x) Q(f(x),a) a K 2 = Q(y,y) R(f(y),z), (kde P je unární predikátový symbol, Q a R jsou binární predikátové symboly, f je unární funkční symbol a a je konstanta) neexistuje. Případy, kdy existuje

4 22 [ ] či neexistuje vhodná substituce, řeší unifikační algoritmus, který uvádíme v následujícícm odstavci. V případě, že substituce existuje, unifikační algoritmus najde nejobecnější substituci Unifikační algoritmus. Vstup: Dvapositivníliterály L 1, L 2,kterénemajíspolečnéproměnné. Výstup: Hlášení neexistuje v případě, že hledaná substituce neexistuje, v opačném případě substituce ve tvaru množiny prvků tvaru x/t, kde x je proměnná, za kterou se dosazuje, a t je term, který se za proměnnou x dosazuje. 1. Položme E 1 := L 1, E 2 := L 2, θ:=. 2. Jsou-li E 1, E 2 prázdnéřetězce,stop.množina θurčujehledanousubstituci. V opačném případě položíme E 1 := E 1 θ, E 2 := E 2 θ (tj. na E 1, E 2 provedeme substituci θ). 3. Označíme Xprvnísymbolřetězce E 1, Y prvnísymbolřetězce E Je-li X = Y, odstraníme X a Y z počátku E 1 a E 2. Jsou-li X a Y predikátové nebo funkční symboly, odstraníme i jim příslušné závorky a jdemenakrok2. 5. Je-li X proměnná, neděláme nic. Je-li Y proměnná(a Xnikoli),přehodíme E 1, E 2 a X, Y. Není-li ani X ani Y proměnná, stop. Výstup neexistuje. 6. Je-li Y proměnnánebokonstanta,položíme θ:= θ {X/Y }.Odstraníme Xa Y zezačátkůřetězců E 1 a E 2 (spolusčárkami,je-litřeba)ajdeme nakrok2. 7. Je-li Y funkčnísymbol,označíme ZvýrazskládajícísezY avšechjeho argumentů(včetně závorek a čárek). Jestliže Z obsahuje X, stop, výstup neexistuje. Vopačnémpřípaděpoložíme θ:= θ {X/Z},odstraníme Xa Zzezačátků E 1 a E 2 (odstranímečárky,je-litřeba)ajdemenakrok Rezoluční princip. Je obdobný jako rezoluční princip ve výrokové logice: Je dána množina klausulí S. Označme R(S) = S {K Kjenejobecnějšírezolventaněkterýchklausulíz S} R 0 (S) = S R i+1 (S) = R(R i (S)) pro i N R (S) = {R i (S) i 0}. Množinaklausulí Sjesplnitelnáprávětehdy,když R (S)neobsahujeprázdnouklausuli F.

5 2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [ ] Poznámka. Rezoluční princip používáme i pro zjištění, zda z množinysentencí Svyplývásentence α(tj.zda S = α)atotakto. Postupujeme podle věty 2.4.6: Nejprve vytvoříme množinu S { α} a pak upravujeme sentence této množiny na klausální tvar. Jestliže jako rezolventu některých klausulí dostaneme prázdnou klausuli, pak množina S { α} je nesplnitelná a S = α platí; jestliže prázdnou klausuli není možné získat, pak S { α}jesplnitelnáas = αneplatí.

Predikátová logika [Predicate logic]

Predikátová logika [Predicate logic] Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza.

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - V Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu.

V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu. 1 Predikátová logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu. Výstupy z výukové jednotky Student se seznámí se základními termíny

Více

Výroková a predikátová logika - VI

Výroková a predikátová logika - VI Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Tableaux metody. Jiří Vyskočil 2011

Tableaux metody. Jiří Vyskočil 2011 Tableaux metody Jiří Vyskočil 2011 Tableau [tabló] metoda Tableau metoda je další oblíbená metoda užívaná pro automatické dokazování vět v predikátové logice, ale i v dalších (modálních, temporálních,

Více

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16 Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Logika a logické programování

Logika a logické programování Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Úvod do výrokové a predikátové logiky Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování

Více

Predikátová logika dokončení

Predikátová logika dokončení Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Základy matematické logiky

Základy matematické logiky OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): 1. Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Je-li prvočíslo větší než 2, pak je liché.

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava

Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava Klauzulární logika úvod Šárka Vavrečková Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava 20. října 2008 Klauzulární logika Hlavní vlastnosti pracujeme s klauzulemi, které

Více

verze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.

verze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu. 1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

7 Jemný úvod do Logiky

7 Jemný úvod do Logiky 7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,

Více

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. 1 Matematická logika - poznámky k přednáškám Radim Bělohlávek 29. května 2003 1 Co je (matematická) logika?

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY RADIM BĚLOHLÁVEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec

Více

popel, glum & nepil 16/28

popel, glum & nepil 16/28 Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna

Více

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou

Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se

Více

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je

Více

Logické programování

Logické programování 30. října 2012 Osnova Principy logického programování 1 Principy logického programování 2 3 1 Principy logického programování 2 3 Paradigmata programování Strukturované programování Procedurální programování

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Programovací jazyk Prolog

Programovací jazyk Prolog Programovací jazyk Prolog Logické programování Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 1. prosince 2008 Prolog Co je

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin 1 Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky)

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin 1 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin Základy logiky a teorie množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky) precizace klíčových matematických pojmů: axiom, teorie, důkaz,

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Výrok je buď pravdivý nebo nepravdivý, třetí možnost neexistuje. Výrok nemůže být současně pravdivý i nepravdivý.

Výrok je buď pravdivý nebo nepravdivý, třetí možnost neexistuje. Výrok nemůže být současně pravdivý i nepravdivý. Výroková logika. Pokud bychom měli definovat pojem logika, asi bychom nejvýstižněji mohli říci, že je to studium argumentace. Logika se snaží kodifikovat správné postupy, pomocí nichž vyvozujeme platné

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

LITERATURA. Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007

LITERATURA. Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007 ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY 1 LITERATURA Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007 2 Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku. Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003 Bokr J.:, Svátek J.: Základy

Více

Logika. Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci

Logika. Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci Logika Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci 1 Úloha logiky v umělé inteligenci převést fakta na formalizované výroky, se kterými se dá automatizovaně operovat

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)] Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Logické programování s omezujícími podmínkami. Constraint Logic Programming: CLP

Logické programování s omezujícími podmínkami. Constraint Logic Programming: CLP Logické programování s omezujícími podmínkami Constraint Logic Programming: CLP CP a programovací jazyk Dosavadní předpoklady (pro CSP) omezení jsou dostupná na začátku prohledávání omezení jsou reprezentována

Více

Úvod do logiky (VL): 3. Jazyk VL

Úvod do logiky (VL): 3. Jazyk VL Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 3. Jazyk VL doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Podklady k soustředění č. 2 Reprezentace a zpracování znalostí 1. dílčí téma: Reprezentace znalostí V polovině 70. let se začal v umělé inteligenci přesouvat důraz od hledání

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky študenti MFF 15. augusta 2008 1 1 Základy teoretické informatiky Požadavky Logika - jazyk, formule, sémantika, tautologie

Více

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. p, q, r... Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

5 Inteligentní usuzování

5 Inteligentní usuzování 5 Inteligentní usuzování Jak již bylo řečeno v předcházející kapitole, způsob reprezentování znalostí a způsob jejich využívaní pro usuzování spolu úzce souvisejí. Připomeňme zde tedy ještě jednou používaná

Více