Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12"

Transkript

1 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 13

2 Logika X. Prenexní normální tvar. Skolemizace. Rezoluční metoda. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 13

3 Prenexní normální tvar Definice Formule je v prenexním normální tvaru, jestliže je ve tvaru (Q 1 x 1 )...(Q n x n )A, kde A je otevřená formule, Q i jsou kvantifikátory, x i jsou proměnné. ( x)( y)( z)(y < x y ), ( k)(n = 2k) Definice Formule B je varianta formule A, jestliže se liší jen přejmenováním vázaných proměnných. ( u)( v)( w)(w < u v ), ( l)(n = 2l). Věta Je-li B varianta A, pak A B. ( x)( y)( z)(y < x y ) ( u)( v)( w)(w < u v ) (( k)(n = 2k) ( l)(n = 2l)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 13

4 Prenexní operace Chceme mít formule v prenexním tvaru. Víme: (( x)a ( x)b) ( x)(a B) (( x)a ( x)b) ( x)(a B) Prenexní operace 1 ( x)a ( x) A ( x)a ( x) A 2 Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) 3 Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)) 4 Není-li x volná v B, pak (( x)a(x) B) ( x)(a(x) B) (( x)a(x) B) ( x)(a(x) B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 13

5 Prenexní operace - důkaz ad 2. Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)). Dokážeme (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)). Sporem. Kdyby ex. M tak, že M = (A ( x)b(x)) ( x)(a B(x)), pak M = (A ( x)b(x)) a M = ( x)( A B(x)), tedy existuje m M tak, že A B[m], ale A B[m].. Dokážeme ( x)(a B(x)) (A ( x)b(x)). Sporem. Kdyby ex. M tak, že M = ( x)(a B(x) (A ( x)b(x)), pak M = ( x)(a B(x)) a M = A a M = ( x) B(x), tedy existuje m M tak, že B[m], ale A B[m] a A.. ad 3. Není-li x volná v A, pak (A ( x)b(x)) ( A ( x)b(x)) ( x)( A B(x)) ( x)(a B(x)) ad 4. Není-li x volná v B, pak (( x)a(x) B) ( ( x)a(x) B) (( x) A(x) B) ( x)(a(x) B) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 13

6 Prenexní normální tvar Věta Ke každé formuli existuje formule s ní ekvivalentní v prenexním normálním tvaru. Příklady: 1 ( a)( b)((a < b) ( c)(a < b < c) ( a)( b)( c)((a < b) (a < b < c) 2 ( x)(x = 0) ( x)(x = S(0)) ( x)(x = 0) ( y)(y = S(0)) ( x)( y)((x = 0) (y = S(0))) 3 ( x)(x > 0) ( y)(x + y > 0)) ( z)(z > 0) ( y)(x + y > 0)) ( z)( y)((z > 0) (x + y > 0)) ( y)( z)((z > 0) (x + y > 0)) 4 ( ɛ)((ɛ > 0) ( δ)( x)((δ > 0) ( x c < δ) ( f (x) f (c) < ɛ)) ( ɛ)( δ)( x)((ɛ > 0) ((δ > 0) ( x c < δ) ( f (x) f (c) < ɛ)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 13

7 Skolemizace Chceme jen obecné kvantifikátory. Definice T je konzervativní rozšíření teorie T, právě když L L a pro každou formuli jazyka L platí T = A, právě když T = A. ( x)a(x)... vybereme novou konstantu c L = L {c} T = T {( x)a(x) A(c)} ( x)( y)a(x, y)... definujeme novou funkci f (x) L = L {f (x)} T = T {( x)a(x, f (x))) ( x)( y)a(x, y)} RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 13

8 Skolemův normální tvar Věta Ke každé uzavřené formuli A existuje formule A S, která je v prenexním normální tvaru, kde všechny kvantifikátory jsou obecné, tzv. Skolemův normální tvar. Příklady: A je splnitelná, právě když A S je splnitelná. ( y)( x)(x > y)... definujeme konstantu c tak, že ( x)(x > c) ( x)( y)(x > y)... definujeme funkci f (x) tak, že ( x)(x > f (x)) ( t)( x)( y)( z)( u)( w)a(t, x, y, z, u, w)... c ( x)( y)( z)( u)( w)a(c, x, y, z, u, w)... g(x, y) ( x)( y)( u)( w)a(c, x, y, g(x, y), u, w)... h(x, y, u) ( x)( y)( u)a(c, x, y, g(x, y), u, h(x, y, u)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 13

9 Otevřené jádro formule Věta Nechť A je otevřená formule s volnými proměnnými x 1,..., x n. Potom pro libovolnou interpretaci M platí M = A, právě když M = ( x 1 )...( x n )A. A je tautologie ( x 1 )...( x n )A je tautologie. A se nazývá otevřené jádro formule ( x 1 )...( x n )A Příklad: ( x)( y)((x > y) (y > x)) je pravdivé v N, právě když (x > y) (y > x) je pravdivé v N A(x) je tautologie, právě když ( x)a(x) je tautologie. POZOR! A(x) ( x)a(x) není tautologie. A(x) ( x)a(x) není tautologie. ( x 1 )...( x n )A není logicky ekvivalentní s A. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 13

10 Rezoluční metoda v predikátové logice 1 Teorie. Konjunkce formuĺı. 2 Prenexní normální tvar. 3 Skolemizace. 4 Otevřené jádro formule. 5 Klausule. 6 Resolventy formuĺı. 7 Kontradikce? Příklad: ( x)(p(x) Q(x)), ( x) P(x) = ( x)q(x)? ( x)(p(x) Q(x)) ( x) P(x) ( x)q(x) ( x)(p(x) Q(x)) ( z) P(z) ( y) Q(y) ( z)( x)( y)((p(x) Q(x)) P(z) Q(y)) ( x)( y)((p(x) Q(x)) P(c) Q(y)) (P(x) Q(x)) P(c) Q(y)) Q(c), Q(c), RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 13

11 Rezoluční metoda v predikátové logice Žádný člověk není zvíře Některé zvíře je šelma. Tudíž některá šelma není člověk. ( x)(c(x) z(x)), ( x)(z(x) s(x)) = ( x)(s(x) c(x)) ( x)( c(x) z(x)) ( x)(z(x) s(x)) ( x)(s(x) c(x)) ( x)( c(x) z(x)) ( v)(z(v) s(v)) ( u)(s(u) c(u)) ( x)( c(x) z(x)) (z(k) s(k)) ( u)(s(u) c(u)) ( x)( u)( c(x) z(x)) z(k) s(k) ( s(u) c(u)) (( c(x) z(x)) z(k) s(k) ( s(u) c(u)))... otevřená formule s(k), c(k), z(k), z(k),. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 13

12 Příklady Každá větší ryba je rychlejší než menší ryba. Tudíž jestliže je nějaká ryba největší, pak je i nějaká ryba nejrychlejší, v(x, y), r(x, y) ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) = ( z)( y)v(z, y) ( z)( y)r(z, y) Sporem: ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) (( z)( u)v(z, u) ( z)( u)r(z, u)) ( x)( y)(v(x, y) r(x, y)) ( z)( u)v(z, u) ( s)( t)r(s, t) ( x)( y)( v(x, y) r(x, y)) ( z)( u)v(z, u) ( s)( t) r(s, t) RM: ( x)( y)( v(x, y) r(x, y)) ( u)v(c, u) ( s) r(s, f (s)) v(c, u), r(c, f (c)), v(c, f (c)), v(c, f (c)) r(c, f (c)). Spor. STROM: Tedy existuje c tak, že ( u)v(c, u). Tedy též existuje d tak, že r(c, d). Tedy i v(c, d). Ale v(c, d) r(c, d). Tedy spor. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 13

13 Příklad Každý Cadillac je dražší než jakékoli levné vozidlo. Tudíž Cadillac není levné vozidlo, c(x), l(x) d(x, y) ( x)( y)((c(x) l(y)) d(x, y)) = ( x)(c(x) l(x)) Kdyby tomu tak nebylo, pak ( x)( y)((c(x) l(y) d(x, y))) ( x)(c(x) l(x)) Označme si toto konkrétní auto m. Platí c[m] l[m] (( c[m] l[y])) d[m, m]). Tedy d[m, m]. To je spor. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika XI. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 13

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec

Více

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Cvičení z logiky I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský

Více

Predikátová logika. Kapitola 2. 2.1 Formule predikátové logiky

Predikátová logika. Kapitola 2. 2.1 Formule predikátové logiky 5 Kapitola 2 Predikátová logika 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolů uvedených v textu.

Více

Klínové řemeny obalované s úzkým průřezem

Klínové řemeny obalované s úzkým průřezem profilem Řemenice a lanové kladky Spojky a křížové emeny Řetězové pohony Inteligentní nástroje Klínové ky Spojky a křížové klouby Ozubené řemeny Řetězová í nástroje Klínové řemeny a řemeny s úzkým profilem

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých

Více

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky 12 Kapitola 3 Predikátová logika 3.1 Formule predikátové logiky 3.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolů uvedených v textu.

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Predikátová logika dokončení

Predikátová logika dokončení Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Úvod do logiky (PL): analýza vět mimo logický čtverec

Úvod do logiky (PL): analýza vět mimo logický čtverec Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): analýza vět mimo logický čtverec doc. PhDr.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Úvod do logiky (PL): logický čtverec (cvičení)

Úvod do logiky (PL): logický čtverec (cvičení) Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): logický čtverec (cvičení) doc. PhDr. Jiří

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

Teoretická informatika - Úkol č.1

Teoretická informatika - Úkol č.1 Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Výrobky SKF pro přenos výkonu

Výrobky SKF pro přenos výkonu Výrobky SK pro přenos výkonu Obsah 5 47 Řemeny 6 Klínové řemeny obalované s úzkým průřezem 10 Klínové řemeny obalované s klasickým průřezem Úzké klínové řemeny obalované 16 Ozubené klínové řemeny s úzkým

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava

Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava Klauzulární logika úvod Šárka Vavrečková Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava 20. října 2008 Klauzulární logika Hlavní vlastnosti pracujeme s klauzulemi, které

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Obsah. 5 47 Řemeny. 49 72 Řetězy. 73 91 Spojky. 93 98 Pouzdra a náboje. 99 183 Řetězová kola. 185 273 Řemenice. 275 281 Inteligentní nástroje

Obsah. 5 47 Řemeny. 49 72 Řetězy. 73 91 Spojky. 93 98 Pouzdra a náboje. 99 183 Řetězová kola. 185 273 Řemenice. 275 281 Inteligentní nástroje Obsah 5 47 Řemeny 49 72 Řetězy 73 91 Spojky 93 98 Pouzdra a náboje 99 183 Řetězová kola 185 273 Řemenice 275 281 Inteligentní nástroje Značka SK znamená pro zákazníky více než dřív a také jim více nabízí.

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Úvod do logiky: PL analýza vět mimo logický čtverec (cvičení)

Úvod do logiky: PL analýza vět mimo logický čtverec (cvičení) Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky: PL analýza vět mimo logický čtverec (cvičení) doc.

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Logika a logické programování

Logika a logické programování Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Výrobky SKF pro přenos výkonu

Výrobky SKF pro přenos výkonu Výrobky SK pro přenos výkonu Obsah 5 47 Řemeny 6 Klínové řemeny obalované s úzkým průřezem 10 Klínové řemeny obalované s klasickým průřezem 15 Úzké klínové řemeny obalované 16 Ozubené klínové řemeny s

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Á É Č ď ý ý Č Ť ž ý ý ť žž Ž ý ú ž š ý ž ž ž š š š ý Š ť ý ý š ž ž ý ž ž Ň ý ž ť ť ú ž ý š ž š ž ž š ž š ž ý ý šť ý Ý Ú ň ý ý Ý ž ý ý ť ý ž ý ý ž ý ď ý ý š ý ž ú ú ď ý ž š ž ý ž ť ý ý ý ý ý Á ý ď ž š ž

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Maloobchodní ceník motorů Honda 2016 Platnost od do

Maloobchodní ceník motorů Honda 2016 Platnost od do Maloobchodní ceník motorů Honda 2016 Platnost od 1.1.2016 do 30.6.2016 Model Typ Verze Kód Doporučená cena Doporučená cena barvy bez DPH s DPH GCV140A N2 EE SD 8 339 Kč 10 090 Kč GCV160A0 A1 G7 SD 8 194

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16 Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Metodický list č. 1 Název tématického celku: Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Opravyshlukůchyb. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Opravyshlukůchyb. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Opravyshlukůchyb c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond

Více

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Reprezentace znalostí. Katedra kybernetiky, ČVUT v Praze.

Reprezentace znalostí. Katedra kybernetiky, ČVUT v Praze. Reprezentace znalostí Vladimír Mařík Katedra kybernetiky, ČVUT v Praze http://cyber.felk.cvut.cz/ preprezentace znalostí V paměti počítače požadavky na modularitu (M) asociativnost (A) Čtyři základní formalizmy:

Více

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Normální formy. (provizorní text)

Normální formy. (provizorní text) Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,

Více

š š š ů ů š ž ž š É Ú Š ý ů ý ů ů É ů ů ý Ů ý Ů ť š ů š ů š Č ý ň ú Č ý ů ň ý ž š ž š ý ů ň š š ý š ž ů ů š Š Č šť Č š š ý ů ý ý š Š ů Š ů ů ý ů ů Š š š ů ý Š ů š ý ý ů ů ý š ý Š ž šť Š ž ý Č š ž š š ý

Více